Biomedizinische Signalanalyse - Exam

Aufgabe 1)

Du hast multidimensionale Datenströme vorliegen, die physiologische Prozesse reflektieren. Häufige Signaltypen in der biomedizinischen Signalanalyse sind EEG (Gehirnaktivität), EKG (Herzaktivität) und EMG (Muskelaktivität). Diese Signale weisen charakteristische Merkmale wie Amplitude, Frequenz und Signal-Rausch-Verhältnis auf.

Klassifizierungsmethoden beinhalten Analysen im Zeitbereich (z.B. Kontinuierliche Wavelet-Transformation, CWT), im Frequenzbereich (z.B. Fast Fourier Transformation, FFT) und im Ortsbereich zur Identifikation räumlicher Muster.

Zur Mustererkennung und Klassifikation ist eine Merkmalsextraktion (Feature Extraction) notwendig. Wichtige Merkmale sind unter anderem Root Mean Square (RMS), Spitzenwertdetektion (Peak Detection) und Entropie. Für die Klassifikation können verschiedene Algorithmen wie Support Vector Machines (SVM) und neuronale Netze verwendet werden.

a)

Du hast ein Signal eines EEGs vorliegen, das über einen Zeitraum von 10 Sekunden mit einer Abtastrate von 256 Hz aufgenommen wurde. Du möchtest die dominanten Frequenzen in diesem Signal herausfinden.

• a) Beschreibe die Schritte, die du unternehmen würdest, um die Frequenzanalyse dieses EEG-Signals mithilfe der Fast Fourier Transformation (FFT) durchzuführen. Welche Informationen erhältst du aus dem resultierenden Frequenzspektrum?

• b) Angenommen, das EEG-Signal weist hohe Frequenzkomponenten im Bereich zwischen 13 und 30 Hz auf. Welcher Frequenzbereich ist dies und was könnte das in Bezug auf die physiologische Aktivität des Gehirns bedeuten? Erläutere deine Antwort unter Berücksichtigung bekannter Frequenzbänder im EEG.

Lösung:

Um die dominanten Frequenzen eines EEG-Signals mithilfe der Fast Fourier Transformation (FFT) zu analysieren, gehst du wie folgt vor:

• a) Schritte zur Durchführung der Frequenzanalyse mithilfe der FFT:
  • Schritt 1: SignalvorbereitungDu hast ein EEG-Signal, das über einen Zeitraum von 10 Sekunden mit einer Abtastrate von 256 Hz aufgenommen wurde. Stelle sicher, dass das Signal korrekt vorliegt und frei von Artefakten ist.
  • Schritt 2: Normalisierung und VorverarbeitungOptional kannst du das Signal normalisieren oder filtern, um unerwünschte Komponenten wie Gleichstrom (DC) oder Rauschen zu entfernen.
  • Schritt 3: Anwendung der FFTVerwende die FFT, um das Zeitdomänensignal in das Frequenzdomänenspektrum umzuwandeln. Dazu nutzt du eine FFT-Bibliothek aus einer Programmiersprache wie Python (z.B. NumPy).

  import numpy as npfrom scipy.fft import fft# Annahme: eeg_signal enthält das EEG-Signalsampling_rate = 256  # Hzn = len(eeg_signal)# FFT berechnenfft_result = fft(eeg_signal)# Frequenzen berechnenfrequencies = np.fft.fftfreq(n, d=1/sampling_rate)

• Schritt 4: Analyse des FrequenzspektrumsBetrachte das Amplitudenspektrum (Betrag der FFT-Ergebnisse) und die entsprechenden Frequenzen, um die dominanten Frequenzen des EEG-Signals zu identifizieren.

  magnitude_spectrum = np.abs(fft_result)

• Schritt 5: Frequenzspektrum interpretierenPlotte das Frequenzspektrum, um die Hauptfrequenzkomponenten visuell zu analysieren.

  import matplotlib.pyplot as pltplt.plot(frequencies[:n//2], magnitude_spectrum[:n//2])plt.xlabel('Frequenz (Hz)')plt.ylabel('Amplitude')plt.title('Frequenzspektrum des EEG-Signals')plt.show()

• Ergebnisse des FrequenzspektrumsDas resultierende Frequenzspektrum zeigt dir die Amplituden der verschiedenen Frequenzkomponenten, die im EEG-Signal enthalten sind. Dominante Frequenzen sind diejenigen mit den höchsten Amplituden.

b) Bedeutung der Frequenzkomponenten zwischen 13 und 30 Hz:

• Identifikation des FrequenzbereichsDer Frequenzbereich zwischen 13 und 30 Hz gehört zum Beta-Band des EEG.
• Physiologische Bedeutung des Beta-BandsBeta-Wellen (13-30 Hz) sind typischerweise mit wachsamem und aktivem Denken, Konzentration, Problemlösung und Entscheidungsfindung verbunden. Ein hoher Anteil an Beta-Wellen könnte auf erhöhte kognitive Aktivität, Anspannung oder sogar Angst hinweisen.

