Algebraische und Logische Aspekte der Automatentheorie - Exam

Aufgabe 1)

Die Studierenden sollen ihr Wissen über formale Sprachen und ihre Klassen insbesondere durch das Verständnis der Kenneigenschaften, ihren Beschreibungen und deren Einordnung in der Chomsky-Hierarchie anwenden und vertiefen. Betrachten wir hierzu ein Alphabet \(\Sigma = \{a, b\}\) und die formale Sprache \(\mathcal{L} = \{a^n b^n \mid n \ge 0\}\).

a)

• Zeige, dass die Sprache \(\mathcal{L}\) nicht regulär ist, indem Du das Pumping-Lemma für reguläre Sprachen verwendest.
• Gegeben sei die kontextfreie Grammatik \(\text{G} = (\{S, A\}, \{a, b\}, P, S)\) mit den Produktionsregeln \(\text{P} \colon S \rightarrow aSb \, \ S \rightarrow \varepsilon\). Zeige, dass \(\text{G}\) \(\mathcal{L}\) erzeugt.
• Entwerfe einen Kellerautomaten, der die Sprache \(\mathcal{L}\) akzeptiert und beschreibe dessen Zustände, das Bandalphabet und die Übergangsfunktion.
• Diskutiere, zu welchem Typ der Chomsky-Hierarchie die Sprache \(\mathcal{L}\) gehört und begründe deine Antwort mit relevanten Eigenschaften und Merkmalen.

Lösung:

Im Folgenden lösen wir die angegebenen Teilaufgaben systematisch und detailliert:

• Zeige, dass die Sprache \(\mathcal{L}\) nicht regulär ist, indem Du das Pumping-Lemma für reguläre Sprachen verwendest:Um zu zeigen, dass die Sprache \(\mathcal{L} = \{a^n b^n \mid n \ge 0\}\) nicht regulär ist, verwenden wir das Pumping-Lemma für reguläre Sprachen. Das Pumping-Lemma besagt, dass für jede reguläre Sprache \(L\) eine Pumping-Länge \(p\) existiert, sodass jedes Wort \(w\) in \(L\) mit \(\vert w \vert \ge p\) in drei Teile \(x, y, z\) geteilt werden kann, wobei \(w = xyz\) und die folgenden Bedingungen erfüllt sein müssen:
  • \(\vert xy \vert \le p\)
  • \(\vert y \vert \ge 1\)
  • \(xy^iz \in L\) für alle \(i \ge 0\).
  Angenommen, \(\mathcal{L}\) wäre regulär. Dann existiert eine Pumping-Länge \(p\). Wähle \(w = a^p b^p \). Nach dem Pumping-Lemma können wir \(w\) in drei Teile \(x, y, z\) unterteilen, sodass \(w = xyz\) und die obigen Bedingungen erfüllt sind. Da \(\vert xy \vert \le p\), besteht der Teil \(xy\) nur aus \('a'\). Das bedeutet, dass \(y = a^k\) für ein \(k \ge 1\). Pumpen wir \(y\) (d.h. betrachten wir \(xy^2z\)), so erhalten wir \(x y^2 z = a^{p+k} b^p \), was nicht in \(\mathcal{L}\) liegt, da die Anzahl der \(a\) und \(b\) jetzt verschieden ist. Dies widerspricht dem Pumping-Lemma, daher ist \(\mathcal{L}\) nicht regulär.
• Zeige, dass die kontextfreie Grammatik die Sprache \(\mathcal{L}\) erzeugt:Die Grammatik \(G = (\{S, A\}, \{a, b\}, P, S)\) mit den Produktionsregeln \(P: S \rightarrow aSb, S \rightarrow \varepsilon\) entspricht einer kontextfreien Grammatik (CFG). Wir zeigen, dass diese Grammatik die Sprache \(\mathcal{L}\) erzeugt.
  • Basisfall: Falls \(n = 0\), dann ist \(S \rightarrow \varepsilon\), was \(a^0 b^0 = \varepsilon\) entspricht. Dieses Wort liegt in \(\mathcal{L}\).
  • Induktionsannahme: Angenommen, \(G\) erzeugt \(a^n b^n\) für ein beliebiges \(n \ge 0\).
  • Induktionsschritt: Wir müssen zeigen, dass \(G\) auch \(a^{n+1} b^{n+1}\) erzeugen kann. Von der Produktionsregel \(S \rightarrow aSb\) angewendet auf ein Wort der Form \(a^n b^n\), erhalten wir \(S \rightarrow a S b \rightarrow a (a^n b^n) b = a^{n+1} b^{n+1}\). Damit ist durch vollständige Induktion bewiesen, dass die Grammatik \(G\) alle Wörter der Form \(a^n b^n\) erzeugt, also \(\mathcal{L}\).
• Entwerfe einen Kellerautomaten, der die Sprache \(\mathcal{L}\) akzeptiert und beschreibe dessen Zustände, das Bandalphabet und die Übergangsfunktion:Ein Kellerautomat (Pushdown Automaton, PDA) für die Sprache \(\mathcal{L}\) hat folgende Komponenten:
  • Zustände: \(Q = \{ q_0, q_1, q_f \} \)
  • Kelleralphabet: \(\Gamma = \{ a, b, Z \} \), wobei Z das Startsymbol des Kellers ist.
  • Eingabealphabet: \(\Sigma = \{ a, b \} \)
  • Startzustand: \(q_0\)
  • Endzustände: \(F = \{ q_f \} \)
  Die Übergangsfunktion \(\delta\) ist wie folgt definiert:
  • \(\delta(q_0, a, Z) = (q_0, aZ)\)
  • \(\delta(q_0, a, a) = (q_0, aa)\)
  • \(\delta(q_0, b, a) = (q_1, \varepsilon)\)
  • \(\delta(q_1, b, a) = (q_1, \varepsilon)\)
  • \(\delta(q_1, \varepsilon, Z) = (q_f, Z)\)
  Die Intuition hinter den Übergängen ist wie folgt: Der PDA beginnt im Zustand \(q_0\) und liest jedes \(a\) auf dem Eingabeband, während er es gleichzeitig auf den Keller stapelt. Wenn der PDA ein \(b\) liest, wechselt er in den Zustand \(q_1\) und entfernt ein \(a\) aus dem Keller für jedes gelesene \(b\). Am Ende, wenn der Keller nur noch das Startsymbol Z enthält, akzeptiert der PDA die Eingabe durch Wechseln in den Endzustand \(q_f\).
• Diskutiere, zu welchem Typ der Chomsky-Hierarchie die Sprache \(\mathcal{L}\) gehört und begründe deine Antwort mit relevanten Eigenschaften und Merkmalen:Die Sprache \(\mathcal{L} = \{ a^n b^n \mid n \ge 0 \}\) gehört zu den kontextfreien Sprachen der Chomsky-Hierarchie. Dies wird durch folgende Eigenschaften unterstützt:
  • \(\mathcal{L}\) kann durch eine kontextfreie Grammatik erzeugt werden, wie oben gezeigt.
  • \(\mathcal{L}\) kann von einem Kellerautomaten akzeptiert werden, wie oben beschrieben.
  • \(\mathcal{L}\) ist nicht regulär, was bedeutet, dass sie höher in der Hierarchie als reguläre Sprachen angesiedelt ist.
  In der Chomsky-Hierarchie sind kontextfreie Sprachen mächtiger als reguläre Sprachen und weniger mächtig als kontextsensitive und rekursiv aufzählbare Sprachen. Daher wird \(\mathcal{L}\) als kontextfreie Sprache klassifiziert.

