Advanced Mechanized Reasoning in Coq - Exam

Aufgabe 1)

Kontext: In diesem Übungsblatt wirst Du verschiedene Aspekte von Gallina verwenden, um funktionale Programme zu schreiben und mathematische Theoreme zu beweisen. Du wirst Funktionen definieren, lokale Definitionen verwenden, induktive Typen erstellen und Pattern-Matching anwenden.

a)

Definiere die Funktion add in Gallina, die zwei natürliche Zahlen addiert. Verwende hierfür das folgende Schema:

fun (x : nat) (y : nat) => 'Funktionskörper hier'.

Überprüfe anschließend, ob die Funktion korrekt definiert wurde, indem Du Eval compute in add 2 3 ausführst.

Lösung:

Um die Funktion add in Gallina zu definieren, die zwei natürliche Zahlen addiert, kannst Du folgendes Code-Schema verwenden:

fun (x : nat) (y : nat) => 'Funktionskörper hier'.

Hier ist die vollständige Definition der Funktion add:

fun (x : nat) (y : nat) => match x with | 0 => y | S x' => S (add x' y) end.

Nun kannst Du überprüfen, ob die Funktion korrekt definiert wurde, indem Du folgenden Befehl ausführst:

Eval compute in add 2 3.

Wenn die Definition korrekt ist, sollte das Ergebnis 5 zurückgeben.

b)

Erstelle einen induktiven Datentyp Tree, der einen binären Baum repräsentiert. Jeder Baumknoten enthält einen Wert vom Typ nat und kann entweder ein Blatt oder ein Knoten mit zwei Kindern sein. Definiere anschließend eine Funktion sumTree in Gallina, die die Summe aller Knotenwerte eines gegebenen Baumes berechnet. Verwende das folgende Schema für den Datentyp:

Inductive Tree : Type := | Leaf : nat -> Tree | Node : nat -> Tree -> Tree -> Tree.

Lösung:

Um einen induktiven Datentyp Tree zu erstellen, der einen binären Baum repräsentiert, kannst Du folgendes Schema verwenden:

Inductive Tree : Type := | Leaf : nat -> Tree | Node : nat -> Tree -> Tree -> Tree.

Dieser Datentyp beschreibt einen Baum, bei dem jedes Blatt einen Wert vom Typ nat enthält und jeder Knoten einen Wert sowie zwei Kindbäume besitzt.

Als nächstes definieren wir eine Funktion sumTree, die die Summe aller Knotenwerte eines Baumes berechnet. Hier ist die entsprechende Definition:

Fixpoint sumTree (t : Tree) : nat := match t with | Leaf n => n | Node n left right => n + (sumTree left) + (sumTree right) end.

Die Funktion sumTree verwendet Pattern-Matching, um den Baum zu durchlaufen und die Werte der Knoten zu summieren. Wenn der Baum ein Leaf ist, wird der Wert direkt zurückgegeben. Wenn der Baum ein Node ist, werden der Wert des Knotens und die Summen der linken und rechten Kindbäume addiert.

c)

Verwende Pattern-Matching, um eine Funktion fact zu definieren, die die Fakultät einer natürlichen Zahl berechnet. Stelle sicher, dass Deine Definition rekursiv ist und benutze das folgende Schema:

fun (n : nat) => match n with | 0 => 1 | S n' => 'Rekursiver Aufruf und Berechnung hier' end.

Verifiziere Deine Implementation, indem Du Eval compute in fact 5 ausführst.

Lösung:

Um die Funktion fact zu definieren, die die Fakultät einer natürlichen Zahl berechnet, kannst Du Pattern-Matching und Rekursion verwenden. Hier ist die vollständige Definition gemäß dem angegebenen Schema:

fun (n : nat) => match n with | 0 => 1 | S n' => n * (fact n') end.

In dieser Definition:

• Wenn n gleich 0 ist, gib 1 zurück, da 0! = 1.
• Wenn n ein Nachfolger S n' ist, berechne die Fakultät rekursiv als n * (fact n').

Um die Implementation zu verifizieren, kannst Du folgenden Befehl ausführen:

Eval compute in fact 5.

Das Ergebnis sollte 120 sein, da 5! = 120. Hier ist der gesamte Code in Gallina:

Fixpoint fact (n : nat) : nat := match n with | 0 => 1 | S n' => n * (fact n') end.