• Bekannte Frequenzbänder im EEG:

  • Delta-Band (0.5-4 Hz): Tiefer Schlaf, unbewusste Aktivitäten
  • Theta-Band (4-8 Hz): Dösen, Meditation, Kreativität
  • Alpha-Band (8-13 Hz): Entspannung, wach, aber entspannt
  • Beta-Band (13-30 Hz): Wachsamkeit, aktives Denken, Konzentration
  • Gamma-Band (30-100 Hz): Hohe kognitive Funktionen, Informationsverarbeitung

b)

Ein EMG-Signal wird zur Analyse von Muskelaktivität verwendet. Ein Abschnitt des EMG-Signals zeigt eine hohe Amplitude während eines kurzen Zeitraums.

• a) Erkläre, wie du die Spitzenwertdetektion (Peak Detection) verwenden würdest, um diese Abschnitte im Signal zu identifizieren. Welche Schwellenmethoden könnten hilfreich sein und warum?

• b) Zur Klassifikation der Muskelaktivität soll ein neuronales Netz eingesetzt werden. Beschreibe den allgemeinen Aufbau eines neuronalen Netzes und wie du die extrahierten Merkmale, wie die aus der Spitzenwertdetektion, als Eingabe für das neuronale Netz verwenden würdest.

Lösung:

Um die Analyse eines EMG-Signals durchzuführen, das eine hohe Amplitude während eines kurzen Zeitraums zeigt, können folgende Schritte unternommen werden:

• a) Spitzenwertdetektion (Peak Detection):
  • Schritt 1: SignalvorverarbeitungVor der Spitzenwertdetektion empfiehlt es sich, das EMG-Signal zu filtern und zu glätten, um Rauschen und unerwünschte Frequenzen zu reduzieren. Dies kann durch Bandpassfilter und Glättungsalgorithmen erreicht werden.
  • Schritt 2: Definition einer SchwelleLegen eine Schwelle fest, oberhalb derer ein Wert als Spitzenwert (Peak) betrachtet wird. Diese Schwelle kann auf verschiedene Weise definiert werden:
    • Feste Schwelle: Eine konstante Schwelle, die auf den Daten basiert. Zum Beispiel kannst du den Mittelwert des Signals plus ein Vielfaches der Standardabweichung verwenden.
    • Adaptive Schwelle: Eine Schwelle, die sich an lokale Signalveränderungen anpasst. Dies kann durch gleitende Mittelwerte oder mediane Filter erreicht werden.
  • Schritt 3: Spitzenwerte detektierenDurchlaufe das Signal und markiere Punkte, die die festgelegte Schwelle überschreiten als Spitzenwerte.

    import numpy as npfrom scipy.signal import find_peaks# Annahme: emg_signal enthält das EMG-Signal# Festlegung einer festen Schwelle (z.B. 1.5-fache Standardabweichung über Mittelwert)threshold = np.mean(emg_signal) + 1.5 * np.std(emg_signal)# Spitzenwerte findenpeaks, _ = find_peaks(emg_signal, height=threshold)

  • Schritt 4: Analyse der SpitzenwerteUntersuche die Eigenschaften der detektierten Spitzenwerte wie Höhe, Dauer und Intervall, um die Muskelaktivität zu klassifizieren.
• b) Aufbau eines neuronalen Netzes zur Klassifikation der Muskelaktivität:
  • Allgemeiner Aufbau eines neuronalen NetzesEin neuronales Netz besteht typischerweise aus mehreren Schichten:
    • Eingabeschicht: Nimmt die Eingabedaten, in diesem Fall die extrahierten Merkmale aus dem EMG-Signal auf.
    • Verdeckte Schichten: Eine oder mehrere Schichten von Neuronen, die die Eingabedaten in mehreren Stufen verarbeiten. Diese Schichten können unterschiedlich tief und komplex sein.
    • Ausgabeschicht: Gibt die Klassifikationsergebnisse aus.
    • Aktivierungsfunktionen: Anwendungen wie ReLU (Rectified Linear Unit) oder Sigmoid-Funktion, die zwischen den Schichten verwendet werden.
  • Verwendung der extrahierten Merkmale:Die extrahierten Merkmale, wie die Spitzenwerte (Peak-Werte), dienen als Eingabe für das neuronale Netz. Dies kann so aussehen:
    • Merkmalsvektor erstellen: Erstelle aus den Spitzenwerten und anderen relevanten Informationen (z.B. Häufigkeit, Dauer, Höhe der Spitzenwerte) einen Merkmalsvektor.
    • Netzwerkarchitektur entwerfen: Wähle die Anzahl der Schichten und Neuronen in jedem Layer aus sowie passende Aktivierungsfunktionen.
    • Training des Netzwerks: Trainiere das Netzwerk mit einem Trainingssatz von EMG-Daten und den zugehörigen Labeln (klassifizierte Muskelaktivität).

      from keras.models import Sequentialfrom keras.layers import Dense# Annahme: features enthält den Merkmalsvektor und labels die Klassifikation# Erstellung des Modellsmodel = Sequential()model.add(Dense(64, input_dim=len(features[0]), activation='relu'))model.add(Dense(32, activation='relu'))model.add(Dense(1, activation='sigmoid'))# Kompilierung des Modellsmodel.compile(loss='binary_crossentropy', optimizer='adam', metrics=['accuracy'])# Training des Modellsmodel.fit(features, labels, epochs=50, batch_size=10, validation_split=0.2)

  • Zusammenfassung:Durch die Spitzenwertdetektion kannst du relevanten Muskelaktivitätsabschnitte identifizieren und diese Informationen als Merkmale extrahieren. Diese Merkmale können in einem neuronalen Netz verwendet werden, um die Muskelaktivität zu klassifizieren. Solch ein neuronales Netz besteht aus Eingabeschicht(en), verdeckten Schichten und der Ausgabeschicht, welches nach dem Training auf neue EMG-Daten angewendet werden kann.

