Dynamik starrer Körper - Exam

Aufgabe 1)

Gegeben sei ein Wagen mit einer Masse von 500 kg, der auf einer horizontalen Strecke fährt. Der Wagen wird durch eine Zugkraft von 1500 N vorwärts bewegt. Vernachlässige dabei alle Reibungskräfte.

a)

Berechne die Beschleunigung des Wagens unter der Einwirkung der Zugkraft gemäß dem zweiten Newtonschen Gesetz.

Lösung:

Um die Beschleunigung des Wagens zu berechnen, können wir das zweite Newtonsche Gesetz anwenden, welches besagt, dass die Kraft, die auf einen Körper wirkt, gleich dem Produkt aus der Masse des Körpers und seiner Beschleunigung ist:

• Formel des zweiten Newtonschen Gesetzes: \(F = m \times a\)
• Gegeben:
  • Masse (m) = 500 kg
  • Zugkraft (F) = 1500 N

Um die Beschleunigung (a) zu berechnen, lösen wir die Formel nach (a) auf:

• \( a = \frac{F}{m} \)
• Einsetzen der gegebenen Werte: \( a = \frac{1500 \text{ N}}{500 \text{ kg}} \)
• Ergebnis: \( a = 3 \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \)

Die Beschleunigung des Wagens beträgt also 3 \(\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\).

b)

Angenommen, es gibt eine entgegengesetzte Reibungskraft von 300 N. Modifiziere die ursprüngliche Beschleunigungsberechnung unter Berücksichtigung dieser Reibungskraft.

Lösung:

Um die Beschleunigung des Wagens unter Berücksichtigung der Reibungskraft zu berechnen, müssen wir zunächst die resultierende Kraft ermitteln. Die Reibungskraft wirkt entgegen der Zugkraft.

• Formel für die resultierende Kraft: \( F_{\text{result}} = F_{\text{Zug}} - F_{\text{Reibung}} \)
• Gegeben:
  • Zugkraft \( F_{\text{Zug}} \) = 1500 N
  • Reibungskraft \( F_{\text{Reibung}} \) = 300 N
• Berechnung der resultierenden Kraft:
  • \(F_{\text{result}} = 1500 \text{ N} - 300 \text{ N} = 1200 \text{ N} \)

Nun wenden wir das zweite Newtonsche Gesetz erneut an, um die Beschleunigung unter dieser resultierenden Kraft zu berechnen:

• Formel des zweiten Newtonschen Gesetzes: \(F = m \times a\)
• Gegeben:
  • Masse \( m \) = 500 kg
  • Resultierende Kraft \( F_{\text{result}} \) = 1200 N

Um die Beschleunigung \( a \) zu berechnen, lösen wir die Formel nach \( a \) auf:

• \( a = \frac{F_{\text{result}}}{m} \)
• Einsetzen der gegebenen Werte: \( a = \frac{1200 \text{ N}}{500 \text{ kg}} \)
• Ergebnis: \( a = 2{,}4 \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \)

Die Beschleunigung des Wagens unter Berücksichtigung der Reibungskraft beträgt also 2,4 \( \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \).

c)

Wenn der Wagen nach 10 Sekunden ab dem Start eine Geschwindigkeit von 15 m/s erreicht, berechne die durchschnittliche Zugkraft, die während dieser Zeitspanne auf den Wagen ausgeübt wird, unter Vernachlässigung der Reibungskräfte.

Lösung:

Um die durchschnittliche Zugkraft zu berechnen, können wir zunächst die Beschleunigung des Wagens mithilfe der gegebenen Geschwindigkeit und Zeit berechnen. Danach nutzen wir das zweite Newtonsche Gesetz.

