Statik und Festigkeitslehre - Exam

Aufgabe 1)

Einfluss von Kräften auf ein mechanisches SystemBetrachte ein mechanisches System bestehend aus zwei Massen, m₁ und m₂, die durch ein unelastisches Seil verbunden sind und sich auf einer reibungsfreien Oberfläche bewegen. Die Masse m₁ ist direkt mit einer Kraft F nach rechts verbunden, während die Masse m₂ keine direkte Kraft erfährt. Für die Beantwortung der Fragen ist es wichtig, dass m₁ und m₂ idealisiert als Punktmassen betrachtet werden und dass das Seil weder Dehnung noch Gewicht aufweist.Gegeben:

• m₁= 5 kg
• m₂ = 10 kg
• F = 30 N
• Das System bewegt sich auf einer horizontalen, reibungsfreien Oberfläche

Aufgabe 2)

Ein Balken AB von 6 Metern Länge ist an Punkt A fest eingespannt und am Punkt B durch ein Rollgelenk abgestützt. Auf dem Balken wirken folgende Kräfte: Eine vertikale Kraft von 200 N am Punkt B nach unten, eine horizontale Kraft von 150 N am Punkt C (3 Meter von Punkt A entfernt) nach rechts und eine vertikale Kraft von 100 N am Punkt D (2 Meter von Punkt A entfernt) nach unten. Bestimme die Reaktionen an den Auflagern und zeichne das Freikörperdiagramm.

a)

1. Bestimme die Lagerreaktionen in Punkt A (horizontale und vertikale Komponente) und in Punkt B (vertikale Komponente). Verwende die Gleichgewichtsbedingungen: \sum F_x = 0, \sum F_y = 0, \sum M = 0Zeige alle Berechnungen.

Lösung:

1. Bestimme die Lagerreaktionen in Punkt A (horizontale und vertikale Komponente) und in Punkt B (vertikale Komponente).Verwende die Gleichgewichtsbedingungen:

• \[\sum F_{x} = 0\] (Summe der horizontalen Kräfte)
• \[\sum F_{y} = 0\] (Summe der vertikalen Kräfte)
• \[\sum M = 0\] (Summe der Momente)

Definiere die Reaktionskräfte:

• \(F_{Ax}\): Horizontale Reaktionskraft am Punkt A
• \(F_{Ay}\): Vertikale Reaktionskraft am Punkt A
• \(F_{By}\): Vertikale Reaktionskraft am Punkt B

Schritt 1: Horizontale Kräftegleichgewichtsbedingung (\(\sum F_{x} = 0\))Da nur zwei horizontale Kräfte vorhanden sind, ergibt sich:\[F_{Ax} - 150 = 0\]Daraus folgt, dass:\[F_{Ax} = 150 \text{ N}\]Schritt 2: Vertikale Kräftegleichgewichtsbedingung (\(\sum F_{y} = 0\))Hier müssen wir alle vertikalen Kräfte und Reaktionen berücksichtigen:\[F_{Ay} + F_{By} - 200 - 100 = 0\]Das vereinfacht zu:\[F_{Ay} + F_{By} = 300 \text{ N}\]Schritt 3: Momentengleichgewichtsbedingung (\(\sum M = 0\))Wir nehmen Momente um Punkt A, wobei der Uhrzeigersinn positiv ist:\[- 100 \times 2 - 150 \times 3 + F_{By} \times 6 = 0\]Das ergibt:\[-200 - 450 + 6F_{By} = 0\]\[6F_{By} = 650\]\[F_{By} = \frac{650}{6}\]Das gibt uns:\[F_{By} \approx 108.33 \text{ N}\]Schritt 4: Substituiere den Wert von \(F_{By}\) in die vertikale Kräftegleichgewichtsbedingung\[F_{Ay} = 300 - F_{By}\]\[F_{Ay} = 300 - 108.33\]Das gibt uns:\[F_{Ay} \approx 191.67 \text{ N}\]Zusammenfassend sind die Lagerreaktionen:

• \(F_{Ax} = 150 \text{ N}\) (nach rechts)
• \(F_{Ay} \approx 191.67 \text{ N}\) (nach oben)
• \(F_{By} \approx 108.33 \text{ N}\) (nach oben)

Nun kannst du das Freikörperdiagramm mit diesen Werten zeichnen.

b)

2. Zeichne das Freikörperdiagramm für den Balken AB. Trage alle externen und internen Kräfte und Momente in der Zeichnung ein. Benenne die Richtung und den Betrag der Kräfte.