Zusammenfassung: Wir haben gezeigt, dass die Sprache \(\mathcal{L}\) nicht regulär ist, sondern kontextfrei, indem wir das Pumping-Lemma verwendet, eine kontextfreie Grammatik angegeben und einen Kellerautomaten entworfen haben. Schließlich haben wir die Einordnung in die Chomsky-Hierarchie diskutiert und festgestellt, dass \(\mathcal{L}\) eine kontextfreie Sprache ist.

Aufgabe 2)

Deterministische und nicht-deterministische AutomatenEin deterministischer endlicher Automat (DFA) ist gekennzeichnet durch eindeutige Übergänge für jedes Zustand-Zeichen-Paar. Ein nicht-deterministischer endlicher Automat (NFA) hingegen erlaubt mehrere mögliche Übergänge für ein Zustand-Zeichen-Paar. Formal werden diese Automaten wie folgt beschrieben:

• DFA: \(M = (Q, \, \, \, \, \, \, \Sigma, \, \, \, \, \, \, \delta, \, \, \, \, \, \, q_0, \, \, \, \, \, \, F)\)
• NFA: \(M = (Q, \, \, \, \, \, \, \Sigma, \, \, \, \, \, \, \Delta, \, \, \, \, \, \, q_0, \, \, \, \, \, \, F)\)
• \(Q\) ist eine endliche Menge von Zuständen
• \(\Sigma\) ist das Eingabealphabet
• \(\delta: Q \, \times \, \Sigma \, \rightarrow \, Q\) für den DFA
• \(\Delta: Q \, \times \, \Sigma \, \rightarrow \, \mathcal{P}(Q)\) für den NFA
• \(q_0\) ist der Startzustand
• \(F\) ist die Menge der Akzeptier-Zustände
• Jeder DFA ist auch ein NFA, aber nicht jeder NFA ist ein DFA.
• Für jeden NFA existiert ein äquivalenter DFA, der durch die Powerset-Konstruktion erhalten werden kann.

a)

Gegeben sei der folgende NFA \(M = (\{q_0, q_1, q_2\}, \, \, \, \, \{a, b\}, \, \, \, \, \, \, \Delta, \, \, \, \, \, \, q_0, \, \, \, \, \, \, \{q_2\})\) mit den Übergängen in \(\Delta\) wie folgt:

• \(\Delta(q_0, a) = \{q_0, q_1\}\)
• \(\Delta(q_0, b) = \{q_0\}\)
• \(\Delta(q_1, a) = \{q_2\}\)
• \(\Delta(q_1, b) = \{q_2\}\)
• \(\Delta(q_2, a) = \{q_2\}\)
• \(\Delta(q_2, b) = \{q_2\}\)

Verwende die Powerset-Konstruktion, um einen äquivalenten DFA \(M'\) für diesen NFA zu konstruieren. Gib die vollständige Übergangstabelle von \(M'\) an.