Durch diese Definition kannst Du sicherstellen, dass die Funktion fact korrekt funktioniert.

Aufgabe 2)

Gegeben sei folgende Aussage in Coq:

'forall P Q R: Prop, (P -> Q) -> (Q -> R) -> (P -> R) '

Wir möchten diese Aussage beweisen, indem wir die verschiedenen Taktiken und Methoden verwenden, die in der Taktiksprache von Coq zur Verfügung stehen. Beachte, dass der Beweis inkrementell und interaktiv durchgeführt werden sollte, um die Nachvollziehbarkeit und Korrektheit der Schritte zu sichern.

a)

1. Einleitende Taktik: Nutze die intro-Taktik, um die Prämissen in den Kontext zu übernehmen. Zeige die Zwischenschritte durch Ausgabe des aktuellen Zustands nach jeder Einführung. Welche Taktik ist für den nächsten Schritt geeignet und warum?

Lösung:

Um die Aussage in Coq zu beweisen, benutzen wir die intro-Taktik, um die Prämissen in den Kontext zu übernehmen. Wir führen dies Schritt für Schritt durch und betrachten den Zustand nach jedem Schritt.

• Starte mit der Aussage:

forall P Q R: Prop, (P -> Q) -> (Q -> R) -> (P -> R)

• Wende die intro-Taktik an, um die Prämissen in den Kontext zu übernehmen:

Coq intro Schritte:

1. intros P Q R.

2. intros H1 H2.

• Nach diesen Einführungen sieht der Zustand wie folgt aus:

1. P Q R : Prop

2. H1 : P -> Q

3. H2 : Q -> R

4. ============================

   P -> R

• Die nächste geeignete Taktik ist ebenfalls intro, um die verbliebene Annahme in den Kontext zu übernehmen:

intro H. 

• Der Zustand nach diesem Schritt ist:

1. P Q R : Prop

2. H1 : P -> Q

3. H2 : Q -> R

4. H : P

============================

   R

• Als nächster Schritt wären elimierende Taktiken wie apply oder exact geeignet, weil wir den Zusammenhang zwischen P, Q und R schon durch H1 und H2 haben:

Warum? Weil für R Bewies unter der Prämisse P, H1 angewendet (um Q zu zeigen) und dann H2 angewendet werden kann, um R zu schließen.

b)

2. Anwendung von Taktiken: Vervollständige den Beweis durch Anwendung geeigneter Taktiken wie apply und assumption. Erläutere für jeden Schritt, warum die gewählte Taktik korrekt ist und welchen Einfluss sie auf den Beweis hat. Stelle sicher, dass der Beweis vollständig und korrekt ist.

Lösung:

Nachdem wir die Einleitungstaktiken erfolgreich angewendet haben, ist unser Ziel nun, den Beweis durch Anwendung der Taktiken apply und assumption zu vervollständigen.

• Ausgangssituation:

P Q R : Prop

H1 : P -> Q

H2 : Q -> R

H : P

============================

   R

• Wir müssen R beweisen. Da wir die Prämisse H : P haben, können wir H1 anwenden, um Q zu erhalten:

apply H1 in H.

• Dies ändert den Zustand zu:

1. P Q R : Prop

2. H1 : P -> Q

3. H2 : Q -> R

4. H : Q

============================

   R

• Nun haben wir H : Q und H2 : Q -> R. Um R zu beweisen, wenden wir H2 auf H an:

apply H2 in H.

• Dies ändert den Zustand zu:

1. P Q R : Prop

2. H1 : P -> Q

3. H2 : Q -> R

4. H : R

============================

   R

• Da H : R direkt eines unserer Ziele ist, schließen wir den Beweis mit der Taktik assumption:

assumption.

• Erklärung der Schritte:

• apply H1 in H: Diese Taktik wendet H1 an, um zu Q zu gelangen, da H1 besagt, dass P auf Q geschlossen wird und wir H : P haben.

• apply H2 in H: Diese Taktik wendet H2 an, um zu R zu gelangen, da H2 besagt, dass Q auf R geschlossen wird und wir H : Q haben.

• assumption: Diese Taktik zeigt, dass das momentane Ziel R bereits als Prämisse H : R vorhanden ist und daher der Beweis abgeschlossen werden kann.

