Bildgebende Radarsysteme - Exam

Aufgabe 1)

Radarwellen sind hochfrequente elektromagnetische Wellen, die zur Erkennung und Entfernungsbestimmung von Objekten genutzt werden. Der Radarquerschnitt eines Objekts gibt Auskunft über dessen Rückstreuvermögen, und die Reflexion der Wellen hängt von der Größe, Form und dem Material des Objekts ab. Die Entfernung eines Objekts kann mit der Gleichung R = \frac{c \times t}{2} berechnet werden, wobei die Lichtgeschwindigkeit, c, und die Zeit, t, berücksichtigt werden. Bei einer relativen Bewegung zwischen dem Radar und dem Objekt kommt es zu einer Änderung der Frequenz des reflektierten Signals, bekannt als Doppler-Effekt.Nehmen wir an, ein Radarsystem sendet ein Signal auf ein sich bewegendes Fahrzeug und empfängt das reflektierte Signal.

a)

Erstens: Berechne die Entfernung R eines Fahrzeugs, wenn die Zeit t zwischen dem Senden und Empfangen des Signals 0,000006 Sekunden beträgt. Die Lichtgeschwindigkeit sei c = 3 \times 10^8 Meter pro Sekunde.

Lösung:

Erstens: Berechne die Entfernung R eines Fahrzeugs, wenn die Zeit t zwischen dem Senden und Empfangen des Signals 0,000006 Sekunden beträgt. Die Lichtgeschwindigkeit sei c = 3 \times 10^8 Meter pro Sekunde.

Um die Entfernung R zu berechnen, verwenden wir die gegebene Gleichung:

R = \frac{c \times t}{2}

Hierbei ist:

• c die Lichtgeschwindigkeit (3 \times 10^8 m/s)
• t die Zeit (0,000006 Sekunden)

Zuerst setzen wir die gegebenen Werte in die Gleichung ein:

R = \frac{3 \times 10^8 \times 0,000006}{2}

Nun berechnen wir die Multiplikation:

3 \times 10^8 \times 0,000006 = 1800

Setzen wir den Wert zurück in die Gleichung:

R = \frac{1800}{2} = 900

Die Entfernung R ist:

R = 900 Meter

Das Fahrzeug ist 900 Meter entfernt.

b)

Zweitens: Angenommen, das Fahrzeug bewegt sich direkt auf das Radar zu. Das empfangene Signal zeigt eine Frequenzänderung von u von 1000 Hz an. Nutze die Beziehung des Doppler-Effekts, um die Geschwindigkeit v des Fahrzeugs zu bestimmen. Die Radarwelle hat eine Frequenz f von 10 GHz. Der Doppler-Effekt lässt sich mit der Formel u = \frac{2f v}{c} beschreiben.

Lösung:

Zweitens: Angenommen, das Fahrzeug bewegt sich direkt auf das Radar zu. Das empfangene Signal zeigt eine Frequenzänderung von u von 1000 Hz an. Nutze die Beziehung des Doppler-Effekts, um die Geschwindigkeit v des Fahrzeugs zu bestimmen. Die Radarwelle hat eine Frequenz f von 10 GHz. Der Doppler-Effekt lässt sich mit der Formel u = \frac{2f v}{c} beschreiben.

Um die Geschwindigkeit v zu berechnen, stellen wir die Doppler-Effekt-Gleichung nach v um:

u = \frac{2f \times v}{c}

Das Umstellen der Formel nach v ergibt:

v = \frac{u \times c}{2f}

Hierbei ist:

• u die Frequenzänderung (1000 Hz)
• f die Frequenz der Radarwelle (10 GHz = 10 \times 10^9 Hz)
• c die Lichtgeschwindigkeit (3 \times 10^8 m/s)

Setzen wir die gegebenen Werte in die umgestellte Gleichung ein:

v = \frac{1000 \times 3 \times 10^8}{2 \times 10 \times 10^9}

Berechnen wir nun die einzelnen Schritte:

• Zuerst berechnen wir den Zähler:

1000 \times 3 \times 10^8 = 3 \times 10^{11}

• Als nächstes berechnen wir den Nenner:

2 \times 10 \times 10^9 = 2 \times 10^{10}

Teilen wir den Zähler durch den Nenner:

v = \frac{3 \times 10^{11}}{2 \times 10^{10}} = \frac{3}{2} \times 10 = 1,5 \times 10 = 15

Die Geschwindigkeit v des Fahrzeugs ist somit:

v = 15 Meter pro Sekunde (m/s)

c)

Drittens: Diskutiere, wie sich die Größe, Form und das Material des Fahrzeugs auf den gemessenen Radarquerschnitt auswirken. Gehe dabei auf Beispiele für verschiedene Fahrzeugtypen und Materialien ein.

Lösung:

Drittens: Diskutiere, wie sich die Größe, Form und das Material des Fahrzeugs auf den gemessenen Radarquerschnitt auswirken. Gehe dabei auf Beispiele für verschiedene Fahrzeugtypen und Materialien ein.

Der Radarquerschnitt (RCS, Radar Cross Section) eines Fahrzeugs gibt an, wie stark ein Fahrzeug Radarsignale reflektiert. Die Größe, Form und das Material des Fahrzeugs spielen dabei eine entscheidende Rolle.

• Größe: Größere Fahrzeuge reflektieren in der Regel mehr Radarenergie, was zu einem größeren RCS führt. Zum Beispiel hat ein LKW im Vergleich zu einem PKW einen größeren Radarquerschnitt.
• Form: Die Form des Fahrzeugs beeinflusst, wie die Radarwellen streuen.
  • Fahrzeuge mit glatten, flachen Oberflächen (z.B. Sportwagen) reflektieren Radarwellen bevorzugt in bestimmten Richtungen, was zu einem variierenden RCS führt.
  • Fahrzeuge mit vielen Ecken und Kanten (z.B. ältere Militärfahrzeuge) streuen die Radarwellen in verschiedene Richtungen, was ein unregelmäßigeres RCS erzeugt.
  • Stealth-Fahrzeuge oder moderne Militärfahrzeuge sind so gestaltet, dass sie Radarwellen in verschiedene Richtungen ableiten, wodurch ihr RCS minimiert wird.
• Material: Die Materialien des Fahrzeugs beeinflussen ebenfalls die Reflexion der Radarwellen.
  • Metallische Materialien reflektieren Radarwellen stark und führen zu einem höheren RCS.
  • Verbundwerkstoffe (Composites) oder Kunststoffe reflektieren weniger Radarenergie, wodurch der RCS reduziert wird.
  • Absorptive Materialien (spezielle Beschichtungen) können Radarwellen absorbieren und dadurch den RCS weiter reduzieren. Diese Materialien werden häufig in Stealth-Technologien eingesetzt.

Im Folgenden sind Beispiele für verschiedene Fahrzeugtypen und deren Materialeinsatz aufgeführt:

• PKWs: Typische PKWs bestehen aus einer Kombination von Metall und Kunststoff. Ihr Radarquerschnitt ist mittelgroß und stark abhängig von der spezifischen Form des Fahrzeugs.
• LKWs: LKWs bestehen hauptsächlich aus Metall und haben einen großen, klar definierten Radarquerschnitt, der sie leicht erkennbar macht.
• Stealth-Fahrzeuge: Diese Fahrzeuge, wie der Lockheed Martin F-35, verwenden spezielle Formen und Materialien, um ihren Radarquerschnitt zu minimieren. Sie nutzen Verbundwerkstoffe und Radar-absorbierende Materialien, um Radarwellen zu zerstreuen und zu absorbieren.

Insgesamt beeinflussen Größe, Form und Material des Fahrzeugs den Radarquerschnitt erheblich und damit auch die Erkennbarkeit des Fahrzeugs durch das Radar.