Lösung:

2. Zeichne das Freikörperdiagramm für den Balken AB. Trage alle externen und internen Kräfte und Momente in der Zeichnung ein. Benenne die Richtung und den Betrag der Kräfte.Hier sind die Schritte zum Zeichnen des Freikörperdiagramms:

• Zeichne das gesamte System als vereinfachte Skizze, wobei der Balken AB horizontal von Punkt A bis Punkt B geht, 6 Meter lang ist.
• Markiere die Punkte A, C (3 Meter von Punkt A entfernt), D (2 Meter von Punkt A entfernt) und B.
• Trage die fest eingespannten Reaktionskräfte bei Punkt A ein: F_Ax (nach rechts) und F_Ay (nach oben).
• Trage die Rollgelenkkraft bei Punkt B ein: F_By (nach oben).
• Zeichne die externen Lasten: vertikale Kräfte (nach unten) von 100 N bei Punkt D und 200 N bei Punkt B, sowie die horizontale Kraft (nach rechts) von 150 N bei Punkt C.

Das Freikörperdiagramm sieht wie folgt aus:

   Ay = 191.67 N     ↑    |                    ↓ 100 N         ↓ 200 NA-----------D------------C-----------B⎮____________________________________‒⎨← 150 N   ↙                    |                |               ↑ 108.33 N   Ax = 150 N          2m              1m             3m 

• A: Fest eingespannter Punkt mit Reaktionskräften F_Ax und F_Ay
• B: Rollgelagerter Punkt mit Reaktionskraft F_By
• C: Punkt mit horizontaler äußerer Kraft von 150 N nach rechts
• D: Punkt mit vertikaler äußerer Kraft von 100 N nach unten

Zusammenfassend sind die internen und externen Kräfte wie folgt angegeben:

• F_Ax = 150 N nach rechts
• F_Ay ≈ 191.67 N nach oben
• F_By ≈ 108.33 N nach oben
• 150 N externer Kraft bei Punkt C nach rechts
• 100 N externer Kraft bei Punkt D nach unten
• 200 N externer Kraft bei Punkt B nach unten

Mit diesem Diagramm sind alle relevanten Kräfte und ihre Richtungen klar benannt.

d)

4. Überlege, wie sich das Freikörperdiagramm ändern würde, wenn das Rollgelenk am Punkt B durch ein verschiebliches Lager ersetzt wird. Beschreibe qualitativ die Änderungen, die Lagerreaktionen und wie diese sich auf das Gleichgewichtsverhalten auswirken würden.

Lösung:

4. Überlege, wie sich das Freikörperdiagramm ändern würde, wenn das Rollgelenk am Punkt B durch ein verschiebliches Lager ersetzt wird. Beschreibe qualitativ die Änderungen, die Lagerreaktionen und wie diese sich auf das Gleichgewichtsverhalten auswirken würden.Wenn das Rollgelenk am Punkt B durch ein verschiebliches Lager ersetzt wird, ändern sich die Lagerreaktionen und das Gleichgewichtsverhalten des Balkens wie folgt:Änderungen im Freikörperdiagramm:

• Das verschiebliche Lager am Punkt B kann sowohl eine horizontale (\( F_{Bx} \)) als auch eine vertikale (\( F_{By} \)) Reaktionskraft aufnehmen.
• Zusätzlich zu den bekannten Reaktionskräften \( F_{Ax} \) und \( F_{Ay} \) an Punkt A sind nun \( F_{Bx} \) und \( F_{By} \) an Punkt B zu berücksichtigen.

Neues Freikörperdiagramm:

    ↑ F_Ay ≈ 191.67 N    |    |                    ↓ 100 N         ↓ 200 NA-----------D------------C-----------B⎮                                        ⎮                                                                  ↗  F_Ax = 150 N                                                                                                                     ↓ 108.33 N        F_Bx                                                                                          

• A: Fest eingespannter Punkt mit Reaktionskräften \( F_{Ax} \) und \( F_{Ay} \)
• B: Punkt mit verschieblichem Lager mit Reaktionskräften \( F_{Bx} \) und \( F_{By} \)

Neue Lagerreaktionen:

• Horizontale Kräftegleichgewichtsbedingung (\(\sum F_x = 0\)): \[ F_{Ax} + F_{Bx} - 150 N = 0 \] Diese Gleichung zeigt, dass die horizontale äußere Kraft von 150 N zwischen den Reaktionskräften \( F_{Ax} \) und \( F_{Bx} \) aufgeteilt wird.
• Vertikale Kräftegleichgewichtsbedingung (\(\sum F_y = 0\)): \[ F_{Ay} + F_{By} - 200 - 100 = 0 \] Diese Bedingung bleibt unverändert, da die Summe der vertikalen Kräfte weiterhin 300 N beträgt.
• Momentengleichgewichtsbedingung (\(\sum M_A = 0\)): Betrachten wir die Momente um Punkt A:\[ -100 \times 2 - 150 \times 3 + F_{By} \times 6 = 0 \]Da sich \( F_{By} \) und die Hebelarme nicht ändern, bleibt das vertikale Reaktionsmoment gleich.

Qualitative Änderungen:

• Das verschiebliche Lager am Punkt B nimmt nun eine horizontale Auflagereaktion \( F_{Bx} \) auf, wodurch die Lasten zwischen A und B verteilt werden.
• Die vertikalen Auflagereaktionen \( F_{Ay} \) und \( F_{By} \) bleiben gleich wie zuvor.
• Insgesamt werden die horizontalen Kräfte anders verteilt und das System ist stabiler gegen horizontale Verschiebungen.

Aufgabe 3)

Du hast ein rechteckiges Material, welches unter dem Einfluss von Spannungen steht. An den Eckpunkten der Fläche sind die Spannungen wie folgt gegeben: Eine Normalspannung $\sigma_x = 100 \text{MPa}$ in der x-Richtung und eine Normalspannung $\sigma_y = 50 \text{MPa}$ in der y-Richtung, sowie eine Schubspannung $\tau_{xy} = 30 \text{MPa}$.

a)

Berechne die Hauptspannungen $\sigma_1$ und $\sigma_2$ dieses Spannungszustandes unter der Annahme, dass die Schubspannung positiv ist.

Hinweis: Nutze die folgenden Formeln:

• Durchschnittsspannung: \[\sigma_m = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2}\]
• Radius des Mohr'schen Spannungskreises: \[\tau_{max} = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}\]
• Hauptspannungen: \[\sigma_{1,2} = \sigma_m \pm \tau_{max}\]

Lösung:

Um die Hauptspannungen \(\sigma_1\) und \(\sigma_2\) zu berechnen, gehen wir Schritt für Schritt vor. Verwenden wir die gegebenen Spannungswerte:

• Normalspannung in der x-Richtung: \(\sigma_x = 100 \,\text{MPa}\)
• Normalspannung in der y-Richtung: \(\sigma_y = 50 \,\text{MPa}\)
• Schubspannung: \(\tau_{xy} = 30 \,\text{MPa}\)

Schritt 1: Berechnung der Durchschnittsspannung (\(\sigma_m\))

• Formel: \[\sigma_m = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2}\]
• Einsetzen der Werte: \[\sigma_m = \frac{100 + 50}{2} = \frac{150}{2} = 75 \,\text{MPa}\]

Schritt 2: Berechnung des Radius des Mohr'schen Spannungskreises (\(\tau_{max}\))

• Formel: \[\tau_{max} = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}\]
• Einsetzen der Werte: \[\tau_{max} = \sqrt{\left(\frac{100 - 50}{2}\right)^2 + 30^2} = \sqrt{\left(\frac{50}{2}\right)^2 + 900} = \sqrt{25^2 + 900} = \sqrt{625 + 900} = \sqrt{1525} \approx 39.05 \,\text{MPa}\]

Schritt 3: Berechnung der Hauptspannungen (\(\sigma_1\) und \(\sigma_2\))

• Formel: \[\sigma_{1,2} = \sigma_m \pm \tau_{max}\]
• Einsetzen der Werte: \[\sigma_1 = \sigma_m + \tau_{max} = 75 + 39.05 \approx 114.05 \,\text{MPa}\]
• Einsetzen der Werte: \[\sigma_2 = \sigma_m - \tau_{max} = 75 - 39.05 \approx 35.95 \,\text{MPa}\]

Damit sind die Hauptspannungen:

• \(\sigma_1 = 114.05 \,\text{MPa}\)
• \(\sigma_2 = 35.95 \,\text{MPa}\)

b)

Bestimme den Winkel \theta, um den der Spannungszustand gedreht werden muss, damit einer der Hauptspannungen in die positive x-Richtung zeigt. Berechne diesen Winkel unter der Annahme, dass $\theta$ zwischen $-45^{\circ}$ und $45^{\circ}$ liegt.

