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Topologie - Exam

Topologie - Exam Aufgabe 1) Gegeben sei ein topologischer Raum $(X, \mathcal{T})$, wobei $X$ eine Menge und $\mathcal{T}$ eine Menge von Teilmengen von $X$ ist, genannt Topologie, sodass folgende Bedingungen erfüllt sind: Leere Menge $\emptyset$ und $X$ selbst sind in $\mathcal{T}$. Vereinigung beliebiger Mengen aus $\mathcal{T}$ ist in $\mathcal{T}$. Durchschnitt endlich vieler Meng...

Topologie - Exam

Aufgabe 1)

Gegeben sei ein topologischer Raum $(X, \mathcal{T})$, wobei $X$ eine Menge und $\mathcal{T}$ eine Menge von Teilmengen von $X$ ist, genannt Topologie, sodass folgende Bedingungen erfüllt sind:

Leere Menge $\emptyset$ und $X$ selbst sind in $\mathcal{T}$.
Vereinigung beliebiger Mengen aus $\mathcal{T}$ ist in $\mathcal{T}$.
Durchschnitt endlich vieler Mengen aus $\mathcal{T}$ ist in $\mathcal{T}$.

a)

1. Sei $X = \{a, b, c\}$. Finde alle möglichen Topologien $\mathcal{T}$ auf $X$. Stelle sicher, dass jede gefundene Topologie die Definition eines topologischen Raumes erfüllt.

Lösung:

Um alle möglichen Topologien $τ$ auf der Menge X = {a, b, c} zu finden, müssen wir die Definitionen eines topologischen Raumes überprüfen und sicherstellen, dass jede gefundene Topologie diese Definitionen erfüllt. Die Definitionen sind:

Die leere Menge $∅$ und X selbst müssen in der Topologie enthalten sein.
Beliebige Vereinigungen von Mengen aus der Topologie müssen ebenfalls in der Topologie enthalten sein.
Endliche Durchschnitte von Mengen aus der Topologie müssen ebenfalls in der Topologie enthalten sein.

Da X nur 3 Elemente hat, können wir die möglichen Topologien systematisch bestimmen.

Hier sind alle möglichen Topologien auf X:

Triviale Topologie: $τ = {∅, {a, b, c}}$
Diskrete Topologie: $τ = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}$
Weitere Topologien:Es gibt viele andere mögliche Topologien dazwischen. Einige Beispiele:
$τ = {∅, {a, b}, {a, b, c}}$
$τ = {∅, {a}, {b, c}, {a, b, c}}$
$τ = {∅, {a}, {a, b}, {a, b, c}}$
$τ = {∅, {b}, {a, c}, {a, b, c}}$
Man könnte mehrere dieser Topologien auflisten, indem man systematisch verschiedene Kombinationen der Teilmengen erstellt. Die Hauptanforderung ist, dass alle Elemente der Topologie die obigen drei Bedingungen erfüllen.

Zusammenfassend sind dies alle möglichen Topologien auf X = {a, b, c}. Jede dieser Topologien erfüllt die Definition eines topologischen Raumes.

b)

2. Sei $(X, \mathcal{T})$ ein topologischer Raum. Zeige, dass $\mathcal{T}$ abgeschlossen unter der Vereinigung beliebiger Mengen und unter dem Durchschnitt endlich vieler Mengen ist, indem Du ein Beispiel konstruierst. Nutze die Menge $X = \{a, b\}$ und die Topologie $\mathcal{T} = \{\emptyset, \{a\}, \{a, b\}\}$.

Lösung:

Um zu zeigen, dass die gegebene Topologie $τ$ abgeschlossen unter der Vereinigung beliebiger Mengen und dem Durchschnitt endlich vieler Mengen ist, nehmen wir die Menge $X = {a, b}$ und die Topologie $τ = {∅, {a}, {a, b}}$ .