Aufgabe 2)

Synthetic Aperture Radar (SAR)Synthetic Aperture Radar (SAR) ist ein bildgebendes Radarsystem, das durch die Nutzung der Bewegung des Radarträgers eine hohe Auflösungsfähigkeit erreicht. SAR erzeugt hochaufgelöste Bilder durch die synthetische Vergrößerung der Antennenapertur. Es nutzt Doppler-Effekte zur Verbesserung der Auflösungsfähigkeit in Reichweite und Azimut. Dies wird primär in der Fernerkundung, für militärische Zwecke und zur Umweltüberwachung eingesetzt. Mathematisch wird SAR durch Frequenzverschiebungen und Phaseninterferenzen beschrieben. Die Frequenzmodulation ermöglicht zudem die Unterscheidung von Zielen.

a)

a) Erläutere, wie der Doppler-Effekt zur Verbesserung der Azimutauflösung in einem SAR-System beiträgt.Verwende dabei geeignete mathematische Formeln, um den Zusammenhang zwischen der Doppler-Frequenzverschiebung und der Relativgeschwindigkeit des Radarträgers zu beschreiben. Stelle sicher, dass Du die Bedeutung der synthetischen Antennenapertur erklärst.

Lösung:

Übung: Synthetic Aperture Radar (SAR)

• a) Erläutere, wie der Doppler-Effekt zur Verbesserung der Azimutauflösung in einem SAR-System beiträgt.Der Doppler-Effekt spielt eine entscheidende Rolle bei der Verbesserung der Azimutauflösung in einem SAR-System. Der Doppler-Effekt beschreibt die Veränderung der Frequenz eines Signals aufgrund der Relativbewegung zwischen dem Sender und dem Empfänger. Im Fall eines SAR-Systems bezieht sich dies auf die Bewegung des Radarträgers relativ zu den beobachteten Zielen.

• Wenn sich der Radarträger bewegt, ändert sich die Frequenz des empfangenen Radarsignals aufgrund des Doppler-Effekts. Diese Frequenzverschiebung \(\Delta f_D\) ist direkt proportional zur Relativgeschwindigkeit \(v_r\) des Radarträgers relativ zum Zielobjekt.

• Die Doppler-Frequenzverschiebung kann durch die folgende Formel beschrieben werden:

  \(\Delta f_D = \frac{2 v_r}{\lambda}\)

  wobei \(\lambda\) die Wellenlänge des ausgesandten Radarsignals ist.
• Da der Radarträger sich entlang einer Flugbahn bewegt, führt diese Bewegung zu einer kontinuierlichen Änderung der Doppler-Frequenz für ein bestimmtes Ziel. Diese Veränderung kann zur synthetischen Vergrößerung der Antennenapertur genutzt werden.
• Die synthetische Antennenapertur bedeutet, dass die Bewegung des Radarträgers genutzt wird, um eine viel größere effektive Apertur als die tatsächliche physische Antenne zu simulieren. Dies verbessert die Auflösungsfähigkeit in Azimutrichtung erheblich. Durch die Akkumulation der Doppler-Daten über die gesamte Flugbahn des Radarträgers kann ein schärferes Bild des Zielobjekts erzeugt werden.
• Mathematisch kann die Azimutauflösung \(\delta_a\) durch folgende Formel beschrieben werden:

  \(\delta_a = \frac{\lambda R}{2L}\)

  wobei \(R\) die Entfernung zum Ziel und \(L\) die Länge der synthetischen Apertur ist.
• Dies zeigt, dass die Azimutauflösung (\(\delta_a\)) direkt proportional zur Wellenlänge (\(\lambda\)) und zur Entfernung zum Ziel (\(R\)) ist, aber umgekehrt proportional zur Aperturlänge (\(L\)). Mit einer längeren synthetischen Apertur (\(L\)) kann eine feinere Azimutauflösung erreicht werden.
• Zusammenfassend lässt sich sagen, dass der Doppler-Effekt durch die Veränderung der Frequenz des empfangenen Signals aufgrund der Bewegung des Radarträgers es ermöglicht, eine größere effektive Apertur zu synthetisieren. Dies führt zu einer erheblichen Verbesserung der Azimutauflösung in SAR-Systemen.

b)

b) Berechne die erforderliche Bandbreite eines SAR-Systems.Angenommen, ein SAR-System verwendet eine Trägerfrequenz von 10 GHz und eine Auflösung in der Reichweite von 1 Meter. Verwende die Formel für die Reichweitenauflösung im Zusammenhang mit der Bandbreite: \(\frac{c}{2 \times B}\), wobei \(c\) die Lichtgeschwindigkeit ist. Bestimme die erforderliche Bandbreite \(B\).

