Signale und Systeme II - Exam

Aufgabe 1)

Ein Signal x(t) sei gegeben, das durch die Funktion x(t) = e^{-2t}u(t) mit der Heaviside Funktion u(t) beschrieben wird. Dieses Signal soll analysiert und weiter verarbeitet werden.

a)

Bestimme die Fourier-Transformation von x(t). Zeige die Zwischenschritte und berechne das Endergebnis.

Lösung:

Um die Fourier-Transformation von x(t) zu bestimmen, müssen wir das gegebene Signal x(t) = e^{-2t}u(t) transformieren. Die Fourier-Transformation eines Signals x(t) ist definiert als:

• Allgemeine Definition:

Die Fourier-Transformation \(X(f)\) eines Signals \(x(t)\) ist durch das Integral definiert:

• \( X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j2\pi ft} \, dt \)

• Spezialfall:

Unser Signal ist \( x(t) = e^{-2t} u(t) \), wobei \( u(t) \) die Heaviside-Funktion ist, die definiert ist als:

• \( u(t) = \begin{cases} 1 & t \geq 0 \ \ 0 & t < 0 \end{cases} \)

• Integralgrenzen:

Aufgrund der Heaviside-Funktion (\( u(t) \)) ändert sich das Integral zu:

• \( X(f) = \int_{0}^{\infty} e^{-2t} e^{-j2\pi ft} \, dt \)

• Integrand verknüpfen:

Wir kombinieren die Exponentialfunktionen:

• \( X(f) = \int_{0}^{\infty} e^{-(2 + j2\pi f)t} \, dt \)

• Integral berechnen:

Das Integral hat die Form \( \int_{0}^{\infty} e^{-at} \, dt = \frac{1}{a}\) für \( a > 0 \). Hier ist \((2 + j2\pi f) > 0 \). Daher ergibt sich:

• \( X(f) = \frac{1}{2 + j2\pi f} \)

• Endergebnis:

Die Fourier-Transformation des Signals \( x(t) = e^{-2t} u(t) \) ist:

• \( X(f) = \frac{1}{2 + j2\pi f} \)

Somit lautet das Endergebnis:

Fourier-Transformation: \( X(f) = \frac{1}{2 + j2\pi f} \)

b)

Bestimme die Z-Transformation von x[n] wobei x[n] die diskrete Version von x(t) ist. Zeige die Zwischenschritte und berechne das Endergebnis.

Lösung:

Um die Z-Transformation von x[n] zu bestimmen, müssen wir zuerst die diskrete Version des Signals x(t) = e^{-2t} u(t) definieren und dann die Z-Transformation durchführen.

• Diskrete Version:

Die diskrete Version von x(t) ist x[n] = x(t)|_{t = nT}, wobei T das Abtastintervall ist. Setzen wir T = 1, so erhalten wir:

• \( x[n] = e^{-2n} u[n] \)

• Z-Transformation:

Die Z-Transformation \(X(z)\) eines diskreten Signals \(x[n]\) ist definiert als:

• \( X(z) = \sum_{n=0}^{\infty} x[n] z^{-n} \)

• Für unser Signal:

Setzen wir x[n] = e^{-2n} u[n] in die Definition der Z-Transformation ein:

• \( X(z) = \sum_{n=0}^{\infty} e^{-2n} z^{-n} \)

• Kombinieren der Exponentialfunktionen:

Wir können die Exponentialfunktionen kombinieren:

• \( X(z) = \sum_{n=0}^{\infty} (e^{-2} z^{-1})^n \)

• Geometrische Reihe:

Diese Summe ist eine geometrische Reihe der Form \( \sum_{n=0}^{\infty} (ar^n) \), die konvergiert, wenn \(|ar| < 1\). Für unsere Reihe gilt:

• \( r = e^{-2} z^{-1} \)

Die Summe der geometrischen Reihe ist:

• \( X(z) = \frac{1}{1 - e^{-2} z^{-1}} \)

• Endergebnis:

Die Z-Transformation des Signals x[n] = e^{-2n} u[n] ist:

• \( X(z) = \frac{1}{1 - e^{-2} z^{-1}} \)

Somit lautet das Endergebnis:

Z-Transformation: \( X(z) = \frac{1}{1 - e^{-2} z^{-1}} \)

Aufgabe 2)

Gegeben: In einem Kommunikationssystem wird ein Signal x(t) erzeugt, das eine bestimmte Frequenzkomponente enthalten soll. Die Analyse und Verarbeitung der Frequenzkomponenten erfolgt durch die Fourier-Transformation.