Aufgabe 2)

Du bist ein Ingenieur im Bereich biomedizinische Signalanalyse und arbeitest an der Analyse von EKG-Signalen. Das EKG-Signal kann als lineares System modelliert werden und weist typische Eigenschaften auf, wie Additivität, Homogenität und Zeitinvarianz. Nutzen wir die Fourier-Transformation, um das Signal von der Zeitdomäne in die Frequenzdomäne zu überführen. Spektralanalyse kommt zum Einsatz, um die Frequenzkomponenten des EKGs zu untersuchen. Ziel der Analyse könnte es sein, Filter anzuwenden, um Störungen zu unterdrücken oder das Signal zu verstärken.

a)

a) Ein gegebenes EKG-Signal wurde als Zeitfunktion x(t) aufgenommen. Wende die Fourier-Transformation auf x(t) an, um die Frequenzkomponenten zu erhalten. Gegeben sei:

 x(t) = 1.2\text{sin}(2\text{π}4t) + 0.9\text{sin}(2\text{π}12t) + 0.5\text{sin}(2\text{π}30t)

Bestimme die zugehörigen Frequenzkomponenten. Ergibt Sinn, das kurzzeitige Fourier-Transformation zu verwenden? Begründe Deine Antwort.

Lösung:

Lösung:

Um die Fourier-Transformation auf x(t) anzuwenden, müssen wir die gegebene Zeitfunktion x(t) analysieren. Das gegebene EKG-Signal ist:

 x(t) = 1.2\text{sin}(2\text{π}4t) + 0.9\text{sin}(2\text{π}12t) + 0.5\text{sin}(2\text{π}30t) 

Hier sind die Frequenzkomponenten der Funktion:

• Die erste Komponente ist 1.2\text{sin}(2\text{π}4t), die eine Frequenz von 4 Hz hat.
• Die zweite Komponente ist 0.9\text{sin}(2\text{π}12t), die eine Frequenz von 12 Hz hat.
• Die dritte Komponente ist 0.5\text{sin}(2\text{π}30t), die eine Frequenz von 30 Hz hat.

Die Fourier-Transformation des Signals x(t) führt zu folgenden Frequenzkomponenten: 4 Hz, 12 Hz und 30 Hz. Diese Frequenzen sind die dominanten Komponenten im EKG-Signal.

Nun zur Frage, ob die kurzzeitige Fourier-Transformation (STFT) sinnvoll ist:

Die STFT wird eingesetzt, wenn das Signal nicht stationär ist, d.h. wenn sich die Frequenzkomponenten im Laufe der Zeit ändern. Mit der STFT kann die Frequenzanalyse in kleinen Zeitfenstern durchgeführt werden, wodurch die zeitliche Veränderung der Frequenzen sichtbar wird.

• Wenn das gegebene EKG-Signal stationär ist (d.h. die Frequenzkomponenten ändern sich nicht über die Zeit), ist die herkömmliche Fourier-Transformation ausreichend, da sie die gesamte Frequenzinformation liefert.
• Wenn das EKG-Signal nicht stationär ist und sich die Frequenzkomponenten im Laufe der Zeit ändern, ist die STFT sinnvoll, da sie die Analyse der Frequenzkomponenten in unterschiedlichen Zeitfenstern ermöglicht.

In der Praxis können EKG-Signale sowohl stationäre als auch nicht stationäre Eigenschaften aufweisen. Daher kann es hilfreich sein, die STFT zusätzlich zur herkömmlichen Fourier-Transformation zu verwenden, um eine umfassendere Analyse durchzuführen.

b)

b) Du entdeckst, dass das EKG-Signal störende 50 Hz Netzbrummkomponenten enthält. Entwerfe und beschreibe einen digitalen Filter, der diese Frequenz effektiv unterdrücken kann. Notiere die Differenzengleichung des Filters und überprüfe, ob bestimmte Systemeigenschaften wie Linearität und Zeitinvarianz auf den Filter zutreffen.

Lösung:

Lösung:

Um die störenden 50 Hz Netzbrummkomponenten im EKG-Signal zu unterdrücken, können wir einen digitalen Notch-Filter entwerfen. Ein Notch-Filter wird so gestaltet, dass er eine bestimmte Frequenz unterdrückt, während andere Frequenzen weitgehend unverändert bleiben.

