Algebra des Programmierens - Exam

Aufgabe 1)

Gegeben sei die Menge \(S\) mit der Verknüpfung \(\cdot\). Diese Menge könnte verschiedene algebraische Strukturen darstellen, abhängig von den spezifischen Eigenschaften der Verknüpfung und der Elemente in \(S\). Analysiere diese Struktur, indem Du die folgenden Unterübungen löst.

a)

1. Untersuche die Verknüpfung \(\cdot\) auf Assoziativität.

• Zeige, dass \(S\) eine Halbgruppe ist oder widerlege dies.
• Formuliere und prüfe die Assoziativitätseigenschaft \[a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c\] für beliebige \(a, b, c \in S\).

Lösung:

Gegeben sei die Menge \(S\) mit der Verknüpfung \(\cdot\). Diese Menge könnte verschiedene algebraische Strukturen darstellen, abhängig von den spezifischen Eigenschaften der Verknüpfung und der Elemente in \(S\). Analysiere diese Struktur, indem Du die folgenden Unterübungen löst.

1. Untersuche die Verknüpfung \(\cdot\) auf Assoziativität.

• Zeige, dass \(S\) eine Halbgruppe ist oder widerlege dies.
• Formuliere und prüfe die Assoziativitätseigenschaft \[a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c\] für beliebige \(a, b, c \in S\).

Schritte zur Lösung:

• 1. Wahl der Elemente: Wähle drei beliebige Elemente \(a, b, c \in S\).
• 2. Anwendung der Verknüpfung: Untersuche die Berechnungen \(a \cdot (b \cdot c)\) und \((a \cdot b) \cdot c\).
• 3. Vergleich der Ergebnisse: Prüfe, ob die Gleichung \[a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c\] für die gewählten Elemente gilt.
• 4. Verallgemeinerung: Falls die Gleichung für alle \(a, b, c \in S\) gilt, dann ist die Verknüpfung \(\cdot\) assoziativ und \(S\) ist eine Halbgruppe. Andernfalls ist \(S\) keine Halbgruppe.

Beispiel:

• Setze eine konkrete Menge \(S\) und eine Verknüpfung \(\cdot\) fest (z.B., \(S = \{1, 2, 3\}\) und \(a \cdot b = a \times b\)).
• Wähle konkrete Elemente, z.B. \(a = 1, b = 2, c = 3\).
• Berechne:
  • Links: \(a \cdot (b \cdot c) = 1 \cdot (2 \times 3) = 1 \cdot 6 = 6\).
  • Rechts: \((a \cdot b) \cdot c = (1 \times 2) \cdot 3 = 2 \cdot 3 = 6\).
  • Da \(6 = 6\), gilt die Assoziativität für diese Wahl der Elemente.
  • Um zu zeigen, dass es für alle Elemente \(a, b, c \in S\) gilt, müssten alle Kombinationen überprüft werden oder eine allgemeine Beweisführung erfolgen.

Wenn die Assoziativitätseigenschaft gezeigt werden kann, dann ist \(S\) mit der Verknüpfung \(\cdot\) eine Halbgruppe. Wenn diese Eigenschaft nicht für alle Elemente gilt, dann widerlegt dies die Halbgruppeneigenschaft.

b)

2. Präge ein Monoid aus der Halbgruppe \(S\), falls möglich.

• Finde ein neutrales Element \(e\) in \(S\), sodass für jedes \(a \in S\) gilt \[a \cdot e = e \cdot a = a.\]
• Prüfe, ob \(S\) mit diesem Element ein Monoid ist.

Lösung:

Gegeben sei die Menge \(S\) mit der Verknüpfung \(\cdot\). Diese Menge könnte verschiedene algebraische Strukturen darstellen, abhängig von den spezifischen Eigenschaften der Verknüpfung und der Elemente in \(S\). Analysiere diese Struktur, indem Du die folgenden Unterübungen löst.

2. Präge ein Monoid aus der Halbgruppe \(S\), falls möglich.

• Finde ein neutrales Element \(e\) in \(S\), sodass für jedes \(a \in S\) gilt \[a \cdot e = e \cdot a = a\].
• Prüfe, ob \(S\) mit diesem Element ein Monoid ist.

Schritte zur Lösung:

• 1. Definition des neutralen Elements: Ein neutrales Element \(e\) in \(S\) ist ein Element, das für jedes Element \(a \in S\) die Eigenschaft \[a \cdot e = e \cdot a = a\] erfüllt.
• 2. Identifikation des neutralen Elements: Finde ein Element \(e\) in \(S\), welches die obige Gleichung für jedes \(a \in S\) erfüllt. Dies bedeutet, dass du für jedes Element \(a\) prüfen musst, ob \(a \cdot e = a\) und \(e \cdot a = a\) gilt.
• 3. Verifizierung der Monoid-Eigenschaften: Prüfe, ob \(S\) mit dem gefundenen neutralen Element \(e\) sowohl die Assoziativität (bereits als Halbgruppe angenommen) als auch das neutrale Element erfüllt. Falls beide Bedingungen erfüllt sind, handelt es sich um ein Monoid.

