Analoge elektronische Systeme - Exam

Aufgabe 1)

Ein einfacher Schaltkreis besteht aus einer Gleichspannungsquelle von 12V, einem Widerstand von 6Ω und einem Kondensator von 10μF, die in Reihe geschaltet sind. Ein NPN-Transistor und eine Diode sind parallel zu diesem RC-Kreis geschaltet. Der Transistor hat eine Verstärkung von 100. Der Schaltkreis wird nach dem Einschalten der Spannungsquelle untersucht.

a)

Berechne den Strom, der durch den Widerstand fließt, unmittelbar nachdem die Spannungsquelle eingeschaltet wurde. Gehe davon aus, dass der Kondensator zunächst unbeladen ist.

Lösung:

Berechnung des Stroms durch den Widerstand unmittelbar nach dem Einschalten der Spannungsquelle

Um den Strom zu berechnen, der unmittelbar nach dem Einschalten der Spannungsquelle durch den Widerstand fließt, müssen wir berücksichtigen, dass der Kondensator zunächst unbeladen ist.

Ein unbeladener Kondensator verhält sich wie ein Kurzschluss. Daher fließt der gesamte Strom im Moment des Einschaltens durch den Kondensator und den Widerstand.

Die gegebenen Werte sind:

• Spannungsquelle (V_cc) = 12V
• Widerstand (R) = 6Ω

Nach dem Ohmschen Gesetz (I = V / R) berechnet sich der Strom (I) durch den Widerstand wie folgt:

\[ I = \frac{V_{cc}}{R} = \frac{12V}{6Ω} = 2A \]

Daher beträgt der Strom, der unmittelbar nach dem Einschalten der Spannungsquelle durch den Widerstand fließt, 2 Ampere.

b)

Angenommen, der Transistor schaltet sich ein, wenn die Spannung über dem Kondensator 5V erreicht. Wie lange dauert es, bis der Transistor in den aktiven Zustand wechselt? Nutze die Formel für das Aufladen eines Kondensators \[ V(t) = V_{0}(1 - e^{-\frac{t}{RC}}) \] umwandeln.

Lösung:

Berechnung der Zeit, bis der Transistor in den aktiven Zustand wechselt

Um zu berechnen, wie lange es dauert, bis der Transistor in den aktiven Zustand wechselt, können wir die gegebene Formel für das Aufladen eines Kondensators verwenden:

\[ V(t) = V_{0}(1 - e^{-\frac{t}{RC}}) \]

Wir benötigen folgende Werte:

• Spannungsquelle (V_cc) = 12V (dies ist V₀, die maximale Spannung)
• Widerstand (R) = 6Ω
• Kondensator (C) = 10μF = 10 x 10^-6 Farad
• Spannung, bei der der Transistor schaltet (V_t) = 5V

Setze die Werte in die Formel ein:

\[ 5V = 12V (1 - e^{-\frac{t}{6Ω \times 10 \times 10^{-6}F}}) \]

Vereinfachen wir die Gleichung, um t zu isolieren:

• \[ \frac{5V}{12V} = 1 - e^{-\frac{t}{6Ω \times 10 \times 10^{-6} F}} \]
• \[ \frac{5}{12} = 1 - e^{-\frac{t}{6Ω \times 10 \times 10^{-6}}} \]
• \[ \frac{5}{12} - 1 = - e^{-\frac{t}{6Ω \times 10 \times 10^{-6}}} \]
• \[ - \frac{7}{12} = - e^{-\frac{t}{6Ω \times 10 \times 10^{-6}}} \]
• \[ \frac{7}{12} = e^{-\frac{t}{6Ω \times 10 \times 10^{-6}}} \]

Nehmen wir den natürlichen Logarithmus (ln) auf beiden Seiten der Gleichung:

• \[ ln \left( \frac{7}{12} \right) = - \frac{t}{6Ω \times 10 \times 10^{-6}} \]

Nun lösen wir für t:

• \[ t = -6Ω \times 10 \times 10^{-6} F \times ln \left( \frac{7}{12} \right) \]
• \[ t = -6 \times 10 \times 10^{-6} \times ln \left( \frac{7}{12} \right) \]
• \[ t = -60 \times 10^{-6} \times ln \left( \frac{7}{12} \right) \]

Berechnung des Wertes:

• \[ ln \left( \frac{7}{12} \right) \approx -0.5596 \]

Schließe die Berechnung ab:

• \[ t = -60 \times 10^{-6} \times -0.5596 \]
• \[ t \approx 33.58 \times 10^{-6} \text{{ Sekunden}} \]

Also dauert es ungefähr 33.58 μs, bis der Transistor in den aktiven Zustand wechselt.

