CT Reconstruction - Exam

Aufgabe 1)

Im Rahmen eines CT-Scans wird ein Röntgenbild erstellt, indem die Röntgenstrahlen durch den Körper des Patienten geschickt werden und dann von einem Detektor auf der anderen Seite erfasst werden. Hierbei basiert das Prinzip auf der unterschiedlichen Absorption der Röntgenstrahlen durch verschiedene Gewebearten, was zu Bildkontrasten führt. Ein Zusammenhang wird durch das Absorptionsgesetz beschrieben:

• Zusammenspiel von Röntgenröhre und Detektor
• Absorptionsgesetz: \( I = I_0 \cdot e^{-\mu x} \)
• Beugung und Streuung vernachlässigt
• Bildkontraste resultieren aus unterschiedlicher Gewebedichte
• Hounsfield-Skala zur Differenzierung von Gewebetypen

a)

Erläutere das grundlegende Prinzip des Zusammenspiels von Röntgenröhre und Detektor. Wie wird ein CT-Bild erstellt und welche Rolle spielt die Absorption der Strahlen dabei? Diskutiere die Vernachlässigung der Beugung und Streuung in diesem Zusammenhang.

Lösung:

Grundlegendes Prinzip des Zusammenspiels von Röntgenröhre und Detektor

Das grundlegende Prinzip des Zusammenspiels von Röntgenröhre und Detektor im Rahmen eines CT-Scans basiert auf der Erzeugung und Messung von Röntgenstrahlen, die durch den Körper des Patienten geschickt werden. Dabei spielt die Absorption der Strahlen eine zentrale Rolle.

• Röntgenröhre: Die Röntgenröhre ist die Quelle der Röntgenstrahlen. Sie erzeugt hochenergetische Photonen, die dann als Röntgenstrahlen in einem schmalen Strahl ausgesandt werden.
• Detektor: Der Detektor befindet sich auf der gegenüberliegenden Seite des Körpers und erfasst die durch den Körper hindurchtretenden Strahlen. Diese gesammelten Daten werden dann zur Erstellung eines Bildes verwendet.

Erstellung eines CT-Bildes

Das CT-Bild wird erstellt, indem die Röntgenstrahlen nacheinander in verschiedenen Winkeln durch den Körper geschickt werden. Der Patient wird auf einer beweglichen Liege positioniert und die Röntgenröhre sowie der Detektor rotieren um den Körper. Für jede Position wird die Menge der durchdringenden Strahlung gemessen.

Die Messdaten der verschiedenen Winkel werden dann von einem Computer verarbeitet. Algorithmen berechnen auf dieser Basis eine Serie von Querschnittsbildern (Schnittbilder), die dann zu einem dreidimensionalen Bild des inneren Körperaufbaus rekonstruiert werden.

Rolle der Absorption

Das Absorptionsgesetz spielt eine entscheidende Rolle im CT-Bild. Es beschreibt, wie die Intensität der Röntgenstrahlen ( I ) nach dem Durchqueren eines Gewebes durch den Absorptionskoeffizienten ( \mu \ ) und die Dicke des durchdrungenen Gewebes ( x ) verringert wird:

\( I = I_0 \cdot e^{\-\mu x} \)

Verschiedene Gewebearten haben unterschiedliche Absorptionskoeffizienten, was zu Bildkontrasten führt. Dies ermöglicht die Unterscheidung verschiedener Strukturen im Körper.

Vernachlässigung der Beugung und Streuung

In der Praxis werden Beugung und Streuung der Röntgenstrahlen oft vernachlässigt, um die Komplexität der Bildrekonstruktion zu reduzieren. Beugung und Streuung können zu Artefakten führen und die Bildqualität beeinträchtigen. Durch die Vernachlässigung dieser Effekte wird ein einfacheres mathematisches Modell verwendet, was die Berechnungen effizienter und schneller macht.

Durch die Vernachlässigung dieser Effekte kann es zu einer geringfügigen Ungenauigkeit kommen, jedoch ist die Genauigkeit des resultierenden Bildes in der Regel ausreichend für die diagnostischen Zwecke und für eine präzise Beurteilung des inneren Körperaufbaus.

b)

Das Absorptionsgesetz ist ein wesentlicher Teil der CT-Bildgebung. Berechne den Intensitätsverlust eines Röntgenstrahls, der durch 10 cm dichte Gewebematerie geht. Gegeben ist der Anfangsintensität \( I_0 = 100 \, \text{Photonen/cm}^2 \), und der lineare Schwächungskoeffizient \( \mu = 0.15 \, \text{cm}^{-1} \). Verwende das Absorptionsgesetz, um die verbleibende Intensität \( I \) zu bestimmen.

Lösung:

Berechnung des Intensitätsverlusts eines Röntgenstrahls

Das Absorptionsgesetz, welches das grundlegende Prinzip der CT-Bildgebung beschreibt, lautet:

\( I = I_0 \cdot e^{-\mu x} \)

Dabei steht:

• \( I_0 \): für die Anfangsintensität der Röntgenstrahlen
• \( \mu \): für den linearen Schwächungskoeffizienten
• \( x \): für die Dicke des durchdrungenen Gewebes
• \( I \): für die verbleibende Intensität der Röntgenstrahlen nach Durchqueren des Gewebes

Gegeben sind:

• Anfangsintensität: \( I_0 = 100 \, \text{Photonen/cm}^2 \)
• Lin. Schwächungskoeffizient: \( \mu = 0.15 \, \text{cm}^{-1} \)
• Dicke des Gewebes: \( x = 10 \, \text{cm} \)