Lösung:

Powerset-KonstruktionDie Powerset-Konstruktion ist ein Verfahren zur Umwandlung eines NFA in einen äquivalenten DFA. Dabei werden die Zustände des DFA durch die Teilmengen (Powerset) der Zustände des NFA dargestellt. Wir werden diese Konstruktion Schritt für Schritt durchführen.1. Definition der Zustände des neuen DFADie Zustände des neuen DFA sind die Teilmengen der Menge der Zustände des NFA, also:

{{}, {q_0}, {q_1}, {q_2}, {q_0, q_1}, {q_0, q_2}, {q_1, q_2}, {q_0, q_1, q_2}}

• {}: Leermenge (keine Zustände)
• {q_0}: enthält nur q_0
• {q_1}: enthält nur q_1
• {q_2}: enthält nur q_2
• {q_0, q_1}: enthält q_0 und q_1
• {q_0, q_2}: enthält q_0 und q_2
• {q_1, q_2}: enthält q_1 und q_2
• {q_0, q_1, q_2}: enthält q_0, q_1 und q_2

2. Bestimmung der ÜbergangsregelnWir müssen nun für alle Zustände und Eingabezeichen die neuen Übergänge bestimmen. Die Übergänge des DFA werden durch die Funktion δ' beschrieben.Wir beginnen mit dem Startzustand {q_0} und folgen den möglichen Übergängen:

• δ'({q_0}, a) => ∆(q_0, a) = {q_0, q_1}
• δ'({q_0}, b) => ∆(q_0, b) = {q_0}

Wir erweitern dies für alle Zustände:

• δ'({q_0, q_1}, a) => ∆(q_0, a) U ∆(q_1, a) = {q_0, q_1} U {q_2} = {q_0, q_1, q_2}
• δ'({q_0, q_1}, b) => ∆(q_0, b) U ∆(q_1, b) = {q_0} U {q_2} = {q_0, q_2}
• δ'({q_0, q_2}, a) => ∆(q_0, a) U ∆(q_2, a) = {q_0, q_1} U {q_2} = {q_0, q_1, q_2}
• δ'({q_0, q_2}, b) => ∆(q_0, b) U ∆(q_2, b) = {q_0} U {q_2} = {q_0, q_2}
• δ'({q_1, q_2}, a) => ∆(q_1, a) U ∆(q_2, a) = {q_2}
• δ'({q_1, q_2}, b) => ∆(q_1, b) U ∆(q_2, b) = {q_2}
• δ'({q_0, q_1, q_2}, a) => ∆(q_0, a) U ∆(q_1, a) U ∆(q_2, a) = {q_0, q_1, q_2}
• δ'({q_0, q_1, q_2}, b) => ∆(q_0, b) U ∆(q_1, b) U ∆(q_2, b) = {q_0, q_2}

Schließlich erhalten wir die vollständige Übergangstabelle:

| Zustände        | a                     | b                     ||-----------------|-----------------------|-----------------------|| {q_0}           | {q_0, q_1}            | {q_0}                 || {q_1}           | {q_2}                 | {q_2}                 || {q_2}           | {q_2}                 | {q_2}                 || {q_0, q_1}      | {q_0, q_1, q_2}       | {q_0, q_2}            || {q_0, q_2}      | {q_0, q_1, q_2}       | {q_0, q_2}            || {q_1, q_2}      | {q_2}                 | {q_2}                 || {q_0, q_1, q_2} | {q_0, q_1, q_2}       | {q_0, q_2}            |

3. Bestimmung der Akzeptier-ZuständeDa der ursprüngliche Akzeptier-Zustand {q_2} ist, sind alle Mengen, die q_2 enthalten, auch Akzeptier-Zustände für den neuen DFA.Die Akzeptier-Zustände im neuen DFA sind also:

• {q_2}
• {q_0, q_2}
• {q_1, q_2}
• {q_0, q_1, q_2}

Der äquivalente DFA ist somit vollständig beschrieben.Zusammenfassung

Die endgültige Übergangstabelle für den erstellten DFA:

| Zustände        | a                     | b                     ||-----------------|-----------------------|-----------------------|| {q_0}           | {q_0, q_1}            | {q_0}                 || {q_1}           | {q_2}                 | {q_2}                 || {q_2}           | {q_2}                 | {q_2}                 || {q_0, q_1}      | {q_0, q_1, q_2}       | {q_0, q_2}            || {q_0, q_2}      | {q_0, q_1, q_2}       | {q_0, q_2}            || {q_1, q_2}      | {q_2}                 | {q_2}                 || {q_0, q_1, q_2} | {q_0, q_1, q_2}       | {q_0, q_2}            |

Akzeptier-Zustände: {q_2}, {q_0, q_2}, {q_1, q_2}, {q_0, q_1, q_2}

b)

Überprüfe, ob das Wort \(aaab\) von dem durch die Powerset-Konstruktion erhaltenen DFA \(M'\) akzeptiert wird. Zeige alle Zwischenschritte und Zustandsübergänge.