Durch diese Schritte haben wir bewiesen, dass wenn P -> Q und Q -> R gelten, dann auch P -> R gilt.

Aufgabe 3)

Strategien zur Fehlerbehebung in Coq: Der Übungsaufgabe bezieht sich auf die Identifikation und Korrektur von Fehlern in Beweisen und Programmen in Coq. Beachte dabei die verschiedenen Fehlertypen und Debugging-Ansätze wie Typfehler, Taktiken, interaktives Debugging und Modularität.

a)

Gegeben sei der folgende fehlerhafte Coq-Codeausschnitt. Identifiziere den Fehler und erkläre genau, wie er behoben werden kann:

Definition add (n m: nat) : nat :=n + m.Theorem add_comm : forall n m : nat, add n m = add m n.Proof.  intros.  unfold add.  apply plus_comm.Qed.

Lösung:

Strategien zur Fehlerbehebung in Coq: Der Übungsaufgabe bezieht sich auf die Identifikation und Korrektur von Fehlern in Beweisen und Programmen in Coq. Beachte dabei die verschiedenen Fehlertypen und Debugging-Ansätze wie Typfehler, Taktiken, interaktives Debugging und Modularität. Lösung:

• Gegeben sei der folgende fehlerhafte Coq-Codeausschnitt:

Definition add (n m: nat) : nat := n + m.Theorem add_comm : forall n m : nat, add n m = add m n.Proof.  intros.  unfold add.  apply plus_comm.Qed.

Gehe Schritt für Schritt, um den Fehler zu identifizieren und zu beheben:

• 1. Fehler identifizieren: Der gegebene Code enthält keinen offensichtlichen Fehler. Die Definition der Funktion add und das Theorem add_comm scheinen korrekt zu sein. Das Theorem gibt an, dass die Addition von natürlichen Zahlen kommutativ ist, d.h. add n m sollte gleich add m n sein. Der Beweis verwendet die Taktik plus_comm, die die Kommutativität der Addition für natürliche Zahlen sicherstellt. Die Verwendung der Taktik apply plus_comm nach dem Entfalten der Definition von add sollte korrekt sein.
• 2. Berücksichtigung zukünftiger Erweiterungen: Obwohl der Code korrekt ist, könnte es sein, dass in einer komplexeren Anwendung weitere Taktiken oder Zwischenschritte notwendig sind. Es ist eine gute Praxis, den Code so modular und lesbar wie möglich zu gestalten.

Finaler überprüfter Code:

• Da kein Fehler im ursprünglichen Code gefunden wurde, bleibt der validierte Code unverändert:

Definition add (n m: nat) : nat := n + m.Theorem add_comm : forall n m : nat, add n m = add m n.Proof.  intros.  unfold add.  apply plus_comm.Qed.

b)

Eine häufige Strategie zur Fehlerbehebung in Coq ist die Verwendung von 'Check' und 'Print', um Typfehler zu identifizieren. Gib ein Beispiel aus dem oben gegebenen Coq-Code und zeige, wie 'Check' und 'Print' dabei helfen können, den Fehler zu lokalisieren und zu verstehen.

Lösung:

Strategien zur Fehlerbehebung in Coq: Der Übungsaufgabe bezieht sich auf die Identifikation und Korrektur von Fehlern in Beweisen und Programmen in Coq. Beachte dabei die verschiedenen Fehlertypen und Debugging-Ansätze wie Typfehler, Taktiken, interaktives Debugging und Modularität.Lösung:Eine häufige Strategie zur Fehlerbehebung in Coq ist die Verwendung von 'Check' und 'Print', um Typfehler zu identifizieren. Gib ein Beispiel aus dem oben gegebenen Coq-Code und zeige, wie 'Check' und 'Print' dabei helfen können, den Fehler zu lokalisieren und zu verstehen.Gegebener Coq-Code:

Definition add (n m: nat) : nat := n + m.Theorem add_comm : forall n m : nat, add n m = add m n.Proof.  intros.  unfold add.  apply plus_comm.Qed.

• Verwendung von 'Check': Der Check-Befehl überprüft den Typ eines Ausdrucks. Dies ist nützlich, um sicherzustellen, dass Funktionen und Ausdrücke den erwarteten Typ haben.Beispiel: Überprüfen wir den Typ der Funktion add und des Theorems add_comm.