Aufgabe 2)

Ein Operationsverstärker (OPV) ist ein wesentliches Bauelement in analogen elektronischen Systemen. Betrachte einen idealen Operationsverstärker, dessen Eingangskennlinie durch die Differenzeingangsspannung und Ausgangsspannung beschrieben wird. Ein idealer OPV hat eine unendlich hohe Verstärkung und unendlich hohen Eingangswiderstand. Die Übertragungskennlinie eines idealen Operationsverstärkers ist durch eine lineare Beziehung zwischen der Differenzeingangsspannung und der Ausgangsspannung gekennzeichnet. Eine typische Anwendung eines Operationsverstärkers ist der invertierende Verstärker, dessen Ausgangsspannung durch die Widerstandswerte im Rückkopplungsnetzwerk bestimmt wird. Anhand dieser Informationen sollen die folgenden Aufgaben bearbeitet werden.

b)

Ein idealer Operationsverstärker hat unendlich hohe Verstärkung. Erkläre, wie dies die Eingangskennlinie des Operationsverstärkers beeinflusst. Was passiert mit der Differenzeingangsspannung \( V_{diff} \), wenn der OPV im linearen Bereich betrieben wird?

Lösung:

Ein idealer Operationsverstärker ist durch eine unendlich hohe Verstärkung gekennzeichnet. Dies hat wesentliche Auswirkungen auf die Eingangskennlinie des Operationsverstärkers:

• Unendlich hohe Verstärkung: Da der idealer OPV eine unendlich hohe Verstärkung besitzt, wird jede noch so kleine Differenzeingangsspannung V_diff zu einer sehr großen Ausgangsspannung V_out verstärkt.
• Eingangskennlinie: Die Eingangskennlinie beschreibt die Beziehung zwischen der Differenzeingangsspannung und der Ausgangsspannung. Bei einem idealen OPV bleibt diese Kennlinie linear, jedoch ist die Steigung der Linie (die Verstärkung) unendlich hoch. Dies bedeutet, dass theoretisch jede endliche Differenzeingangsspannung eine unendlich große Ausgangsspannung erzeugen würde. Da die Ausgangsspannung physikalisch begrenzt ist, bewirkt dies, dass der OPV sich in der Praxis so verhält, dass
• Linearen Bereich: Wenn der OPV im linearen Bereich betrieben wird, wird die Differenzeingangsspannung V_diff nahezu Null. Dies liegt daran, dass der Operationsverstärker im linearen Bereich die Ausgangsspannung so lange anpasst, bis die Differenzeingangsspannung verschwindet oder zumindest sehr nahe bei Null ist:

Im linearer Bereich können wir also sagen:

V_diff ≈ 0 V

• Negative Rückkopplung: Bei typischen Konfigurationen wie dem invertierenden oder nichtinvertierenden Verstärker mit negativer Rückkopplung, zwingt die hohe Verstärkung des OPVs die Differenzeingangsspannung gegen Null. Das Eingangssignal und die Ausgangsspannung werden durch die externe Beschaltung (Widerstände oder andere Elemente) bestimmt, und nicht durch die Differenzeingangsspannung.

Zusammengefasst: In einem idealen Operationsverstärker mit unendlich hoher Verstärkung wird die Differenzeingangsspannung V_diff auf nahezu Null gebracht, wenn der OPV im linearen Bereich arbeitet, da der OPV die Ausgangsspannung entsprechend anpasst um dies zu erreichen.

c)

Eine Diode wird in den Rückkopplungszweig eines Operationsverstärkers eingebaut. Angenommen, die Durchlassspannung der Diode beträgt 0,7 V. Modifiziere die Gleichung für \( V_{out} \) aus Subaufgabe 1 entsprechend und berechne die neue Ausgangsspannung, wenn das Eingangssignal \( V_{in} = 1 \) V bleibt und die Widerstände unverändert sind. Nutze dazu das vereinfachte Modell für die Diode: \[ I = I_S (e^{\frac{U_D}{nV_T}} - 1) \] und gebe an, wie die Durchlassspannung die Berechnung beeinflusst.

