Digitale Regelung - Cheatsheet

Definition und Bedeutung digitaler Regelungssysteme

Definition:

Digitale Regelungssysteme nutzen digitale Komponenten wie Mikroprozessoren zur Steuerung und Regelung dynamischer Systeme. Sie sind das Gegenstück zu analogen Regelungssystemen.

Details:

• Erhöhte Präzision und Anpassungsfähigkeit durch digitale Steuerung.
• Einfachere Implementierung komplexer Algorithmen.
• Zeitdiskrete Systeme: Zustände werden nur zu bestimmten Zeitpunkten aktualisiert.
• Wichtige Konzepte: Abtasttheorem, Z-Transformation.
• Vorteile: Flexibilität, Skalierbarkeit, Wiederverwendbarkeit.
• Typische Anwendungen: Automobilindustrie, Robotik, Prozesssteuerung.
• Grundstruktur: Sensoren, Digitale Controller, Aktoren.

Zustandsraumdarstellung und ihr Einsatz in der Regelungstechnik

Definition:

Mathematische Darstellung eines dynamischen Systems im Zustandsraum, oft verwendet zur Analyse und Synthese von Regelungssystemen.

Details:

• Systembeschreibung durch Zustandsvariablen: \( \textbf{x}(k+1) = \textbf{A}\textbf{x}(k) + \textbf{B}\textbf{u}(k) \)
• Ausgangsgleichung: \( \textbf{y}(k) = \textbf{C}\textbf{x}(k) + \textbf{D}\textbf{u}(k) \)
• Vorteile der Zustandsraumdarstellung: umfassende Systembeschreibung, einfachere Implementierung von Regelalgorithmen
• Anwendung in der digitalen Regelungstechnik zur Zustandsüberwachung und Regelung.
• Wichtige Begriffe: Zustandsvektor (\( \textbf{x}(k) \)), Systemmatrix (\( \textbf{A} \)), Steuerungsmatrix (\( \textbf{B} \)), Ausgangsmatrix (\( \textbf{C} \)), Übertragungsmatrix (\( \textbf{D} \))

Nyquist- und Bode-Diagramme für Stabilitätsanalyse

Definition:

Diagramme zur Stabilitätsanalyse von linearen zeitinvarianten Systemen. Nyquist-Diagramm: Frequenzgang-Diagramm in der komplexen Ebene; Bode-Diagramm: Frequenzgang in Amplitude (dB) und Phase (Grad).

Details:

• Nyquist-Kriterium: Analysiere Stabilität, indem du die Anzahl der Umläufen um den kritischen Punkt \(-1 + 0i\) betrachtest.
• Bode-Plot: Darstellung des Frequenzverhaltens eines Systems in Amplitude und Phase.
• Frequenzgang: Reaktion des Systems auf sinusförmige Eingänge verschiedener Frequenzen.
• Phasenreserve und Amplitudenreserve als Stabilitätskriterien.
• Nyquist-Plot: \[G(j\omega)\] nachzeichnen für \(0 < \omega < \infty\).

Design und Implementierung von digitalen PID-Reglern

Definition:

Entwicklung und Realisierung digitaler PID-Regler zur Prozesssteuerung - Ausgangsgröße durch Anpassung von Proportional-, Integral- und Differentialanteilen reguliert.

Details:

• PID-Regler berücksichtigt Anteil der Abweichung (P), Summe der Abweichungen (I) und Rate der Abweichungsänderung (D).
• Zeitdiskrete Version nutzen: \[u[k] = K_p \big(e[k] + \frac{T_s}{T_i} \sum_{i=0}^{k} e[i] + \frac{T_d}{T_s} (e[k] - e[k-1]) \big)\]
• Diskretisierungsverfahren (z.B. Tustin, vorwärts/rückwärts Differenzenmethode).
• Wahl der Abtastzeit (T_s) entscheidend.
• Antiwindup-Strategien zur Begrenzung der Integralsättigung implementieren.

Z-Transformation und ihre Anwendung bei der Frequenzanalyse

Definition:

Mathematische Methode zur Analyse und Entwurf digitaler Regelungssysteme; wandelt zeitdiskrete Signale in die komplexe Frequenzdomäne.

Details:

• Z-Transformation definiert als: \( X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)z^{-n} \)
• Ermöglicht die Analyse des Verhaltens von Systemen im Frequenzbereich
• Wesentlich für die Beurteilung der Stabilität und Dynamik von Regelsystemen
• Beziehung zur Laplace-Transformation: \( z = e^{sT} \)
• Pol- und Nullstellen beeinflussen Systemantwort
• Digitale Frequenzanalyse durch Bestimmung der Frequenzantwort: \[ H(e^{j\theta}) = H(z) |_{z=e^{j\theta}} \]

Realisierung von FIR- und IIR-Filtern

Definition:

Realisierung digitaler Filter (FIR und IIR) zur Signalverarbeitung in der digitalen Regelung.

Details:

• FIR-Filter (Finite Impulse Response): Impulsantwort hat endliche Dauer.
• Rekursiv: Ausgang hängt auch von vorherigen Ausgängen ab.
• Direkte Form:
• FIR: \(y[n] = \sum_{k=0}^{N} b_k \cdot x[n-k]\)
• IIR: \(y[n] = \sum_{k=0}^N b_k \cdot x[n-k] - \sum_{j=1}^M a_j \cdot y[n-j]\)
• IIR-Filter (Infinite Impulse Response): Impulsantwort hat unendliche Dauer.
• Stabilität und Kausalität: Wichtig für die Implementierung.
• Filter-Design: Methoden wie Fenstertechnik, Bilineare Transformation.

Echtzeitbetriebssysteme für Regelungsanwendungen

Definition:

RTOS werden in Regelungsanwendungen verwendet, um deterministische und schnelle Reaktionen auf Eingaben sicherzustellen.

Details:

• Wichtige Merkmale: geringe Latenzzeiten, deterministisches Verhalten
• Ziel: Garantiere zeitgerechte Ausführung von Regelungsalgorithmen
• Priorisierte Task-Scheduling-Methoden, z.B. RM (Rate Monotonic), EDF (Earliest Deadline First)
• Vermeidung von Jitter für präzise Steuerung
• Typische Anwendungen: Automobilsteuerungen, industrielle Automatisierung, Medizintechnik
• Beispiele von RTOS: FreeRTOS, VxWorks, RTLinux