Lösung:

Überprüfung des Wortes aaab:Wir überprüfen, ob das Wort aaab vom constructed DFA M' akzeptiert wird, indem wir die Zustandsübergänge Schritt für Schritt durchführen.Zur Erinnerung, hier ist die vollständige Übergangstabelle des DFA M':

| Zustände        | a                     | b                     ||-----------------|-----------------------|-----------------------|| {q_0}           | {q_0, q_1}            | {q_0}                 || {q_1}           | {q_2}                 | {q_2}                 || {q_2}           | {q_2}                 | {q_2}                 || {q_0, q_1}      | {q_0, q_1, q_2}       | {q_0, q_2}            || {q_0, q_2}      | {q_0, q_1, q_2}       | {q_0, q_2}            || {q_1, q_2}      | {q_2}                 | {q_2}                 || {q_0, q_1, q_2} | {q_0, q_1, q_2}       | {q_0, q_2}            |

Der DFA beginnt im Startzustand: {q_0}Wir analysieren nun das Wort aaab und folgen den Übergängen:

• 1. Symbol 'a':Zustand: {q_0}Übergang: δ'({q_0}, a) = {q_0, q_1}
• 2. Symbol 'a':Zustand: {q_0, q_1}Übergang: δ'({q_0, q_1}, a) = {q_0, q_1, q_2}
• 3. Symbol 'a':Zustand: {q_0, q_1, q_2}Übergang: δ'({q_0, q_1, q_2}, a) = {q_0, q_1, q_2}
• 4. Symbol 'b':Zustand: {q_0, q_1, q_2}Übergang: δ'({q_0, q_1, q_2}, b) = {q_0, q_2}

Endzustand: {q_0, q_2}Akzeptanzprüfung:Da {q_0, q_2} ein Akzeptier-Zustand im DFA ist, wird das Wort aaab von dem DFA akzeptiert.Zusammenfassung: Das Wort aaab wird vom DFA akzeptiert, da der finale Zustand {q_0, q_2} ein Akzeptier-Zustand ist.

c)

Vergleiche den Aufbau eines NFA und eines DFA. Diskutiere die Unterschiede in der Anzahl der Zustände und Übergänge, die benötigt werden, um dieselbe Sprache zu akzeptieren.

Lösung:

Vergleich des Aufbaus eines NFA und eines DFAEin deterministischer endlicher Automat (DFA) und ein nicht-deterministischer endlicher Automat (NFA) unterscheiden sich in mehreren wichtigen Aspekten. Insbesondere gibt es Unterschiede in der Art und Weise, wie Zustände und Übergänge gehandhabt werden und wie effizient sie dieselbe Sprache akzeptieren können.

Unterschiede zwischen NFA und DFA:

• Übergänge:
  • DFA: Jeder Zustand hat für jedes Zeichen im Alphabet genau einen eindeutig bestimmten Übergang. Das bedeutet, es gibt keine Unsicherheit über den nächsten Zustand.
  • NFA: Ein Zustand kann für ein Zeichen keine, eine oder mehrere mögliche Übergänge haben. Das erlaubt dem NFA, mehrere mögliche Pfade gleichzeitig zu verfolgen.
• Zustände:
  • DFA: Die Anzahl der Zustände kann exponentiell größer werden als die des NFA. Das liegt an der Powerset-Konstruktion, die verwendet wird, um einen NFA in einen äquivalenten DFA umzuwandeln. Für einen NFA mit n Zuständen kann der resultierende DFA bis zu 2ⁿ Zustände haben.
  • NFA: NFAs können dieselbe Sprache mit tendenziell weniger Zuständen akzeptieren, da sie durch Nichtdeterminismus mehrere Pfade gleichzeitig untersuchen können.
• Komplexität der Übergangsfunktion:
  • DFA: Die Übergangsfunktion ist einfacher und direkter, da sie für jedes Zustand-Zeichen-Paar eine eindeutige Zuordnung aufweist.
  • NFA: Die Übergangsfunktion ist komplexer, da sie eine Menge von möglichen Zuständen für ein gegebenes Zustand-Zeichen-Paar liefert.
• Komplexität der Annahmeprüfung:
  • DFA: Das Prüfen, ob ein Wort akzeptiert wird, ist effizient, da der DFA in linearer Zeit durch das Wort läuft (O(n), wobei n die Länge des Wortes ist).
  • NFA: Das Prüfen, ob ein Wort akzeptiert wird, kann im schlimmsten Fall exponentiell in der Länge des Wortes sein. Allerdings kann der NFA durch Algorithmen wie Backtracking oder durch Simulieren aller möglichen Pfade gleichzeitig dieses Problem umgehen.

Zusammenfassung:

• Ein NFA benötigt in der Regel weniger Zustände als ein äquivalenter DFA, da er durch Nichtdeterminismus mehrere Übergänge gleichzeitig prüfen kann.
• Ein DFA ist simpler und effizienter in der Ausführung, da für jedes Zustand-Zeichen-Paar immer ein klar definierter Übergang existiert. Allerdings kann die Zustandsmenge exponentiell größer sein als die des NFA.
• Für die gleiche Sprache kann ein NFA mit weniger Zuständen auskommen, während ein DFA eine deterministische Verarbeitung gewährleistet, die in linearer Zeit abläuft.

d)

Beweise, dass der NFA \(M\) und der durch die Powerset-Konstruktion erhaltene DFA \(M'\) dieselbe Sprache akzeptieren. Verwende dazu die Definition der akzeptierten Sprache eines Automaten und gehe auf beiden Seiten der Konstruktion systematisch vor.