Lösung:

Übung: Synthetic Aperture Radar (SAR)

• b) Berechne die erforderliche Bandbreite eines SAR-Systems.
• Die Reichweitenauflösung eines SAR-Systems kann mittels der folgenden Formel in Verbindung mit der Bandbreite \(B\) berechnet werden:

  \(\delta_r = \frac{c}{2B}\)

  wobei:
• \(\delta_r\) die Reichweitenauflösung
• \(c\) die Lichtgeschwindigkeit
• \(B\) die Bandbreite des Systems
• Für dieses Beispiel kennen wir die folgenden Werte:
• \(\delta_r = 1\) Meter
• \(c = 3 \times 10^8\) Meter pro Sekunde (Lichtgeschwindigkeit)
• Setze die bekannten Werte in die Formel ein, um die Bandbreite \(B\) zu berechnen:

\(1 = \frac{3 \times 10^8}{2B}\)

• Wir lösen die Gleichung nach \(B\) auf:

\(B = \frac{3 \times 10^8}{2 \times 1}\)

• Das ergibt:

\(B = 1.5 \times 10^8\) Hertz

\(B = 150\) MHz

• Die erforderliche Bandbreite für das SAR-System, um eine Reichweitenauflösung von 1 Meter zu erreichen, beträgt somit 150 MHz.

c)

c) Diskutiere die Vorteile und Herausforderungen der Nutzung von SAR zur Umweltüberwachung.Erörtere dabei spezifisch, wie SAR-Systeme zur Beobachtung von Umweltphänomenen wie Entwaldung, Gletscherrückgang und Überflutungen eingesetzt werden können. Gehe auch auf mögliche technische und bildverarbeitungstechnische Herausforderungen ein, die bei der Analyse der SAR-Daten auftreten können.

Lösung:

Übung: Synthetic Aperture Radar (SAR)

• c) Diskutiere die Vorteile und Herausforderungen der Nutzung von SAR zur Umweltüberwachung.

• SAR-Systeme bieten eine Vielzahl von Vorteilen für die Umweltüberwachung:

• Vorteile:

• • SAR kann unabhängig von Wetterbedingungen und Tageszeit Bilder aufnehmen, da es Mikrowellen nutzt, die sowohl bei Tag als auch bei Nacht und durch Wolken hindurch funktionieren.
  • Die hohe Auflösungsfähigkeit von SAR ermöglicht die detaillierte Beobachtung und Kartierung von Umweltveränderungen.
  • SAR-Daten können zur Überwachung von großen und abgelegenen Gebieten verwendet werden, die mit herkömmlichen Methoden schwer zugänglich sind.

• Anwendungen von SAR in der Umweltüberwachung:

• • Entwaldung: SAR kann Veränderungen in der Vegetationsdichte erkennen, indem es die Rückstreueigenschaften von Waldgebieten misst. Dies ermöglicht die Erstellung von Karten zur Überwachung der Entwaldung und zur Bewertung der Wirksamkeit von Naturschutzmaßnahmen.
  • Gletscherrückgang: SAR ist in der Lage, die Bewegung und das Volumen von Gletschern über die Zeit zu überwachen. Durch Interferometrie können Veränderungen in der Eisdicke und -ausbreitung analysiert werden.
  • Überflutungen: SAR kann schnell und präzise überflutete Gebiete kartieren, selbst bei bewölktem Himmel und nächtlichen Bedingungen. Dies unterstützt die Katastrophenhilfe und das Risikomanagement.