  Check add.(* Ergebnisausgabe: add : nat -> nat -> nat *)Check add_comm.(* Ergebnisausgabe: add_comm : forall n m : nat, add n m = add m n *)

  Diese Checks bestätigen, dass die Definitionen und Typen korrekt sind.
• Verwendung von 'Print': Der Print-Befehl zeigt die Definition eines Terms oder einer Variablen an. Dies ist hilfreich, um zu verstehen, wie eine Funktion oder ein Theorem definiert ist.Beispiel: Lassen wir uns die Definition des Theorems add_comm anzeigen.

  Print add_comm. (* add_comm =    fun n m : nat =>    ... (* abgeschnittener Beweis *)    : forall n m : nat, add n m = add m n *)

  Dies hilft uns zu verstehen, wie der Beweis aufgebaut ist und welche Schritte verwendet wurden.
Anwendung:Angenommen, es gibt tatsächlich einen Fehler im Code. Mithilfe von 'Check' und 'Print' kann der Fehler lokalisiert werden.
• Jeder Schritt im Beweis kann überprüft werden, indem 'Check' auf Zwischenschritte angewendet wird.
• Der 'Print'-Befehl kann verwendet werden, um Definitionen und Beweise detailliert zu analysieren, falls etwas unklar ist.

Zusammengefasst, 'Check' und 'Print' sind wertvolle Werkzeuge für das Debugging in Coq. Sie ermöglichen ein besseres Verständnis für Typen und Definitionen und helfen, Fehler zu identifizieren und zu korrigieren.

c)

Erläutere anhand eines eigenen Beispiels, wie 'Abort' und 'Restart' in einer interaktiven Beweisführung verwendet werden können, um zu einem konsistenten Zustand zurückzukehren oder einen Beweis von einem Zwischenschritt aus neu zu beginnen. Gehe dabei auf die Rolle dieser Taktiken bei der strukturierten und modularen Beweisführung ein.

Lösung:

Strategien zur Fehlerbehebung in Coq: Der Übungsaufgabe bezieht sich auf die Identifikation und Korrektur von Fehlern in Beweisen und Programmen in Coq. Beachte dabei die verschiedenen Fehlertypen und Debugging-Ansätze wie Typfehler, Taktiken, interaktives Debugging und Modularität.Lösung:'Abort' und 'Restart' in der interaktiven BeweisführungDie Befehle 'Abort' und 'Restart' sind nützliche Werkzeuge in der interaktiven Beweisführung in Coq. Sie helfen dabei, zu einem konsistenten Zustand zurückzukehren oder einen Beweis von einem bestimmten Zwischenschritt aus neu zu beginnen. Dies ist hilfreich, um Fehler zu korrigieren und strukturiert und modular vorzugehen.Hier ist ein eigenes Beispiel, das die Verwendung dieser Taktiken zeigt:

Definition add (n m: nat) : nat := n + m.Theorem add_comm : forall n m : nat, add n m = add m n.Proof.  intros.  unfold add.  Abort.

In diesem Beispiel habe ich den Beweis abgebrochen, bevor er vollständig war. Der 'Abort'-Befehl bricht die aktuelle Beweisführung ab und löscht alle getroffenen Annahmen und Zwischenschritte. Dies ermöglicht es, von vorne zu beginnen, ohne den gesamten Code zu löschen.Nun verwenden wir 'Restart', um den Beweis von einem bestimmten Zwischenschritt aus neu zu beginnen:

Theorem add_comm : forall n m : nat, add n m = add m n.Proof.  intros.  unfold add.  Restart.  intros.  unfold add.  apply plus_comm.Qed.

Hier habe ich 'Restart' nach den ersten beiden Schritten verwendet. Der 'Restart'-Befehl startet den Beweis von demselben Punkt aus neu, und alle vorherigen Schritte werden gelöscht. Dies ist besonders nützlich, wenn man Fehler entdeckt hat und von einem bestimmten Punkt aus neu beginnen möchte.