Lösung:

Wenn eine Diode in den Rückkopplungszweig eines Operationsverstärkers eingebaut wird, beeinflusst die Durchlassspannung der Diode die Ausgangsspannung des Verstärkers. Die Durchlassspannung der Diode beträgt in diesem Fall 0,7 V. Wir müssen die Gleichung für V_out aus der ersten Subaufgabe entsprechend modifizieren.

Gegeben:

• Eingangssignal V_in = 1 V
• Widerstand im Eingangszeig R₁ = 10 kΩ
• Widerstand im Rückkopplungszweig R_f = 100 kΩ
• Durchlassspannung der Diode U_D = 0,7 V

Die ursprüngliche Gleichung für die Ausgangsspannung ohne Diode lautet:

V_{out} = -\frac{R_f}{R_1} V_{in}

Setzen wir die bekannten Werte ein:

V_{out} = -\frac{100,000}{10,000} \times 1 \text{V} = -10 \text{V}

Da die Diode im Rückkopplungszweig eingefügt ist und eine Durchlassspannung von 0,7 V hat, muss dieser Spannungsabfall berücksichtigt werden. Das bedeutet, dass die Diode nur dann leitet, wenn die Ausgangsspannung die Durchlassspannung erreicht oder übersteigt.

Im vereinfachten Modell der Diode gilt:

I = I_S \left(e^{\frac{U_D}{nV_T}} - 1\right)

Für den Fall, dass die Diode im linearen Bereich ist und den Spannungsabfall U_D = 0,7 V hat, erfolgt die Modifikation der Gleichung für V_out:

V_{out}' = V_{out} - U_D

Setzen wir den ursprünglichen Wert für V_out und die Durchlassspannung der Diode ein:

V_{out}' = -10 \text{V} - 0,7 \text{V} = -10,7 \text{V}

Die Durchlassspannung von 0,7 V subtrahiert sich also von der ursprünglichen Ausgangsspannung.

Zusammengefasst: Durch die Durchlassspannung der Diode wird die Ausgangsspannung V_out' um 0,7 V verringert. Somit beträgt die neue Ausgangsspannung V_out' -10,7 V.

Aufgabe 3)

Du hast eine Schaltung, die einen Operationsverstärker (OPV) verwendet, um ein Signal zu verstärken. Der Operationsverstärker hat folgende reale Parameter: Eingangsimpedanz von 1 MΩ, Ausgangsimpedanz von 100 Ω, Verstärkung (\textit{A}) von $10^5$, Bandbreite von 1 MHz und eine Slew Rate von 0,5 V/μs.

b)

Bestimme die maximale Ausgangsspannung, die der Operationsverstärker erzeugen kann, wenn die Eingangsfrequenz 100 kHz beträgt. Berücksichtige die Slew Rate.

Lösung:

Um die maximale Ausgangsspannung zu bestimmen, die der Operationsverstärker bei einer Eingangsfrequenz von 100 kHz erzeugen kann, müssen wir die Slew Rate berücksichtigen. Die Slew Rate gibt die maximale Änderungsrate der Ausgangsspannung an.

• Gegebene Parameter:
  • Slew Rate: 0,5 V/μs
  • Eingangsfrequenz: 100 kHz

Die maximale Änderungsrate der Ausgangsspannung (\( \frac{dV_{out}}{dt} \)) bei einer sinusförmigen Ausgangsspannung ist gegeben durch:

• \( \frac{dV_{out}}{dt} = 2 \pi f V_{out, \text{max}} \)

Hierbei ist \( f \) die Frequenz und \( V_{out, \text{max}} \) die maximale Amplitude der Ausgangsspannung.

