Alle Lernmaterialien für deinen Kurs Algorithms of Numerical Linear Algebra

In dieser Vorlesung werden verschiedene Matrixfaktorisierungstechniken wie LU-, QR- und Cholesky-Zerlegung detailliert behandelt. Du lernst, wie diese Methoden zur Lösung von Gleichungssystemen eingesetzt werden.

• LU-Faktorisierung: Zerlegung einer Matrix in das Produkt einer unteren und einer oberen Dreiecksmatrix.
• QR-Faktorisierung: Zerlegung einer Matrix in ein orthogonales und ein oberes Dreiecksmatrixprodukt.
• Cholesky-Zerlegung: Zerlegung einer hermitesch definiter Positivmatrix in das Produkt einer unteren Dreiecksmatrix und deren konjugiert-transponierten.
• Einsatz von Matrixfaktorisierungen zur Lösung von linearen Gleichungssystemen.
• Konditionszahl und deren Einfluss auf die numerische Stabilität der Faktorisierungen.

Die Vorlesung behandelt verschiedene iterative Verfahren zur Lösung großer, spärlicher linearen Gleichungssysteme, die in der Praxis häufig auftreten.

• Jacobi-Verfahren: Ein einfaches iteratives Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen.
• Gauss-Seidel-Verfahren: Ein genauer an Jacobi angepasstes iteratives Verfahren.
• Gradientenverfahren: Typische Verfahren wie das konjugierte Gradientenverfahren (CG).
• Mehrgitterverfahren: Lösungen basierend auf der Iteration auf mehreren Gittern.
• Preconditioner: Techniken zur Verbesserung der Konvergenzrate von iterativen Verfahren.

Im Rahmen des Kurses lernst Du verschiedene Methoden zur Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren von Matrizen kennen.

• Potenzmethode: Ein einfaches Verfahren zur Berechnung des größten Eigenwertes.
• QR-Algorithmus: Ein iteratives Verfahren zur Bestimmung aller Eigenwerte.
• Jacobi-Verfahren: Ein iteratives Verfahren speziell zur Diagonalisierung von symmetrischen Matrizen.
• Lanczos-Verfahren: Ein spezielles Verfahren für große, spärliche Matrizen.
• Anwendungen von Eigenwertberechnungen in der Praxis: Von Finite-Elemente-Methoden bis hin zur maschinellen Lernalgorithmen.

Ein zentrales Thema der Vorlesung ist die numerische Stabilität und Genauigkeit der verschiedenen Algorithmen in der numerischen linearen Algebra.

• Fehlerquellen: Verständnis der unterschiedlichen Arten von Fehlern, wie Rundungs- und Trunkierungsfehler.
• Stabilität vs. Instabilität: Analyse, welche Algorithmen stabil sind und welche nicht.
• Konditionierung von Problemen: Wie gut ist ein Problem numerisch lösbar?
• Backward Error Analysis: Untersuchung der genauen Lösungsnähe an das ursprüngliche Problem.
• Numerische Tests: Praktische Tests, um die Stabilität und Genauigkeit von Algorithmen zu überprüfen.

Ein wesentlicher Teil des Kurses besteht aus praktischen Anwendungen und der Implementierung der besprochenen Algorithmen.

• Implementierung von Algorithmen in Python, MATLAB oder Octave.
• Anwendung der Algorithmen zur Datenanalyse und wissenschaftlichem Rechnen.
• Optimierung von Algorithmen für Performance und Speicherverbrauch.
• Projektarbeiten: Entwicklung und Präsentation eigener Rechenprojekte.
• Verwendung von Bibliotheken wie LAPACK und Eigen zur Vereinfachung der Implementierung.