• Formel für die Beschleunigung: \( a = \frac{\Delta v}{\Delta t} \)
• Gegeben:
  • Endgeschwindigkeit \( v \) = 15 m/s
  • Startgeschwindigkeit \( v_0 \) = 0 m/s (da der Wagen vom Start ausgeht)
  • Zeit \( t \) = 10 s
• Berechnung der Beschleunigung:
  • \( a = \frac{v - v_0}{t} \)
  • \( a = \frac{15 \text{ m/s} - 0 \text{ m/s}}{10 \text{ s}} = 1,5 \text{ m/s}^2 \)

Nun wenden wir das zweite Newtonsche Gesetz an, um die durchschnittliche Zugkraft zu berechnen:

• Formel des zweiten Newtonschen Gesetzes: \( F = m \times a \)
• Gegeben:
  • Masse \( m \) = 500 kg
  • Beschleunigung \( a \) = 1,5 \text{ m/s}^2
• Berechnung der Zugkraft:
  • \( F = m \times a \)
  • \( F = 500 \text{ kg} \times 1,5 \text{ m/s}^2 \)
  • \( F = 750 \text{ N} \)

Die durchschnittliche Zugkraft, die während dieser Zeitspanne auf den Wagen ausgeübt wird, beträgt also 750 N.

Aufgabe 3)

Angenommen, zwei starrer Körper A und B bewegen sich in einem abgeschlossenen System ohne äußere Kräfte. Der Körper A hat eine Masse von 3 kg und eine Geschwindigkeit von 4 m/s in Richtung der positiven x-Achse. Der Körper B hat eine Masse von 2 kg und eine Geschwindigkeit von 5 m/s in Richtung der negativen x-Achse. Die beiden Körper kollidieren elastisch.

a)

Berechne den Gesamtimpuls des Systems vor der Kollision.

Lösung:

Gesamtimpuls vor der KollisionUm den Gesamtimpuls des Systems vor der Kollision zu berechnen, müssen wir den Impuls der beiden Körper addieren. Der Impuls (\(\textbf{p}\)) eines Körpers ist das Produkt aus seiner Masse (\(\textbf{m}\)) und seiner Geschwindigkeit (\(\textbf{v}\)).Formel: \(\textbf{p = m \times v}\)

• Körper A:Masse = 3 kgGeschwindigkeit = 4 m/s (in Richtung der positiven x-Achse)
  • Impuls von A: \( \textbf{p_A} = 3 \text{ kg} \times 4 \text{ m/s} = 12 \text{ kg} \text{ m/s} \) in Richtung der positiven x-Achse
• Körper B:Masse = 2 kgGeschwindigkeit = 5 m/s (in Richtung der negativen x-Achse)
  • Impuls von B: \( \textbf{p_B} = 2 \text{ kg} \times (-5 \text{ m/s}) = -10 \text{ kg} \text{ m/s} \) in Richtung der negativen x-Achse

Gesamtimpuls des Systems:Der Gesamtimpuls (\(\textbf{p_{gesamt}}\)) ist die Summe der Impulse der beiden Körper:\( \textbf{p_{gesamt} = p_A + p_B} \)Einsetzen der Werte:\( \textbf{p_{gesamt} = 12 \text{ kg} \text{ m/s} + (-10 \text{ kg} \text{ m/s})} \)Berechnung:\( \textbf{p_{gesamt} = 2 \text{ kg} \text{ m/s}} \) in Richtung der positiven x-AchseDer Gesamtimpuls des Systems vor der Kollision beträgt somit 2 kg*m/s in Richtung der positiven x-Achse.

b)

Bestimme die Geschwindigkeiten beider Körper nach der Kollision, unter der Annahme, dass die Kollision elastisch ist.

Lösung:

Geschwindigkeiten nach der KollisionIn einem abgeschlossenen System, bei dem zwei Körper elastisch kollidieren, werden sowohl der Impuls als auch die kinetische Energie erhalten. Das bedeutet, dass wir sowohl die Impulserhaltung als auch die Energieerhaltung verwenden können, um die Geschwindigkeiten der beiden Körper nach der Kollision zu bestimmen.Formeln:1. Impulserhaltung:\[ m_A \times v_{A_{\text{alt}}} + m_B \times v_{B_{\text{alt}}} = m_A \times v_{A_{\text{neu}}} + m_B \times v_{B_{\text{neu}}}\]2. Energieerhaltung:\[ \frac{1}{2} m_A \times (v_{A_{\text{alt}}})^2 + \frac{1}{2} m_B \times (v_{B_{\text{alt}}})^2 = \frac{1}{2} m_A \times (v_{A_{\text{neu}}})^2 + \frac{1}{2} m_B \times (v_{B_{\text{neu}}})^2 \]Gegeben:

• \( m_A = 3 \text{ kg} \)
• \( v_{A_{\text{alt}}} = 4 \text{ m/s} \)
• \( m_B = 2 \text{ kg} \)
• \( v_{B_{\text{alt}}} = -5 \text{ m/s} \)

Impulserhaltung:\[ 3 \times 4 + 2 \times (-5) = 3 \times v_{A_{\text{neu}}} + 2 \times v_{B_{\text{neu}}}\]\[ 12 - 10 = 3 \times v_{A_{\text{neu}}} + 2 \times v_{B_{\text{neu}}}\]\[ 2 = 3 \times v_{A_{\text{neu}}} + 2 \times v_{B_{\text{neu}}}\]Energieerhaltung:\[ \frac{1}{2} \times 3 \times 4^2 + \frac{1}{2} \times 2 \times (-5)^2 = \frac{1}{2} \times 3 \times (v_{A_{\text{neu}}})^2 + \frac{1}{2} \times 2 \times (v_{B_{\text{neu}}})^2 \]\[ 24 + 25 = \frac{1}{2} \times 3 \times (v_{A_{\text{neu}}})^2 + \frac{1}{2} \times 2 \times (v_{B_{\text{neu}}})^2 \]\[ 49 = \frac{3}{2} \times (v_{A_{\text{neu}}})^2 + \frac{1}{2} \times (v_{B_{\text{neu}}})^2 \]\[ 98 = 3 \times (v_{A_{\text{neu}}})^2 + (v_{B_{\text{neu}}})^2 \]Wir haben nun zwei Gleichungen:1. \( 2 = 3 \times v_{A_{\text{neu}}} + 2 \times v_{B_{\text{neu}}} \)2. \( 98 = 3 \times (v_{A_{\text{neu}}})^2 + (v_{B_{\text{neu}}})^2 \)Wir lösen diese Gleichungen simultan.

• Stelle die erste Gleichung nach \ v_{B_{\text{neu}}}\ um:\( v_{B_{\text{neu}}} = \frac{2 - 3 \times v_{A_{\text{neu}}}}{2} \)
• Substituiere in die zweite Gleichung:\[ 98 = 3 \times (v_{A_{\text{neu}}})^2 + \left( \frac{2 - 3 \times v_{A_{\text{neu}}}}{2} \right)^2\]\[ 98 = 3 \times (v_{A_{\text{neu}}})^2 + \frac{(2 - 3 \times v_{A_{\text{neu}}})^2}{4}\]\[ 392 = 12 \times (v_{A_{\text{neu}}})^2 + (2 - 3 \times v_{A_{\text{neu}}})^2\]\[ 392 = 12 \times (v_{A_{\text{neu}}})^2 + 4 - 12 \times v_{A_{\text{neu}}} + 9 \times (v_{A_{\text{neu}}})^2\]\[ 392 = 21 \times (v_{A_{\text{neu}}})^2 - 12 \times v_{A_{\text{neu}}} + 4\]\[ 0 = 21 \times (v_{A_{\text{neu}}})^2 - 12 \times v_{A_{\text{neu}}} - 388\]Dazu benutzen wir die Mitternachtsformel:\( v_{A_{\text{neu}}} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)wobei \( a = 21 \), \( b = -12 \), und \( c = -388 \)\[v_{A_{\text{neu}}} = \frac{12 \pm \sqrt{(-12)^2 - 4 \times 21 \times (-388)}}{2 \times 21}\]\[v_{A_{\text{neu}}} = \frac{12 \pm \sqrt{144 + 32544}}{42}\]\[v_{A_{\text{neu}}} = \frac{12 \pm \sqrt{32688}}{42}\]\[v_{A_{\text{neu}}} = \frac{12 \pm 180.82}{42}\]Es gibt zwei Lösungen:1. \(v_{A_{\text{neu}}1} = \frac{192.82}{42} = 4.59 \text{ m/s}\)2. \(v_{A_{\text{neu}}2} = \frac{-168.82}{42} = -4.02 \text{ m/s}\)
• Wenn \(v_{A_{\text{neu}}} = 4.59 \text{ m/s}\):\[v_{B_{\text{neu}}} = \frac{2 - 3 \times 4.59}{2}\]\[v_{B_{\text{neu}}} = \frac{2 - 13.77}{2}\]\[v_{B_{\text{neu}}} = \frac{-11.77}{2} = -5.885 \text{ m/s}\]Wenn \(v_{A_{\text{neu}}} = -4.02 \text{ m/s}\):\[v_{B_{\text{neu}}} = \frac{2 - 3 \times (-4.02)}{2}\]\[v_{B_{\text{neu}}} = \frac{2 + 12.06}{2}\]\[v_{B_{\text{neu}}} = 7.03 \text{ m/s}\]