Setzen wir die Werte in die Gleichung ein, um nach \( V_{out, \text{max}} \) aufzulösen:

• \( \text{Slew Rate} = 2 \pi f V_{out, \text{max}} \)
• \( V_{out, \text{max}} = \frac{\text{Slew Rate}}{2 \pi f} \)

Einsetzen der gegebenen Werte:

• Slew Rate = 0,5 V/μs0,5 V/μs = 0,5 V / (10^(-6) s) = 500,000 V/s
• Eingangsfrequenz = 100 kHz100 kHz = 100,000 Hz = 10^5 Hz
• \( V_{out, \text{max}} = \frac{500,000 V/s}{2 \pi \cdot 100,000 Hz} \)

Berechnung:

• \( V_{out, \text{max}} = \frac{500,000}{2 \pi \cdot 100,000} \)
• \( V_{out, \text{max}} = \frac{500,000}{628,318.53} \) ≈ 0,796 V

Die maximale Ausgangsspannung des Operationsverstärkers bei einer Eingangsfrequenz von 100 kHz beträgt daher ungefähr 0,796 V.

c)

Diskutiere, welchen Einfluss die thermische Drift und die Offset-Spannung auf die Langzeitstabilität und Genauigkeit der Signalverstärkung haben könnten. Schlage Maßnahmen zur Minimierung dieser Effekte vor.

Lösung:

Die thermische Drift und die Offset-Spannung können signifikante Auswirkungen auf die Langzeitstabilität und Genauigkeit der Signalverstärkung eines Operationsverstärkers (OPV) haben. Diese beiden Effekte sind besonders in präzisen Anwendungen kritisch.

• Thermische Drift:
  • Einfluss: Temperaturveränderungen können die Eigenschaften der Halbleiterbauteile im Operationsverstärker verändern. Insbesondere die Offset-Spannung und die Verstärkungsparameter können driften, was zu Ungenauigkeiten in der Verstärkung und Signalverarbeitung führt. Höhen- und Tiefenpunkte in der Verstärkung können sich verschieben, und der Ausgang kann schwanken.
  • Maßnahmen zur Minimierung:
    • Verwende OPVs mit geringer thermischer Drift, die speziell für temperaturempfindliche Anwendungen ausgelegt sind.
    • Implementiere Temperaturkompensationsmechanismen, wie z. B. temperaturabhängige Widerstände oder Schaltungen, um die Auswirkungen der Temperaturänderungen zu kompensieren.
    • Halte die Betriebsbedingungen so konstant wie möglich, indem Du die Schaltung in einer temperaturkontrollierten Umgebung betreibst.
• Offset-Spannung:
  • Einfluss: Die Offset-Spannung ist die Spannungsdifferenz, die am Eingang des OPVs erforderlich ist, um den Ausgang auf Null zu bringen. Eine vorliegende Offset-Spannung kann zu einem systematischen Fehler in der Signalverstärkung führen, da sie eine Gleichspannungskomponente zum Ausgangssignal hinzufügt. Dies kann besonders problematisch sein, wenn sehr kleine Signale verstärkt werden sollen, da diese durch die Offset-Spannung überlagert werden können.
  • Maßnahmen zur Minimierung:
    • Verwende OPVs mit niedriger Offset-Spannung und niedriger Offset-Spannungsdrift. Moderne Präzisions-OPVs bieten sehr geringe Offset-Spannungen.
    • Implementiere eine Offsetkorrektur-Schaltung, die die Offset-Spannung aktiv kompensiert. Dies kann z. B. durch negative Rückkopplung oder zusätzliche Schaltungen zur Korrektur der Offset-Spannung erreicht werden.
    • Kalibriere die Schaltung regelmäßig, um die Auswirkungen von Drift und Offset zu korrigieren.

Durch diese Maßnahmen lassen sich die Auswirkungen der thermischen Drift und der Offset-Spannung auf die Langzeitstabilität und Genauigkeit der Signalverstärkung minimieren. Es ist wichtig, die spezifischen Anforderungen der Anwendung zu berücksichtigen, um die passenden Maßnahmen zu wählen.

d)

Erkläre, wie die begrenzte Bandbreite des Operationsverstärkers die Signalverarbeitung beeinflusst. Berechne die Verstärkung bei einer Eingangsfrequenz von 10 kHz, basierend auf dem Verstärkungs-Bandbreiten-Produkt.

Lösung:

Die begrenzte Bandbreite des Operationsverstärkers hat einen direkten Einfluss auf die Signalverarbeitung, da sie die maximale Verstärkung bei hohen Frequenzen einschränkt. Das Verstärkungs-Bandbreiten-Produkt (Gain-Bandwidth Product, GBP) ist eine Größe, die beschreibt, wie die Verstärkung eines Operationsverstärkers mit der Frequenz abnimmt.