1. Abschluss unter der Vereinigung beliebiger Mengen:

Wir müssen zeigen, dass die Vereinigung beliebiger Mengen aus $τ$ ebenfalls in $τ$ ist. Betrachten wir einige Beispiele:

Fall 1: $A = ∅$ und $B = {a}$ : $A ∪ B = ∅ ∪ {a} = {a}$ , und {a} ist in $τ$ .
Fall 2: $A = {a}$ und $B = {a, b}$ : $A ∪ B = {a} ∪ {a, b} = {a, b}$ , und {a, b} ist in $τ$ .
Fall 3: $A = {a, b}$ und $B = ∅$ : $A ∪ B = {a, b} ∪ ∅ = {a, b}$ , und {a, b} ist in $τ$ .
Weitere mögliche Vereinigungen wie $∅ ∪ ∅$ oder ${a} ∪ {a}$ bleiben ebenfalls in $τ$ .

In jedem Fall sehen wir, dass die Vereinigung beliebiger Mengen aus $τ$ eine Menge ist, die in $τ$ enthalten ist.

2. Abschluss unter dem Durchschnitt endlich vieler Mengen:

Wir müssen zeigen, dass der Durchschnitt endlich vieler Mengen aus $τ$ ebenfalls in $τ$ ist. Betrachten wir einige Beispiele:

Fall 1: $A = ∅$ und $B = {a}$ : $A ∩ B = ∅ ∩ {a} = ∅$ , und ∅ ist in $τ$ .
Fall 2: $A = {a}$ und $B = {a, b}$ : $A ∩ B = {a} ∩ {a, b} = {a}$ , und {a} ist in $τ$ .
Fall 3: $A = {a, b}$ und $B = {a, b}$ : $A ∩ B = {a, b} ∩ {a, b} = {a, b}$ , und {a, b} ist in $τ$ .
Weitere mögliche Durchschnitte wie $∅ ∩ ∅$ oder ${a} ∩ {a}$ bleiben ebenfalls in $τ$ .

In jedem Fall sehen wir, dass der Durchschnitt endlich vieler Mengen aus $τ$ eine Menge ist, die in $τ$ enthalten ist.

Damit haben wir gezeigt, dass die Topologie $τ = {∅, {a}, {a, b}}$ sowohl unter der Vereinigung beliebiger Mengen als auch unter dem Durchschnitt endlich vieler Mengen abgeschlossen ist.

Aufgabe 2)

Du bist gegebenen eine Topologie auf dem topologischen Raum $(X, \tau)$. Gegeben seien die Mengen $\tau$ und $\tau'$ im Raum $X$. Die Menge $\tau$ ist die Topologie im Raum $X$. Eine Basis $\mathcal{B}$ für die Topologie $\tau$ besteht aus offenen Mengen von $X$, deren Vereinigung die gesamte Topologie bildet. Eine Subbasis $\mathcal{S}$ von $\tau$ besteht aus Mengen, deren endliche Durchschnitte eine Basis von $\tau$ bilden. Angenommen, $\tau$ und $\tau'$ sind entsprechende Topologien und wir haben gewisse Mengen offen in $\mathbb{R}^n$.

a)

Teilaufgabe 1: Sei $X = \mathbb{R}$ und $\tau$ die Standardtopologie auf $\mathbb{R}$. Angenommen, $\tau'$ ist ebenfalls eine Topologie auf $\mathbb{R}$, wobei $\tau'$ eine Sammlung von Mengen in $\mathbb{R}$ ist.

a. Gib eine mögliche Basis $\tau$ für die Standardtopologie auf $\tau'$ an, wenn $\tau'$ die Standardtopologie auf $\mathbb{R}$ ist.
b. Was ist die kleinste Subbasis $\tau'$, damit die Menge $\tau'$ eine Basis für die Standardtopologie auf $\mathbb{R}$ bildet?

Lösung:

Um die gegebene Aufgabe zu lösen, arbeiten wir Schritt für Schritt durch die einzelnen Teile.