Hinweis: Der Winkel kann berechnet werden mit:

\[\tan(2\theta) = \frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_y}\]

Lösung:

Um den Winkel \(\theta\) zu berechnen, um den der Spannungszustand gedreht werden muss, damit einer der Hauptspannungen in die positive x-Richtung zeigt, verwenden wir die gegebene Formel. Gehen wir Schritt für Schritt vor:

Gegebene Spannungswerte:

• Normalspannung in der x-Richtung: \(\sigma_x = 100 \,\text{MPa}\)
• Normalspannung in der y-Richtung: \(\sigma_y = 50 \,\text{MPa}\)
• Schubspannung: \(\tau_{xy} = 30 \,\text{MPa}\)

Schritt 1: Berechnung von \(\tan(2\theta)\)

• Formel: \[\tan(2\theta) = \frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_y}\]
• Einsetzen der Werte: \[\tan(2\theta) = \frac{2 \cdot 30}{100 - 50} = \frac{60}{50} = 1.2\]

Schritt 2: Berechnung des Winkels \(2\theta\)

• Formel: \[2\theta = \tan^{-1}(1.2)\]
• Berechnung: \[2\theta \approx 50.19^{\circ}\]

Schritt 3: Berechnung des Winkels \(\theta\)

• Formel: \[\theta = \frac{2\theta}{2}\]
• Berechnung: \[\theta \approx \frac{50.19^{\circ}}{2} \approx 25.1^{\circ}\]

Damit beträgt der Winkel \(\theta\), um den der Spannungszustand gedreht werden muss, damit einer der Hauptspannungen in die positive x-Richtung zeigt:

\(\theta \approx 25.1^{\circ}\)

c)

Zeichne den Mohr'schen Spannungskreis mit den gegebenen Spannungen und kennzeichne die Hauptspannungen sowie die Schubspannungen im Kreisdiagramm. Bestimme grafisch die Positionen der Hauptspannungen und der maximalen Schubspannung auf dem Kreis.

Lösung:

Um den Mohr'schen Spannungskreis zu zeichnen und die Hauptspannungen sowie die Schubspannungen im Kreisdiagramm zu kennzeichnen, folgen wir den untenstehenden Schritten. Zunächst fassen wir die gegebenen Spannungswerte zusammen:

• Normalspannung in der x-Richtung: \(\sigma_x = 100 \,\text{MPa}\)
• Normalspannung in der y-Richtung: \(\sigma_y = 50 \,\text{MPa}\)
• Schubspannung: \(\tau_{xy} = 30 \,\text{MPa}\)

Schritt 1: Berechnung der Durchschnittsspannung (\(\sigma_m\))

• Formel: \[\sigma_m = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2}\]
• Einsetzen der Werte: \[\sigma_m = \frac{100 + 50}{2} = \frac{150}{2} = 75 \,\text{MPa}\]

Schritt 2: Berechnung des Radius des Mohr'schen Spannungskreises (\(\tau_{max}\))

• Formel: \[\tau_{max} = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}\]
• Einsetzen der Werte: \[\tau_{max} = \sqrt{\left(\frac{100 - 50}{2}\right)^2 + 30^2} = \sqrt{\left(\frac{50}{2}\right)^2 + 900} = \sqrt{25^2 + 900} = \sqrt{625 + 900} = \sqrt{1525} \approx 39.05 \,\text{MPa}\]

Schritt 3: Berechnung der Hauptspannungen (\(\sigma_1\) und \(\sigma_2\))

• Formel: \[\sigma_{1,2} = \sigma_m \pm \tau_{max}\]
• Einsetzen der Werte: \[\sigma_1 = \sigma_m + \tau_{max} = 75 + 39.05 \approx 114.05 \,\text{MPa}\]
• Einsetzen der Werte: \[\sigma_2 = \sigma_m - \tau_{max} = 75 - 39.05 \approx 35.95 \,\text{MPa}\]