• Einfluss der begrenzten Bandbreite:
  • Bei höheren Frequenzen sinkt die Verstärkung des OPVs. Das bedeutet, dass der OPV das Signal nicht mehr so stark verstärken kann, je höher die Frequenz des Eingangssignals ist.
  • Die Bandbreite des Operationsverstärkers definiert die Frequenz, bei der die Verstärkung des Verstärkers auf 1 (0 dB) fällt.
  • Oberhalb dieser Frequenz kann der Verstärker das Signal nicht mehr effektiv verstärken, und das Ausgangssignal wird verzerrt oder stark abgeschwächt.

Um die Verstärkung bei einer bestimmten Frequenz zu berechnen, verwendet man das Verstärkungs-Bandbreiten-Produkt. Für einen Frequenzgang eines idealen Verstärkers gilt:

• \( \text{Verstärkung} \times \text{Bandbreite} = \text{GBP} \)

Gegeben sind:

• Verstärkung (\textit{A}) des OPVs: \( 10^5 \)
• Bandbreite des OPVs: 1 MHz

Das Verstärkungs-Bandbreiten-Produkt (GBP) ist demnach:

• \( \text{GBP} = 10^5 \times 1 \text{ MHz} = 10^5 \times 10^6 = 10^{11} \)

Berechnung der Verstärkung bei einer Eingangsfrequenz von 10 kHz:

• \( \text{Verstärkung} \times 10 \text{ kHz} = 10^{11} \)
• \( \text{Verstärkung} = \frac{10^{11}}{10 \times 10^3} = \frac{10^{11}}{10^4} = 10^7 \)

Die Verstärkung des OPVs bei einer Eingangsfrequenz von 10 kHz ist somit:

• \( \text{Verstärkung} = 10^7 \)

Ergebnis: Bei einer Eingangsfrequenz von 10 kHz beträgt die Verstärkung des Operationsverstärkers 10^7.

Aufgabe 4)

Verstärkerschaltungen mit Operationsverstärker: Ein Operationsverstärker (Op-Amp) kann verwendet werden, um sowohl invertierende als auch nicht-invertierende Verstärker zu realisieren. Ein invertierender Verstärker erzeugt eine Ausgangsspannung (\text{Output}), die im Vergleich zur Eingangsspannung (\text{Input}) phasengedreht ist. Die Ausgangsspannung eines nicht-invertierenden Verstärkers hingegen behält dieselbe Phasenlage wie die Eingangsspannung bei.

• Invertierender Verstärker: Das Eingangssignal wird an den invertierenden Eingang (-) angeschlossen.
• Formel für die Spannungsverstärkung: \text{Output der Ausgangsspannung} \( V_{out} \) eines invertierenden Verstärkers ist gegeben durch: \[ V_{out} = - \frac{R_f}{R_{in}} V_{in} \]
• Nicht-invertierender Verstärker: Das Eingangssignal wird an den nicht-invertierenden Eingang (+) angeschlossen.
• Formel für die Spannungsverstärkung: \text{Output der Ausgangsspannung} \( V_{out} \) eines nicht-invertierenden Verstärkers ist gegeben durch: \[ V_{out} = \bigg(1 + \frac{R_f}{R_1}\bigg) V_{in} \]

a)

Ein invertierender Verstärker hat einen Eingangswiderstand \( R_{in} \) von 4 kΩ und einen Feedback-Widerstand \( R_f \) von 20 kΩ. Wenn die Eingangsspannung \( V_{in} \) 1 V beträgt, berechne die Ausgangsspannung \( V_{out} \).

Lösung:

• Gegebene Werte:
  • Eingangswiderstand \( R_{in} \): 4 kΩ
  • Feedback-Widerstand \( R_f \): 20 kΩ
  • Eingangsspannung \( V_{in} \): 1 V
• Formel für die Ausgangsspannung eines invertierenden Verstärkers:

  V_{out} = - \frac{R_f}{R_{in}} V_{in} 

• Schritt-für-Schritt-Lösung:
  • Setze die gegebenen Werte in die Formel ein:

  • V_{out} = - \frac{20 kΩ}{4 kΩ} \times 1 V 

  • Vereinfache diesen Ausdruck:

  • V_{out} = -5 \times 1 V 

  • Ergebnis:

  • V_{out} = -5 V 

• Endergebnis: Die Ausgangsspannung des invertierenden Verstärkers beträgt \( V_{out} = -5 V \).

b)

Ein nicht-invertierender Verstärker hat einen Widerstand \( R_f \) von 15 kΩ und \( R_1 \) von 5 kΩ. Wenn die Eingangsspannung \( V_{in} \) 2 V beträgt, berechne die Ausgangsspannung \( V_{out} \).