Beispiel:

• Setze eine konkrete Menge \(S\) und eine Verknüpfung \(\cdot\) fest (z.B., \(S = \{0, 1, 2\}\) und \(a \cdot b = a + b \mod 3\)).
• Finde das neutrale Element \(e\):
  • Prüfe für jedes Element \(e \in S\), ob \(a \cdot e = e \cdot a = a\) für alle \(a \in S\) gilt.
  • Z.B.: Wenn \(e = 0\), prüfe:
    • \(1 + 0 \mod 3 = 1\) und \(0 + 1 \mod 3 = 1\): Dies gilt.
    • \(2 + 0 \mod 3 = 2\) und \(0 + 2 \mod 3 = 2\): Dies gilt auch.
    • Somit ist \(0\) das neutrale Element.
• Da \(S\) mit der Verknüpfung assoziativ ist und ein neutrales Element besitzt, ist \(S\) ein Monoid.

Wenn Du ein neutrales Element in \(S\) findest und die Assoziativitätsbedingung erfüllt ist, dann ist \(S\) ein Monoid.

c)

3. Untersuche, ob \(S\) eine Gruppe bildet.

• Zeige, dass für jedes Element \(a \in S\) ein Inverses \(a^{-1}\) existiert, sodass \[a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = e.\]
• Formuliere die Beweise für die Existenz von Inversen und überprüfe diese für einige Beispiele.

Lösung:

Gegeben sei die Menge \(S\) mit der Verknüpfung \(\cdot\). Diese Menge könnte verschiedene algebraische Strukturen darstellen, abhängig von den spezifischen Eigenschaften der Verknüpfung und der Elemente in \(S\). Analysiere diese Struktur, indem Du die folgenden Unterübungen löst.

3. Untersuche, ob \(S\) eine Gruppe bildet.

• Zeige, dass für jedes Element \(a \in S\) ein Inverses \(a^{-1}\) existiert, sodass \[a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = e\].
• Formuliere die Beweise für die Existenz von Inversen und überprüfe diese für einige Beispiele.

Schritte zur Lösung:

• 1. Identifikation eines neutralen Elements: Falls noch nicht geschehen, finde das neutrale Element \(e\) in \(S\) (bereits im vorherigen Schritt identifiziert).
• 2. Inverses Element: Zeige, dass für jedes Element \(a \in S\) ein Inverses \(a^{-1}\) existiert, sodass \[a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = e\], wobei \(e\) das neutrale Element ist.
• 3. Überprüfung der inversen Eigenschaften: Prüfe die obige Gleichung systematisch für einige Elemente in \(S\), um die Existenz der inversen Elemente zu demonstrieren.

Beispiel:

• Setze eine konkrete Menge \(S\) und eine Verknüpfung \(\cdot\) fest (z.B., \(S = \{1, 2, 3\}\) und \(a \cdot b = a \times b\), angenommen \(\cdot\) ist multiplikativ).
• Bestimme das neutrale Element \(e\). Angenommen, \(e = 1\) für die Multiplikation.
• Bestimme die inversen Elemente für die Verknüpfung:
  • Für \(a = 1\): \(a^{-1} = 1^{-1} = 1\), da \(1 \cdot 1 = 1\).
  • Für \(a = 2\): Prüfe, ob ein Element \(b\) in \(S\) existiert, sodass \(2 \cdot b = 1\). Falls \(S\) in der multiplikativen Struktur kein inverses Element enthält, ist \(S\) keine Gruppe.
  • Für \(a = 3\): Prüfe, ob ein Element \(b\) in \(S\) existiert, sodass \(3 \cdot b = 1\). Wie oben, falls ein solches Element nicht existiert, ist \(S\) keine Gruppe.

Um zu überprüfen, ob \(S\) eine Gruppe bildet, müssen folgende Eigenschaften erfüllt sein:

• Existenz eines neutralen Elements (bereits bewiesen, falls \(S\) ein Monoid ist).
• Existenz eines inversen Elements für jedes \(a \in S\).

Wenn für jedes Element \(a \in S\) ein Inverses existiert, das die Gleichung \[a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = e\] erfüllt, dann ist \(S\) eine Gruppe.

d)

4. Erweitere \(S\) zu einem Ring.

• Definiere eine zweite Verknüpfung '+', sodass \((S, +)\) eine abelsche Gruppe bildet.
• Untersuche, ob \((S, \cdot)\) mindestens eine Halbgruppe ist.
• Zeige, dass das Distributivgesetz gilt: \[a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c)\ \text{ und }\ (a + b) \cdot c = (a \cdot c) + (b \cdot c).\]
• Führe Prüfungen zum Ringschluss anhand von konkreten Beispielen durch.

Lösung:

Gegeben sei die Menge \(S\) mit der Verknüpfung \(\cdot\). Diese Menge könnte verschiedene algebraische Strukturen darstellen, abhängig von den spezifischen Eigenschaften der Verknüpfung und der Elemente in \(S\). Analysiere diese Struktur, indem Du die folgenden Unterübungen löst.

4. Erweitere \(S\) zu einem Ring.

• Definiere eine zweite Verknüpfung '+', sodass \((S, +)\) eine abelsche Gruppe bildet.
• Untersuche, ob \((S, \cdot)\) mindestens eine Halbgruppe ist.
• Zeige, dass das Distributivgesetz gilt:

• \[a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c)\]
• \[(a + b) \cdot c = (a \cdot c) + (b \cdot c)\]

• Führe Prüfungen zum Ringschluss anhand von konkreten Beispielen durch.