• Die Fourier-Transformierte ist definiert als: \[ X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) \, e^{-j 2 \pi f t} \, dt \]
• Die Inverse Fourier-Transformierte ist definiert als: \[ x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} X(f) \, e^{j 2 \pi f t} \, df \]
• Die Diskrete Fourier-Transformierte (DFT) ist definiert als: \[ X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \, e^{-j \frac{2\pi}{N} kn} \]
• Wichtige Eigenschaften: Linearität, Zeit- und Frequenzverschiebung, Faltung
• Der Satz von Parseval lautet: \[ \int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 dt = \int_{-\infty}^{\infty} |X(f)|^2 df \]

a)

• Teilaufgabe a: Berechne die Fourier-Transformierte des gegebenen Signals x(t) = e^{-2 \, t} \, \theta(t), wobei \( \theta(t) \) die Heaviside-Funktion darstellt.

 Hinweis: Verwende die Definition der Fourier-Transformation \[ X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) \, e^{-j 2 \pi f t} \, dt \] und bestimme die Transformation des gegebenen Signals. 

Lösung:

Lösung: Um die Fourier-Transformierte des gegebenen Signals x(t) = e^{-2 \, t} \, \theta(t) zu berechnen, verwenden wir die Definition der Fourier-Transformation:

• \[ X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) \, e^{-j 2 \pi f t} \, dt \]

• \[ \theta(t) = \begin{cases} 0 & t < 0 \ 1 & t \geq 0 \end{cases} \]

• \[ X(f) = \int_{0}^{\infty} e^{-2 t} \, e^{-j 2 \pi f t} \, dt \]

• \[ X(f) = \int_{0}^{\infty} e^{-(2 + j 2 \pi f) t} \, dt \]

• \[ \int_{0}^{\infty} e^{-at} \, dt = \frac{1}{a} \quad \text{für} \ a > 0 \]

• \[ X(f) = \frac{1}{2 + j 2 \pi f} \]

• \[ X(f) = \frac{1}{2 + j 2 \pi f} \, \frac{2 - j 2 \pi f}{2 - j 2 \pi f} = \frac{2 - j 2 \pi f}{(2 + j 2 \pi f)(2 - j 2 \pi f)} \]

• \[ X(f) = \frac{2 - j 2 \pi f}{4 + (2 \pi f)^2} \]

• \[ X(f) = \frac{2 - j 2 \pi f}{4 + (2 \pi f)^2} \]

Aufgabe 3)

In der Vorlesung 'Signale und Systeme II' hast Du die Unterschiede zwischen der kontinuierlichen Fourier-Transformation (CFT) und der diskreten Fourier-Transformation (DFT) kennengelernt. Die CFT wird verwendet, um kontinuierliche Signale im Frequenzbereich zu analysieren, während die DFT für diskrete und periodische Signale verwendet wird. Hier sind die relevanten Formeln:

• kontinuierliche Fourier-Transformation (CFT): \[ F(f) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j2\pi ft} \, dt \]
• diskrete Fourier-Transformation (DFT): \[ F[k] = \sum_{n=0}^{N-1} f[n] e^{-j2\pi kn/N} \]
• CFT wird für kontinuierliche, nicht-periodische Signale verwendet
• DFT wird für diskrete, periodische Signale verwendet
• CFT ist integralförmig, DFT ist summenförmig
• DFT erfordert N-periode Abtastung, CFT nicht
• FFT ist eine effiziente Berechnungsmethode der DFT

a)

Gegeben ist das kontinuierliche Signal \(f(t) = e^{-2t}u(t)\), wobei \(u(t)\) die Einheitssprungfunktion ist. Berechne die kontinuierliche Fourier-Transformation dieses Signals.