Entwurf eines digitalen Notch-Filters

Ein Notch-Filter kann durch die folgende Transferfunktion beschrieben werden:

 H(z) = \frac{(z - e^{j\theta})(z - e^{-j\theta})}{(z - r e^{j\theta})(z - r e^{-j\theta})} 

Hierbei ist:

• \theta = \frac{2\pi f_0}{f_s} – Die normalisierte Winkel-Frequenz der zu unterdrückenden Frequenz
• r < 1 – Der Radius des Pols, der die Breite der Notch bestimmt
• f_0 – Die zu unterdrückende Frequenz (50 Hz)
• f_s – Die Abtastfrequenz des Signals

Um die Differenzengleichung des Filters zu finden, wenden wir die inverse Z-Transformation auf die Transferfunktion an. Die Differenzengleichung des Notch-Filters lautet dann:

 y[n] = x[n] - 2 \cos(\theta)x[n-1] + x[n-2] + 2r \cos(\theta)y[n-1] - r^2y[n-2] 

Für eine Abtastrate von 1000 Hz und eine Notch-Frequenz von 50 Hz sind die Parameter:

• \theta = \frac{2\pi \, 50}{1000} = \pi/10
• r = 0.99 (Beispielwert nahe bei 1)

Die Differenzengleichung des Notch-Filters lautet dann:

 y[n] = x[n] - 2 \cos(\pi/10)x[n-1] + x[n-2] + 2 \cdot 0.99 \cos(\pi/10)y[n-1] - (0.99)^2y[n-2] 

Dies lässt sich weiter vereinfachen zu:

 y[n] = x[n] - 1.9021x[n-1] + x[n-2] + 1.9021 \cdot 0.99y[n-1] - 0.9801y[n-2] 

Systemeigenschaften: Linearität und Zeitinvarianz

• Linearität: Der Notch-Filter ist ein lineares System, da er die Superpositions- (Additivität) und Homogenitätseigenschaften erfüllt. Das bedeutet, dass die Reaktion des Filters auf eine lineare Kombination von Eingaben gleich der Kombination der Reaktionen auf die Einzeleingaben ist.
• Zeitinvarianz: Der Notch-Filter ist zeitinvariant, was bedeutet, dass eine zeitliche Verschiebung des Eingangs zu einer identischen zeitlichen Verschiebung des Ausgangs führt. Unabhängig davon, wann das Eingangssignal auftritt, bleibt die Filterantwort dieselbe.

Zusammenfassend ist der Notch-Filter ein geeignetes Werkzeug zur Unterdrückung der 50 Hz Netzbrummkomponente im EKG-Signal und besitzt die Eigenschaften eines linearen und zeitinvarianten Systems.

Aufgabe 3)

In dieser Aufgabe betrachten wir die bioelektrischen Phänomene und deren Anwendung in der medizinischen Diagnostik. Insbesondere fokussieren wir uns auf die folgenden Messmethoden: Elektrokardiogramm (EKG), Elektroenzephalogramm (EEG) und Elektromyogramm (EMG). Das EKG misst die elektrische Aktivität des Herzens und wird zur Diagnose von Herzproblemen eingesetzt. Das EEG erfasst die elektrische Aktivität des Gehirns und ist wichtig zur Erkennung von neurologischen Erkrankungen wie Epilepsie. Das EMG registriert die elektrische Aktivität der Muskeln und wird genutzt, um Muskel- und Nervenschäden zu analysieren. Bei der Signalerfassung und -analyse spielen extrakorporale Elektroden eine zentrale Rolle, indem sie Spannungsunterschiede aufnehmen. Um verwertbare Signale zu erhalten, sind Filterung und Rauschentfernung erforderlich. Bioelektrische Signale basieren auf Potentialdifferenzen, die durch Ionenbewegungen entstehen. Diese Signale werden durch empfindliche Verstärker wahrgenommen. Wichtige Parameter bei der Analyse sind Amplituden, Frequenzbänder und Zeitverläufe der Signale.

a)

Teilaufgabe 1: Erkläre, wie ein Elektrokardiogramm (EKG) die elektrische Aktivität des Herzens misst und welche typischen Charakteristika und Parameter in einem EKG-Signal zu beobachten sind. Gehe dabei insbesondere auf die P-Welle, das QRS-Komplex und die T-Welle ein.

Lösung:

• Elektrokardiogramm (EKG): Das EKG ist ein medizinisches Verfahren, das die elektrische Aktivität des Herzens misst und aufzeichnet. Diese Messung erfolgt durch die Platzierung von Elektroden auf der Haut, typischerweise an den Handgelenken, Knöcheln und Brustkorb. Die Elektroden erfassen die Spannungsunterschiede, die durch die Depolarisation und Repolarisation des Herzmuskels während des Herzzyklus entstehen.

• P-Welle: Die P-Welle stellt die Depolarisation der Vorhöfe (Atrien) dar. Diese Depolarisation führt zur Kontraktion der Vorhöfe, die das Blut in die Ventrikel (Herzkammern) befördert.
• QRS-Komplex: Der QRS-Komplex repräsentiert die Depolarisation der Ventrikel, die anschließend zur Kontraktion der Ventrikel und damit zum Pumpen des Blutes in die großen Arterien führt. Diese Komplex ist in der Regel der prominenteste Teil des EKG-Signals und weist eine scharfe Spitze auf.
• T-Welle: Die T-Welle zeigt die Repolarisation der Ventrikel an, bei der sich die Herzkammern entspannen und in ihren Ausgangszustand zurückkehren, um für den nächsten Herzschlag bereit zu sein.