Schritte zur Lösung:

• 1. Definiere eine zweite Verknüpfung '+': Bestimme eine Verknüpfung '+' für die Menge \(S\), sodass \((S, +)\) eine abelsche Gruppe wird. Dies bedeutet, dass folgende Eigenschaften erfüllt sein müssen:
• Kommutativität: Für alle \(a, b \in S\) gilt \[a + b = b + a\].
• Assoziativität: Für alle \(a, b, c \in S\) gilt \[(a + b) + c = a + (b + c)\].
• Existenz des neutralen Elements: Es existiert ein Element \(0 \in S\), sodass für jedes \(a \in S\) gilt \[a + 0 = a\] und \[0 + a = a\].
• Existenz von inversen Elementen: Für jedes \(a \in S\) existiert ein Element \(-a\) in \(S\), sodass \[a + (-a) = 0\].
• 2. Untersuche, ob \((S, \cdot)\) mindestens eine Halbgruppe ist: Überprüfe, ob die Verknüpfung \(\cdot\) assoziativ ist. Falls dies bereits gezeigt wurde, kann dieser Schritt übersprungen werden.
• 3. Zeige das Distributivgesetz: Beweise die Distributivgesetze für die Verknüpfungen \(\cdot\) und '+'.
• Für alle \(a, b, c \in S\), zeige, dass \[a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c)\].
• Zeige ebenfalls, dass \[(a + b) \cdot c = (a \cdot c) + (b \cdot c)\].
• 4. Führe Prüfungen zum Ringschluss anhand von konkreten Beispielen durch: Wende die Verknüpfungen '+' und '\cdot' auf konkrete Elemente in \(S\) an und zeige, dass die Gruppen- und Halbgruppeneigenschaften sowie das Distributivgesetz gelten.

Beispiel:

• Setze die Menge \(S = \mathbb{Z}\) (die Menge der ganzen Zahlen).
• Definiere '+' als die gewöhnliche Addition und \(\cdot\) als die gewöhnliche Multiplikation:
• Überprüfe die abelsche Gruppeneigenschaften für \((\mathbb{Z}, +)\):
• Kommutativität: Für alle ganzen Zahlen \(a\) und \(b\) gilt \(a + b = b + a\).
• Assoziativität: Für alle ganzen Zahlen \(a\), \(b\) und \(c\) gilt \((a + b) + c = a + (b + c)\).
• Neutrales Element: Das neutrale Element ist \(0\), da \(a + 0 = a\) und \(0 + a = a\).
• Existenz inverser Elemente: Für jede ganze Zahl \(a\) existiert das Inverse \(-a\), da \(a + (-a) = 0\).
• Überprüfe die Halbgruppeneigenschaften für \((\mathbb{Z}, \cdot)\):
• Assoziativität: Für alle ganzen Zahlen \(a\), \(b\) und \(c\) gilt \(a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c\).
• Zeige das Distributivgesetz:
• Für alle ganzen Zahlen \(a\), \(b\) und \(c\) gilt \[a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c)\] und \[(a + b) \cdot c = (a \cdot c) + (b \cdot c)\].
• Beispiel: Setze \(a = 2\), \(b = 3\) und \(c = 4\).
• Linke Distributivität: \[2 \cdot (3 + 4) = 2 \cdot 7 = 14\].
• Rechte Distributivität: \[(2 \cdot 3) + (2 \cdot 4) = 6 + 8 = 14\].
• Diese zeigen, dass \[2 \cdot (3 + 4) = (2 \cdot 3) + (2 \cdot 4)\].

Wenn alle diese Prüfungen positiv verlaufen, ist \(S\) ein Ring.

Aufgabe 2)

Du bist der Aufgabensteller für eine Programmieraufgabe, die den korrekten Gebrauch und die Anwendung von Mengenoperationen überprüft. Es sind drei grundlegende Mengenoperationen zu berücksichtigen:

• Vereinigung (\textit{Union}): Die Vereinigung zweier Mengen A und B enthält alle Elemente, die in A oder B oder in beiden enthalten sind. \( A \bigcup B \)
• Durchschnitt (\textit{Intersection}): Der Durchschnitt zweier Mengen A und B enthält nur die Elemente, die sowohl in A als auch in B enthalten sind. \( A \bigcap B \)
• Differenz (\textit{Difference}): Die Differenz der Mengen A und B enthält die Elemente, die in A, aber nicht in B enthalten sind. \( A - B \)

a)

Implementiere eine Python-Funktion union(A, B), die die Vereinigung der zwei Mengen A und B berechnet und als Ergebnis eine neue Menge zurückgibt.

def union(A, B):    # Implementiere hier die Vereinigung von A und B

Lösung:

Um die Vereinigung zweier Mengen in Python zu implementieren, kann die Funktion union(A, B) verwendet werden. Dazu nutzen wir die eingebaute Funktionalität des set-Datentyps in Python, der eine Methode union (bzw. den Operator |) bereitstellt, um die Vereinigung zweier Mengen zu berechnen. Nun zur Implementierung:

def union(A, B):    return A | B# Beispielset_a = {1, 2, 3}set_b = {3, 4, 5}result = union(set_a, set_b)print(result)  # Ausgabe: {1, 2, 3, 4, 5}

Im Code:

• union ist die Funktion, die die Vereinigung zweier Mengen A und B berechnet.
• A | B ist der Operator, um die Vereinigung von A und B zu berechnen.
• Das Beispiel zeigt die Anwendung mit zwei Sets, set_a und set_b. Die Ausgabe der Vereinigung dieser beiden Mengen ist {1, 2, 3, 4, 5}.