Lösung:

Beweis der Sprachäquivalenz zwischen dem NFA \(M\) und dem durch die Powerset-Konstruktion erhaltenen DFA \(M'\)Um zu beweisen, dass der NFA \(M = (Q, \, \, \, \, \, \, \Sigma, \, \, \, \, \, \, \Delta, \, \, \, \, \, \, q_0, \, \, \, \, \, \, F)\) und der durch die Powerset-Konstruktion erhaltene DFA \(M'\) dieselbe Sprache akzeptieren, müssen wir zeigen, dass ein Wort von \(M\) genau dann akzeptiert wird, wenn es auch von \(M'\) akzeptiert wird.Ein Wort \(w = w_1w_2\ldots w_n\) wird von einem Automaten akzeptiert, wenn es eine Folge von Übergängen von dem Startzustand zu einem Akzeptier-Zustand gibt. Wir werden diesen Sachverhalt für beide Automaten, NFA und DFA, überprüfen.

1. NFA-Beschreibung

• Der NFA \(M\) akzeptiert ein Wort \(w\), wenn es eine Sequenz von Zustandsübergängen \(q_0 \xrightarrow{w_1} q_1 \xrightarrow{w_2} q_2 \ldots \xrightarrow{w_n} q_n\) gibt, wobei \(q_n\) ein Akzeptier-Zustand ist.

2. DFA-Beschreibung

• Der DFA \(M'\) akzeptiert ein Wort \(w\), wenn es eine Sequenz von Zustandsübergängen \(S_0 \xrightarrow{w_1} S_1 \xrightarrow{w_2} S_2 \ldots \xrightarrow{w_n} S_n\) gibt, wobei \(S_n\) eine Menge von NFA-Zuständen ist und es mindestens einen Zustand \(q \in S_n\) gibt, der ein Akzeptier-Zustand des NFA ist.

3. Systematischer Ansatz zur Powerset-Konstruktion

• Die Zustände im DFA \(M'\) entsprechen den Teilmengen von Zuständen im NFA \(M\).
• Ein Übergang im DFA von einer Menge von Zuständen \(S\) mit einem Zeichen \(w_i\) führt zu einer neuen Menge von Zuständen, die alle Zustände enthält, die durch das Zeichen \(w_i\) von irgendeinem Zustand in \(S\) erreichbar sind.

Beweis der Spracheigenschaft

• (\(\Rightarrow\)) Falls der NFA \(M\) ein Wort \(w\) akzeptiert:Angenommen, \(M\) akzeptiert das Wort \(w\). Das bedeutet, es gibt eine Sequenz von Zuständen \(q_0 \xrightarrow{w_1} q_1 \ldots \xrightarrow{w_n} q_n\) mit \(q_n \in F\).Jeder Übergang \(q_i \xrightarrow{w_{i+1}} q_{i+1}\) im NFA entspricht nun einem Übergang zwischen Mengen von Zuständen im DFA.Da \(q_n\) ein Akzeptier-Zustand des NFA ist, enthält die entsprechende Menge von Zuständen im DFA mindestens \(q_n\). Daher akzeptiert auch der DFA \(M'\) das Wort \(w\).
• (\(\Leftarrow\)) Falls der DFA \(M'\) ein Wort \(w\) akzeptiert:Angenommen, \(M'\) akzeptiert das Wort \(w\). Das bedeutet, es gibt eine Sequenz von Zustandsmengen \({S_0 \xrightarrow{w_1} S_1 \ldots \xrightarrow{w_n} S_n}\), wobei \(S_n\) mindestens einen Akzeptier-Zustand des NFA enthält.Diese Sequenz von Zustandsmengen im DFA repräsentiert eine Menge von möglichen Übergangspfade im NFA. Da einer dieser Pfade zu einem Akzeptier-Zustand führt, wird das Wort \(w\) auch vom NFA \(M\) akzeptiert.

Zusammenfassung:

Da wir gezeigt haben, dass ein Wort von \(M\) genau dann akzeptiert wird, wenn es auch von \(M'\) akzeptiert wird, sind der NFA \(M\) und der daraus durch die Powerset-Konstruktion abgeleitete DFA \(M'\) sprachäquivalent. Das bedeutet, sie akzeptieren dieselbe Sprache.

Aufgabe 3)

Betrachte die Chomsky-Hierarchie, die formale Grammatiken nach ihrer Ausdruckskraft klassifiziert und die entsprechenden Sprachtypen in aufsteigender Reihenfolge differenziert:

• Typ 0: Rekursiv aufzählbare Sprachen
• Typ 1: Kontext-sensitive Sprachen
• Typ 2: Kontextfreie Sprachen
• Typ 3: Reguläre Sprachen
• Inklusionsbeziehung: Typ 3 ⊆ Typ 2 ⊆ Typ 1 ⊆ Typ 0

a)

Gegeben sei die Sprache L über dem Alphabet \(a\) und \(b\), definiert durch:

\(L = \{a^n b^n \; | \; n \geq 0\}\)

a) Bestimme, welche Art von Grammatik (im Sinne der Chomsky-Hierarchie) notwendig ist, um die Sprache L zu erzeugen. Begründe deine Antwort.