Berechnung

Setzen wir die gegebenen Werte in die Formel ein:

\( I = 100 \, \text{Photonen/cm}^2 \cdot e^{-0.15 \, \text{cm}^{-1} \cdot 10 \, \text{cm}} \)

Rechnen wir den Exponenten aus:

\( -0.15 \cdot 10 = -1.5 \)

Setzen wir diesen Wert ein:

\( I = 100 \, \text{Photonen/cm}^2 \cdot e^{-1.5} \)

Nun berechnen wir den Wert von \( e^{-1.5} \):

\( e^{-1.5} \approx 0.22313016014842982 \)

Setzen wir diesen Wert ein:

\( I = 100 \, \text{Photonen/cm}^2 \cdot 0.22313016014842982 \approx 22.313016014843 \ \text{Photonen/cm}^2 \)

Das bedeutet, dass die verbleibende Intensität nach dem Durchqueren von 10 cm dichten Gewebes etwa 22.31 Photonen pro Quadratzentimeter beträgt.

c)

Erkläre die Bedeutung der Hounsfield-Skala in der CT-Bildgebung. Wie hilft diese Skala bei der Differenzierung von verschiedenen Gewebetypen? Gib Beispiele für typische Hounsfield-Einheiten von Knochen, Wasser und Fettgewebe.

Lösung:

Die Bedeutung der Hounsfield-Skala in der CT-Bildgebung

Die Hounsfield-Skala, benannt nach Sir Godfrey Hounsfield, dem Erfinder der Computertomographie, ist ein wesentlicher Bestandteil der CT-Bildgebung. Sie dient dazu, die verschiedenen Gewebearten im Körper zu differenzieren und bietet eine klare Methode, die Dichteunterschiede bildlich darzustellen.

Wie die Hounsfield-Skala funktioniert

Die Hounsfield-Skala misst die Dichte von Geweben in einem CT-Bild in Hounsfield-Einheiten (HE). Der Wert in HE gibt an, wie stark das Gewebe Röntgenstrahlen im Vergleich zu Wasser abschwächt. Die Skala ist so definiert, dass:

• Wasser einen Wert von 0 HE hat.
• Luft einen Wert von -1000 HE hat.
• Knochen einen positiven Wert hat, der weit über 0 HE liegt.
• Fettgewebe negative Werte hat, jedoch höher als Luft.

Typische Hounsfield-Einheiten für verschiedene Gewebe

• Knochen: +700 bis +3000 HE
• Wasser: 0 HE
• Fettgewebe: -100 bis -50 HE
• Luft: -1000 HE

Beispiele und Anwendungen

• Knochen: Knochen hat eine hohe Dichte und zeigt deshalb hohe positive Werte auf der Hounsfield-Skala. Diese Werte liegen typischerweise zwischen +700 und +3000 HE.
• Wasser: Da Wasser als Referenzpunkt bei 0 HE definiert ist, können alle anderen Gewebearten relativ zu Wasser bewertet werden.
• Fettgewebe: Fett hat eine geringere Dichte im Vergleich zu Wasser und zeigt daher negative Werte auf der Hounsfield-Skala, typischerweise zwischen -100 und -50 HE.
• Luft: Luft hat die geringste Dichte und damit den niedrigsten Wert auf der Skala mit -1000 HE.

Fazit

Durch die Verwendung der Hounsfield-Skala kann man präzise und konsistent verschiedene Gewebetypen im Körper differenzieren. Das bietet wertvolle diagnostische Informationen und unterstützt Mediziner bei der Identifikation und Analyse von Körperstrukturen, Pathologien und Anomalien.

Aufgabe 2)

Rekonstruktion mit der Radon-Transformation und der Filtered-Backprojection: Die Radon-Transformation ist ein Verfahren, bei dem Integrale von Funktionen entlang von Geraden berechnet werden. Dies ermöglicht Projektionen eines Objekts aus verschiedenen Winkeln. Die Filtered-Backprojection ist eine Methode, die zur Rekonstruktion eines Bildes aus diesen projizierten Daten verwendet wird. Dabei werden die Projektionen rückprojiziert und gefiltert.

• Radon-Transformation: \[ Rf(\theta, t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x \cos \theta + y \sin \theta) \, dx \]
• Filtered-Backprojection:\[ f(x, y) = \int_{0}^{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} Rf(\theta, t) \cdot g(t - x \cos \theta - y \sin \theta) \, dt \, d\theta \]
• Filter-Funktion \[ g(t) \]
• Anwendung in der Computertomographie (CT)

a)

Für ein gegebenes Bild, beschrieben durch die Funktion f(x, y), wird der Satz der Radon-Transformation und Filtered-Backprojection verwendet. Leite die allgemeine Form der Radon-Transformation für eine horizontale Linie bei \( y = 0 \) ab und stelle sie mathematisch dar.

Lösung:

Rekonstruktion mit der Radon-Transformation und der Filtered-Backprojection: Die Radon-Transformation ist ein Verfahren, bei dem Integrale von Funktionen entlang von Geraden berechnet werden. Dies ermöglicht Projektionen eines Objekts aus verschiedenen Winkeln. Die Filtered-Backprojection ist eine Methode, die zur Rekonstruktion eines Bildes aus diesen projizierten Daten verwendet wird. Dabei werden die Projektionen rückprojiziert und gefiltert.