b)

Implementiere eine Python-Funktion intersection(A, B), die den Durchschnitt der zwei Mengen A und B berechnet und als Ergebnis eine neue Menge zurückgibt.

def intersection(A, B):    # Implementiere hier den Durchschnitt von A und B

Lösung:

Um den Durchschnitt zweier Mengen in Python zu implementieren, kann die Funktion intersection(A, B) verwendet werden. Dazu nutzen wir die eingebaute Funktionalität des set-Datentyps in Python, der eine Methode intersection (bzw. den Operator &) bereitstellt, um den Durchschnitt zweier Mengen zu berechnen. Nun zur Implementierung:

def intersection(A, B):    return A & B# Beispielset_a = {1, 2, 3}set_b = {3, 4, 5}result = intersection(set_a, set_b)print(result)  # Ausgabe: {3}

Im Code:

• intersection ist die Funktion, die den Durchschnitt zweier Mengen A und B berechnet.
• A & B ist der Operator, um den Durchschnitt von A und B zu berechnen.
• Das Beispiel zeigt die Anwendung mit zwei Sets, set_a und set_b. Die Ausgabe des Durchschnitts dieser beiden Mengen ist {3}.

c)

Implementiere eine Python-Funktion difference(A, B), die die Differenz der zwei Mengen A und B berechnet und als Ergebnis eine neue Menge zurückgibt.

def difference(A, B):    # Implementiere hier die Differenz von A und B

Lösung:

Um die Differenz zweier Mengen in Python zu implementieren, kann die Funktion difference(A, B) verwendet werden. Dazu nutzen wir die eingebaute Funktionalität des set-Datentyps in Python, der eine Methode difference (bzw. den Operator -) bereitstellt, um die Differenz zweier Mengen zu berechnen. Nun zur Implementierung:

def difference(A, B):    return A - B# Beispielset_a = {1, 2, 3, 4}set_b = {3, 4, 5}result = difference(set_a, set_b)print(result)  # Ausgabe: {1, 2}

Im Code:

• difference ist die Funktion, die die Differenz zweier Mengen A und B berechnet.
• A - B ist der Operator, um die Differenz von A und B zu berechnen.
• Das Beispiel zeigt die Anwendung mit zwei Sets, set_a und set_b. Die Ausgabe der Differenz dieser beiden Mengen ist {1, 2}.

d)

Nutze deine zuvor implementierten Funktionen union(A, B), intersection(A, B) und difference(A, B), um eine neue Funktion symmetric_difference(A, B) zu implementieren, die die symmetrische Differenz der zwei Mengen berechnet. Die symmetrische Differenz enthählt alle Elemente, die in genau einer der beiden Mengen A und B enthalten sind, aber nicht in beiden.

def symmetric_difference(A, B):    return union(difference(A, B), difference(B, A))

Lösung:

Die symmetrische Differenz zweier Mengen A und B enthält alle Elemente, die entweder in A oder in B enthalten sind, aber nicht in beiden. Um diese Operation zu implementieren, können wir die zuvor erstellten Funktionen union(A, B), intersection(A, B) und difference(A, B) nutzen.

Die symmetrische Differenz kann berechnet werden, indem wir die Differenz von A und B sowie die Differenz von B und A berechnen und dann die Vereinigung dieser beiden Differenzen bilden.

Hier ist die Implementierung:

def symmetric_difference(A, B):    return union(difference(A, B), difference(B, A))# Beispielset_a = {1, 2, 3, 4}set_b = {3, 4, 5, 6}result = symmetric_difference(set_a, set_b)print(result)  # Ausgabe: {1, 2, 5, 6}

Im Code:

• symmetric_difference ist die Funktion, die die symmetrische Differenz zweier Mengen A und B berechnet.
• difference(A, B) berechnet die Elemente, die in A, aber nicht in B enthalten sind.
• difference(B, A) berechnet die Elemente, die in B, aber nicht in A enthalten sind.
• union(difference(A, B), difference(B, A)) berechnet die Vereinigung der beiden Differenzen, um die symmetrische Differenz zu erhalten.
• Das Beispiel zeigt die Anwendung mit zwei Sets, set_a und set_b. Die Ausgabe der symmetrischen Differenz dieser beiden Mengen ist {1, 2, 5, 6}.

Aufgabe 3)

Betrachte die Menge A = \{1, 2, 3\} und eine Relation R auf A, die durch folgende geordnete Paare gegeben ist: \(1, 1\), \(1, 2\), \(2, 2\), \(2, 1\), \(3, 3\).

a)

Überprüfe, ob die Relation R reflexiv ist. Begründe Deine Antwort.

Lösung:

Um zu überprüfen, ob die Relation R reflexiv ist, müssen wir sicherstellen, dass für jedes Element a in der Menge A das geordnete Paar (a, a) in der Relation R enthalten ist.

Die Menge A ist gegeben als A = {1, 2, 3}. Die Relation R ist gegeben durch die Paare ewline (1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 1), (3, 3).

• Für das Element 1 in A: Das Paar (1, 1) ist in R enthalten.
• Für das Element 2 in A: Das Paar (2, 2) ist in R enthalten.
• Für das Element 3 in A: Das Paar (3, 3) ist in R enthalten.

