Dynamik starrer Körper - Cheatsheet

Newtonsche Gesetze der Bewegung

Definition:

Grundprinzipien der klassischen Mechanik, die das Verhalten von Körpern bei Einwirkung von Kräften beschreiben.

Details:

• Erstes Gesetz (Trägheitsprinzip): Ein Körper bleibt in Ruhe oder in gleichförmiger geradliniger Bewegung, solange keine resultierende Kraft auf ihn einwirkt.
• Zweites Gesetz (Aktionsprinzip): Die Beschleunigung \(a\) eines Körpers ist proportional zur resultierenden Kraft \(F\) und umgekehrt proportional zu seiner Masse \(m\): \[ F = m \cdot a \]
• Drittes Gesetz (Reaktionsprinzip): Übt ein Körper A eine Kraft \(F\) auf einen Körper B aus, so übt Körper B eine gleich große, aber entgegengesetzt gerichtete Kraft auf Körper A aus: \[ F_{AB} = - F_{BA} \]

Differentialgleichungen für lineare Bewegung

Definition:

Gleichungen der Form, die Bewegung eines starren Körpers in Linie beschreiben.

Details:

• Annahme: Starre Körper (keine Deformation).
• Grundlage: Newtons zweites Gesetz.
• Formel: \( F = m \frac{d^2x}{dt^2} \)
• EG: \(m \frac{d^2x}{dt^2} = F(x, \frac{dx}{dt}, t)\)
• Lösungstypen: Homogen (F=0), Inhomogen (F≠0).
• Anfangsbedingungen erforderlich zur Lösung.

Impulserhaltungssatz im linearen System

Definition:

Erhaltung des Gesamtimpulses eines abgeschlossenen Systems ohne äußere Kräfte.

Details:

• Gesamtimpuls eines Systems bleibt konstant.
• Formel: \[\sum_{i} \vec{p}_i = const.\]
• Impuls eines Körpers: \[\vec{p} = m\vec{v}\]
• Anwendung: Kollisionen, Stoßprozesse.
• Im abgeschlossenen System: \[\sum_{i} \vec{F}_i = 0\]

Drehimpulserhaltung

Definition:

Erhaltung des Drehimpulses in einem abgeschlossenen System ohne äußere Drehmomente.

Details:

• Drehimpuls: \( \vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} \)
• Erhaltungssatz: \( \frac{d\vec{L}}{dt} = 0 \) falls \( \vec{M}_{ext} = 0 \)
• Anwendung in starren Körpern: Gesamtdrehimpuls bleibt konstant.
• Formel: \( \vec{L}_{vor} = \vec{L}_{nach} \)

Bewegungsgleichungen für rotierende Körper

Definition:

Bewegungsgleichungen für rotierende Körper beschreiben das dynamische Verhalten starrer Körper bei Rotationsbewegungen.

Details:

• Grundgleichung:
• Erweiterung durch Trägheitsmoment:
• Trägheitsmoment
• Euler-Gleichungen für rotierende Körper:
• Zusammenhang zwischen Winkelgeschwindigkeit und Drehimpuls:

Trägheitsmomente

Definition:

Trägheitsmomente beschreiben das Widerstandsmoment eines starren Körpers gegen Drehbewegungen um eine Achse.

Details:

• Formel: \( I = \int r^2 \, dm \)
• Einheit: kg m^2
• Abhängig von Massenverteilung und Geometrie des Körpers
• Für Punktmasse: \( I = m r^2 \)
• Für homogenen Zylinder: \( I = \frac{1}{2} m r^2 \)
• Für homogene Kugel: \( I = \frac{2}{5} m r^2 \)

Kinetische Energie in starren Körpern

Definition:

Kinetische Energie eines starren Körpers ergibt sich aus der Bewegung des Schwerpunkts und der Rotation um den Schwerpunkt.

Details:

• Translation: \(T = \frac{1}{2} M \vec{v}_S^2\)
• Rotation: \(T = \frac{1}{2} \vec{\omega}^T \mathbf{J} \vec{\omega} \)
• Gesamtenergie: \(T_{gesamt} = \frac{1}{2} M \vec{v}_S^2 + \frac{1}{2} \vec{\omega}^T \mathbf{J} \vec{\omega} \)
• \(\vec{v}_S\): Geschwindigkeit des Schwerpunkts
• \(\vec{\omega}\): Winkelgeschwindigkeit
• \(M\): Gesamtmasse
• \(\mathbf{J}\): Trägheitstensor

Schwingungsverhalten von starren Körpern

Definition:

Untersuchung der Bewegung starrer Körper unter Schwingungsbedingungen

Details:

• Je nach System kann der Körper Translationen und/oder Rotationen ausführen
• Freie Schwingungen: Eigenfrequenzen berechnen
• Erzwungene Schwingungen: Antwort auf äußere Kräfte analysieren
• Gleichung der Bewegung: Differenzialgleichungen formulieren
• Dämpfung: Modellierung von Energieverlusten
• Resonanz: Erkennung und Umgang mit resonanten Frequenzen
• Mathematische Methoden: z.B. Modal-Analyse, numerische Simulation