• Radon-Transformation: \[ Rf(\theta, t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x \cos \theta + y \sin \theta) \, dx \]
• Filtered-Backprojection:\[ f(x, y) = \int_{0}^{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} Rf(\theta, t) \cdot g(t - x \cos \theta - y \sin \theta) \, dt \, d\theta \]
• Filter-Funktion \[ g(t) \]
• Anwendung in der Computertomographie (CT)

Lösung der Teilaufgabe:Für ein gegebenes Bild, beschrieben durch die Funktion f(x, y), wird der Satz der Radon-Transformation und Filtered-Backprojection verwendet. Leite die allgemeine Form der Radon-Transformation für eine horizontale Linie bei \( y = 0 \) ab und stelle sie mathematisch dar.

• Allgemeine Form der Radon-Transformation: Beginnen wir mit der allgemeinen Form der Radon-Transformation:\[ Rf(\theta, t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x \cos \theta + y \sin \theta) \, dx \]
• Spezialfall für \( y = 0 \): Wenn wir eine horizontale Linie bei \( y = 0 \) betrachten, dann verschwindet der Term \( y \sin \theta \). Die Funktion vereinfacht sich zu:\[ Rf(\theta, t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x \cos \theta) \, dx \]
• Vereinfachung: Da \( y = 0 \), betrachten wir nur die Projektion entlang der x-Achse. Dies bedeutet, dass die Radon-Transformation für diese spezielle horizontale Projektion folgendermaßen vereinfacht wird:\[ Rf(0, t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx \]

In dieser Darstellung ist deutlich zu erkennen, dass bei einer Projektion entlang der horizontalen Linie die Funktion f(x, y) vereinfacht und nur entlang der x-Achse integriert wird.

b)

Angenommen die Filterfunktion ist ein idealer Hochpass-Filter der Form \( g(f) = |f| \), zeige wie dieser Filter auf die Radon-Daten angewendet wird und beschreibe die Auswirkungen auf das rekonstruierte Bild.

Lösung:

Rekonstruktion mit der Radon-Transformation und der Filtered-Backprojection: Die Radon-Transformation ist ein Verfahren, bei dem Integrale von Funktionen entlang von Geraden berechnet werden. Dies ermöglicht Projektionen eines Objekts aus verschiedenen Winkeln. Die Filtered-Backprojection ist eine Methode, die zur Rekonstruktion eines Bildes aus diesen projizierten Daten verwendet wird. Dabei werden die Projektionen rückprojiziert und gefiltert.

• Radon-Transformation: \[ Rf(\theta, t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x \cos \theta + y \sin \theta) \, dx \]
• Filtered-Backprojection:\[ f(x, y) = \int_{0}^{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} Rf(\theta, t) \cdot g(t - x \cos \theta - y \sin \theta) \, dt \, d\theta \]
• Filter-Funktion \[ g(t) \]
• Anwendung in der Computertomographie (CT)

Lösung der Teilaufgabe:Angenommen die Filterfunktion ist ein idealer Hochpass-Filter der Form \( g(f) = |f| \), zeige wie dieser Filter auf die Radon-Daten angewendet wird und beschreibe die Auswirkungen auf das rekonstruierte Bild.

• Filterfunktion definieren: Ein idealer Hochpass-Filter in der Frequenzdomäne ist durch \( g(f) = |f| \) gegeben. Dieser Filter lässt nur hohe Frequenzen durch und unterdrückt tiefe Frequenzen.
• Anwendung des Filters auf Radon-Daten: Um den Filter auf die Radon-Daten \( Rf(\theta, t) \) anzuwenden, transformieren wir die Radon-Daten zuerst in die Frequenzdomäne mittels Fourier-Transformation, multiplizieren mit dem Filter und transformieren zurück:
  • Fourier-Transformation der Radon-Daten:\( \tilde{R}f(\theta, u) = \mathcal{F}\{ Rf(\theta, t) \} = \int_{-\infty}^{\infty} Rf(\theta, t) \, e^{-i 2 \pi u t} \, dt \)
  • Multiplikation mit dem Filter \( g(u) = |u| \):\( \tilde{S}(\theta, u) = |u| \cdot \tilde{R}f(\theta, u) \)
  • Rücktransformation in die Zeitdomäne:\( S(\theta, t) = \mathcal{F}^{-1}\{ \tilde{S}(\theta, u) \} = \mathcal{F}^{-1}\{ |u| \cdot \tilde{R}f(\theta, u) \} \)
• Filtered-Backprojection: Nach dem Anwenden des Filters auf die Radon-Daten führen wir die Rückprojektion durch, um das rekonstruierte Bild \( f(x, y) \) zu erhalten:\[ f(x, y) = \int_{0}^{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} S(\theta, t) \cdot \delta(t - x \cos \theta - y \sin \theta) \, dt \, d\theta \]
• Auswirkungen auf das rekonstruierte Bild: Der ideale Hochpass-Filter \( g(f) = |f| \) verstärkt hohe Frequenzen und dämpft niedrige Frequenzen. Dies führt dazu, dass das rekonstruierte Bild schärfer wird und Kanten besser hervorgehoben werden. Allerdings kann ein zu starkes Hervorheben hoher Frequenzen auch zu Rauschen und Artefakten führen. In der Praxis wird daher oft ein kompromissbehafteter Filter verwendet, der nicht so abrupt ist wie der ideale Hochpass-Filter.

c)

Gegeben eine diskrete Menge von Projektionen für ein Objekt aus Winkeln \( \theta_1, \theta_2, \ldots, \theta_n \), schätze welche Auflösung für die Projektionen erforderlich ist, um ein Bild der Größe 512 x 512 Pixel zu rekonstruieren. Erkläre dabei die Rolle der Nyquist-Bedingung in diesem Zusammenhang.