Teilaufgabe 1:

Sei X = $\mathbb{R}$ und $\tau$ die Standardtopologie auf $\mathbb{R}$. Angenommen, $\tau'$ ist ebenfalls eine Topologie auf $\mathbb{R}$, wobei $\tau'$ eine Sammlung von Mengen in $\mathbb{R}$ ist.

a. Gib eine mögliche Basis $\mathcal{B}$ für die Standardtopologie auf $\mathbb{R}$ an, wenn $\tau'$ die Standardtopologie auf $\mathbb{R}$ ist.

Die Standardtopologie auf $\mathbb{R}$ besteht aus offenen Intervallen der Form $ (a, b)$, wobei $a < b$ und $a, b \in \mathbb{R}$. Eine mögliche Basis $\mathcal{B}$ für diese Topologie könnte daher aus solchen offenen Intervallen bestehen. Zum Beispiel:

$\mathcal{B} = \{(a, b) \mid a, b \in \mathbb{R}, a < b\}$

Das heißt, die Basis besteht aus allen möglichen offenen Intervallen in $\mathbb{R}$.

b. Was ist die kleinste Subbasis $\mathcal{S}$ für $\tau'$, damit die Menge $\mathcal{S}$ eine Basis für die Standardtopologie auf $\mathbb{R}$ bildet?

Eine Subbasis $\mathcal{S}$ für die Standardtopologie auf $\mathbb{R}$ ist eine Menge, deren endliche Durchschnitte eine Basis ergeben. Eine der kleinsten Subbasen wird gegeben durch:

$\{(-\infty, a) \mid a \in \mathbb{R}\}, \{(b, \infty) \mid b \in \mathbb{R}\}$

Mit diesen zwei Typen von Mengen (offen nach links und offen nach rechts) können wir endliche Durchschnitte bilden, die dann die offenen Intervalle $ (a, b)$ und somit die Basis der Standardtopologie ergeben:

Der Durchschnitt von zwei solchen Mengen ergibt ein offenes Intervall: $ (-\infty, a) \cap (b, \infty) = (b, a)$, wobei $a > b$.

Daher ist eine minimale Subbasis:

$\{(-\infty, a) \mid a \in \mathbb{R}\}, \{(b, \infty) \mid b \in \mathbb{R}\}$

b)

Teilaufgabe 2: Angenommen, $ \mathbb{R} $ ist mit der intervallbasierten Topologie ausgestattet, d.h. jede offene Menge kann als Vereinigung von offenen Intervallen dargestellt werden.

a. Definiere eine Subbasis $\tau$ für diese Topologie. Beschreibe, wie eine Basis aus dieser Subbasis gebildet wird.
b. Zeige, dass die Vereinigung der Mengen der Subbasis $\tau$ die ganze Topologie bildet. Zeige dies durch Angabe eines beliebigen offenen Intervalls und seiner Darstellung durch eine Vereinigung von Mengen aus $\tau$.

Lösung:

Um die gegebene Aufgabe zu lösen, arbeiten wir Schritt für Schritt durch die einzelnen Teile der Teilaufgabe 2.

Teilaufgabe 2: Angenommen, $\mathbb{R}$ ist mit der intervallbasierten Topologie ausgestattet, d.h. jede offene Menge kann als Vereinigung von offenen Intervallen dargestellt werden.

a. Definiere eine Subbasis $\mathcal{S}$ für diese Topologie. Beschreibe, wie eine Basis aus dieser Subbasis gebildet wird.

Eine Subbasis $\mathcal{S}$ für die intervallbasierte Topologie auf $\mathbb{R}$ kann durch Mengen gebildet werden, die entweder in der Form $ (-\infty, a)$ oder $(b, \infty)$ vorliegen, wobei $a, b \in \mathbb{R}$. Das heißt:

$\mathcal{S} = \{ (-\infty, a) \mid a \in \mathbb{R} \} \cup \{ (b, \infty) \mid b \in \mathbb{R} \} $

Eine Basis $\mathcal{B}$ wird durch endliche Schnitte der Mengen in $\mathcal{S}$ gebildet. Zum Beispiel:

Der Schnitt $ (-\infty, a) \cap (b, \infty) = (b, a)$, wobei $ b < a$, ergibt ein offenes Intervall, das zur Basis $\mathcal{B}$ gehört.