Da für alle Elemente in der Menge A das geordnete Paar (a, a) in der Relation R enthalten ist, ist die Relation R reflexiv.

b)

Überprüfe, ob die Relation R symmetrisch ist. Begründe Deine Antwort.

Lösung:

Um zu überprüfen, ob die Relation R symmetrisch ist, müssen wir sicherstellen, dass wenn ein geordnetes Paar (a, b) in der Relation R enthalten ist, auch das Paar (b, a) in R enthalten ist.

Die Relation R ist gegeben durch die Paare:

• (1, 1)
• (1, 2)
• (2, 2)
• (2, 1)
• (3, 3)

Überprüfen wir die Symmetrie für jedes Paar:

• Für das Paar (1, 1): Da (1, 1) in R enthalten ist, ist auch das Paar (1, 1) in R, Symmetrie ist erfüllt.
• Für das Paar (1, 2): Da (1, 2) in R enthalten ist, müssen wir überprüfen, ob (2, 1) ebenfalls in R enthalten ist. (2, 1) ist in R enthalten, somit ist Symmetrie erfüllt.
• Für das Paar (2, 2): Da (2, 2) in R enthalten ist, ist auch das Paar (2, 2) in R, Symmetrie ist erfüllt.
• Für das Paar (2, 1): Da (2, 1) in R enthalten ist, müssen wir überprüfen, ob (1, 2) ebenfalls in R enthalten ist. (1, 2) ist in R enthalten, somit ist Symmetrie erfüllt.
• Für das Paar (3, 3): Da (3, 3) in R enthalten ist, ist auch das Paar (3, 3) in R, Symmetrie ist erfüllt.

Da für alle in der Relation R enthaltenen Paare (a, b) auch das Paar (b, a) in R enthalten ist, ist die Relation R symmetrisch.

c)

Überprüfe, ob die Relation R antisymmetrisch ist. Begründe Deine Antwort.

Lösung:

Um zu überprüfen, ob die Relation R antisymmetrisch ist, müssen wir sicherstellen, dass wenn sowohl das Paar (a, b) als auch das Paar (b, a) in der Relation R enthalten sind, dies nur dann der Fall ist, wenn a = b.

Die Relation R ist gegeben durch die Paare:

• (1, 1)
• (1, 2)
• (2, 2)
• (2, 1)
• (3, 3)

Überprüfen wir die Antisymmetrie, indem wir alle Paare (a, b) betrachten und überprüfen, ob das korrespondierende Paar (b, a) nur existiert, wenn a = b:

• Für das Paar (1, 1): Da a = b, ist die Bedingung erfüllt.
• Für das Paar (1, 2): Da (1, 2) in R enthalten ist, überprüfen wir, ob (2, 1) ebenfalls in R enthalten ist. (2, 1) ist in R enthalten, aber a ≠ b. Daher wird die Bedingung der Antisymmetrie verletzt.
• Für das Paar (2, 2): Da a = b, ist die Bedingung erfüllt.
• Für das Paar (2, 1): Da (2, 1) in R enthalten ist, überprüfen wir, ob (1, 2) ebenfalls in R enthalten ist. (1, 2) ist in R enthalten, aber a ≠ b. Daher wird die Bedingung der Antisymmetrie verletzt.
• Für das Paar (3, 3): Da a = b, ist die Bedingung erfüllt.

Da es Paare wie (1, 2) und (2, 1) gibt, bei denen a ≠ b, wird die Bedingung der Antisymmetrie verletzt. Somit ist die Relation R nicht antisymmetrisch.

d)

Überprüfe, ob die Relation R transitiv ist. Begründe Deine Antwort.

Lösung:

Um zu überprüfen, ob die Relation R transitiv ist, müssen wir sicherstellen, dass wenn Paare (a, b) und (b, c) in der Relation R enthalten sind, auch das Paar (a, c) in R enthalten ist.

Die Relation R ist gegeben durch die Paare:

• (1, 1)
• (1, 2)
• (2, 2)
• (2, 1)
• (3, 3)

Überprüfen wir die Transitivität für alle möglichen Paare:

• Für (1, 1) und (1, 1): Es gilt (1, 1) in R, daher ist die Bedingung erfüllt.
• Für (1, 1) und (1, 2): Es gilt (1, 2) in R, daher ist die Bedingung erfüllt.
• Für (1, 2) und (2, 2): Es gilt (1, 2) in R, daher ist die Bedingung erfüllt.
• Für (1, 2) und (2, 1): Wir müssen überprüfen, ob (1, 1) in R enthalten ist. (1, 1) ist in R, daher ist die Bedingung erfüllt.
• Für (2, 2) und (2, 2): Es gilt (2, 2) in R, daher ist die Bedingung erfüllt.
• Für (2, 1) und (1, 1): Es gilt (2, 1) in R, daher ist die Bedingung erfüllt.
• Für (2, 2) und (2, 1): Es gilt (2, 1) in R, daher ist die Bedingung erfüllt.
• Für (2, 1) und (1, 2): Wir müssen überprüfen, ob (2, 2) in R enthalten ist. (2, 2) ist in R, daher ist die Bedingung erfüllt.
• Für (3, 3) und alle anderen: Da es keine weiteren Paare (3, a) oder (a, 3) gibt, beeinflussen diese Paare die Transitivität nicht.