Lösung:

Rekonstruktion mit der Radon-Transformation und der Filtered-Backprojection: Die Radon-Transformation ist ein Verfahren, bei dem Integrale von Funktionen entlang von Geraden berechnet werden. Dies ermöglicht Projektionen eines Objekts aus verschiedenen Winkeln. Die Filtered-Backprojection ist eine Methode, die zur Rekonstruktion eines Bildes aus diesen projizierten Daten verwendet wird. Dabei werden die Projektionen rückprojiziert und gefiltert.

• Radon-Transformation: \[ Rf(\theta, t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x \cos \theta + y \sin \theta) \, dx \]
• Filtered-Backprojection:\[ f(x, y) = \int_{0}^{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} Rf(\theta, t) \cdot g(t - x \cos \theta - y \sin \theta) \, dt \, d\theta \]
• Filter-Funktion \[ g(t) \]
• Anwendung in der Computertomographie (CT)

Lösung der Teilaufgabe:Gegeben eine diskrete Menge von Projektionen für ein Objekt aus Winkeln \( \theta_1, \theta_2, \ldots, \theta_n \), schätze welche Auflösung für die Projektionen erforderlich ist, um ein Bild der Größe 512 x 512 Pixel zu rekonstruieren. Erkläre dabei die Rolle der Nyquist-Bedingung in diesem Zusammenhang.

• Pixelgröße und Abtastung: Um ein Bild der Größe 512 x 512 Pixel zu rekonstruieren, müssen wir sicherstellen, dass die Projektionen ausreichend detailliert sind. Jede Projektion muss genug Daten enthalten, um die Details aller 512 Zeilen in einer Richtung abzubilden.
• Abtastintervall entlang der Projektionen: Das Abtastintervall, also der Abstand zwischen aufeinanderfolgenden Abtastpunkten \( t_1, t_2, \ldots, t_m \) in jeder Projektion, muss klein genug sein, um die höchsten räumlichen Frequenzen im Bild darzustellen. Nach der Nyquist-Bedingung muss die Abtastfrequenz mindestens doppelt so hoch sein wie die höchste Frequenz im Signal, um Aliasing zu vermeiden.
• Berechnung gemäß der Nyquist-Bedingung: Die maximale räumliche Frequenz in einem Bild entspricht der halben Pixelgröße. Für ein Bild mit einer Kantenlänge von 512 Pixeln beträgt die höchste räumliche Frequenz \( \omega_{max} = 256 \) Zyklen pro Bild. Daraus folgt, dass das Abtastintervall entlang der Projektion mindestens so klein sein muss, dass die Abtastfrequenz (Anzahl der Abtastpunkte pro Bildlänge) mindestens \( 2 \times 256 = 512 \) beträgt. Mit anderen Worten, wenn das Bild 512 Pixel groß ist, benötigt jede Projektion mindestens 512 Abtastpunkte.
• Winkelschritte für Projektionen: Auch die Anzahl der Projektionen und die Winkel aufzunehmen, spielen eine Rolle. Gleichmäßig verteilte Winkelproben über \( 180^\text{\,grad} \) garantieren eine vollständige Abdeckung. Empirisch wird oft angenommen, dass die Anzahl der Projektionen vergleichbar mit der Anzahl der Pixel in einer Richtung ist, also etwa 512 Projektionen.
• Zusammenfassung:
  • Jede Projektion muss mindestens 512 Abtastpunkte enthalten.
  • Es werden mindestens 512 Projektionen benötigt, die über 180 Grad gleichmäßig verteilt sind.
  • Sicherstellen der Einhaltung der Nyquist-Bedingung: Dies verhindert Aliasing und ermöglicht eine korrekte Rekonstruktion des Bildes.

Aufgabe 3)

In der Vorlesung 'CT Rekonstruktion' hast Du gelernt, dass iterative Rekonstruktionsalgorithmen eine wichtige Alternative zu analytischen Algorithmen darstellen. Sie verbessern die Bildqualität sukzessiv durch Anpassungen und nutzen dabei Vorwärts- und Rückprojektionen. Zentral ist dabei die Minimierung einer Fehlerfunktion wie \(\text{argmin}_x \|Ax - b\|_2^2 + \lambda R(x)\), wobei \(A\) das Systemmodell darstellt, \(b\) die gemessenen Projektionen, \(x\) das zu rekonstruierende Bild und \(R(x)\) eine Regularisierungsfunktion repräsentiert.

a)

Erkläre detailliert den Schritt von einer initialen Schätzung zur iterativen Anpassung eines Bildes in einem iterativen Rekonstruktionsalgorithmus wie ART oder SART. Gehe dabei auf die Rolle der Vorwärts- und Rückprojektion ein und nenne mindestens zwei Vorteile dieser Algorithmen gegenüber analytischen Verfahren.