• Weitere Parameter: Neben den genannten Wellenformen (P-Welle, QRS-Komplex und T-Welle) analysiert man auch Amplituden und Zeitintervalle (z.B. PR-Intervall, QT-Intervall) sowie die Herzfrequenz und Herzrhythmus. Diese Parameter helfen dabei, Herzrhythmusstörungen, strukturelle Herzschäden und andere kardiovaskuläre Erkrankungen zu diagnostizieren.

b)

Teilaufgabe 2: Beschreibe die Hauptunterschiede zwischen einem Elektroenzephalogramm (EEG) und einem Elektromyogramm (EMG). Welche Art von neurologischen und muskulären Diagnosen lassen sich mithilfe dieser beiden Messmethoden durchführen? Gehe auf spezifische Anwendungen und Beispiele ein.

Lösung:

• Hauptunterschiede zwischen EEG und EMG:

• Elektroenzephalogramm (EEG): Das EEG erfasst die elektrische Aktivität des Gehirns, indem Elektroden auf der Kopfhaut platziert werden. Diese Elektroden messen die Spannungsschwankungen, die durch die synaptische Aktivität der Neuronen im Gehirn entstehen. Das EEG ist ein nicht-invasives Verfahren, das häufig zur Diagnose und Überwachung von neurologischen Erkrankungen eingesetzt wird.

• Elektromyogramm (EMG): Das EMG misst die elektrische Aktivität der Muskeln, indem Elektroden entweder auf der Hautoberfläche (Oberflächenelektromyographie) oder direkt in den Muskel (Nadelelektromyographie) platziert werden. Diese Elektroden erfassen die Aktionspotenziale, die entstehen, wenn Muskelfasern aktiviert und kontrahiert werden. Das EMG wird verwendet, um muskuläre und neuronale Funktionen zu analysieren und mögliche Schäden zu identifizieren.

• Diagnosen mit EEG:
• Epilepsie: Das EEG ist besonders nützlich bei der Diagnose von Epilepsie. Es kann Anomalien in den Gehirnwellenmuster erkennen, die auf epileptische Aktivitäten hinweisen.
• Schlafstörungen: Das EEG wird auch zur Untersuchung von Schlafstörungen wie Schlafapnoe, Insomnie und Narkolepsie eingesetzt. Es hilft, verschiedene Schlafphasen und -muster zu analysieren.
• Enzephalopathien: Für die Diagnose von entzündlichen oder degenerativen Erkrankungen des Gehirns, wie z.B. Enzephalopathien, ist das EEG ebenfalls ein wichtiges diagnostisches Werkzeug.
• Diagnosen mit EMG:
• Neuropathien: Das EMG hilft bei der Diagnose von peripheren Nervenschäden, wie z.B. Karpaltunnelsyndrom oder periphere Neuropathie, indem es die elektrische Aktivität und Leitfähigkeit der Nerven misst.
• Myopathien: Um muskuläre Erkrankungen wie Muskeldystrophie oder Polymyositis zu diagnostizieren, wird das EMG eingesetzt. Diese Krankheiten manifestieren sich typischerweise in abnormen Muskelaktivitäten.
• Neuromuskuläre Erkrankungen: Das EMG spielt eine wichtige Rolle bei der Diagnose von Erkrankungen wie Amyotrophe Lateralsklerose (ALS) oder Myasthenia gravis, bei denen sowohl Nerven- als auch Muskelaktivitäten gestört sind.

c)

Teilaufgabe 3: Erläutere das Prinzip der Signalerfassung und -analyse bei bioelektrischen Phänomenen. Welche Schritte sind notwendig, um aus den Rohsignalen verwertbare Informationen zu gewinnen? Beschreibe den Prozess der Filterung und Rauschentfernung sowie die Bedeutung der Verstärker.

Lösung:

• Prinzip der Signalerfassung und -analyse bei bioelektrischen Phänomenen:
• Bioelektrische Phänomene beruhen auf Potentialdifferenzen, die durch Ionenbewegungen in den Zellen entstehen. Diese Potentialdifferenzen werden von extrakorporalen Elektroden erfasst, die auf der Haut oder direkt in den Muskel platziert werden. Um aus diesen Rohsignalen verwertbare Informationen zu gewinnen, sind mehrere Schritte erforderlich:
• 1. Signalerfassung: Dies ist der erste Schritt, bei dem Elektroden die von den bioelektrischen Quellen (wie Herz, Gehirn oder Muskeln) erzeugten Spannungsunterschiede erfassen.
• 2. Verstärkung: Bioelektrische Signale sind oft sehr schwach, daher müssen sie zunächst durch empfindliche Verstärker verstärkt werden, um sie messbar und analysierbar zu machen.
• 3. Filterung: Die Rohsignale enthalten oft Störsignale und Artefakte, wie z.B. 50/60 Hz Netzbrummen oder Bewegungsartefakte. Diese werden durch die Anwendung von Filtern (z.B. Hochpass-, Tiefpass- und Bandpassfilter) entfernt, um relevante Frequenzbänder zu isolieren.
• 4. Rauschentfernung: Zusätzlich zur Filterung muss das Signal von unerwünschtem Rauschen befreit werden. Dies kann durch verschiedene Techniken wie Mittelwertbildung, adaptive Filter oder statistische Methoden erfolgen.
• 5. Signalverarbeitung und -analyse: Nach der Filterung und Rauschentfernung wird das gereinigte Signal weiter analysiert, um wichtige Parameter wie Amplituden, Frequenzen und Zeitverläufe zu extrahieren. Computergestützte Algorithmen und Softwaretools spielen hierbei eine entscheidende Rolle und ermöglichen die automatische Erkennung von Mustern und Anomalien.
• 6. Interpretation: Die gewonnenen und analysierten Daten werden schließlich von Ärzten und Diagnostikern interpretiert, um medizinische Diagnosen zu stellen und Therapien einzuleiten.
• Bedeutung der Verstärker:
• Verstärker sind essentiell, da bioelektrische Signale in der Regel im Mikrovolt-Bereich liegen und somit sehr schwach sind. Ohne Verstärkung wären diese Signale kaum von Umgebungsrauschen zu unterscheiden. Allerdings müssen die Verstärker auch sehr rauscharm sein, um die eigentlichen bioelektrischen Signale nicht zu überdecken.
• Moderne Verstärker verfügen oft über zusätzliche Features wie eingebaute Filter und Rauschunterdrückungstechniken, um die Qualität der aufgenommenen Signale weiter zu verbessern.

d)

Teilaufgabe 4: Angenommen, Du hast eine EKG-Messung durchgeführt und ermittelst die Frequenz und Amplitude der R-Wellen im QRS-Komplex. Wenn die Zeit zwischen zwei aufeinanderfolgenden R-Wellen (RR-Intervall) im Durchschnitt 0,8 Sekunden beträgt, berechne die Herzfrequenz in Schlägen pro Minute. Außerdem, wenn die Amplitude der R-Wellen durchschnittlich 1,2 mV beträgt, diskutiere, was diese Parameter über den Gesundheitszustand des Herzens aussagen könnten.

Lösung:

• Berechnung der Herzfrequenz (Schläge pro Minute):
• Die Herzfrequenz wird anhand des RR-Intervalls berechnet, also der Zeit zwischen zwei aufeinanderfolgenden R-Wellen im EKG. Das durchschnittliche RR-Intervall beträgt 0,8 Sekunden.
• Die Herzfrequenz (\textbf{bpm}, Schläge pro Minute) kann mit der folgenden Formel berechnet werden:
\[\text{{Herzfrequenz (bpm)}} = \frac{{60 \text{{ Sekunden}}}}{{\text{{RR-Intervall (in Sekunden)}}}}\]
• Indem wir das RR-Intervall von 0,8 Sekunden in die Gleichung einsetzen, erhalten wir:
\[\text{{Herzfrequenz}} = \frac{{60}}{{0,8}} = 75 \text{{ bpm}}\]
• Die berechnete Herzfrequenz beträgt daher 75 Schläge pro Minute.
• Diskussion der Amplitude der R-Wellen und der Herzfrequenz:
• Die Amplitude der R-Wellen und die Herzfrequenz sind zwei wichtige Parameter, die den Gesundheitszustand des Herzens widerspiegeln können.
• Amplitude der R-Wellen:
• Eine durchschnittliche Amplitude von 1,2 mV für die R-Wellen ist normal und liegt im typischen Bereich. Niedrige Amplituden können auf Probleme wie Myokardinfarkt, Myokarditis oder andere Herzerkrankungen hinweisen. Hohe Amplituden könnten auf eine Hypertrophie der Ventrikel hinweisen.
• Herzfrequenz:
• Eine Herzfrequenz von 75 bpm liegt im normalen Ruhebereich (typischerweise zwischen 60-100 bpm). Abweichungen von diesem Bereich können Anzeichen für Bradykardie (weniger als 60 bpm), Tachykardie (mehr als 100 bpm) oder andere Herzrhythmusstörungen sein.
• Zusammenfassend kann gesagt werden, dass normale Amplituden- und Frequenzwerte auf eine gesunde Herzfunktion hinweisen. Abweichungen von diesen Normwerten könnten hingegen auf verschiedene Herzprobleme hindeuten. Eine umfassendere Analyse und möglicherweise zusätzliche medizinische Tests sind notwendig, um eine endgültige Diagnose zu stellen.

Aufgabe 4)

Bei der Analyse biomedizinischer Signale ist die Filterung eine wesentliche Technik, um Störungen zu minimieren und relevante Signalanteile hervorzuheben. Digitale Filter, insbesondere Finite Impulse Response (FIR)- und Infinite Impulse Response (IIR)-Filter, sind dabei von großer Bedeutung. FIR-Filter zeichnen sich durch eine lineare Phasencharakteristik und Stabilität aus, während IIR-Filter für ähnliche Filtercharakteristiken eine geringere Ordnung haben können, aber potenziell instabil sind. FIR-Filter können mit Methoden wie Fensterfunktionen oder dem Parks-McClellan-Algorithmus gestaltet werden. IIR-Filter werden häufig mittels bilinearer Transformation oder Impulsinvarianz entworfen. Anwendungen finden sich in der Rauschentfernung und der Verstärkung spezifischer Frequenzen. Bei der Implementierung spielen Aspekte wie die Filterordnung, die Rechenkomplexität und die Echtzeitfähigkeit eine entscheidende Rolle.

a)

Du sollst einen FIR-Filter entwerfen, der ein biomedizinisches Signal verarbeitet. Angenommen, das Signal enthält Rauschen bei einer Frequenz von 60 Hz, das herausgefiltert werden soll. Wähle eine passende Fensterfunktion und berechne die Koeffizienten für den FIR-Filter. Diskutiere dabei die Wahl der Fensterfunktion und die Auswirkungen auf die Filtercharakteristik.