Aus den Schnitten dieser Mengen entsteht die Basis $\mathcal{B}$, die aus allen offenen Intervallen $ (a, b)$ besteht.

b. Zeige, dass die Vereinigung der Mengen der Subbasis $\mathcal{S}$ die ganze Topologie bildet. Zeige dies durch Angabe eines beliebigen offenen Intervalls und seiner Darstellung durch eine Vereinigung von Mengen aus $\mathcal{S}$.

Nehmen wir ein beliebiges offenes Intervall $(a, b)$ in $\mathbb{R}$ an. Wir müssen zeigen, dass $(a, b)$ durch eine Vereinigung von Mengen aus $\mathcal{S}$ dargestellt werden kann.

Beachte, dass:

Das offene Intervall $(a, b)$ in $\mathbb{R}$ kann als Schnitt zweier Mengen aus $\mathcal{S}$ gebildet werden: $(a, b) = \mathbb{R} \cap (-\infty, b) \cap (a, \infty)$.

Die Vereinigung aller offenen Intervalle, die als Schnitte der Subbasis-Mengen gebildet werden können, deckt die gesamte Topologie ab, da jede offene Menge in $\mathbb{R}$ als Vereinigung solcher Intervalle dargestellt werden kann. Dies zeigt, dass die Vereinigung der Mengen der Subbasis $\mathcal{S}$ die gesamte Topologie bildet.

Aufgabe 3)

Betrachte die folgende Folge in einem metrischen Raum $X,d$: $a_n = \frac{1}{n}$. Es sei bekannt, dass dieser metrische Raum vollständig ist.

a)

Zeige, dass die Folge $a_n = \frac{1}{n}$ konvergent ist. Bestimme den Grenzwert.

Lösung:

Um zu zeigen, dass die Folge $a_n = \frac{1}{n}$ konvergent ist, und den Grenzwert zu bestimmen, gehen wir Schritt für Schritt vor.

Definition der Konvergenz: Eine Folge $a_n$ in einem metrischen Raum $X, d$ konvergiert gegen einen Grenzwert $a$, wenn für alle $\text{ε} > 0$ ein $N \in \mathbb{N}$ existiert, sodass für alle $n > N$ gilt: $d(a_n, a) < \text{ε}$.
Analyse der Folge: Betrachten wir die Folge $a_n = \frac{1}{n}$. Diese Folge besteht aus positiven reellen Zahlen, wobei jedes $a_n$ durch den Kehrwert der natürlichen Zahl $n$ gegeben ist. Offensichtlich wird $a_n$ immer kleiner, je größer $n$ wird.
Grenzwert der Folge: Wir vermuten, dass der Grenzwert 0 ist. Um das zu bestätigen, müssen wir zeigen, dass für jedes beliebige $\text{ε} > 0$ ein $N$ existiert, sodass für alle $n > N$ $d(a_n, 0) < \text{ε}$.
Beweis:
Sei $\text{ε} > 0$ gegeben. Wir wählen $N$ so, dass $N > \frac{1}{\text{ε}}$.
Dann gilt für alle $n > N$ dass $\text{ε} > \frac{1}{N} \geq \frac{1}{n} = d(a_n, 0)$. Daher ist $\frac{1}{n} < \text{ε}$.
Dies bedeutet, dass für alle $n > N$ die Bedingung $d(a_n, 0) < \text{ε}$ erfüllt ist. Somit konvergiert die Folge $a_n$ gegen 0.
Zusammenfassung: Die Folge $a_n = \frac{1}{n}$ konvergiert in einem vollständigen metrischen Raum gegen den Grenzwert 0.

b)

Zeige, dass die Folge $a_n = \frac{1}{n}$ eine Cauchy-Folge ist.

Lösung:

Um zu zeigen, dass die Folge $a_n = \frac{1}{n}$ eine Cauchy-Folge ist, verwenden wir die Definition einer Cauchy-Folge in einem metrischen Raum $ X, d $.