Lösung:

Um zu bestimmen, welche Art von Grammatik erforderlich ist, um die Sprache L über dem Alphabet a und b zu erzeugen, die durch:

\(L = \{a^n b^n \; | \; n \geq 0\}\)

definiert ist, betrachten wir die Chomsky-Hierarchie und die jeweilige Ausdruckskraft der verschiedenen Grammatiktypen. Wir prüfen, welche Grammatiktypen in Frage kommen:

• Typ 3: Reguläre Sprachen: Reguläre Sprachen werden durch endliche Automaten beschrieben und können keine Sprachen erzeugen, bei denen die Anzahl der Symbole in einer bestimmten Reihenfolge zählt. Da bei L die Anzahl der a und b-Symbole gleich sein muss und dies nicht durch endliche Automaten ohne zusätzlichen Speicher erreicht werden kann, ist L keine reguläre Sprache.
• Typ 2: Kontextfreie Sprachen: Kontextfreie Sprachen werden durch Kellerautomaten beschrieben. Kellerautomaten verfügen über einen unendlichen Speicher (Stapelspeicher), der dazu verwendet werden kann, die Anzahl der Symbole zu zählen und sicherzustellen, dass die Anzahl der a-Symbole den b-Symbolen entspricht. Daher kann man für L eine kontextfreie Grammatik angeben. Ein Beispiel für eine kontextfreie Grammatik für L wäre:

g = (V, Σ, R, S), wobei: V = {S}, Σ = {a, b}, R = {S → aSb | ε}, S = das Startsypmbol

Diese Grammatik erzeugt exakt die Sprache L

Typ 1: Kontext-sensitive Sprachen: Kontext-sensitive Grammatiken können komplexere Strukturen erzeugen als kontextfreie Grammatiken. Da L jedoch bereits durch eine kontextfreie Grammatik erzeugt werden kann, ist eine kontextsensitive Grammatik nicht erforderlich.

Typ 0: Rekursiv aufzählbare Sprachen: Diese Grammatiken besitzen die größte Ausdruckskraft und können auch die komplexesten Sprachen erzeugen. Da L bereits durch eine kontextfreie Grammatik beschrieben werden kann, ist auch hier keine rekursiv aufzählbare Grammatik notwendig.

Zusammenfassend lässt sich feststellen, dass die Sprache L durch eine kontextfreie Grammatik (Typ 2) erzeugt werden kann.

b)

b) Entwickle eine kontextfreie Grammatik (CFG), die die Sprache L erzeugt. Gib die Produktionsregeln an.

Hinweis: Eine kontextfreie Grammatik ist eine Grammatik, in der alle Produktionsregeln die Form \(A \rightarrow \beta\) haben, wobei \(A\) ein Nichtterminal und \(\beta\) eine Folge von Terminalen und/oder Nichtterminalen ist.

Lösung:

Um eine kontextfreie Grammatik (CFG) zu entwickeln, die die Sprache L erzeugt, definieren wir die Produktionsregeln gemäß der Sprache:

\(L = \{a^n b^n \; | \; n \geq 0\}\)

Die kontextfreie Grammatik muss sicherstellen, dass jeder a durch ein entsprechendes b gefolgt wird. Das erreichen wir durch die folgenden Produktionsregeln:

• Startsymbol: S
• Produktion 1: S → aSb
• Produktion 2: S → ε (Hier steht ε für das leere Wort)

Dies ergibt die kontextfreie Grammatik G:

G = (V, Σ, R, S)

mit den folgenden Bestandteilen:

• V: {S} (Menge der Nichtterminalzeichen)
• Σ: {a, b} (Menge der Terminalzeichen)
• R: {S → aSb, S → ε} (Menge der Produktionsregeln)
• S: Startsymbol

Die Produktionsregel S → aSb stellt sicher, dass jedes a durch ein entsprechendes b gefolgt wird. Die Regel S → ε erlaubt es, das leere Wort zu erzeugen, was für \(n = 0\) erforderlich ist.

Mit diesen Regeln wird die Sprache L korrekt erzeugt, da sie genau die Wörter der Form \(a^n b^n\) für \(n \geq 0\) erzeugen.

c)

c) Zeige, dass die Sprache L nicht regulär ist, indem du das Pumping-Lemma für reguläre Sprachen anwendest. Formuliere das Pumping-Lemma und führe die notwendigen Schritte durch, um den Beweis zu erbringen.

Lösung:

Um zu zeigen, dass die Sprache L nicht regulär ist, verwenden wir das Pumping-Lemma für reguläre Sprachen.

Pumping-Lemma für reguläre Sprachen:

Sei L eine reguläre Sprache. Dann existiert eine Konstante p (die Pump-Länge), so dass jedes Wort w in L mit |w| ≥ p in drei Teile w = xyz zerlegt werden kann, wobei:

• 1. |xy| ≤ p
• 2. |y| ≥ 1
• 3. Für alle i ≥ 0 ist xyⁱz ebenfalls in L

Zum Beweis, dass die Sprache L nicht regulär ist, gehen wir wie folgt vor:

Gegebene Sprache: \(L = \{a^n b^n \; | \; n \geq 0\}\)

Schritte des Beweises:

1. Angenommen, L ist regulär. Dann muss das Pumping-Lemma gelten.
2. Sei p die Pump-Länge, die in dem Pumping-Lemma existiert.
3. Wähle ein Wort w in L mit |w| ≥ p. Wir wählen w = a^pb^p, weil |w| = 2p ≥ p.
4. Nach dem Pumping-Lemma kann w in drei Teile w = xyz zerlegt werden, wobei:

• |xy| ≤ p
• |y| ≥ 1
• Und für alle i ≥ 0 muss xyⁱz ebenfalls in L sein.

Da |xy| ≤ p, muss der Teil y aus einer Anzahl von a-Zeichen bestehen (denn die ersten p Zeichen von w sind alle a's). Sei y = a^k mit 1 ≤ k.