• Herausforderungen:

• • Technische Herausforderungen: Die Verarbeitung von SAR-Daten erfordert erhebliche Rechenressourcen und spezialisierte Algorithmen. Die hohe Datenmenge und die Notwendigkeit der präzisen Georeferenzierung können die Datenanalyse erschweren.
  • Bildverarbeitungstechnische Herausforderungen: Die Interpretation von SAR-Bildern kann aufgrund von Speckle-Rauschen und der komplexen Interaktion von Radarwellen mit verschiedenen Oberflächen schwierig sein. Speckle-Rauschen entsteht durch die kohärente Natur der Radarwellen und kann zu einem granularen Aussehen der Bilder führen.
  • Kalibrierung und Validierung: Die genaue Kalibrierung und Validierung von SAR-Daten ist entscheidend, um zuverlässige und genaue Informationen zu erhalten. Dies erfordert oft die Integration von SAR-Daten mit anderen Datenquellen und Vor-Ort-Messungen.

• Zusammenfassend bietet SAR erhebliche Vorteile für die Umweltüberwachung, insbesondere durch seine Fähigkeit, unter allen Wetterbedingungen und zu jeder Tageszeit hochaufgelöste Bilder zu liefern. Trotz technischer und bildverarbeitungstechnischer Herausforderungen, wie der Notwendigkeit komplexer Datenanalyseverfahren und der Bewältigung von Speckle-Rauschen, bleibt SAR ein unverzichtbares Werkzeug zur Beobachtung und Analyse von Umweltphänomenen.

Aufgabe 3)

Inverse Synthetic Aperture Radar (ISAR) nutzt die relative Bewegung zwischen dem Ziel und dem Radar zur Erzeugung hochauflösender Bilder. Im Gegensatz zu SAR konzentriert sich ISAR auf bewegte Ziele und verwendet die Doppler-Verschiebung zur Bildgebung. Wichtige Parameter hierbei sind die Relativgeschwindigkeit des Ziels sowie die Wellenlänge des Radarsignals. Hauptanwendungen finden sich im militärischen und maritimen Überwachungsbereich, wobei sowohl 2D- als auch 3D-Bildgebung möglich ist.

a)

Gegeben sei ein Ziel, das sich relativ zum Radar mit einer Geschwindigkeit von 30 m/s bewegt. Die Wellenlänge des verwendeten Radars beträgt 3 cm. Berechne die maximale Doppler-Verschiebung, die durch diese Relativbewegung entsteht. Zeige alle Berechnungsschritte und formuliere die relevante Gleichung.

Lösung:

Lösung der Teilaufgabe

Berechnung der maximalen Doppler-Verschiebung

Um die maximale Doppler-Verschiebung (\( \Delta f_D \)) zu berechnen, die durch die Relativbewegung eines Ziels mit einer Geschwindigkeit (\( v \)) relativ zum Radar und einer Radarwellenlänge (\( \lambda \)) entsteht, verwendest Du die folgende Gleichung:

• \( \Delta f_D = \frac{2 \cdot v}{\lambda} \)

Gegebene Werte:

• Relativgeschwindigkeit des Ziels: \( v = 30 \) m/s
• Wellenlänge des Radars: \( \lambda = 3 \) cm = 0.03 m

Berechnungsschritte:

• Setzen wir die bekannten Werte in die Gleichung ein:
• \( \Delta f_D = \frac{2 \cdot 30}{0.03} \)
• Berechnen wir den Zähler:
• \( 2 \cdot 30 = 60 \) m/s
• Berechnen wir den Ausdruck im Nenner:
• \( \frac{60}{0.03} = 2000 \) Hz

Ergebnis:

• Die maximale Doppler-Verschiebung beträgt \( 2000 \) Hz.

b)

Diskutiere die Bedeutung der Doppler-Verschiebung für die ISAR-Bildgebung. Erläutere, wie durch die Verwendung der Doppler-Verschiebung Bewegungsinformationen in Bilder umgewandelt werden können. Gehe dabei insbesondere auf die Unterschiede zur SAR-Bildgebung ein und beschreibe, wie die Relativgeschwindigkeit Einfluss auf die Bildauflösung nimmt.