Definition einer Cauchy-Folge: Eine Folge $ (a_n) $ in einem metrischen Raum $ (X, d) $ ist eine Cauchy-Folge, wenn für jedes $ \epsilon > 0 $ ein $ N \in \mathbb{N} $ existiert, sodass für alle $ m, n > N $ gilt: $ d(a_m, a_n) < \epsilon $.
Analyse der Folge: Betrachte die Folge $ a_n = \frac{1}{n} $ im metrischen Raum $ (\mathbb{R}, |\cdot|) $. Wir müssen zeigen, dass sie eine Cauchy-Folge ist, indem wir überprüfen, ob die Bedingung $ |a_m - a_n| < \epsilon $ für genügend große Werte von $ m $ und $ n $ erfüllt ist.
Beweis:
Sei $ \epsilon > 0 $ gegeben. Wir wählen $ N \in \mathbb{N} $ so, dass $ N > \frac{2}{\epsilon} $.
Betrachte nun zwei Elemente der Folge $ a_n $ und $ a_m $ mit $ m, n > N $. Wir zeigen, dass der Abstand $ |a_m - a_n| < \epsilon $ für genügend große $ m $ und $ n $ gilt.
Berechne den Abstand:
\[ |a_m - a_n| = \left| \frac{1}{m} - \frac{1}{n} \right| = \left| \frac{n - m}{mn} \right| = \frac{|n - m|}{mn} \]
Da $ m, n > N $ gilt, haben wir:
\[ m > N \] und \[ n > N \]
Daraus folgt:
\[ mn > N^2 \]
Setze dies in die Ungleichung ein:
\[ |a_m - a_n| = \frac{|n - m|}{mn} < \frac{|m - n|}{N^2} \]
Da $ |m - n| \geq 0 $ und $ |m - n| < N $, können wir die Abschätzung folgendermaßen durchführen:
\[ \frac{|m - n|}{N^2} < \frac{N}{N^2} = \frac{1}{N} \]
Wähle $ N $ so, dass $ N > \frac{2}{\epsilon} $. Dann ist $ \frac{1}{N} < \frac{\epsilon}{2} $.
Daher haben wir:
\[ |a_m - a_n| < \frac{\epsilon}{2} < \epsilon \]
Dies bedeutet, dass $ |a_m - a_n| < \epsilon $ für alle $ m, n > N $ erfüllt ist. Somit ist die Folge $ a_n = \frac{1}{n} $ eine Cauchy-Folge.
Zusammenfassung: Die Folge $ a_n = \frac{1}{n} $ ist eine Cauchy-Folge im metrischen Raum $ (X, d) $.

c)

Erläutere, warum die Tatsache, dass der Raum $X,d$ vollständig ist, in diesem Fall wichtig ist.

Lösung:

Um die Bedeutung der Vollständigkeit des metrischen Raums $(X, d)$ im Kontext der Folge $a_n = \frac{1}{n}$ zu erläutern, gehen wir auf einige wesentliche Konzepte und deren Zusammenhänge ein.

Definition der Vollständigkeit: Ein metrischer Raum $(X, d)$ ist vollständig, wenn jede Cauchy-Folge in $X$ konvergiert und ihr Grenzwert ebenfalls in $X$ liegt.
Bedeutung der Cauchy-Eigenschaft: In einer früheren Aufgabe haben wir gezeigt, dass die Folge $a_n = \frac{1}{n}$ eine Cauchy-Folge ist. Das bedeutet, dass es für jede vorgegebene positive Zahl $ \epsilon > 0 $ ein natürliches Zahl $N$ gibt, sodass für alle Folgenglieder $a_m$ und $a_n$ mit $m, n > N$ gilt:

$d(a_m, a_n) < \epsilon$.