• Rolle dieser Taktiken bei der strukturierten und modularen Beweisführung:

• Strukturiert: Diese Techniken helfen dabei, den Fluss des Beweises zu kontrollieren und zu organisieren. Man kann jederzeit zu konsistenten Zuständen zurückkehren und unnötige oder fehlerhafte Schritte beseitigen.
• Modular: Indem man Teile des Beweises isoliert und überprüft, wird der Beweis in kleinere, handhabbare Module aufgeteilt. Dies fördert gutes Software-Engineering und bessere Wartbarkeit von Beweisen.
Zusammengefasst tragen 'Abort' und 'Restart' dazu bei, den Beweisprozess flexibler und anpassungsfähiger zu gestalten. Dies ermöglicht eine effizientere und effektivere Beweisführung.

Aufgabe 4)

Kontext: Angenommen, Du hast in Coq den Insertion Sort-Algorithmus implementiert. Dein Ziel ist es nun, die Korrektheit dieses Algorithmus zu beweisen. Dafür musst Du sowohl die partielle Korrektheit als auch die Terminierung nachweisen. Verwende induktive Beweise und rekursive Definitionen. Außerdem müssen die verwendeten Datenstrukturen wie Listen strukturell invariant sein. In Coq bezieht sich die partielle Korrektheit darauf, dass der Algorithmus das richtige Ergebnis liefert, wenn er terminiert. Die Terminierung bedeutet, dass der Algorithmus nach einer endlichen Anzahl von Schritten endet. Verwende als Beispiel die Korrektheitsverifikation des Insertion Sort-Algorithmus.

a)

a) Definiere den Insertion Sort-Algorithmus in Coq. Verwende rekursive Definitionen. Zeige durch ein einfaches Beispiel, wie der Algorithmus eine unsortierte Liste sortiert.

Lösung:

Lösung:Um den Insertion Sort-Algorithmus in Coq zu definieren, können wir eine rekursive Funktion erstellen. Insertion Sort arbeitet, indem er ein Element nach dem anderen aus der unsortierten Liste nimmt und es in die richtige Position in der bereits sortierten Teilliste einfügt.Hier ist die Definition des Insertion Sort-Algorithmus in Coq:

Fixpoint insert (n : nat) (l : list nat) : list nat :=  match l with  | nil => n :: nil  | h :: t => if n <=? h              then n :: h :: t              else h :: (insert n t)  end.Fixpoint insertion_sort (l : list nat) : list nat :=  match l with  | nil => nil  | h :: t => insert h (insertion_sort t)  end.

• Die Funktion insert fügt ein Element n in die bereits sortierte Liste l ein.
• Die Funktion insertion_sort sortiert die Liste l durch rekursives Einfügen jedes Elements in die bereits sortierte Teilliste.

Um zu zeigen, wie der Algorithmus eine unsortierte Liste sortiert, nehmen wir ein einfaches Beispiel: Die unsortierte Liste l := [3, 1, 4, 1, 5].Die folgende Tabelle zeigt den Schritt-für-Schritt-Prozess des Insertion Sort-Algorithmus bei der Verarbeitung dieser Liste:

• Schritt 1: Initiale unsortierte Liste: [3, 1, 4, 1, 5]
• Schritt 2: Das erste Element 3 wird als die bereits sortierte Liste betrachtet: [3]
• Schritt 3: Füge das nächste Element 1 an die richtige Stelle in [3] ein: [1, 3]
• Schritt 4: Füge das nächste Element 4 in [1, 3] ein: [1, 3, 4]
• Schritt 5: Füge das nächste Element 1 in [1, 3, 4] ein: [1, 1, 3, 4]
• Schritt 6: Füge das letzte Element 5 in [1, 1, 3, 4] ein: [1, 1, 3, 4, 5]

Am Ende der Schritte erhalten wir die sortierte Liste [1, 1, 3, 4, 5].Dies demonstriert, dass der Insertion Sort-Algorithmus korrekt funktioniert und die gegebene unsortierte Liste in geordneter Reihenfolge liefert.

b)

b) Beweise die partielle Korrektheit Deines Insertion Sort-Algorithmus. Führe hierzu einen induktiven Beweis durch, der zeigt, dass wenn der Algorithmus terminiert, die ausgegebene Liste tatsächlich sortiert ist.