Lösung:

Diskussion zur Bedeutung der Doppler-Verschiebung für die ISAR-Bildgebung

Bedeutung der Doppler-Verschiebung

• Die Doppler-Verschiebung ist ein zentrales Konzept für die ISAR-Bildgebung. Sie bezieht sich auf die Änderung der Frequenz eines reflektierten Radarsignals, die durch die Relativbewegung zwischen dem Radar und dem Ziel hervorgerufen wird.
• Die Doppler-Frequenzverschiebung ermöglicht es, Bewegungsinformationen des Ziels zu extrahieren und diese Informationen zur Erzeugung hochauflösender Bilder zu nutzen.

Umwandlung von Bewegungsinformationen in Bilder

• Bei ISAR werden die durch die Bewegung des Ziels verursachten Doppler-Frequenzverschiebungen analysiert, um Informationen über die Geschwindigkeit, Richtung und Art der Bewegung des Ziels zu erhalten.
• Diese Informationen werden verwendet, um eine Bildgebung des Ziels zu ermöglichen. Der Prozess besteht darin, die erhaltenen Doppler-Daten in räumliche Informationen umzuwandeln, die dann zur Erstellung eines Bildes verwendet werden können.
• Durch die Fourier-Transformation der empfangenen Signale wird eine Frequenzanalyse durchgeführt, die es erlaubt, die Position und Geschwindigkeit der verschiedenen Teile des Ziels zu berechnen und dadurch ein detailliertes Bild zu erzeugen.

Unterschiede zur SAR-Bildgebung

• SAR (Synthetic Aperture Radar) richtet sich eher auf statische oder sich nur geringfügig bewegende Ziele, während ISAR speziell für die Bildgebung von bewegten Zielen entwickelt wurde.
• Im Gegensatz zu SAR, das die eigene Bewegung des Radarsystems nutzt, verwendet ISAR die Bewegung des Ziels zur Erzeugung eines Bildes.
• Das Radar empfängt kontinuierlich reflektierte Signale vom sich bewegenden Ziel, und die Unterschiede in der Doppler-Frequenz werden genutzt, um die Struktur und Bewegung des Ziels zu rekonstruieren.

Einfluss der Relativgeschwindigkeit auf die Bildauflösung

• Die Relativgeschwindigkeit des Ziels hat erheblichen Einfluss auf die Bildauflösung im ISAR-System. Je höher die Relativgeschwindigkeit, desto größer ist die Doppler-Verschiebung, was zu einer feineren Auflösung in der Doppler-Domäne führt.
• Ein schnelles, sich bewegendes Ziel erzeugt eine größere Bandbreite von Doppler-Frequenzen, was es ermöglicht, detailliertere Informationen über das Ziel zu sammeln und eine höhere Bildauflösung zu erreichen.
• Bei langsamer bewegenden Zielen ist die Doppler-Verschiebung geringer, wodurch die Bildauflösung reduziert wird. Daher ist es entscheidend, dass die Relativgeschwindigkeit des Ziels ausreichend hoch ist, um eine gute Auflösung zu erzielen.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die Doppler-Verschiebung ein essenzielles Element der ISAR-Bildgebung darstellt, indem sie Bewegungsinformationen in bildgebende Daten umwandelt. ISAR ist speziell für die Analyse bewegter Ziele konzipiert und nutzt deren Relativgeschwindigkeit, um hochauflösende Bilder zu erzeugen. Dies steht im Gegensatz zu SAR, das die Bewegung des eigenen Radarsystems nutzt.

