Statik und Festigkeitslehre - Cheatsheet

Gesetz von Newton und seine Anwendungen

Definition:

Newtonsche Gesetze in der Mechanik, Grundprinzipien zur Beschreibung von Bewegung und Kräften.

Details:

• 1. Newtonsches Gesetz (Trägheit): Ein Körper bleibt in Ruhe oder bewegt sich gleichmäßig geradlinig, wenn keine Kraft auf ihn wirkt.
• 2. Newtonsches Gesetz (Beschleunigung): Die Beschleunigung eines Körpers ist direkt proportional zur einwirkenden Kraft und umgekehrt proportional zur Masse des Körpers: \[\textbf{F} = m \cdot \textbf{a}\]
• 3. Newtonsches Gesetz (Wechselwirkung): Übt ein Körper A eine Kraft auf einen Körper B aus, so übt Körper B eine gleich große, entgegengesetzt gerichtete Kraft auf Körper A aus: \[\textbf{F}_{AB} = - \textbf{F}_{BA}\]
• Anwendung in der Statik: Gleichgewicht von Kräften, Analyse von statisch bestimmten Systemen.
• Anwendung in der Festigkeitslehre: Spannungsanalyse, Bestimmung von Verformungen und Stabilität von Strukturen.
• Wichtig für: Berechnung und Modellierung physikalischer System in der technischen Informatik.

Freikörperdiagramme

Definition:

Grafische Darstellung der Kräfte und Momente, die auf einen isolierten Körper wirken.

Details:

• Zeichnung des isolierten Körpers mit allen einwirkenden Kräften und Momenten
• Alle relevanten internen und externen Kräfte und Momente einzeichnen
• Kräfte und Momente, die durch Gelenke oder Auflager wirken, müssen berücksichtigt werden
• Kräftevektoren mit Richtung und Betrag angeben
• Wichtige Gleichgewichtsbedingungen: \(\sum F_x = 0, \sum F_y = 0, \sum M = 0\)

Mohr'scher Spannungskreis

Definition:

Grafisches Verfahren zur Darstellung von Spannungszuständen in einem Materialpunkt.

Details:

• Darstellung von Normal- und Schubspannungen (σ und τ)
• Spannungszustand durch Hauptspannungen (σ₁, σ₂) und Schubspannung τ_max charakterisiert
• Kreis: Radius = τ_max, Mittelpunkt: Durchschnittsspannung σ_m
• Hauptspannungen: Schnittpunkte des Kreises mit der σ-Achse
• Zusammenhang: Transformation von Spannungen bei Ebenenspannungen

Spannung-Dehnungs-Beziehungen

Definition:

Zusammenhang zwischen der in einem Material auftretenden Spannung und der daraus resultierenden Dehnung.

Details:

• Hooksches Gesetz: \(\sigma = E \cdot \varepsilon\) (linear-elastische Materialien)
• \(\sigma\): Spannung (in Pascal, Pa)
• \(E\): Elastizitätsmodul (in Pascal, Pa)
• \(\varepsilon\): Dehnung (dimensionslos)
• Linear elastischer Bereich: Dehnung ist proportional zur Spannung bis zur Streckgrenze
• Plastischer Bereich: dauerhafte Verformung tritt ein, wenn die Spannung die Streckgrenze überschreitet

Versagenskriterien und Sicherheitsfaktoren

Definition:

Versagenskriterien bestimmen, wann ein Bauteil versagt (z.B. Bruch oder plastische Verformung). Sicherheitsfaktoren stellen sicher, dass Bauteile unter realen Bedingungen nicht versagen.

Details:

• Häufig genutzte Versagenskriterien: Tresca- und von-Mises-Kriterium.
• Von-Mises-Kriterium: \[ \sigma_{v} = \sqrt{\frac{1}{2} ((\sigma_1 - \sigma_2)^2 + (\sigma_2 - \sigma_3)^2 + (\sigma_3 - \sigma_1)^2)} \]
• Sicherheitsfaktor (\textit{SF}): Verhältnis zwischen Grenzspannung und tatsächlicher Spannung \[ SF = \frac{\sigma_{grenz}}{\sigma_{tats}} \]
• Sicherheitsfaktor sollte größer als 1 sein, typischerweise 1.5 bis 3.

Euler'sche Knickfälle

Definition:

Beschreibung der kritischen Last, bei der ein Stab unter Druckbelastung plötzlich ausknickt.

Details:

• Euler-Fälle: vier verschiedene Knickfall-Szenarien je nach Randbedingungen.
• Kritische Last (Euler'sche Knicklast) \( P_{krit} = \frac{\pi^2 \cdot E \cdot I}{(KL)^2} \)
• E: Elastizitätsmodul
• I: Flächenträgheitsmoment
• K: Knicklängefaktor
• L: Länge des Stabes
• Fall 1: Beidseitig gelenkig
• Fall 2: Einseitig eingespannt, einseitig frei
• Fall 3: Einseitig eingespannt, einseitig gelenkig
• Fall 4: Beidseitig eingespannt
• Stabilitätsanalyse relevant für Sicherheitsnachweise in Konstruktionen.

Nichtlineare Stabilitätsanalyse

Definition:

Untersuchung von Stabilitätsverhalten und Verlust des Gleichgewichts bei Strukturen und Materialien unter nichtlinearen Bedingungen.

Details:

• Berücksichtigung von großen Verformungen/Rotationen
• Material- und Geometrienichtlinearitäten
• Instabilitätskriterien: Knicklast, Beulwert
• Iterative Methoden: Newton-Raphson, Arc-Length
• Eigenwertanalyse: Bestimmung kritischer Lasten
• Numerische Simulationen für präzise Ergebnisse