Lösung:

Lösung:Um die partielle Korrektheit des Insertion Sort-Algorithmus in Coq zu beweisen, führen wir einen induktiven Beweis. Der Beweis zeigt, dass wenn der Algorithmus terminiert, die ausgegebene Liste tatsächlich sortiert ist.Bevor wir den Beweis beginnen, definieren wir, was es bedeutet, dass eine Liste sortiert ist. Eine Liste ist sortiert, wenn jedes Element kleiner oder gleich dem folgenden Element ist.Wir definieren eine Prädikate-Funktion sorted in Coq:

Inductive sorted : list nat -> Prop :=  | sorted_nil : sorted nil  | sorted_single : forall x, sorted (x :: nil)  | sorted_cons : forall x y l, x <= y -> sorted (y :: l) -> sorted (x :: y :: l).

Diese Definition besagt, dass:

• nil (die leere Liste) sortiert ist.
• Eine Liste mit einem einzigen Element sortiert ist.
• Eine Liste (x :: y :: l) sortiert ist, wenn x <= y und die Liste (y :: l) sortiert ist.

Nun beweisen wir die partielle Korrektheit des Insertion Sort-Algorithmus. Wir müssen zeigen, dass wenn insertion_sort l terminiert, sorted (insertion_sort l) gilt.Wir verwenden die Induktion über die Struktur der Liste l.

• Induktionsbasis: Wenn die Liste l leer ist, dann ist insertion_sort l = nil und sorted nil gilt nach Definition.
• Induktionsannahme: Angenommen, für eine Liste l gilt sorted (insertion_sort l). Das bedeutet, dass wenn insertion_sort l terminiert, die ausgegebene Liste sortiert ist.
• Induktionsschritt: Zeigen wir, dass sorted (insertion_sort (h :: t)) gilt, wobei h das erste Element und t die Restliste ist:
  • Sei sorted t die Aussage, dass die Teilliste t sortiert ist.
  • sorted (insert h (insertion_sort t)): Da wir nach Induktionsannahme wissen, dass sorted (insertion_sort t) gilt, müssen wir zeigen, dass das Einfügen von h durch die insert-Funktion die Sortiertheit erhält.
  • Die Funktion insert fügt h an die richtige Position in die sortierte Liste insertion_sort t ein, sodass die resultierende Liste ebenfalls sortiert bleibt.
  • Dies können wir durch Fallunterscheidung über insert zeigen:
    • Wenn die Liste leer ist, wird n hinzugefügt und bleibt sortiert.
    • Wenn h <= head, wird h vorne eingefügt und bleibt sortiert.
    • Andernfalls wird insert h t rekursiv aufgerufen und bleibt nach der Induktionsannahme sortiert.

Damit haben wir gezeigt, dass die Funktion insertion_sort eine sortierte Liste zurückgibt, wenn sie terminiert.Daraus folgt die partielle Korrektheit des Insertion Sort-Algorithmus.

c)

c) Beweise die Terminierung Deines Insertion Sort-Algorithmus. Verwende dazu einen geeigneten `Measure-Well-Founded`-Prädikat oder einen ähnlichen Ansatz in Coq, um zu zeigen, dass der Algorithmus nach einer endlichen Anzahl von Schritten endet.

Lösung:

Lösung:Um die Terminierung des Insertion Sort-Algorithmus in Coq zu beweisen, verwenden wir das Konzept der wohlgegründeten Induktion zusammen mit einem sogenannten Measure-Well-Founded-Prädikat. Dies stellt sicher, dass der Algorithmus nach einer endlichen Anzahl von Schritten endet.Ein gängiger Ansatz besteht darin, eine metrische Funktion zu definieren, die über Listengrößen geht. Wir zeigen, dass jede rekursive Aufruf eine streng kleinere Liste erhält, was bedeutet, dass die Rekursion terminiert.Zuerst benötigen wir eine Funktion, die die Länge einer Liste berechnet:

Fixpoint length (l : list nat) : nat :=  match l with  | nil => 0  | _ :: t => 1 + length t  end.

Diese Funktion gibt die Länge einer Liste zurück.Nun definieren wir eine Reservierte Funktion, die uns hilft, wohlgegründete Induktion zu verwenden:

Require Import Coq.Init.Wf.Wf. Definition well_founded_lt_nat : well_founded lt := lt_wf.

Diese Funktion stellt sicher, dass das lt-Prädikat (weniger als) wohlbegründet ist.Nun müssen wir zeigen, dass unser Insertionsort-Algorithmus terminiert. Dies erreichen wir, indem wir die Fix-Funktion mit einer Maßnahme deklarieren und angeben, dass sie auf der Listengröße basiert. Hier ist die finale Definitionsupdate:

Require Import Coq.Arith.Arith. Require Import Coq.Lists.List. Import ListNotations. Function insertion_sort (l : list nat) {measure length l} : list nat :=  match l with  | nil => nil  | h :: t => insert h (insertion_sort t)  end. 