Da für alle relevanten Paare die Bedingung der Transitivität erfüllt ist, ist die Relation R transitiv.

Aufgabe 4)

Betrachte die Menge der komplexen Zahlen \(\mathbb{C}\) mit der Addition und der Multiplikation als Verknüpfungen. Die komplexen Zahlen sind definiert als \(\mathbb{C} = \{a + bi \ | \ a, b \in \mathbb{R}, \ i^2 = -1\ } \).

• \(a\) und \(b\) sind reelle Zahlen
• \(i\) ist die imaginäre Einheit

a)

Zeige, dass die Menge der komplexen Zahlen \(\mathbb{C}\) zusammen mit der Addition und der Multiplikation die axiomatischen Eigenschaften eines Körpers erfüllt. Stelle zuerst sicher, dass der Addition und der Multiplikation die Verknüpfungen assoziativ und kommutativ sind, und dass für die Addition und Multiplikation jeweils ein neutrales und ein inverses Element existieren.

Lösung:

Um zu zeigen, dass die Menge der komplexen Zahlen \( \mathbb{C} \) zusammen mit der Addition und der Multiplikation die axiomatischen Eigenschaften eines Körpers erfüllt, überprüfen wir die folgenden Eigenschaften:

• Assoziativität der Addition
• Kommutativität der Addition
• Existenz eines neutralen Elements der Addition
• Existenz eines inversen Elements der Addition
• Assoziativität der Multiplikation
• Kommutativität der Multiplikation
• Existenz eines neutralen Elements der Multiplikation
• Existenz eines inversen Elements der Multiplikation
• Distributivgesetz

Im Folgenden zeigen wir diese Eigenschaften im Detail:

1. Assoziativität der Addition

Für alle \( z_1, z_2, z_3 \in \mathbb{C} \) gilt:

\( (z_1 + z_2) + z_3 = z_1 + (z_2 + z_3) \)

Seien \( z_1 = a + bi \), \( z_2 = c + di \) und \( z_3 = e + fi \). Dann haben wir:

\[ ((a + bi) + (c + di)) + (e + fi) = (a + c + e) + (b + d + f)i \]

Dies ist gleich:

\[ (a + bi) + ((c + di) + (e + fi)) = (a + c + e) + (b + d + f)i \]

Die Addition ist also assoziativ.

2. Kommutativität der Addition

Für alle \( z_1, z_2 \in \mathbb{C} \) gilt:

\( z_1 + z_2 = z_2 + z_1 \)

Seien \( z_1 = a + bi \) und \( z_2 = c + di \). Dann haben wir:

\[ (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i = (c + di) + (a + bi) \]

Die Addition ist also kommutativ.

3. Existenz eines neutralen Elements der Addition

Das neutrale Element der Addition ist \( 0 + 0i \), denn für jedes \( z = a + bi \) gilt:

\( z + 0 = (a + bi) + 0 = a + bi = z \)

Das neutrale Element der Addition ist also \( 0 \).

4. Existenz eines inversen Elements der Addition

Für jedes \( z = a + bi \) gibt es ein \( -z = -a - bi \), sodass:

\( z + (-z) = (a + bi) + (-a - bi) = 0 \)

Es existiert also für jede komplexe Zahl ein additives Inverses.

5. Assoziativität der Multiplikation

Für alle \( z_1, z_2, z_3 \in \mathbb{C} \) gilt:

\( (z_1 \cdot z_2) \cdot z_3 = z_1 \cdot (z_2 \cdot z_3) \)

Seien \( z_1 = a + bi \), \( z_2 = c + di \) und \( z_3 = e + fi \). Dann haben wir bei der Multiplikation:

\[( (a + bi) \cdot (c + di)) \cdot (e + fi) = ( (ac - bd) + (ad + bc)i) \cdot (e + fi) = z_1 \cdot (z_2 \cdot z_3)\]

Die Multiplikation ist also assoziativ.

6. Kommutativität der Multiplikation

Für alle \( z_1, z_2 \in \mathbb{C} \) gilt:

\( z_1 \cdot z_2 = z_2 \cdot z_1 \)

Seien \( z_1 = a + bi \) und \( z_2 = c + di \). Dann haben wir:

\[ (a + bi) \cdot (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i = (c + di) \cdot (a + bi) \]

Die Multiplikation ist also kommutativ.

7. Existenz eines neutralen Elements der Multiplikation

Das neutrale Element der Multiplikation ist \( 1 + 0i \), denn für jedes \( z = a + bi \) gilt:

\( z \cdot 1 = (a + bi) \cdot (1 + 0i) = a + bi = z \)

Das neutrale Element der Multiplikation ist also \( 1 \).

8. Existenz eines inversen Elements der Multiplikation

Für jedes \( z = a + bi eq 0 \) existiert ein Inverses:

\[ \frac{1}{z} = \frac{a - bi}{a^2 + b^2} \]

denn:

\[ z \cdot \frac{1}{z} = (a + bi) \cdot \frac{a - bi}{a^2 + b^2} = \frac{a^2 + b^2}{a^2 + b^2} = 1 \]

Es existiert also für jede nicht-null komplexe Zahl ein multiplikatives Inverses.