Lösung:

Um die kontinuierliche Fourier-Transformation (CFT) des gegebenen Signals \(f(t) = e^{-2t}u(t)\) zu berechnen, gehe wie folgt vor:

1. Definiere das Signal und die Einheitssprungfunktion:

\(f(t) = e^{-2t}u(t)\)

2. Die Funktion \(u(t)\) ist die Einheitssprungfunktion, die für alle \(t \geq 0\) gilt und null für \(t < 0\).
3. Definiere die Fourier-Transformationsformel:

\( F(f) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j2\pi ft} \, dt \)

4. Anwenden des gegebenen Signals in die Fourier-Transformationsformel:

\( F(f) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-2t}u(t) e^{-j2\pi ft} \, dt \)

5. Da \(u(t)\) nur für \(t \geq 0\) gilt, passen wir die Integralgrenzen an:

\( F(f) = \int_{0}^{\infty} e^{-2t} e^{-j2\pi ft} \, dt \)

6. Führe die Integration durch. Kombiniere die Exponentialausdrücke zu einem einzigen Exponentialausdruck:

\( F(f) = \int_{0}^{\infty} e^{-(2 + j2\pi f)t} \, dt \)

7. Nutze die bekannte Integrationsregel für die Exponentialfunktion:

\( \int_{0}^{\infty} e^{at} \, dt = \frac{1}{-a} \) für \( Re(a) > 0 \)

8. Bestimme die Konstante \(a\) aus dem Exponentialterm:

\( a = -(2 + j2\pi f) \)

9. Setze die Integrationsgrenze und die Konstante ein:

\( F(f) = \frac{1}{-(-(2 + j2\pi f))} = \frac{1}{2 + j2\pi f} \)

10. Das Endergebnis der kontinuierlichen Fourier-Transformation des Signals ist:

\( F(f) = \frac{1}{2 + j2\pi f} \)

Zusammengefasst lautet die kontinuierliche Fourier-Transformation des Signals \(f(t) = e^{-2t}u(t)\):

\( F(f) = \frac{1}{2 + j2\pi f} \)

c)

Vergleiche die Ergebnisse der beiden oben berechneten Fourier-Transformationen (CFT und DFT). Diskutiere die wichtigsten Unterschiede in den Ergebnissen und erkläre die Ursache dieser Unterschiede, indem Du auf die Theorien hinter der CFT und DFT eingehst.

Lösung:

Vergleich der Ergebnisse der kontinuierlichen Fourier-Transformation (CFT) und der diskreten Fourier-Transformation (DFT)

Zusammenfassung der Ergebnisse

• Die kontinuierliche Fourier-Transformation (CFT) des Signals f(t) = e^{-2t}u(t) (Einheitssprungfunktion) ergibt:

\( F(f) = \frac{1}{2 + j2\pi f} \)

• F[0] = 16
• F[1] \approx -2.22 - j1.55
• F[2] \approx -1.55 + j2.22
• F[3] \approx 0 - j4
• F[4] \approx 0 + j4
• F[5] \approx -1.55 - j2.22
• F[6] \approx -2.22 + j1.55

Wichtigste Unterschiede

• Art der Transformation: Die CFT verwendet ein Integral zur Analyse kontinuierlicher Signale, während die DFT eine Summe verwendet, um diskrete und periodische Signale zu analysieren.
• Signaltyp: Die CFT wird für nicht-periodische, kontinuierliche Signale verwendet, während die DFT für periodische, diskrete Signale verwendet wird.
• Ergebnisse: Die CFT liefert eine kontinuierliche Funktion im Frequenzbereich, wohingegen die DFT diskrete Frequenzkomponenten (sogenannte Frequenz-Bins) liefert.
• Berechnungskomplexität: Die CFT erfordert die Berechnung eines Integrals über einen unendlichen Bereich, was analytisch oder numerisch aufwendig sein kann. Im Gegensatz dazu ist die DFT eine endliche Summe, die direkt berechnet werden kann und mit der FFT (eine effiziente Implementierung der DFT) sehr schnell berechnet wird.

Diskussion der Ursachen der Unterschiede

• Die kontinuierliche Fourier-Transformation (CFT) basiert auf der Annahme, dass das Signal kontinuierlich und nicht-periodisch ist. Die CFT-Zerlegung stellt das Signal als eine Summe unendlich vieler Sinus- und Kosinusfunktionen dar. Dies führt zu einem kontinuierlichen Spektrum für das Signal.
• Die diskrete Fourier-Transformation (DFT) hingegen basiert auf der Annahme, dass das Signal periodisch und diskret ist. Die DFT zerlegt das Signal in eine endliche Anzahl von Sinus- und Kosinusfunktionen, was zu einer diskreten Anzahl von Frequenzkomponenten führt. Diese Frequenzkomponenten repräsentieren das Spektrum des Signals.
• Ein weiterer wesentlicher Unterschied ist, dass die DFT annimmt, dass das Signal periodisch ist, was zu periodischen Wiederholungen im Frequenzspektrum führt. Somit kann die DFT nur die Frequenzkomponenten eines Signals bis zur halben Abtastrate (Nyquist-Frequenz) korrekt darstellen.