Verbindung zur Vollständigkeit:Die Tatsache, dass $X$ vollständig ist, ist entscheidend, weil sie garantiert, dass jede Cauchy-Folge in $X$ einen Grenzwert in $X$ hat. Im konkreten Fall der Folge $a_n = \frac{1}{n}$ bedeutet dies, dass diese Folge in $X$ konvergiert und ihr Grenzwert ebenfalls ein Element von $X$ ist.
Zusammenführung der Ergebnisse: Da wir bereits bewiesen haben, dass die Folge $a_n = \frac{1}{n}$ eine Cauchy-Folge ist, folgt aus der Vollständigkeit des Raums $(X, d)$, dass diese Folge in $X$ konvergiert. Für diese spezielle Folge wissen wir zudem, dass der Grenzwert 0 ist.
Schlussfolgerung: Die Vollständigkeit des metrischen Raums $(X, d)$ ist in diesem Fall wichtig, weil sie sicherstellt, dass die Cauchy-Folge $a_n = \frac{1}{n}$ tatsächlich konvergiert und der Grenzwert innerhalb des Raums $X$ liegt. Ohne Vollständigkeit könnten wir nicht garantieren, dass diese Folge konvergiert oder dass der Grenzwert überhaupt in $X$ liegt.

Aufgabe 4)

Kompakte und σ-kompakte Räume:Kompakte Räume sind topologische Räume, in denen jede offene Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung besitzt. σ-kompakte Räume sind topologische Räume, die als abzählbare Vereinigung von kompakten Teilräumen dargestellt werden können.

Ein Raum ist kompakt, wenn für jede offene Überdeckung \[\bigcup_{i \in I} U_i = X\] eine endliche Teilüberdeckung \[\bigcup_{i \in J} U_i = X\] mit \[J \subseteq I\] existiert.
Jeder kompakte Raum ist auch relativ kompakt (präkompakt).
Ein Raum ist σ-kompakt, wenn er als abzählbare Vereinigung kompakter Teilräume \[\bigcup_{n \in \mathbb{N}} K_n\] dargestellt werden kann.
Beispiele: Jeder kompakte Raum ist per Definition σ-kompakt. Die reellen Zahlen \[\mathbb{R}\] sind σ-kompakt, aber nicht kompakt.

a)

(a) Zeige, dass ein kompakter Raum in einem Hausdorff-Raum abgeschlossen ist.

Beweise dafür, dass ein kompakter Teilraum eines Hausdorff-Raums immer abgeschlossen ist. Gegeben sei ein kompakter Raum \[K\] in einem Hausdorff-Raum \[X\]. Nehme zwei Punkte \[x \in X\] und \[y \in K\] an, welche verschieden sind. Da \[X\] ein Hausdorff-Raum ist, existieren offene Mengen \[U\] und \[V\] mit \[x \in U\] und \[y \in V\] und \[U \cap V = \emptyset\]. Da \[K\] kompakt ist und \[\{V_y: y \in K\}\] eine offene Überdeckung von \[K\] bildet, wähle eine endliche Teilüberdeckung \[\{V_{y_1}, V_{y_2}, ..., V_{y_n}\}\] von \[K\]. Zeige anschließend, dass \[X \setminus K\] eine offene Menge ist.

Lösung:

Ein Raum ist kompakt, wenn für jede offene Überdeckung $\bigcup_{i \in I} U_i = X$ eine endliche Teilüberdeckung $\bigcup_{i \in J} U_i = X$ mit $J \subseteq I$ existiert.
Jeder kompakte Raum ist auch relativ kompakt (präkompakt).
Ein Raum ist σ-kompakt, wenn er als abzählbare Vereinigung kompakter Teilräume $\bigcup_{n \in \mathbb{N}} K_n$ dargestellt werden kann.
Beispiele: Jeder kompakte Raum ist per Definition σ-kompakt. Die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ sind σ-kompakt, aber nicht kompakt.

Subexercise (a) Zeige, dass ein kompakter Raum in einem Hausdorff-Raum abgeschlossen ist:

Beweise dafür, dass ein kompakter Teilraum eines Hausdorff-Raums immer abgeschlossen ist.

Gegeben sei ein kompakter Raum $K$ in einem Hausdorff-Raum $X$.