Lösung:

Lösung des Teilaufgabe:Um einen FIR-Filter zu entwerfen, der ein biomedizinisches Signal verarbeitet und Rauschen bei einer Frequenz von 60 Hz herausfiltert, gehen wir schrittweise vor.

• 1. Wahl der Fensterfunktion:Für FIR-Filter gibt es mehrere Fensterfunktionen, wie z. B. das rechteckige Fenster, das Hamming-Fenster, das Hann-Fenster, das Blackman-Fenster und viele andere. Jedes dieser Fenster hat spezifische Eigenschaften in Bezug auf die Nebenkeulenunterdrückung und die Hauptkeulenbreite. Für unser Beispiel wählen wir das Hamming-Fenster, da es eine gute Balance zwischen der Hauptkeulenbreite und der Unterdrückung der Nebenkeulen bietet.
• 2. Festlegung der Filterparameter:Wir müssen die Abtastrate (\textit{sampling rate}), die Mittenfrequenz für das entfernende Rauschen (60 Hz) und die Bandbreite festlegen. Angenommen, die Abtastrate beträgt 1000 Hz.
• 3. Berechnung der Koeffizienten: Die FIR-Filterkoeffizienten können mit der Fenstermethode berechnet werden. Wir berücksichtigen eine Filterordnung von 101 (N = 100), was eine ungerade Zahl ist und eine symmetrische Impulsantwort ermöglicht, was zu einer linearen Phase führt. Wir berechnen nun die Koeffizienten unter Verwendung der idealen Filterantwort und der Fensterfunktion:

import numpy as npfrom scipy.signal import firwin, freqzimport matplotlib.pyplot as plt# Parameter festlegenN = 101  # Filterordnung (ungerade Zahl)fs = 1000.0  # Abtastrate in Hzcutoff = 60.0  # Abschneidefrequenz in Hz# Berechnung der Koeffizienten mit einer Hamming-Fensterfunktionhamming_window = np.hamming(N)fir_coeff = firwin(N, cutoff / (0.5 * fs), window=hamming_window)# Frequenzantwort des Filters plottenw, h = freqz(fir_coeff, worN=8000)plt.plot(0.5*fs*w/np.pi, np.abs(h), 'b')plt.title('Frequenzantwort des FIR-Filters')plt.xlabel('Frequenz (Hz)')plt.ylabel('Verstärkung')plt.grid()plt.show()

• Die berechneten Koeffizienten des FIR-Filters können verwendet werden, um das Rauschen bei 60 Hz herauszufiltern. Durch die Verwendung des Hamming-Fensters wird erreicht, dass die Filterantwort eine relativ schmale Hauptkeule und eine gute Unterdrückung der Nebenkeulen hat. Diese Eigenschaft minimiert das Übersprechen von Frequenzanteilen und verbessert die deutliche Filterung bei der Abschneidefrequenz.

• Diskussion:Die Wahl der Fensterfunktion hat einen signifikanten Einfluss auf die Filtercharakteristik. Das Hamming-Fenster bietet eine ausgewogene Lösung zwischen den Anforderungen der Hauptkeulenbreite und der Nebenkeulenunterdrückung. Es gibt allerdings auch spezialisierte Fensterfunktionen wie das Blackman-Harris-Fenster, die eine noch bessere Nebenkeulenunterdrückung bieten könnten. Jedoch kann die Hauptkeule breiter werden, was gegen unsere Notwendigkeit eines selektiven Filters sein kann. Daher wurde das Hamming-Fenster für diese Anwendung gewählt.
• Die Filterordnung spielt zudem eine entscheidende Rolle in der Bestimmung der Filtercharakteristik und der Rechenkomplexität. Ein höherer Wert von N würde zu einer besseren Frequenzselektion führen, jedoch auch die Komplexität erhöhen. Für Echtzeit-Anwendungen muss auch die Berechnungsgeschwindigkeit des Filters berücksichtigt werden.

Zusammenfassung:Durch die Wahl eines Hamming-Fensters und einer angemessenen Filterordnung können wir einen effizienten FIR-Filter entwerfen, der Rauschen bei 60 Hz in einem biomedizinischen Signal herausfiltert. Die Wahl der Fensterfunktion und die Festlegung der Filterordnung sind entscheidend für die optimale Filtercharakteristik und die Rechenkomplexität.

b)

Entwirf einen IIR-Filter zur gleichen Problemstellung (Rauschen bei 60 Hz) und vergleiche den Filter mit dem zuvor entworfenen FIR-Filter. Dazu gehört die Darstellung der Koeffizienten, die Bewertung der Stabilität des Filters sowie der Vergleich von Ordnung und Rechenkomplexität. Erkläre auch, welche der beiden Filtermethoden für die vorliegende biomedizinische Anwendung vorteilhafter ist.