Lösung:

• Initiale Schätzung: Die iterative Rekonstruktion beginnt mit einer initialen Schätzung des Bildes, oft ein leeres oder gleichmäßig verteiltes Bild. Diese Schätzung dient als Ausgangspunkt für die sukzessiven Anpassungen.
• Vorwärtsprojektion: In jedem Iterationsschritt wird die aktuelle Bildschätzung durch die Vorwärtsprojektion transformiert. Dabei wird das Bildmodell durch das Systemmodell \(A\) geführt, um eine Projektion zu erhalten, die mit den gemessenen Daten \(b\) verglichen werden kann. Mathematisch wird dies dargestellt als \(Ax\).
• Fehlerschätzung und Anpassung: Der Unterschied zwischen der vorwärtsprojizierten Schätzung und den gemessenen Projektionen \(b\) wird berechnet, um den Fehler zu bestimmen. Diese Fehlerschätzung wird genutzt, um die Bildschätzung anzupassen. Der Anpassungsschritt wird oft durch eine Korrekturrechnung iterativ verbessert.
• Rückprojektion: Die Fehlerschätzung wird dann rückprojiziert, um zu bestimmen, wie die Bildschätzung angepasst werden muss, um die Übereinstimmung mit den gemessenen Daten zu erhöhen. Dies erfolgt durch die Rückprojektion, bei der die Fehlerinformation verteilt wird, um das Bild \(x\) zu aktualisieren. Mathematisch ausgedrückt ist dies eine Operation der Form \(A^T(Ax - b)\), wobei \(A^T\) die Transponierte von \(A\) darstellt.
• Iterativer Prozess: Der gesamte Prozess der Vorwärtsprojektion, Fehlerschätzung und Rückprojektion wird wiederholt, bis eine Konvergenzbedingung erfüllt ist, d.h., bis das rekonstruierte Bild eine ausreichende Übereinstimmung mit den gemessenen Daten aufweist.
• Vorteile gegenüber analytischen Verfahren:
  1. Robustheit gegen Rauschen: Iterative Algorithmen sind in der Lage, besser mit verrauschten Daten umzugehen, da sie sukzessive Anpassungen vornehmen und dabei Fehler minimieren.
  2. Flexibilität: Diese Algorithmen sind flexibler und können zusätzliche Informationen wie Regularisierungsterm \(R(x)\) integrieren, was zu verbesserten Resultaten in Situationen mit unvollständigen oder ungleichmäßig verteilten Projektionen führt.

b)

Unter der Annahme, dass ein gegebenes CT-System durch die Matrix \(A\) beschrieben wird und dass gemessene Projektionen \(b\) vorhanden sind, formuliere die Fehlerfunktion, die minimiert werden soll. Zeichne diese mathematische Formulierung her (Verwende LaTeX für die Formel) und beschreibe kurz die Bedeutung der einzelnen Terme in dieser Funktion.

Lösung:

• Fehlerfunktion: Die Fehlerfunktion, die minimiert werden soll, wird wie folgt formuliert: \[ \text{argmin}_x \left( \|Ax - b\|_2^2 + \lambda R(x) \right) \]
• Bedeutung der einzelnen Terme:
  • \(Ax\): Das Produkt \(Ax\) repräsentiert die Vorwärtsprojektion des zu rekonstruierenden Bildes \(x\) durch das Systemmodell \(A\). Dies ist die Projektion des aktuellen Bildes, so wie es durch das CT-System gesehen wird.
  • \(b\): \(b\) steht für die gemessenen Projektionen oder die tatsächlichen Daten, die vom CT-Scanner aufgenommen wurden. Diese Daten repräsentieren die „wahre“ Projektion des gescannten Objekts.
  • \(\|Ax - b\|_2^2\): Dieser Term misst den Unterschied (also den Fehler) zwischen der vorwärtsprojizierten Schätzung \(Ax\) und den gemessenen Projektionen \(b\). Mathematisch handelt es sich um das Quadrat der euklidischen Norm dieses Unterschieds, was den Gesamtfehler quantifiziert. Je kleiner dieser Wert ist, desto besser stimmt das rekonstruierte Bild mit den gemessenen Daten überein.
  • \(R(x)\): Dies ist die Regularisierungsfunktion. Sie fügt zusätzliche Informationen oder Einschränkungen hinzu, die die Lösung stabilisieren und verbessern können, insbesondere in Gegenwart von Rauschen oder bei unvollständigen Daten. Der Regularisierungsterm hilft dabei, unerwünschte Artefakte im rekonstruierten Bild zu reduzieren.
  • \(\lambda\): \(\lambda\) ist ein Regularisierungsparameter, der das Gewicht zwischen der Fehlerreduktion und der Regularisierung abbalanciert. Ein höherer Wert von \(\lambda\) bedeutet, dass der Regularisierungsterm eine größere Rolle spielt, während ein niedrigerer Wert den Fokus mehr auf die Minimierung des Fehlers legt.

d)

Betrachte den Fall, dass die Regularisierungsfunktion \(R(x)\) die Total Variation (TV) darstellt. Diskutiere kurz, wie die Regularisierung \( \lambda R(x) \) die Rekonstruktion beeinflusst und warum eine Regularisierung in iterativen Rekonstruktionsverfahren wichtig sein kann.

Lösung:

• Einfluss der Total Variation (TV) Regularisierung:Die Total Variation (TV) Regularisierung ist darauf ausgelegt, den Gesamtkontrast im Bild zu minimieren, während sie gleichzeitig scharfe Kanten beibehält. Die TV-Regularisierungsfunktion \( R(x) = TV(x) \) misst die Summe der absoluten Gradienten des Bildes, was 'glatte' Bereiche bevorzugt. Diese Regularisierungsform ist hilfreich, um Rauschen zu unterdrücken und dabei gleichzeitig entscheidende Strukturen und Kanten im Bild zu bewahren. Daher trägt die Regularisierung \( \lambda R(x) \) dazu bei, ein klareres und rauscharmes rekonstruiertes Bild zu erzeugen.
• Warum ist eine Regularisierung wichtig?
  • Stabilisierung:Die Regularisierung hilft, die Lösung im Rekonstruktionsprozess zu stabilisieren, besonders in Situationen mit unvollständigen oder verrauschten Projektionen. Ohne Regularisierung könnten die Lösungen extrem empfindlich auf kleine Datenvariationen reagieren, was zu instabilen Rekonstruktionen führt.
  • Rauschunterdrückung:Regularisierungsverfahren wie TV helfen, das Rauschen im rekonstruierten Bild zu reduzieren. Dies ist besonders wichtig bei klinischen Anwendungen, wo die Bildqualität kritische Auswirkungen auf die Diagnose haben kann.
  • Berücksichtigung von Zusatzinformationen:Reguläre Terme ermöglichen die Einbindung zusätzlicher a priori Informationen über das zu rekonstruierende Bild. Beispielsweise könnten glatte Regionen, Kanten oder andere strukturelle Eigenschaften des Bildes in den Rekonstruktionsprozess integriert werden, um qualitativ und quantitativ bessere Ergebnisse zu erzielen.
  • Verhinderung von Überanpassung:Ohne Regularisierung könnte der Algorithmus versuchen, sogar das Rauschen in den Daten perfekt zu rekonstruieren, was zu einem überanpassten und weniger verallgemeinerbaren Bild führt. Die Regularisierung sorgt dafür, dass der Algorithmus nur die wesentlichsten Merkmale der Daten beachtet.

Aufgabe 4)

Eine wichtige Herausforderung bei der Computertomographie (CT) ist die Bewältigung von Bildrauschen und Artefakten, die die Bildqualität beeinträchtigen können. Bildrauschen manifestiert sich als zufällige Variation der Graustufen im Bild und kann durch Filtration und Rekonstruktionstechniken reduziert werden. Artefakte sind systematische Fehler im Bild und können verschiedene Ursachen haben. Zu den häufigsten Artefakten gehören Ringartefakte, Bewegungsartefakte und Strahlaufhärtung. Ringartefakte entstehen durch fehlerhafte Detektorelemente, Bewegungsartefakte durch Patientenbewegung während der Bildaufnahme und Strahlaufhärtung durch unterschiedliche Absorptionseigenschaften von Materialien. Um die Bildqualität zu verbessern, sind mathematische Modellierung und Korrekturtechniken essentiell.

a)

Teilaufgabe 1: Erkläre detailliert, wie Bildrauschen entsteht und welche Techniken in der CT verwendet werden, um es zu reduzieren.

Lösung:

Teilaufgabe 1: Erkläre detailliert, wie Bildrauschen entsteht und welche Techniken in der CT verwendet werden, um es zu reduzieren.

Bildrauschen in der Computertomographie (CT) entsteht durch verschiedene Faktoren, die die Aufnahmequalität beeinflussen. Hier sind die Hauptursachen und die Techniken zu ihrer Reduzierung im Detail beschrieben:

• Ursachen von Bildrauschen:
  • Photonenrauschen: Dies wird durch die statistische Natur der Photonen im Röntgenstrahl verursacht. Da Photonen zufällig und in unterschiedlicher Anzahl auf die Detektoren treffen, führt dies zu Schwankungen in den gemessenen Intensitäten, was sich als Rauschen im Bild manifestiert.
  • Elektronisches Rauschen: Die Elektronik der Detektoren und der Bildverarbeitungssysteme erzeugt ein Grundrauschen. Dieses kann durch thermische Effekte oder andere elektronische Störungen verursacht werden.
  • Quantisierungsrauschen: Dies tritt auf, wenn die analogen Signale in digitale Signale umgewandelt werden. Die begrenzte Anzahl an Diskretisierungsstufen führt zu einer gewissen Ungenauigkeit und einem damit verbundenen Rauschen.
• Techniken zur Reduktion von Bildrauschen:
  • Filtrationstechniken: In der Bildverarbeitung werden verschiedene Filter eingesetzt, um das Rauschen zu reduzieren. Einfache Filter wie der Medianfilter und komplexere Methoden wie der Wiener-Filter oder nichtlineare Filter können verwendet werden, um das Rauschen zu glätten und Details zu erhalten.
  • Iterative Rekonstruktion: Diese Technik verwendet wiederholte Berechnungen, um die Bildqualität zu verbessern. Dabei werden anfängliche Bilder rekonstruiert und in mehreren Iterationen verfeinert, um das Rauschen zu reduzieren und die Genauigkeit zu erhöhen.
  • Soften und USR: Diese Techniken zielen darauf ab, die Detektorantwort zu modellieren und Anpassungen vorzunehmen, um Rauscheffekte zu minimieren.
  • Erhöhung der Anzahl der gescannten Photonen: Durch Erhöhung der Strahlendosis kann die Anzahl der Photonen, die auf den Detektor treffen, erhöht werden, wodurch das Verhältnis von Signal zu Rauschen verbessert wird. Dies muss allerdings unter Berücksichtigung der Patientensicherheit und Strahlenexposition erfolgen.
  • Präprozessierung: Rauschreduktion kann auch durch geeignete Vorverarbeitung der Rohdaten erfolgen, bevor die eigentliche Bildrekonstruktion durchgeführt wird.
  • Dose Modulation: Angepasste Strahlendosen basierend auf der Dichte und den Eigenschaften des gescannten Körperteils helfen, eine gleichmäßigere Bildqualität zu erreichen.

b)

Teilaufgabe 2: Beschreibe die Entstehung von Ringartefakten und stelle eine mathematische Methode dar, die verwendet wird, um diese zu korrigieren.

Lösung:

Teilaufgabe 2: Beschreibe die Entstehung von Ringartefakten und stelle eine mathematische Methode dar, die verwendet wird, um diese zu korrigieren.