9. Distributivgesetz

Für alle \( z_1, z_2, z_3 \in \mathbb{C} \) gilt:

\( z_1 \cdot (z_2 + z_3) = z_1 \cdot z_2 + z_1 \cdot z_3 \)

Seien \( z_1 = a + bi \), \( z_2 = c + di \) und \( z_3 = e + fi \). Dann erhalten wir:

\[ (a + bi) \cdot ((c + di) + (e + fi)) = (a + bi) \cdot (c + di) + (a + bi) \cdot (e + fi) \]

Das Distributivgesetz gilt also.

Damit sind alle Körperaxiome erfüllt und wir können sagen, dass die Menge der komplexen Zahlen \( \mathbb{C} \) mit Addition und Multiplikation einen Körper bildet.

b)

Beweise, dass die komplexen Zahlen unter der Addition eine abelsche Gruppe bilden. Du sollst dabei die Eigenschaften der Assoziativität, des neutralen Elements und des inversen Elements aufzeigen und begründen.

Lösung:

Um zu beweisen, dass die Menge der komplexen Zahlen \(\mathbb{C}\) unter der Addition eine abelsche Gruppe bildet, müssen wir die folgenden Eigenschaften überprüfen:

• Assoziativität der Addition
• Existenz eines neutralen Elements der Addition
• Existenz eines inversen Elements der Addition
• Kommutativität der Addition

Gehen wir diese Eigenschaften im Detail durch:

1. Assoziativität der Addition

Für alle \(z_1, z_2, z_3 \in \mathbb{C}\) muss gelten:

\((z_1 + z_2) + z_3 = z_1 + (z_2 + z_3)\)

Seien \(z_1 = a + bi\), \(z_2 = c + di\) und \(z_3 = e + fi\). Dann haben wir:

\[((a + bi) + (c + di)) + (e + fi) = (a + c + e) + (b + d + f)i\]

und

\[(a + bi) + ((c + di) + (e + fi)) = (a + c + e) + (b + d + f)i\]

Da die Ergebnisse gleich sind, ist die Addition assoziativ.

2. Existenz eines neutralen Elements der Addition

Das neutrale Element der Addition ist ein Element \(0 \in \mathbb{C}\) derart, dass für jedes \(z = a + bi \in \mathbb{C}\) gilt:

\(z + 0 = z\)

Das neutrale Element der Addition ist \(0 + 0i\), denn:

\((a + bi) + (0 + 0i) = a + bi = z\)

Das neutrale Element der Addition ist also 0.

3. Existenz eines inversen Elements der Addition

Für jedes \(z = a + bi \in \mathbb{C}\) muss es ein Inverses \(-z \in \mathbb{C}\) geben, sodass:

\(z + (-z) = 0\)

Das inverse Element der Addition für \(z = a + bi\) ist \(-z = -a - bi\), denn:

\((a + bi) + (-a - bi) = (a - a) + (b - b)i = 0 + 0i = 0\)

Es existiert also für jede komplexe Zahl ein additives Inverses.

4. Kommutativität der Addition

Für alle \(z_1, z_2 \in \mathbb{C}\) muss gelten:

\(z_1 + z_2 = z_2 + z_1\)

Seien \(z_1 = a + bi\) und \(z_2 = c + di\). Dann haben wir:

\((a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i = (c + di) + (a + bi)\)

Die Addition ist also kommutativ.

Da alle vier Eigenschaften erfüllt sind, können wir folgern, dass die Menge der komplexen Zahlen \(\mathbb{C}\) unter der Addition eine abelsche Gruppe bildet.

c)

Zeige die Distributivität der Multiplikation über der Addition in \(\mathbb{C}\) mit einem formalen Beweis. Das heißt, du musst zeigen, dass für alle komplexen Zahlen \(a, b, c \in \mathbb{C}\) die Gleichung \(a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c\) gilt.

• Nutze dazu die Eigenschaften der reellen Zahlen, um die Schritte des Beweises zu erklären.

Lösung:

Um die Distributivität der Multiplikation über der Addition in den komplexen Zahlen \(\mathbb{C}\) zu zeigen, müssen wir beweisen, dass für alle komplexen Zahlen \(a, b, c \in \mathbb{C}\) die Gleichung \(a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c\) gilt.

Seien \(a = x + yi\), \(b = u + vi\) und \(c = p + qi\), wobei \(x, y, u, v, p, q \in \mathbb{R}\). Wir setzen zuerst die Addition und dann die Multiplikation um.

1. Addition von \(b\) und \(c\)

Zuerst berechnen wir \(b + c\):

\[ b + c = (u + vi) + (p + qi) = (u + p) + (v + q)i \]

2. Multiplikation von \(a\) mit \(b + c\)

Nun multiplizieren wir \(a\) mit \((b + c)\):

\[ a \cdot (b + c) = (x + yi) \cdot ((u + p) + (v + q)i) \]

Wenden wir die Distributivität der reellen Zahlen an:

\[ (x + yi) \cdot ((u + p) + (v + q)i) = x(u + p) + x(v + q)i + yi(u + p) + yi(v + q)i \]

Wir vereinfachen die Terme:

\[ x(u + p) + x(v + q)i + y(u + p)i + y(v + q)i^2 \]

Da \(i^2 = -1\), erhalten wir:

\[ x(u + p) + x(v + q)i + y(u + p)i - y(v + q) \]

Ordnen wir die reellen und imaginären Teile:

\[ (x(u + p) - y(v + q)) + (x(v + q) + y(u + p))i \]