Aufgabe 4)

Angenommen, Du arbeitest in einem Team, welches ein radargestütztes Überwachungssystem entwickelt. Deine Aufgabe ist es, das empfangene Radarsignal zu analysieren und daraus relevante Informationen wie den Doppler-Effekt und die Entfernung eines Objekts zu ermitteln. Hierfür setzt Du die Fourier-Transformation und die Fast Fourier Transformation (FFT) ein. Dein Team hat dich gebeten, einige spezifische Aufgaben im Zusammenhang mit der Anwendung der Fourier-Transformation in der Radarsignalverarbeitung zu lösen.

a)

• Fourier-Transformation erläutern

Lösung:

Fourier-Transformation erläuternDie Fourier-Transformation ist eine mathematische Methode, die es uns ermöglicht, ein Signal von seiner Zeit-Domain in die Frequenz-Domain zu transformieren. Im Wesentlichen zerlegt sie das Signal in seine sinusförmigen Bestandteile, die verschiedenste Frequenzen, Amplituden und Phasen haben können.

• Die grundlegende Idee: Jedes Signal kann als Summe von Sinus- und Kosinusfunktionen verschiedener Frequenzen dargestellt werden. Durch die Fourier-Transformation können wir diese Frequenzkomponenten identifizieren und analysieren.
• Anwendung in der Radarsignalverarbeitung: In der Radarsignalverarbeitung ist die Fourier-Transformation besonders nützlich, weil sie es ermöglicht, Bewegungen und Strukturen innerhalb des empfangenen Signals zu erkennen, die in der Zeit-Domain versteckt sind. Zum Beispiel kann der Doppler-Effekt, der auf die Relativgeschwindigkeit eines Objekts hinweist, durch die Analyse der Frequenzverschiebung des echosignals ermittelt werden.
• Vorteile der Fast Fourier Transform (FFT): Die FFT ist eine optimierte Version der Fourier-Transformation, die die Berechnungsgeschwindigkeit erheblich verbessert. Während die direkte Berechnung der Fourier-Transformation für ein Signal der Länge N in der Größenordnung von O(N^2) Operationen benötigt, reduziert die FFT dies auf O(N log N) Operationen. Dies macht die FFT besonders effizient und praktisch für Anwendungen wie Echtzeit-Radarsignalverarbeitung, wo schnelle und genaue Analyse erforderlich ist.

b)

• Mathematische Ableitung

 \[\text{FT}\{x(t)\} = X(f) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) e^{-j2\pi ft} dt\] 

Lösung:

Mathematische AbleitungUm ein gegebenes Zeitsignal x(t) durch die Fourier-Transformation in das Frequenzspektrum X(f) umzuwandeln, folgen wir einer Reihe von Schritten und verwenden dabei die Standardformel für die Fourier-Transformation:

\[\text{FT}\{x(t)\} = X(f) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) e^{-j2\pi ft} dt\]

• Berechnung der Fourier-Transformation: Unsere Aufgabe ist es, die Funktion x(t) in ihre Frequenzkomponenten zu zerlegen. Hierfür wenden wir die Formel

  \[X(f) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) e^{-j2\pi ft} dt\]

  an. Dies zeigt, dass die Fourier-Transformation von x(t) der kontinuierlichen Summe der Produkte von x(t) und einer komplexen Exponentialfunktion e^{-j2\pi ft} über alle Zeiten t entspricht.
• Konjugierte komplexe Exponentialfunktion: Das Element e^{-j2\pi ft} ist eine komplexe Exponentialfunktion, die dazu dient, das Signal x(t) in seine Frequenzkomponenten zu zerlegen. Diese Funktion dreht sich in der komplexen Ebene und ermöglicht die Isolierung der verschiedenen Frequenzen, die in x(t) vorhanden sind.
• Integration über alle Zeiten: Das Integral erstreckt sich von -\infty bis +\infty. Dies bedeutet, dass wir das gesamte Zeitsignal betrachten und jede Komponente mit der entsprechenden Exponentialfunktion multipizieren. Auf diese Weise können wir alle Frequenzkomponenten des Signals erfassen.
• Transformationsprozess: Der Transformationsprozess kann zusammengefasst werden:
  • 1. Wähle eine Frequenz f.
  • 2. Berechne das Produkt von x(t) und e^{-j2\pi ft}.
  • 3. Integriere dieses Produkt über alle t.
  Das Ergebnis dieser Operation gibt den Wert des Frequenzspektrums X(f) für die Frequenz f an.
• Frequenzspektrum: Das resultierende X(f) ist eine Funktion der Frequenz f. Es beschreibt, wie stark jede Frequenz in dem ursprünglichen Signal x(t) vertreten ist. Mit anderen Worten, es zeigt, welche Frequenzen in x(t) wie stark sind.