• Entstehung von Ringartefakten:
  • Ringartefakte entstehen durch fehlerhafte oder nicht korrekt kalibrierte Detektorelemente im CT-Scanner. Wenn ein oder mehrere Detektorelemente konstante falsche Werte liefern, entsteht ein systematischer Fehler, der sich als Ring im rekonstruierten Bild manifestiert.
  • Der Scanner dreht sich um den Patienten und nimmt in unterschiedlichen Winkeln Messwerte auf. Da ein fehlerhaftes Detektorelement immer an derselben geometrischen Position bleibt, verursacht es einen gleichmäßigen Fehler, der sich ringförmig um die Mitte des rekonstruierten Bildes erstreckt.
  • Diese Artefakte beeinträchtigen die Bildqualität erheblich und können zu falschen Diagnosen führen oder die Erkennbarkeit von Details im CT-Bild verringern.
• Mathematische Methoden zur Korrektur von Ringartefakten:
  • Fourier-Analyse und Filterung: Eine häufig verwendete Methode zur Korrektur von Ringartefakten ist die Fourier-Analyse und -Filterung. Hier ist der Ablauf dieser Methode:
  • 1. Fourier-Transformation des Bildes: Das zu korrigierende Bild wird mittels diskreter Fourier-Transformation (DFT) in den Frequenzraum transformiert:

    F(u,v) = \frac{1}{MN} \sum_{x=0}^{M-1} \sum_{y=0}^{N-1} f(x,y) e^{-i 2 \pi (ux/M + vy/N)}

    Dabei repräsentiert \(F(u,v)\) die Fourier-Transformierte des Bildes und \(f(x,y)\) das Originalbild im Ortsraum.
  • 2. Identifikation der fehlerhaften Frequenzen: Ringartefakte erscheinen im Frequenzraum typischerweise als scharfe Spitzen oder spezielle Muster im niederfrequenten Bereich. Diese können durch visuelle Inspektion oder automatische Algorithmen identifiziert werden.
  • 3. Filterung der fehlerhaften Komponenten: Die identifizierten fehlerhaften Frequenzkomponenten werden durch geeignete Filter, wie z.B. Gauß- oder Hochpassfilter, reduziert oder entfernt.

    G(u,v) = H(u,v) \cdot F(u,v)

    wobei \(H(u,v)\) der angewandte Filter ist.
  • 4. Inverse Fourier-Transformation: Nach der Anpassung wird das korrigierte Bild durch die inverse Fourier-Transformation wieder in den Ortsraum überführt:

    f(x,y) = \sum_{u=0}^{M-1} \sum_{v=0}^{N-1} G(u,v) e^{i 2 \pi (ux/M + vy/N)}

  • Rekonstruktionsalgorithmen mit integriertem Korrekturschritt: Moderne CT-Scanner verwenden spezielle Rekonstruktionsalgorithmen, die Ringartefakte erkennen und korrigieren. Diese Algorithmen analysieren und korrigieren die Bilddaten iterativ, während der Rekonstruktionsprozess abläuft.
  • Kalibrierung und Wartung der Detektoren: Regelmäßige Kalibrierung und Wartung der Detektorelemente kann die Wahrscheinlichkeit von Ringartefakten verringern. Durch kontinuierliche Überwachung der Detektorsignale können Abweichungen frühzeitig erkannt und kompensiert werden.

Durch die Anwendung dieser Techniken und mathematischen Methoden können Ringartefakte effektiv reduziert oder eliminiert werden, was zu einer signifikanteren Verbesserung der Bildqualität und einer genaueren Diagnostik führt.

c)

Teilaufgabe 3: Diskutiere, warum Bewegungsartefakte entstehen, und beschreibe eine Methode, wie diese in der Praxis minimiert werden können.

Lösung:

Teilaufgabe 3: Diskutiere, warum Bewegungsartefakte entstehen, und beschreibe eine Methode, wie diese in der Praxis minimiert werden können.

• Entstehung von Bewegungsartefakten:
  • Bewegungsartefakte entstehen durch Bewegungen des Patienten während der CT-Bildaufnahme. Diese Bewegungen können unwillkürlich sein, wie z.B. Atembewegungen oder Herzschläge, oder willkürlich, wie z.B. freiwillige Bewegungen des Patienten.
  • In der CT-Bildgebung führt eine Bewegung dazu, dass die Röntgenstrahlen den Körper aus verschiedenen Positionen und Winkeln durchdringen, wodurch die gemessenen Daten nicht kohärent und konsistent sind. Dies führt zu Verzerrungen und Unschärfen im rekonstruierten Bild.
  • Bewegungen während der Aufnahmezeit, die mehrere Sekunden bis zu Minuten dauern kann, verursachen Artefakte, die als Geisterbilder, Verzerrungen oder Unschärfen im finalen CT-Bild erscheinen.
• Methode zur Minimierung von Bewegungsartefakten:
  • Atemanhalte-Technik: Eine bewährte Methode zur Minimierung von Bewegungsartefakten ist die Atemanhalte-Technik. Diese Methode funktioniert wie folgt:
  • 1. Anleitung des Patienten: Der Patient wird angewiesen, während der Bildaufnahme den Atem anzuhalten. Dies minimiert Bewegungen des Brustkorbs und der inneren Organe, die durch Atmung verursacht werden.
  • 2. Koordination mit dem CT-Scanning-Prozess: Vor der Aufnahme wird der Patient darüber informiert, wann er den Atem anhalten muss. Der Techniker synchronisiert diesen Moment mit dem Start der CT-Bildaufnahme, um sicherzustellen, dass die kritischen Phasen der Rotation und Bildaufnahme während der Atemanhaltephase stattfinden.
  • 3. Optimierung der Aufnahmezeit: Die Aufnahmeparameter werden so optimiert, dass die Scan-Zeit möglichst kurz gehalten wird, um die Wahrscheinlichkeit von Bewegungen zu minimieren. Moderne Multi-Slice-CT-Geräte und Dual-Source-CT-Scanner helfen dabei, die Scan-Zeiten deutlich zu verkürzen.
  • 4. Training und Vorbereitung: Der Patient kann vor der eigentlichen Bildaufnahme ein Training oder Anweisungen erhalten, um die Atemanhaltefähigkeit zu verbessern und sicherzustellen, dass er oder sie versteht, wann und wie lange der Atem anzuhalten ist.
  • Zusätzliche Methoden:
    • Gating-Techniken: Bei Untersuchungen, die durch Herzbewegungen beeinflusst werden, wie z.B. Kardio-CT, werden EKG-gesteuerte Gating-Techniken verwendet. Diese synchronisieren die Bilderfassung mit bestimmten Phasen des Herzzyklus, um Bewegungen zu minimieren.
    • Rekonstruktionsalgorithmen: Moderne Bildrekonstruktionsalgorithmen können Bewegungsartefakte erkennen und teilweise korrigieren, indem sie die Datenpunkte, die durch Bewegung entstanden sind, identifizieren und anpassen.
    • Sedierung: In seltenen Fällen, insbesondere bei unkooperativen oder ängstlichen Patienten wie kleinen Kindern, kann eine leichte Sedierung verwendet werden, um Bewegungen während der Bildaufnahme zu vermeiden.