Schritt 4: Zeichnen des Mohr'schen Spannungskreises

• Zeichne ein Koordinatensystem mit der Normalspannung (\(\sigma\)) auf der x-Achse und der Schubspannung (\(\tau\)) auf der y-Achse.
• Trage die Punkte (\(\sigma_x, \tau_{xy}\)) und (\(\sigma_y, -\tau_{xy}\)) ein. In unserem Fall sind dies die Punkte (100, 30) und (50, -30).
• Bestimme den Mittelpunkt des Kreises (\(\sigma_m, 0\)) = (75, 0).
• Zeichne den Kreis mit dem Mittelpunkt (75, 0) und dem Radius \(\tau_{max} \approx 39.05\).
• Die Schnittpunkte des Kreises mit der x-Achse sind die Hauptspannungen \(\sigma_1\) und \(\sigma_2\).
• Markiere die Hauptspannungen \(\sigma_1 \approx 114.05 \,\text{MPa}\) und \(\sigma_2 \approx 35.95 \,\text{MPa}\) auf der x-Achse.
• Markiere die maximale Schubspannung \(\tau_{max}\) bei ±39.05 MPa auf der y-Achse.

Ein Beispiel für ein Mohr'sches Spannungskreisdiagramm sieht wie folgt aus:

Aufgabe 4)

Ein Dehnungs-Stress Test an einer StahlprobeEin Ingenieur testet eine Stahlprobe im Labor und stellt eine lineare Beziehung zwischen Spannung und Dehnung im elastischen Bereich fest. Die Probe hat eine Ausgangslänge von 200 mm und wird axial belastet. Die Streckgrenze des Stahls beträgt 250 MPa, und der Elastizitätsmodul (E) des Stahls ist 210 GPa. Während des Tests wird eine maximale Dehnung von 0,001 gemessen.

a)

Berechne die maximale Spannung, die in der Probe während des Tests auftritt. Nutze das Hooksche Gesetz, um Deine Antwort zu begründen. Gebe die Spannung in Megapascal (MPa) an.

Lösung:

Berechne die maximale Spannung, die in der Probe während des Tests auftritt:Um die maximale Spannung in der Probe während des Tests zu berechnen, nutzen wir das Hookesche Gesetz. Das Hookesche Gesetz beschreibt die lineare Beziehung zwischen Spannung (\( \text{σ} \)) und Dehnung (\( \text{ε} \)) im elastischen Bereich und lautet: • \

• \( \text{σ} = E \cdot \ε \)

Hierbei ist:

• \( \text{σ} \) die Spannung in Megapascal (MPa)
• \( E \) der Elastizitätsmodul in Gigapascal (GPa)
• \( \ε \) die Dehnung (dimensionslos, z.B. mm/mm)

Für die gegebene Probe haben wir folgende Werte:

• \( E = 210 \ \text{GPa} = 210.000 \ \text{MPa} \) (da 1 GPa = 1.000 MPa)
• \( \ε = 0,001 \)

Setzen wir diese Werte in das Hookesche Gesetz ein:

• \( \text{σ} = E \cdot \ε \)
• \( \text{σ} = 210.000 \cdot 0,001 \)
• \( \text{σ} = 210 \ \text{MPa} \)

Die maximale Spannung, die in der Probe während des Tests auftritt, beträgt somit 210 MPa.

b)

Überprüfe, ob sich die Probe im linearen elastischen Bereich befindet oder ob eine plastische Verformung aufgetreten ist. Begründe Deine Antwort basierend auf der maximal gemessenen Spannung und der Streckgrenze des Materials.

Lösung:

Überprüfen, ob sich die Probe im linearen elastischen Bereich befindet oder ob eine plastische Verformung aufgetreten ist:Um festzustellen, ob sich die Probe im linearen elastischen Bereich befindet oder ob eine plastische Verformung aufgetreten ist, müssen wir die maximale gemessene Spannung mit der Streckgrenze des Materials vergleichen.Wir haben bereits die maximale gemessene Spannung während des Tests berechnet. Diese beträgt 210 MPa.Die Streckgrenze des Stahls beträgt 250 MPa. Diese ist die Spannung, bei der das Material zu plastisch verformen beginnt. Solange die Spannung unter dieser Grenze bleibt, befindet sich das Material im elastischen Bereich.Vergleichen wir die beiden Werte:

• Maximale gemessene Spannung: 210 MPa
• Streckgrenze des Stahls: 250 MPa

Da die maximale gemessene Spannung (210 MPa) kleiner ist als die Streckgrenze des Materials (250 MPa), bedeutet dies, dass die Probe sich im linearen elastischen Bereich befindet.Schlussfolgerung:

• Die Probe befindet sich im linearen elastischen Bereich.
• Es ist keine plastische Verformung aufgetreten, da die maximale Spannung unterhalb der Streckgrenze des Materials liegt.