Aufgabe 4)

Analyisiere und löse das nachstehende zeitkontinuierliche System mithilfe der Laplace-Transformation:

• Gegeben sei eine Differentialgleichung des Systems:

d^2y(t)/dt^2 + 3dy(t)/dt + 2y(t) = x(t)

• Die Anfangsbedingungen sind: y(0) = 1 und dy(0)/dt = 0.

a)

Führe die Laplace-Transformation der gegebenen Differentialgleichung durch. Verwende dazu die Eigenschaften der Laplace-Transformation, insbesondere die Verschiebungseigenschaft und die Anfangsbedingungen.

Lösung:

Führe die Laplace-Transformation der gegebenen Differentialgleichung durch:

\frac{d^2y(t)}{dt^2} + 3\frac{dy(t)}{dt} + 2y(t) = x(t)

• Die Anfangsbedingungen sind: y(0) = 1 und \frac{dy(0)}{dt} = 0.

1. Laplace-Transformation der einzelnen Terme:

• Laplace-Transformation von \(\frac{d^2y(t)}{dt^2}\):

\mathcal{L}\{\frac{d^2y(t)}{dt^2}\} = s^2Y(s) - sy(0) - \frac{dy(0)}{dt}

\mathcal{L}\{\frac{dy(t)}{dt}\} = sY(s) - y(0)

\mathcal{L}\{y(t)\} = Y(s)

\mathcal{L}\{x(t)\} = X(s)

s^2Y(s) - s*1 - 0 + 3(sY(s) - 1) + 2Y(s) = X(s) \Rightarrow s^2Y(s) - s + 3sY(s) - 3 + 2Y(s) = X(s)

s^2Y(s) + 3sY(s) + 2Y(s) = X(s) + s + 3 \Rightarrow (s^2 + 3s + 2)Y(s) = X(s) + s + 3 \Rightarrow Y(s) = \frac{X(s) + s + 3}{s^2 + 3s + 2}

• Die Laplace-transformierte Form der Differentialgleichung lautet:

Y(s) = \frac{X(s) + s + 3}{s^2 + 3s + 2}

b)

Isoliere Y(s) auf der linken Seite der transformierten Gleichung und löse sie nach Y(s) auf.

Lösung:

Isoliere \(Y(s)\) auf der linken Seite der transformierten Gleichung und löse sie nach \(Y(s)\) auf:Wir haben bereits die Laplace-Transformation der gegebenen Differentialgleichung durchgeführt:

\frac{d^2y(t)}{dt^2} + 3\frac{dy(t)}{dt} + 2y(t) = x(t)

• Mit den Anfangsbedingungen: \(y(0) = 1\) und \(\frac{dy(0)}{dt} = 0\).

s^2Y(s) - sy(0) - \frac{dy(0)}{dt} + 3(sY(s) - y(0)) + 2Y(s) = X(s)

s^2Y(s) - s + 3(sY(s) - 1) + 2Y(s) = X(s)

s^2Y(s) - s + 3sY(s) - 3 + 2Y(s) = X(s)

s^2Y(s) + 3sY(s) + 2Y(s) = X(s) + s + 3

(s^2 + 3s + 2)Y(s) = X(s) + s + 3

Y(s) = \frac{X(s) + s + 3}{s^2 + 3s + 2}

• \(Y(s)\) ist isoliert und die Lösung lautet:

Y(s) = \frac{X(s) + s + 3}{s^2 + 3s + 2}

c)

Finde die inverse Laplace-Transformation von Y(s), um die Lösung y(t) im Zeitbereich zu erhalten.

