Digitale Signalverarbeitung - Cheatsheet

Grundlagen und Definition der Fourier-Transformation

Definition:

Die Fourier-Transformation ist ein mathematisches Verfahren zur Analyse von Funktionen oder Signalen nach ihren Frequenzkomponenten.

Details:

• Wandelt ein Signal von Zeit- in Frequenzdomäne um.
• Eng verknüpft mit der Fourier-Reihe, jedoch für nicht-periodische Signale.
• Fourier-Transformierte eines Signals: \ F(\theta) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i \theta t} \ d t
• Inverse Fourier-Transformation: \ f(t) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\theta) e^{i \theta t} \ d \theta
• Wichtige Eigenschaften: Linearität, Zeitverschiebung, Faltungstheorem.

Schnelle Fourier-Transformation (FFT) und ihre Implementierung

Definition:

Schnelle Fourier-Transformation (FFT): Algorithmus zur effizienten Berechnung der diskreten Fourier-Transformation (DFT).

Details:

• DFT: \(X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-2\pi i kn/N}\)
• FFT reduziert Rechenkomplexität von \(O(N^2)\) auf \(O(N \log N)\)
• Typische FFT-Algorithmen: Cooley-Tukey, Radix-2, Radix-4
• Implementierung in häufig verwendeten Bibliotheken: FFTW (C), numpy.fft (Python)
• Fehleranalyse: Quantisierungs- und Rundungsfehler beachten

Vergleich von Zeit- und Frequenzbereich

Definition:

Vergleich zwischen den Darstellungen und Analysen von Signalen im Zeitbereich und im Frequenzbereich; Verständnis der Transformationen und ihrer Anwendungen in der digitalen Signalverarbeitung.

Details:

• Zeitbereich: Analyse von Signalen bezüglich ihres Verhaltens über die Zeit (Amplitude, Dauer, etc.).
• Frequenzbereich: Analyse der Frequenzkomponenten eines Signals mittels Transformationen (Fourier-Transformation).
• Wichtige Transformation: Diskrete Fourier-Transformation (DFT)
• Mathematische Definition der DFT: \(X(k) = \sum_{n=0}^{N-1} x(n) \cdot e^{-j(2\pi/N)kn}\)
• Invers-DFT: \(x(n) = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1}X(k) \cdot e^{j(2\pi/N)kn}\)
• Filterung: Zeitbereich – Faltung, Frequenzbereich – Multiplikation der Spektren
• Vor- und Nachteile: Zeitbereich oft intuitiver und direkt, Frequenzbereich oft einfacher für periodische Signale und Filterentwurf

Filterentwurf und -analyse

Definition:

Filterentwurf und -analyse bezieht sich auf die Gestaltung und Bewertung digitaler Filter zur Signalverarbeitung.

Details:

• Ziel: Bestimmte Frequenzbereiche betonen oder unterdrücken
• Wichtige Parameter: Ordnung, Übergangsband, Dämpfung im Stoppband
• Typen: FIR (endliche Impulsantwort), IIR (unendliche Impulsantwort)
• Entwurfsmethoden: Fenstermethode, Parks-McClellan-Algorithmus, bilineare Transformation
• Analyse im Frequenzbereich: \( H(e^{j\omega}) = \sum_{n=0}^{N-1} h[n] e^{-j\omega n} \)
• Filterstabilität: Alle Pole innerhalb des Einheitskreises
• Software-Tools: MATLAB, Python

Nyquist-Kriterium und Abtastfrequenz

Definition:

Das Nyquist-Kriterium definiert die Mindestabtastfrequenz, die erforderlich ist, um ein kontinuierliches Signal ohne Informationsverlust digital zu erfassen.

Details:

• Mindest-Abtastfrequenz: \( f_s \geq 2 \cdot f_{max} \)
• Verhindert Aliasing
• Abtasttheorem: Stellt sicher, dass Signale mit höchstens \( f_{max} \) korrekt rekonstruiert werden können
• \(f_s\) = Abtastfrequenz
• \(f_{max}\) = höchste Frequenz des Signals

Quantisierungsfehler und -rauschen

Definition:

Fehler, der beim Umwandeln eines analogen Signals in ein digitales Signal entsteht, und das daraus resultierende Hintergrundrauschen.

Details:

• Quantisierungsfehler: Differenz zwischen Eingangs- und Ausgangssignal nach Quantisierung
• Quantisierungsrauschen: Rauschen, das durch Quantisierungsfehler verursacht wird
• Fehlergrenze: \[ \frac{\triangle}{2} \]
• Signal-Rausch-Verhältnis: \[ \text{SNR} = 6.02 \times n + 1.76 \ \text{dB} \] (n = Anzahl der Bits)
• Reduzierung durch höhere Auflösung (mehr Bits) oder Rauschformung

Rekonstruktion von Signalen aus diskreten Daten

Definition:

Wiederherstellung eines kontinuierlichen Signals aus diskreten Abtastwerten.

Details:

• Abtasttheorem: Ein Signal kann vollständig rekonstruiert werden, wenn die Abtastfrequenz mindestens doppelt so hoch wie die höchste Frequenzkomponente des Signals ist (\textit{Nyquist-Frequenz}).
• Rekonstruktionsfilter: Tiefpassfilter zur Glättung der Abtastwerte und Entfernung von Alias-Effekten.
• Interpolation: Häufig verwendete Methoden sind zero-order hold, linear interpolation und Sinc-Interpolation.

Signal-zu-Quantisierungsrausch-Verhältnis (SQNR)

Definition:

Verhältnis zwischen der Leistung des Eingangssignals und der Quantisierungsrauschleistung in einem digitalen Signalverarbeitungssystem.

Details:

• Formel: \[ \text{SQNR} = 10 \log_{10} \left( \frac{P_{\text{Signal}}}{P_{\text{Rauschen}}} \right) \]
• \( P_{\text{Signal}} \): Leistung des Originalsignals
• \( P_{\text{Rauschen}} \): Leistung des Quantisierungsrauschens
• Höheres SQNR bedeutet bessere Signalqualität
• Abhängig von der Bit-Auflösung des Quantisierers
• Umgangssprachlich auch Signal-Rausch-Verhältnis (SNR) im Kontext der Quantisierung