Lösung:

Lösung des Teilaufgabe:Um einen IIR-Filter zu entwerfen, der Rauschen bei 60 Hz in einem biomedizinischen Signal herausfiltert, gehen wir wie folgt vor:

• 1. Wahl der Filterart:Für IIR-Filter gibt es verschiedene Entwurfsmethoden, wie zum Beispiel Butterworth-, Chebyshev- und elliptische Filter. Wir entscheiden uns hier für einen Butterworth-Filter, da dessen Frequenzgang eine maximale Flachheit im Durchlassbereich aufweist.
• 2. Festlegung der Filterparameter:Wir nehmen an, dass die Abtastrate 1000 Hz beträgt und die Rauschfrequenz 60 Hz entfernt werden soll.
• 3. Berechnung der Koeffizienten:Wir berechnen die Koeffizienten für den Butterworth-IIR-Filter unter Verwendung des bilinearen Transformation-Ansatzes:

import numpy as npfrom scipy.signal import butter, lfilter, freqzimport matplotlib.pyplot as plt# Parameter festlegenfs = 1000.0  # Abtastrate in Hzcutoff = 60.0  # Abschneidefrequenz in Hzorder = 4  # Filterordnung# Berechnung der Koeffizientenb, a = butter(order, cutoff / (0.5 * fs), btype='low', analog=False)# Frequenzantwort des Filters plottenw, h = freqz(b, a, worN=8000)plt.plot(0.5 * fs * w / np.pi, np.abs(h), 'b')plt.title('Frequenzantwort des IIR-Filters')plt.xlabel('Frequenz (Hz)')plt.ylabel('Verstärkung')plt.grid()plt.show()

• Die berechneten Koeffizienten des IIR-Filters:
• b: [array of b-coefficients]
• a: [array of a-coefficients]

• Stabilität des Filters:Die Stabilität eines IIR-Filters hängt von der Position seiner Polstellen ab. Für den hier entworfenen Butterworth-Filter sind die Polstellen innerhalb des Einheitskreises, was die Stabilität garantiert. Dies ist jedoch nicht immer für alle IIR-Filtertypen der Fall. Daher ist es wichtig, die Pol-Null-Diagramme zu überprüfen:

plt.figure()z, p, k = tf2zpk(b, a)plt.plot(np.real(p), np.imag(p), 'x', label='Polstellen')plt.plot(np.real(z), np.imag(z), 'o', label='Nullstellen')plt.title('Pol-Nullstellen-Diagramm')plt.xlabel('Re')plt.ylabel('Im')plt.grid()plt.legend()plt.show()

• Vergleich: FIR-Filter vs. IIR-Filter:
• Filterordnung und Rechenkomplexität:Der FIR-Filter benötigt im Allgemeinen eine höhere Ordnung im Vergleich zum IIR-Filter, um eine ähnliche Frequenzanpassung zu erzielen. Dies führt zu einer höheren Rechenkomplexität und längeren Verzögerungen für FIR-Filter. Der entworfene FIR-Filter hatte eine Ordnung von 101, während der IIR-Filter mit einer Ordnung von 4 eine vergleichbare Leistung erbringt.
• Stabilität:FIR-Filter sind immer stabil. Der entworfene IIR-Filter ist ebenfalls stabil, aber bei verschiedenen Methoden kann es vorkommen, dass IIR-Filter instabil werden, wenn die Polstellen außerhalb des Einheitskreises liegen.
• Phasencharakteristik:FIR-Filter haben eine lineare Phase, was bedeutet, dass alle Frequenzen ähnlich verzögert werden. IIR-Filter haben im Allgemeinen keine lineare Phasencharakteristik, was zu Phasenverzerrungen führen kann.

• Vorteilhaftigkeit für die biomedizinische Anwendung:Der FIR-Filter ist oft vorteilhafter für biomedizinische Anwendungen, da er eine lineare Phasencharakteristik aufweist und stabil ist. Dies ist besonders wichtig bei der Analyse kritischer biomedizinischer Signale, bei denen Verzerrungen und Änderungen in der Signalphase problematisch sein können. Der Hauptnachteil eines FIR-Filters ist jedoch die höhere Rechenkomplexität, die in Echtzeitanwendungen eine Herausforderung darstellen kann. Der IIR-Filter bietet eine größere Effizienz hinsichtlich der Rechenleistung, könnte aber bei nicht-linearen Phasenverzerrungen nachteilig sein.

Zusammenfassung:Durch den Vergleich zeigt sich, dass beide Filtermethoden spezifische Vor- und Nachteile haben. Der FIR-Filter bietet Stabilität und eine lineare Phase, was ihn für die Verarbeitung von biomedizinischen Signalen besonders geeignet macht. IIR-Filter hingegen erfordern weniger Rechenaufwand, was sie bei begrenzten Ressourcen vorteilhaft macht. Die Wahl zwischen beiden hängt von den spezifischen Anforderungen der Anwendung ab.