Topologie - Cheatsheet

Definition von topologischen Räumen

Definition:

Ein topologischer Raum ist ein Paar \(X, \mathcal{T}\), wobei \(X\) eine Menge und \(\mathcal{T}\) eine Menge von Teilmengen von \(X\) ist, genannt Topologie, sodass folgende Bedingungen erfüllt sind:

Details:

• Leere Menge \(\emptyset\) und \(X\) selbst sind in \(\mathcal{T}\).
• Vereinigung beliebiger Mengen aus \(\mathcal{T}\) ist in \(\mathcal{T}\).
• Durchschnitt endlich vieler Mengen aus \(\mathcal{T}\) ist in \(\mathcal{T}\).

Basis und Subbasis eines topologischen Raumes

Definition:

Basis: Menge von offenen Mengen, deren Vereinigung die Topologie bildet.Subbasis: Menge von offenen Mengen, deren endliche Durchschnitte eine Basis bilden.

Details:

• Basis \(\mathcal{B}\): Jedes Element der Topologie ist Vereinigung von Elementen aus \mathcal{B}\.
• Subbasis \(\mathcal{S}\): Jede offene Menge ist Vereinigung von endlichen Durchschnitten von Elementen aus \mathcal{S}\.
• Beliebte Beispiele: Standardbasis im \mathbb{R}^n\ (offene Intervalle).
• Häufig genutzt zur Definition und Untersuchung von Topologien.
• Vorteile: Vereinfachung komplexer topologischer Untersuchungen.

Konvergente Folgen und Cauchy-Folgen

Definition:

Konvergente Folgen konvergieren gegen einen Grenzwert in einem metrischen Raum. Cauchy-Folgen sind Folgen, deren Elemente im Verlauf immer näher zusammenrücken.

Details:

• Eine Folge \( (a_n) \) konvergiert gegen den Grenzwert \( L \), falls für jedes \( \varepsilon > 0 \) ein \( N \) existiert, sodass \( |a_n - L| < \varepsilon \) für alle \( n \geq N \).
• Eine Folge \( (a_n) \) ist Cauchy-Folge, falls für jedes \( \varepsilon > 0 \) ein \( N \) existiert, sodass \( |a_n - a_m| < \varepsilon \) für alle \( n, m \geq N \).
• In vollständigen metrischen Räumen ist jede Cauchy-Folge konvergent.

Kompakte und σ-kompakte Räume

Definition:

Kompakte Räume sind topologische Räume, in denen jede offene Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung besitzt. σ-kompakte Räume sind topologische Räume, die als abzählbare Vereinigung von kompakten Teilräumen dargestellt werden können.

Details:

• Ein Raum ist kompakt, wenn für jede offene Überdeckung \(\bigcup_{i \in I} U_i = X\) eine endliche Teilüberdeckung \(\bigcup_{i \in J} U_i = X\) mit \(J \subseteq I\) existiert.
• Jeder kompakte Raum ist auch relativ kompakt (präkompakt).
• Ein Raum ist σ-kompakt, wenn er als abzählbare Vereinigung kompakter Teilräume \(\bigcup_{n \in \mathbb{N}} K_n\) dargestellt werden kann.
• Beispiele: Jeder kompakte Raum ist per Definition σ-kompakt. Die reellen Zahlen \(\mathbb{R}\) sind σ-kompakt, aber nicht kompakt.

Bolzano-Weierstraß-Eigenschaft

Definition:

Eine unendliche Teilmenge eines kompakten Raumes hat immer einen Häufungspunkt.

Details:

• Gilt in metrischen Räumen und allgemeiner in kompakten Räumen.
• Jede beschränkte Folge im \mathbb{R}^{n} hat eine konvergente Teilfolge.
• Verallgemeinerung zu beliebigen topologischen Räumen: Jede unendliche Teilmenge eines kompakten Raumes hat mindestens einen Häufungspunkt.

Wege und Wegzusammenhang

Definition:

Ein Weg ist eine stetige Abbildung \( f: [0,1] \to X \) in einem topologischen Raum \( X \). Zwei Punkte sind wegzusammenhängend, wenn es einen Weg gibt, der sie verbindet.

Details:

• Weg: Stetige Abbildung \( f: [0,1] \to X \).
• Wegzusammenhang: Existenz eines Weges zwischen zwei Punkten.
• Wegzusammenhängender Raum: Jeder Punkt kann durch einen Weg mit jedem anderen Punkt verbunden werden.
• Untereinander wegzusammenhängende Teilmengen: Jede Teilmenge ist wegzusammenhängend.

Trennungseigenschaften (T₀, T₁, T₂ Räume)

Definition:

Trennungseigenschaften charakterisieren topologische Räume anhand der Trennbarkeit von Punkten und Punktmengen.

Details:

• T₀-Raum (Kolmogorow): Für alle verschiedenen Punkte x, y existiert eine offene Menge, die genau einen dieser Punkte enthält.
• T₁-Raum (Frechet): Für jeden Punkt x und y gibt es offene Mengen, die jeweils einen der Punkte enthalten und den anderen ausschließen.
• T₂-Raum (Hausdorff): Für je zwei verschiedene Punkte x, y existieren disjunkte offene Mengen, die jeweils einen der Punkte enthalten.

Netze und Filter in topologischen Räumen

Definition:

Netze und Filter verallgemeinern das Konzept von Folgen in topologischen Räumen und erleichtern die Analyse der Konvergenz sowie der topologischen Eigenschaften.

Details:

• Ein Netz (Netzfolge) ist eine Funktion von einer gerichteten Menge in einen topologischen Raum.
• Ein Filter ist eine Menge von Teilmengen eines topologischen Raums, die bestimmten Bedingungen genügen und die Konvergenz von Netzen verallgemeinern.
• Konvergenz: Ein Netz \(x_\beta\) konvergiert gegen \(x\) \(\Leftrightarrow\) jede Umgebung von \(x\) enthält \(x_\beta\) für fast alle \(\beta\).
• Ein Filter \(\mathcal{F}\) konvergiert gegen \(x\) \(\Leftrightarrow\) jede Umgebung von \(x\) ist ein Element von \(\mathcal{F}\).