Die Anweisung {measure length l} zeigt an, dass die Funktion insertion_sort eine Maßnahme verwendet, um die Terminierung zu beweisen. Das Maß ist die Länge der Liste, die bei jeder Rekursion kleiner wird. Coq nutzt das well_founded-Prädikat und die Längenmessung, um sicherzustellen, dass insertion_sort für jede endliche Liste terminiert.Zusammenfassend bedeutet dies, dass der Insertionsort-Algorithmus in Coq garantiert terminiert, da wir gezeigt haben, dass wir jede Rekursionsverkleinerung der Listengröße verwenden.

d)

d) In Coq kann man strukturelle Invarianzen von Datenstrukturen beweisen. Zeige, dass die verwendeten Datenstrukturen in Deinem Insertion Sort-Algorithmus strukturell invariant sind. Damit ist gemeint, dass z.B. beim Sortieren einer Liste diese als Datenstruktur intakt bleibt und nicht etwa zerstört wird.

Lösung:

Lösung:Um strukturelle Invarianzen im Insertion Sort-Algorithmus in Coq zu beweisen, zeigen wir, dass die Struktur der Liste während des Sortiervorgangs intakt bleibt. Das bedeutet, dass Elemente nur hinzugefügt oder entfernt werden, ohne die grundsätzliche Struktur der Liste zu zerstören.In Coq können wir dies durch die Induktion und die Definition von Funktionen erreichen, die sicherstellen, dass Listen unverändert bleiben. Lassen Sie uns eine Strategie verfolgen, die beweist, dass die Struktur der Liste durch das insert und insertion_sort Funktionen intakt bleibt.

• Schritt 1: Sehen wir uns die Funktion insert an: Sie fügt ein Element in die richtige Position in einer bereits sortierten Liste ein, ohne die Struktur der Liste zu zerstören.

  Fixpoint insert (n : nat) (l : list nat) : list nat :=  match l with  | nil => n :: nil  | h :: t => if n <=? h              then n :: h :: t              else h :: (insert n t)  end.

  Die Definition zeigt, dass nur das Element n in die Liste l eingefügt wird, wobei die Liste intakt bleibt.

• Schritt 2: Betrachten wir nun die Hauptfunktion insertion_sort:

  Fixpoint insertion_sort (l : list nat) {struct l} : list nat :=  match l with  | nil => nil  | h :: t => insert h (insertion_sort t)  end.

  Hier sehen wir, dass insertion_sort rekursiv auf die Restliste t aufgerufen wird. In jedem Schritt wird das Element h in die bereits sortierte Teilliste eingefügt, ohne die Struktur der Liste zu beeinträchtigen.

Um die strukturelle Invarianz formell zu beweisen, können wir ein Lemma definieren und beweisen, das sicherstellt, dass die Länge der Listen während des Sortierens unverändert bleibt:

• Längeninvarianz Lemma:

  Lemma insert_length : forall (n : nat) (l : list nat), length (insert n l) = S (length l).Proof. intros n l. induction l as [| h t IHt].  - simpl. reflexivity.  - simpl. destruct (n <=? h).    + simpl. reflexivity.    + simpl. rewrite IHt. reflexivity.Qed.Lemma insertion_sort_length : forall (l : list nat), length (insertion_sort l) = length l.Proof. intros l. induction l as [| h t IH].  - simpl. reflexivity.  - simpl. rewrite <- insert_length. f_equal. apply IH.Qed.

  Diese beiden Lemmata zeigen, dass die Länge der Liste durch die Operation insert um 1 erhöht und bei der Anwendung der insertion_sort Funktion erhalten bleibt.Damit haben wir bewiesen, dass die Liste während des Sortiervorgangs strukturell unverändert bleibt und jede Operation die strukturelle Integrität der Datenstruktur nicht beeinträchtigt.Dieses formelle Argument zeigt, dass der Insertion Sort-Algorithmus in Coq die Listen als Datenstrukturen intakt hält und damit ihre strukturelle Invarianz wahrt.