Dann ist xz = a^p-kb^p.

Betrachten wir nun das gepumpte Wort xy²z:

• xy²z = xaya z = a^p-ka^ka^kb^p = a^p+kb^p

Dieses Wort ist nicht in L, weil die Anzahl der a's (nämlich p+k) nicht gleich der Anzahl der b's (nämlich p) ist.

Da es möglich ist, ein i zu wählen, so dass das Wort xyⁱz nicht in L ist, widerspricht dies dem Pumping-Lemma. Folglich kann L nicht regulär sein.

Damit haben wir gezeigt, dass die Sprache L nicht regulär ist, indem wir das Pumping-Lemma angewendet und einen Widerspruch gefunden haben.

d)

d) Betrachte die folgende kontext-sensitive Grammatik (CSG):

S -> aSBC | B

CB -> DE

DC -> ED

bD -> db

E -> e

eC -> c

Zeige Schritt für Schritt, wie diese Grammatik das Wort \(abbc\) erzeugt. Beschreibe den Derivationsprozess ausführlich.

Lösung:

Um zu zeigen, wie die gegebene kontext-sensitive Grammatik (CSG) das Wort abbc erzeugt, betrachten wir die Produktionsregeln:

S -> aSBC | B

CB -> DE

DC -> ED

bD -> db

E -> e

eC -> c

Wir beginnen mit dem Startsymbol S und leiten Schritt für Schritt die Ableitung von abbc her. Hier ist der detaillierte Derivationsprozess:

1. Start mit dem Startsymbol: S
2. Wende die Regel S → aSBC an:

   S -> aSBC

   Daraus ergibt sich: aSBC
3. Ersetze S erneut mit B:

   aSBC -> aBBC

   aBBC
4. Ersetze CB durch DE:

   aBBC -> aBDEC

   aBDEC
5. Ersetze DC durch ED:

   aBDEC -> aBEDEC

   aBEDEC
6. Ersetze E durch e:

   aBEDEC -> aBeDEC

   aBeDEC
7. Ersetze eC durch c:

   aBeDEC -> aBeDc

   aBeDc
8. Ersetze bD durch db:

   aBeDc -> abedc

   abedc

Damit haben wir gezeigt, wie die gegebene kontext-sensitive Grammatik das Wort abbc erzeugt. Der Derivationsprozess ist:

S -> aSBC -> aBBC -> aBDEC -> aBEDEC -> aBeDEC -> aBeDc -> abedc -> abbc

Aufgabe 4)

Gegeben sei ein deterministischer endlicher Automat (DFA) \(M = (Q, \, \Sigma, \, \delta, \, q_0, \, F)\) mit

• Menge der Zustände \(Q = \{q_0, q_1, q_2, q_3, q_4, q_5\}\),
• Alphabet \(\Sigma = \{a, b\}\),
• Übergangsfunktion \(\delta\) gegeben durch die folgende Tabelle:

• \(\delta(q_0, a) = q_1\), \(\delta(q_0, b) = q_2\)
• \(\delta(q_1, a) = q_3\), \(\delta(q_1, b) = q_4\)
• \(\delta(q_2, a) = q_4\), \(\delta(q_2, b) = q_5\)
• \(\delta(q_3, a) = q_1\), \(\delta(q_3, b) = q_0\)
• \(\delta(q_4, a) = q_3\), \(\delta(q_4, b) = q_2\)
• \(\delta(q_5, a) = q_4\), \(\delta(q_5, b) = q_5\)

• Startzustand \(q_0\),
• Menge der akzeptierenden Zustände \(F = \{q_3\}\).

Führe den Minimierungsprozess für diesen DFA durch und finde den minimalen DFA. Berücksichtige dabei die folgenden Schritte:

• Äquivalente Zustände finden und zusammenführen.
• Startzustand und Endzustände berücksichtigen.
• Verwende den Teilalgorithmus nach Hopcroft oder Moore.
• Aufteilen von Zuständen in Äquivalenzklassen.
• Prüfen von Paaren von Zuständen auf Ununterscheidbarkeit bezüglich ihrer Übergänge und Akzeptanz.
• Erhalt eines minimalen DFA.

a)

Bestimme alle Äquivalenzklassen der Zustände nach dem Moore-Algorithmus. Zeige jeden Schritt der Iteration und erkläre, wie die Zustände in Äquivalenzklassen aufgeteilt werden.

Lösung:

Minimierung eines DFA nach dem Moore-Algorithmus

Gegeben sei ein deterministischer endlicher Automat (DFA) M, definiert durch:

• Menge der Zustände Q = {q0, q1, q2, q3, q4, q5}
• Alphabet Σ = {a, b}
• Übergangsfunktion δ:
• δ(q0, a) = q1, δ(q0, b) = q2
• δ(q1, a) = q3, δ(q1, b) = q4
• δ(q2, a) = q4, δ(q2, b) = q5
• δ(q3, a) = q1, δ(q3, b) = q0
• δ(q4, a) = q3, δ(q4, b) = q2
• δ(q5, a) = q4, δ(q5, b) = q5
• Startzustand q0
• Menge der akzeptierenden Zustände F = {q3}

Folge diesen Schritten, um alle Äquivalenzklassen mit Hilfe des Moore-Algorithmus zu bestimmen.