c)

• Praktische Anwendung

\[x(t) = e^{-t} \text{\; für \;} t \geq 0 \text{\; und \;} x(t) = 0 \text{\; für \;} t < 0.\]

\[X(f) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) e^{-j2\pi ft} dt\]

\[X(f) = \int_{0}^{\infty} e^{-t} e^{-j2\pi ft} dt\]

\[X(f) = \int_{0}^{\infty} e^{-t(1 + j2\pi f)} dt\]

\[\int_{0}^{\infty} e^{-at} dt = \frac{1}{a} \text{\;, wobei \; } a > 0\;.\]

\[a = 1 + j2\pi f\]

\[X(f) = \frac{1}{1 + j2\pi f}\]

\[X(f) = \frac{1}{1 + j2\pi f}\]

 import numpy as np import matplotlib.pyplot as pltdef create_test_signal(frequencies, sampling_rate, duration):  t = np.linspace(0, duration, int(sampling_rate*duration), endpoint=False)  signal = np.sum([np.sin(2*np.pi*f*t) for f in frequencies], axis=0)  return t, signaldef compute_fft(signal, sampling_rate):  fft_result = np.fft.fft(signal)  freqs = np.fft.fftfreq(len(signal), 1/sampling_rate)  return freqs, np.abs(fft_result)def plot_signal_and_spectrum(t, signal, freqs, spectrum):  plt.figure(figsize=(12, 6))  plt.subplot(1, 2, 1)  plt.plot(t, signal)  plt.title('Time Domain Signal')  plt.xlabel('Time [s]')  plt.ylabel('Amplitude')  plt.subplot(1, 2, 2)  plt.plot(freqs, spectrum)  plt.title('Frequency Spectrum')  plt.xlabel('Frequency [Hz]')  plt.ylabel('Magnitude')  plt.show()# Beispielverwendungsampling_rate = 1000 # in Hzfrequencies = [50, 150] # in Hzduration = 1.0 # in seconds# Testsignal erzeugent, signal = create_test_signal(frequencies, sampling_rate, duration)# FFT berechnenfreqs, spectrum = compute_fft(signal, sampling_rate)# Signal und Spektrum plottenplot_signal_and_spectrum(t, signal, freqs, spectrum)

import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltdef create_test_signal(frequencies, sampling_rate, duration):    t = np.linspace(0, duration, int(sampling_rate * duration), endpoint=False)    signal = np.sum([np.sin(2*np.pi*f*t) for f in frequencies], axis=0)    return t, signaldef compute_fft(signal, sampling_rate):    fft_result = np.fft.fft(signal)    freqs = np.fft.fftfreq(len(signal), 1 / sampling_rate)    return freqs, np.abs(fft_result)def plot_signal_and_spectrum(t, signal, freqs, spectrum):    plt.figure(figsize=(12, 6))    plt.subplot(1, 2, 1)    plt.plot(t, signal)    plt.title('Time Domain Signal')    plt.xlabel('Time [s]')    plt.ylabel('Amplitude')    plt.subplot(1, 2, 2)    plt.plot(freqs, spectrum)    plt.title('Frequency Spectrum')    plt.xlabel('Frequency [Hz]')    plt.ylabel('Magnitude')    plt.show()# Beispielverwendungsampling_rate = 1000 # in Hzfrequencies = [50, 150] # in Hzduration = 1.0 # in seconds# Testsignal erzeugent, signal = create_test_signal(frequencies, sampling_rate, duration)# FFT berechnenfreqs, spectrum = compute_fft(signal, sampling_rate)# Signal und Spektrum plottenplot_signal_and_spectrum(t, signal, freqs, spectrum)