Nehme zwei Punkte $x \in X$ und $y \in K$ an, welche verschieden sind.
Da $X$ ein Hausdorff-Raum ist, existieren offene Mengen $U$ und $V$ mit $x \in U$ und $y \in V$ und $U \cap V = \emptyset$.
Da $K$ kompakt ist und $\{V_y: y \in K\}$ eine offene Überdeckung von $K$ bildet, wähle eine endliche Teilüberdeckung $\{V_{y_1}, V_{y_2}, ..., V_{y_n}\}$ von $K$.
Zeige anschließend, dass $X \backslash K$ eine offene Menge ist.

b)

(b) Sei \[X\] ein topologischer Raum und \[\{K_n\}_{n \in \mathbb{N}}\] eine abzählbare Familie kompakter Teilmengen von \[X\]. Zeige, dass \[\bigcup_{n \in \mathbb{N}} K_n\] σ-kompakt ist.

Da jeder \[K_n\] kompakt ist und eine abzählbare Vereinigung kompakter Mengen per Definition σ-kompakt ist, argumentiere zunächst mit der Definition eines σ-kompakten Raums.
Beweise unter Verwendung der Definition der σ-Kompaktheit, dass \[\bigcup_{n \in \mathbb{N}} K_n\], wobei \[K_n\] kompakte Teilmengen sind, auch σ-kompakt ist.

Lösung:

Ein Raum ist kompakt, wenn für jede offene Überdeckung $\bigcup_{i \in I} U_i = X$ eine endliche Teilüberdeckung $\bigcup_{i \in J} U_i = X$ mit $J \subseteq I$ existiert.
Jeder kompakte Raum ist auch relativ kompakt (präkompakt).
Ein Raum ist σ-kompakt, wenn er als abzählbare Vereinigung kompakter Teilräume $\bigcup_{n \in \mathbb{N}} K_n$ dargestellt werden kann.
Beispiele: Jeder kompakte Raum ist per Definition σ-kompakt. Die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ sind σ-kompakt, aber nicht kompakt.

Subexercise (b): Sei $X$ ein topologischer Raum und $\{K_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ eine abzählbare Familie kompakter Teilmengen von $X$. Zeige, dass $\bigcup_{n \in \mathbb{N}} K_n$ σ-kompakt ist.

Da jeder $K_n$ kompakt ist und eine abzählbare Vereinigung kompakter Mengen per Definition σ-kompakt ist, argumentiere zunächst mit der Definition eines σ-kompakten Raums.
Beweise unter Verwendung der Definition der σ-Kompaktheit, dass $\bigcup_{n \in \mathbb{N}} K_n$, wobei $K_n$ kompakte Teilmengen sind, auch σ-kompakt ist.

Lösung: Um zu zeigen, dass $\bigcup_{n \in \mathbb{N}} K_n$ σ-kompakt ist, folge diesen Schritten:

Nach Definition ist ein Raum σ-kompakt, wenn er als abzählbare Vereinigung kompakter Teilräume dargestellt werden kann.
Es sei gegeben, dass $\{K_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ eine abzählbare Familie kompakter Teilmengen von $X$ ist.
Da jede $K_n$ kompakt ist, ist $K_n$ per Definition ein kompakter Teilraum von $X$.
Die abzählbare Vereinigung dieser kompakten Teilräume ist $\bigcup_{n \in \mathbb{N}} K_n$.
Nach Definition eines σ-kompakten Raums entspricht diese Vereinigung ($\bigcup_{n \in \mathbb{N}} K_n$) einer Darstellung als abzählbare Vereinigung kompakter Teilräume.

Daher ist $\bigcup_{n \in \mathbb{N}} K_n$ σ-kompakt.

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Aufgabe 1)

a)

b)

1. Abschluss unter der Vereinigung beliebiger Mengen:

2. Abschluss unter dem Durchschnitt endlich vieler Mengen:

Aufgabe 2)

a)

b)

Aufgabe 3)

a)

b)

c)

Aufgabe 4)

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1. Abschluss unter der Vereinigung beliebiger Mengen:

2. Abschluss unter dem Durchschnitt endlich vieler Mengen:

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Aufgabe 3)

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b)

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