1. Schritt: Initiale Partitionierung

Teile die Zustände in akzeptierende und nicht akzeptierende Zustände:

• Akzeptierende Zustand: {q3}
• Nicht akzeptierende Zustände: {q0, q1, q2, q4, q5}

2. Schritt: Iterationen der Verfeinerung

Iteration 1:

• Für die Klasse {q3}: Es gibt nur einen Zustand, also keine Änderung.
• Für die Klasse {q0, q1, q2, q4, q5}:
• δ(q0, a) = q1, δ(q0, b) = q2
• δ(q1, a) = q3, δ(q1, b) = q4
• δ(q2, a) = q4, δ(q2, b) = q5
• δ(q4, a) = q3, δ(q4, b) = q2
• δ(q5, a) = q4, δ(q5, b) = q5
• Teile nach Übergang:
• {q1, q4}: Übergang auf 'a' zu Zustand q3 (akzeptierend)
• {q0, q2, q5}: Andere Übergänge (nicht akzeptierend)

Neue Partitionen:

• {q3}
• {q1, q4}
• {q0, q2, q5}

Iteration 2:

• Für die Klasse {q3}: Keine Änderung.
• Für die Klasse {q1, q4}:
• δ(q1, a) = q3, δ(q1, b) = q4
• δ(q4, a) = q3, δ(q4, b) = q2
• Da δ(q1, b) = q4 e δ(q4, b) = q2, sind q1 und q4 nicht äquivalent.
• Teilung:
• {q1}
• {q4}
• Für die Klasse {q0, q2, q5}:
• δ(q0, a) = q1, δ(q0, b) = q2
• δ(q2, a) = q4, δ(q2, b) = q5
• δ(q5, a) = q4, δ(q5, b) = q5
• Da δ(q0, a) = q1 e δ(q2, a) = q4, sind q0 und q2 nicht äquivalent.
• Teilung:
• {q0}
• {q2, q5}

Neue Partitionen:

• {q3}
• {q1}
• {q4}
• {q0}
• {q2, q5}

Prüfung:

• Für die Klasse {q2, q5}:
• δ(q2, a) = q4, δ(q2, b) = q5
• δ(q5, a) = q4, δ(q5, b) = q5
• Die Übergänge führen zu gleichen Klassen, q2 und q5 bleiben zusammen.

Ergebnis: Die Äquivalenzklassen sind:

• {q3}
• {q1}
• {q4}
• {q0}
• {q2, q5}

Diese äquivalenten Zustände können zusammengeführt werden, um den minimalen DFA zu erhalten.

b)

Erzeuge basierend auf den gefundenen Äquivalenzklassen den minimalen DFA, indem Du die Zustandsübergänge für die repräsentativen Zustände der Äquivalenzklassen bestimmst. Skizziere das resultierende Zustandsdiagramm.

Lösung:

Erzeugung des minimalen DFA

Basierend auf den zuvor bestimmten Äquivalenzklassen des DFA, konstruieren wir nun den minimalen DFA.

Zusammenfassung der Äquivalenzklassen

• {q3}
• {q1}
• {q4}
• {q0}
• {q2, q5}

Diese Klassen repräsentieren die Zustände des minimalen DFA. Nun bestimmen wir die Zustandsübergänge für die repräsentativen Zustände der Äquivalenzklassen.

1. Bestimmung der Repräsentanten und Zustandsübergänge

Wähle aus jeder Äquivalenzklasse einen Repräsentanten:

• q3 aus {q3}
• q1 aus {q1}
• q4 aus {q4}
• q0 aus {q0}
• q2 aus {q2, q5}

Bestimme die Zustandsübergänge für diese Repräsentanten gemäß der ursprünglichen Übergangsfunktion:

• δ(q0, a) = q1, δ(q0, b) = q2
• δ(q1, a) = q3, δ(q1, b) = q4
• δ(q2, a) = q4, δ(q2, b) = q2
• δ(q3, a) = q1, δ(q3, b) = q0
• δ(q4, a) = q3, δ(q4, b) = q2

Beachte, dass {q2, q5} durch q2 repräsentiert wird und die Übergänge von q2 daher auch für q5 gelten.

2. Definition des minimalen DFA

Der minimale DFA M' besteht aus:

• Zustandsmenge: Q' = {q3, q1, q4, q0, q2}
• Alphabet: Σ = {a, b}
• Übergangsfunktion δ':
• δ'(q0, a) = q1, δ'(q0, b) = q2
• δ'(q1, a) = q3, δ'(q1, b) = q4
• δ'(q2, a) = q4, δ'(q2, b) = q2
• δ'(q3, a) = q1, δ'(q3, b) = q0
• δ'(q4, a) = q3, δ'(q4, b) = q2
• Startzustand: q0
• Akzeptierende Zustände: F' = {q3}

3. Skizzierung des resultierenden Zustandsdiagramms

• q0 –a–> q1
• q0 –b–> q2
• q1 –a–> q3
• q1 –b–> q4
• q2 –a–> q4
• q2 –b–> q2
• q3 –a–> q1
• q3 –b–> q0
• q4 –a–> q3
• q4 –b–> q2

Das resultierende Zustandsdiagramm kann wie folgt skizziert werden:

 q0 (Start) --a--> q1 --a--> q3 (Akzeptierend)   |             |                b             b                |             |                v             v                q2 <--------- q4               |                                 b                                 |                                 v                                 q2