Lösung:

• Gegebene Werte:
  • Feedback-Widerstand \( R_f \): 15 kΩ
  • Widerstand \( R_1 \): 5 kΩ
  • Eingangsspannung \( V_{in} \): 2 V
• Formel für die Ausgangsspannung eines nicht-invertierenden Verstärkers:

  V_{out} = \bigg(1 + \frac{R_f}{R_1}\bigg) V_{in} 

• Schritt-für-Schritt-Lösung:
  • Setze die gegebenen Werte in die Formel ein:

  • V_{out} = \bigg(1 + \frac{15 kΩ}{5 kΩ}\bigg) \times 2 V 

  • Vereinfache den Ausdruck innerhalb der Klammern:

  • V_{out} = \bigg(1 + 3\bigg) \times 2 V 

  • Multipliziere nun den Ausdruck innerhalb der Klammern mit \( V_{in} \):

  • V_{out} = 4 \times 2 V 

  • Ergebnis:

  • V_{out} = 8 V 

• Endergebnis: Die Ausgangsspannung des nicht-invertierenden Verstärkers beträgt \( V_{out} = 8 V \).

c)

Angenommen, Du hast eine Verstärkerschaltung, die sowohl invertierende als auch nicht-invertierende Modi betreiben kann. Die Widerstände \( R_f \), \( R_{in} \) und \( R_1 \) sind wie folgt konfiguriert: \( R_f = 10 kΩ \), \( R_{in} = 2 kΩ \), \( R_1 = 3 kΩ \). Wenn Du eine Eingangsspannung von 1,5 V anlegst, berechne die Ausgangsspannung \( V_{out} \) im invertierenden und im nicht-invertierenden Modus.

• Tipp: Verwende die oben angegebenen Verstärkungsformeln.

Lösung:

• Gegebene Werte:
  • Feedback-Widerstand \( R_f \): 10 kΩ
  • Eingangswiderstand \( R_{in} \): 2 kΩ
  • Widerstand \( R_1 \): 3 kΩ
  • Eingangsspannung \( V_{in} \): 1,5 V
• Formel für die Ausgangsspannung eines invertierenden Verstärkers:

   V_{out} = - \frac{R_f}{R_{in}} V_{in} 

• Schritt-für-Schritt-Lösung für den invertierenden Modus:
  • Setze die gegebenen Werte in die Formel ein:

  • V_{out_{inv}} = - \frac{10 kΩ}{2 kΩ} \times 1,5 V 

  • Vereinfache diesen Ausdruck:

  • V_{out_{inv}} = - 5 \times 1,5 V 

  • Ergebnis:

  • V_{out_{inv}} = -7,5 V 

• Formel für die Ausgangsspannung eines nicht-invertierenden Verstärkers:

  V_{out} = \bigg(1 + \frac{R_f}{R_1}\bigg) V_{in} 

• Schritt-für-Schritt-Lösung für den nicht-invertierenden Modus:
  • Setze die gegebenen Werte in die Formel ein:

  • V_{out_{not-inv}} = \bigg(1 + \frac{10 kΩ}{3 kΩ}\bigg) \times 1,5 V 

  • Vereinfache den Ausdruck innerhalb der Klammern:

  • V_{out_{not-inv}} = \bigg(1 + 3,33\bigg) \times 1,5 V 

  • Multipliziere diesen Ausdruck mit der Eingangsspannung:

  • V_{out_{not-inv}} = 4,33 \times 1,5 V 

  • Ergebnis:

  • V_{out_{not-inv}} = 6,495 V 

• Endergebnis: Die Ausgangsspannung im invertierenden Modus beträgt \( V_{out_{inv}} = -7,5 V \). Die Ausgangsspannung im nicht-invertierenden Modus beträgt \( V_{out_{not-inv}} = 6,495 V \).