Durch die Anwendung dieser Techniken und Methoden können Bewegungsartefakte signifikant minimiert werden, was zu einer besseren Bildqualität und einer genaueren Diagnostik führt.

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Teilaufgabe 4: Erläutere das Phänomen der Strahlaufhärtung und leite eine Formel her, die zur Korrektur dieses Artefakts in der CT verwendet werden kann. Nutze dabei die Theorie der unterschiedlichen Absorptionseigenschaften von Materialien und deren mathematische Modellierung.

Lösung:

Teilaufgabe 4: Erläutere das Phänomen der Strahlaufhärtung und leite eine Formel her, die zur Korrektur dieses Artefakts in der CT verwendet werden kann. Nutze dabei die Theorie der unterschiedlichen Absorptionseigenschaften von Materialien und deren mathematische Modellierung.

• Phänomen der Strahlaufhärtung:
  • Strahlaufhärtung tritt auf, wenn Röntgenstrahlen durch ein Material hindurchtreten und dabei unterschiedlich stark absorbiert werden. Insbesondere werden niederenergetische (weiche) Photonen stärker absorbiert als hochenergetische (harte) Photonen.
  • Dies führt dazu, dass der Strahl nach Durchtritt durch das Material eine härtere durchschnittliche Energie besitzt, da die weichen Photonen herausgefiltert wurden.
  • Das Phänomen der Strahlaufhärtung führt zu systematischen Fehlern im CT-Bild, die sich als dunkle Streifen oder Bogeneffekte manifestieren, insbesondere in Bereichen mit unterschiedlichen Materialdichten, wie z.B. zwischen Knochen und Weichgewebe.
• Mathematische Modellierung zur Korrektur:
  • Die Schwächung der Röntgenstrahlung kann durch das Lambert-Beer'sche Gesetz beschrieben werden:

  I = I_0 e^{- \sum_j \mu_j(E) x_j}

  • Hierbei ist:
  • \(I\) die Intensität der durchdringenden Strahlung
  • \(I_0\) die Eingangsintensität der Strahlung
  • \(\mu_j(E)\) der energieabhängige Schwächungskoeffizient des Materials \(j\)
  • \(x_j\) die Dicke des Materials \(j\)
• Zur Korrektur des Strahlaufhärtungseffekts kann eine linearisierte Annäherung verwendet werden, die die unterschiedlichen Absorptionseigenschaften berücksichtigt:

\hat{\mu}_{\text{eff}} = \frac{1}{E_{\text{eff}}} \sum_j \mu_j(E_{\text{eff}}) x_j

• Hierbei ist:
• \(\hat{\mu}_{\text{eff}}\) der effektive Schwächungskoeffizient
• \(E_{\text{eff}}\) die effektive Energie der Strahlung nach Strahlaufhärtung

Die korrigierte Intensität kann dann mittels der inversen logarithmischen Beziehung bestimmt werden:

x_{\text{kor}} = -\frac{1}{\hat{\mu}_{\text{eff}}} \ln \frac{I}{I_0}

• Hierbei ist:
• \(x_{\text{kor}}\) die korrigierte Materialdicke
• \(I\) die durchdringende Strahlungsintensität nach Korrektur
• \(I_0\) die ursprüngliche Strahlungsintensität

Zusammenfassung und weitere Schritte:

• Durch Vorausmessungen und Kalibrierung kann der effektive Schwächungskoeffizient \(\hat{\mu}_{\text{eff}}\) für verschiedene Materialien und Energien ermittelt werden.
• Im CT können diese Werte verwendet werden, um Strahlaufhärtungseffekte in Echtzeit zu korrigieren und die Bildqualität zu verbessern.

Die Strahlaufhärtung ist ein physikalisches Phänomen, das durch die unterschiedlichen Absorptionseigenschaften von Materialien entsteht. Durch sorgfältige mathematische Modellierung und Kalibrierung können diese Artefakte korrigiert und somit die Bildgenauigkeit und Diagnosequalität erheblich verbessert werden.