3. Berechnung von \(a \cdot b\) und \(a \cdot c\)

Nun berechnen wir \(a \cdot b\) und \(a \cdot c\) separat:

\[ a \cdot b = (x + yi) \cdot (u + vi) = xu - yv + (xv + yu)i \]

\[ a \cdot c = (x + yi) \cdot (p + qi) = xp - yq + (xq + yp)i \]

4. Addition von \(a \cdot b\) und \(a \cdot c\)

Nun addieren wir die Ergebnisse:

\[ a \cdot b + a \cdot c = (xu - yv + (xv + yu)i) + (xp - yq + (xq + yp)i) \]

Wir ordnen die reellen und imaginären Teile:

\[ (xu - yv + xp - yq) + (xv + yu + xq + yp)i \]

Wir fassen zusammen:

\[ (x(u + p) - y(v + q)) + (x(v + q) + y(u + p))i \]

5. Schlussfolgerung

Da die Ergebnisse übereinstimmen, zeigt dies, dass:

\[ a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \]

Dies zeigt, dass die Distributivität der Multiplikation über der Addition in \(\mathbb{C}\) gilt.

d)

Untersuche, ob die Menge der rationalen Zahlen mit der Addition (\(\mathbb{Q}, +\)) eine Gruppe bildet und ob die Menge der rationalen Zahlen mit der Multiplikation (\(\mathbb{Q}^*, \cdot\)) eine Gruppe bildet, wobei \(\mathbb{Q}^* = \mathbb{Q} \backslash \{0\}\) ist. Zeige dabei, ob \(\mathbb{Q}\) ein Körper ist oder nicht.

Lösung:

Um zu untersuchen, ob die Menge der rationalen Zahlen mit der Addition \((\mathbb{Q}, +)\) eine Gruppe bildet und ob die Menge der rationalen Zahlen mit der Multiplikation \((\mathbb{Q}^*, \cdot)\) eine Gruppe bildet, sowie ob \(\mathbb{Q}\) ein Körper ist, analysieren wir die folgenden Eigenschaften:

• Assoziativität
• Existenz eines neutralen Elements
• Existenz eines inversen Elements
• Kommutativität

Teil 1: Gruppe unter der Addition \((\mathbb{Q}, +)\)

Wir überprüfen, ob \(\mathbb{Q}\) mit der Addition eine Gruppe bildet:

• Assoziativität: Für alle \(a, b, c \in \mathbb{Q}\) gilt:

\((a + b) + c = a + (b + c)\). Die Addition rationaler Zahlen ist assoziativ, da die Addition in \(\mathbb{R}\) assoziativ ist.

• Neutrales Element: Das neutrale Element der Addition ist 0, da:

Für alle \(a \in \mathbb{Q}\) gilt: \(a + 0 = a\).

• Inverses Element: Für jedes \(a \in \mathbb{Q}\) existiert ein \(-a \in \mathbb{Q}\), sodass:

\(a + (-a) = 0\).

• Kommutativität: Für alle \(a, b \in \mathbb{Q}\) gilt:

\(a + b = b + a\). Die Addition rationaler Zahlen ist kommutativ.

Da alle vier Eigenschaften erfüllt sind, bildet \((\mathbb{Q}, +)\) eine abelsche Gruppe.

Teil 2: Gruppe unter der Multiplikation \((\mathbb{Q}^*, \cdot)\)

Nun überprüfen wir, ob \(\mathbb{Q}^* = \mathbb{Q} \backslash \{0\}\) mit der Multiplikation eine Gruppe bildet:

• Assoziativität: Für alle \(a, b, c \in \mathbb{Q}^*\) gilt:

\((a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)\). Die Multiplikation rationaler Zahlen ist assoziativ, da die Multiplikation in \(\mathbb{R}\) assoziativ ist.

• Neutrales Element: Das neutrale Element der Multiplikation ist 1, da:

Für alle \(a \in \mathbb{Q}^*\) gilt: \(a \cdot 1 = a\).

• Inverses Element: Für jedes \(a \in \mathbb{Q}^*\) existiert ein \(a^{-1} \in \mathbb{Q}^*\), sodass:

\(a \cdot a^{-1} = 1\).

• Kommutativität: Für alle \(a, b \in \mathbb{Q}^*\) gilt:

\(a \cdot b = b \cdot a\). Die Multiplikation rationaler Zahlen ist kommutativ.

Da alle vier Eigenschaften erfüllt sind, bildet \((\mathbb{Q}^*, \cdot)\) eine abelsche Gruppe.

Teil 3: Überprüfung, ob \(\mathbb{Q}\) ein Körper ist

Um zu überprüfen, ob \(\mathbb{Q}\) ein Körper ist, müssen wir zeigen, dass \(\mathbb{Q}\) sowohl unter der Addition als auch unter der Multiplikation die entsprechenden Gruppeneigenschaften erfüllt und dass das Distributivgesetz gilt. Da wir bereits gezeigt haben, dass \((\mathbb{Q}, +)\) und \((\mathbb{Q}^*, \cdot)\) abelsche Gruppen sind, bleibt nur noch das Distributivgesetz zu überprüfen:

• Distributivgesetz: Für alle \(a, b, c \in \mathbb{Q}\) gilt:

\(a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c\). Dies ist eine Eigenschaft der rationalen Zahlen als Teilmenge der reellen Zahlen.

Da alle Körperaxiome erfüllt sind, ist \(\mathbb{Q}\) ein Körper.