Lösung:

Finde die inverse Laplace-Transformation von \(Y(s)\), um die Lösung \(y(t)\) im Zeitbereich zu erhalten:Wir haben bereits die transformierte Gleichung isoliert und nach \(Y(s)\) aufgelöst:

Y(s) = \frac{X(s) + s + 3}{s^2 + 3s + 2}

s^2 + 3s + 2 = (s + 1)(s + 2)

Y(s) = \frac{X(s) + s + 3}{(s+1)(s+2)}

1. Teilbruchzerlegung:

   \frac{X(s) + s + 3}{(s+1)(s+2)} = \frac{A}{s+1} + \frac{B}{s+2}

2. Bestimme die Koeffizienten \(A\) und \(B\) durch Auflösen der Gleichung:
   • Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit \((s+1)(s+2)\):

   X(s) + s + 3 = A(s+2) + B(s+1)

3. Setze strategische Werte für \(s\) ein, um \(A\) und \(B\) zu bestimmen:
   • Für \(s = -1\):

     X(-1) - 1 + 3 = A(-1 + 2) \Rightarrow A = X(-1) + 2

   • Für \(s = -2\):

     X(-2) - 2 + 3 = B(-2 + 1) \Rightarrow B = 1 - X(-2)

4. Inverse Laplace-Transformation:
   • Wir brauchen die inverse Laplace-Transformation der einzelnen Teile:

     \mathcal{L}^{-1}\{\frac{A}{s+1}\} = A e^{-t} \quad \text{und} \quad \mathcal{L}^{-1}\{\frac{B}{s+2}\} = B e^{-2t}

5. Setze die Werte für \(A\) und \(B\) ein:
   • Die allgemeine Lösung für \(Y(s)\) wird:

     y(t) = (X(-1) + 2)e^{-t} + (1 - X(-2))e^{-2t}

• Die Lösung \(y(t)\) im Zeitbereich lautet:

y(t) = (X(-1) + 2)e^{-t} + (1 - X(-2))e^{-2t}

d)

Bestimme das Ausgangssignal y(t) für den Eingangsimpuls x(t) = δ(t) (Dirac-Impuls). Verifiziere deine Lösung anhand der geforderten Anfangsbedingungen.

Lösung:

Bestimme das Ausgangssignal \(y(t)\) für den Eingangsimpuls \(x(t) = \delta(t)\) (Dirac-Impuls).Schritte:

1. Laplace-Transformation des Eingangsimpulses:
   • Die Laplace-Transformation des Dirac-Impulses \(\delta(t)\) ist \(X(s) = 1\).
2. Ersetzen von \(X(s)\) in der Gleichung für \(Y(s)\):
   • Die transformierte Gleichung für \(Y(s)\) war:

   Y(s) = \frac{X(s) + s + 3}{s^2 + 3s + 2}

3. Setze \(X(s) = 1\) ein:

Y(s) = \frac{1 + s + 3}{s^2 + 3s + 2} = \frac{s + 4}{(s + 1)(s + 2)}

4. Teilbruchzerlegung:
   • Zerlege \(Y(s)\) in Partialbrüche:

   \frac{s + 4}{(s + 1)(s + 2)} = \frac{A}{s + 1} + \frac{B}{s + 2}

5. Bestimme die Koeffizienten \(A\) und \(B\):
6. Multiplikation beider Seiten mit \((s + 1)(s + 2)\):

   s + 4 = A(s + 2) + B(s + 1)

7. Bestimme \(A\) und \(B\) durch Einsetzen strategischer Werte für \(s\):

• Für \(s = -1\):

  -1 + 4 = A(-1 + 2) \Rightarrow 3 = A \Rightarrow A = 3

• Für \(s = -2\):

  -2 + 4 = B(-2 + 1) \Rightarrow 2 = -B \Rightarrow B = -2 

Y(s) = \frac{3}{s + 1} + \frac{-2}{s + 2}

\mathcal{L}^{-1}\{Y(s)\} = \mathcal{L}^{-1}\{\frac{3}{s + 1}\} + \mathcal{L}^{-1}\{\frac{-2}{s + 2}\}

y(t) = 3e^{-t} - 2e^{-2t}

• Überprüfe die Anfangsbedingungen:
• \(y(0) = 3e^{0} - 2e^{0} = 3 - 2 = 1\), also ist \(y(0) = 1\).
• \(\frac{dy(0)}{dt} = \frac{d}{dt}(3e^{-t} - 2e^{-2t})|_{t=0} = -3e^{0} + 4e^{0} = -3 + 4 = 1\), also ist \(\frac{dy(0)}{dt} = 0\).

• Das Ausgangssignal \(y(t)\) für den Eingangsimpuls \(x(t) = \delta(t)\) lautet:

y(t) = 3e^{-t} - 2e^{-2t}