Simulation und Wissenschaftliches Rechnen 1 - Cheatsheet

Grundlagen und Definitionen von Simulation

Definition:

Simulation: Nachbildung eines Systems/einer realen Umgebung zu Analysezwecken.

Details:

• Verwendung: Untersuchung komplexer Systeme/Prozesse
• Basis: Mathematische Modelle und Algorithmen
• Typen: Stochastisch (zufallsbasiert) und deterministisch (festgelegte Regeln)
• Ziel: Prognose, Optimierung, Validierung
• Beispiele: Wettervorhersage, Verkehrssimulation, Produktionsplanung

Fehleranalyse und numerische Stabilität

Definition:

Fehleranalyse untersucht, wie Rundungsfehler, Abschneidefehler und Modellierungsfehler die Genauigkeit von numerischen Berechnungen beeinflussen. Numerische Stabilität hingegen beschreibt, wie sensibel ein Algorithmus auf kleine Änderungen in den Eingabewerten reagiert.

Details:

• Rundungsfehler: Fehler durch begrenzte Präzision im Computer
• Abschneidefehler: Fehler durch die Approximation von unendlichen Reihen oder Integralen
• Modellierungsfehler: Diskrepanz zwischen realem Problem und dessen numerischem Modell
• Absolute Fehler: \(|x - \tilde{x}|\)
• Relative Fehler: \(\frac{|x - \tilde{x}|}{|x|}\)
• Voraussetzung für Stabilität: Algorithmus bleibt für kleine Eingangsänderungen robust
• Vorwärtsfehleranalyse: Untersucht, wie Fehler in den Eingabewerten das Ergebnis beeinflussen
• Rückwärtsfehleranalyse: Untersucht, wie Eingabewerte geändert werden müssten, um das exakte Ergebnis zu erhalten

Numerische Integration und Differenzierung

Definition:

Numerische Methoden zur Approximation von Integralen und Ableitungen diskreter Daten.

Details:

• Numerische Integration: Approximierung von Integralen einer Funktion.
• Trapezregel: \( \frac{b-a}{2} [f(a) + f(b)] \)
• Simpson-Regel: \( \frac{b-a}{6} [f(a) + 4f(\frac{a+b}{2}) + f(b)] \)
• Numerische Differenzierung: Approximierung der Ableitung einer Funktion.
• Vorwärtsdifferenzenquotient: \( f'(x) \approx \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \)
• Zentraldifferenzenquotient: \( f'(x) \approx \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h} \)

Lösungsverfahren für lineare und nichtlineare Gleichungssysteme

Definition:

Methoden zur Lösung von Gleichungssystemen in Simulation und wissenschaftlichem Rechnen.

Details:

• Lineare Gleichungssysteme: Ax = b
• Methoden: Direkte Verfahren (z.B. Gauss, LU-Zerlegung) und Iterative Verfahren (z.B. Jacobi, Gauss-Seidel, Conjugate Gradient)
• Nichtlineare Gleichungssysteme: f(x) = 0
• Methoden: Newton-Verfahren, Modifizierte Newton-Verfahren, und Broyden-Verfahren
• Konditionierung und Stabilität beachten
• Bedeutung der Konvergenzgeschwindigkeit
• Anwendung in Simulationen und wissenschaftlicher Berechnung

Validierung und Verifikation von Modellen

Definition:

Validierung prüft, ob Modell realistisches Verhalten zeigt; Verifikation prüft, ob Modell korrekt implementiert ist.

Details:

• Validierung: Modellvergleich mit realen Daten
• Verifikation: Fehlerfreiheit des Programmcodes
• Validierungsmethoden: Sensitivitätsanalyse, Vergleich mit experimentellen Daten
• Verifikationsmethoden: Code-Reviews, Unittests

Monte-Carlo-Methoden und Simulation

Definition:

Monte-Carlo-Methoden verwenden zufällige Probenahme zur numerischen Approximation komplexer mathematischer Probleme.

Details:

• Verwendung in Integration, Optimierung und Wahrscheinlichkeitssimulation.
• Zufallszahlengenerator erforderlich.
• Konvergenzrate typischerweise proportional zu \( \frac{1}{\sqrt{N}} \), wobei \( N \) die Anzahl der Proben ist.
• Beispiele: Monte-Carlo-Integration, Monte-Carlo-Pi-Berechnung.

Dynamische Systeme und Differentialgleichungen

Definition:

Dynamische Systeme beschreiben die zeitliche Entwicklung von Zuständen eines Systems. Differentialgleichungen sind Werkzeuge zur Modellierung dieser Systeme durch mathematische Gleichungen.

Details:

• Typischerweise erste Ordnung: \( \dot{x}(t) = f(x(t), t) \)
• Anfangsbedingungen bestimmen die Lösung eindeutig.
• Stabilité dans le temps: Stabil, instabil, asymptotisch stabil.
• Diskret (Iteration) vs. kontinuierlich (Differentialgleichungen).
• Numerische Verfahren: Euler, Runge-Kutta.

Einführung in Tools wie MATLAB und Python

Definition:

Einführung in die Nutzung von MATLAB und Python für wissenschaftliches Rechnen und Simulation.

Details:

• MATLAB: Leistungsstarke Umgebung für numerische Berechnungen und Visualisierungen.
• Python: Vielseitige Sprache mit Bibliotheken wie NumPy und SciPy für wissenschaftliches Rechnen.
• Vektor- und Matrizenoperationen: In beiden Tools zentral für numerische Analysen.
• Skripte und Funktionen: Ermöglichen Automatisierung und Wiederverwendung von Code.
• Plotten und Visualisierung: MATLAB (plot, surf), Python (matplotlib, seaborn).
• Bibliotheken: MATLAB (Toolboxen), Python (pandas, matplotlib, scipy).