Fazit:Nach der elastischen Kollision gibt es zwei mögliche Paare von Geschwindigkeiten:1. Körper A: 4.59 m/s (in Richtung der positiven x-Achse), Körper B: -5.885 m/s (in Richtung der negativen x-Achse)2. Körper A: -4.02 m/s (in Richtung der negativen x-Achse), Körper B: 7.03 m/s (in Richtung der positiven x-Achse)

c)

Analysiere, ob der Gesamtimpuls und die kinetische Energie des Systems nach der Kollision erhalten bleiben.

Lösung:

Analyse des Gesamtimpulses und der kinetischen Energie nach der elastischen KollisionBei einer elastischen Kollision bleiben sowohl der Gesamtimpuls als auch die kinetische Energie des Systems erhalten. Lassen Sie uns prüfen, ob diese Bedingungen erfüllt sind.1. Erhaltung des GesamtimpulsesDer Gesamtimpuls vor und nach der Kollision muss gleich sein.Impuls vor der Kollision:

• Körper A: Masse = 3 kg, Geschwindigkeit = 4 m/s\( p_A = m_A \times v_{A_{\text{alt}}} \)\( p_A = 3 \times 4 = 12 \text{ kg}\text{ m/s} \)
• Körper B: Masse = 2 kg, Geschwindigkeit = -5 m/s\( p_B = m_B \times v_{B_{\text{alt}}} \)\( p_B = 2 \times (-5) = -10 \text{ kg}\text{ m/s} \)

Gesamtimpuls vor der Kollision:\( p_{\text{gesamt}} = p_A + p_B = 12 - 10 = 2 \text{ kg}\text{ m/s} \)Impuls nach der Kollision:Es wurden zwei mögliche Paare von Geschwindigkeiten nach der Kollision berechnet:

• 1. Paar:
  • Körper A: 4.59 m/s\( p_{A_{\text{neu}}1} = 3 \times 4.59 = 13.77 \text{ kg}\text{ m/s} \)
  • Körper B: -5.885 m/s\( p_{B_{\text{neu}}1} = 2 \times (-5.885) = -11.77 \text{ kg}\text{ m/s} \)
  • Gesamtimpuls:\( p_{\text{gesamt}} = 13.77 - 11.77 = 2 \text{ kg}\text{ m/s} \)
• 2. Paar:
  • Körper A: -4.02 m/s\( p_{A_{\text{neu}}2} = 3 \times (-4.02) = -12.06 \text{ kg}\text{ m/s} \)
  • Körper B: 7.03 m/s\( p_{B_{\text{neu}}2} = 2 \times 7.03 = 14.06 \text{ kg}\text{ m/s} \)
  • Gesamtimpuls:\( p_{\text{gesamt}} = -12.06 + 14.06 = 2 \text{ kg}\text{ m/s} \)

In beiden Fällen bleibt der Gesamtimpuls erhalten.2. Erhaltung der kinetischen EnergieAuch die kinetische Energie muss vor und nach der Kollision gleich sein.Kinetische Energie vor der Kollision:\( E_{\text{kin}} = \frac{1}{2} m_A (v_{A_{\text{alt}}})^2 + \frac{1}{2} m_B (v_{B_{\text{alt}}})^2 \)\( E_{\text{kin}} = \frac{1}{2} \times 3 \times 4^2 + \frac{1}{2} \times 2 \times (-5)^2 \)\( E_{\text{kin}} = 24 + 25 = 49 \text{ J} \)Kinetische Energie nach der Kollision:\( v_{A_{\text{neu}}1} = 4.59 \text{ m/s}, v_{B_{\text{neu}}1} = -5.885 \text{ m/s} \)\( E_{\text{kin}}1 = \frac{1}{2} \times 3 \times (4.59)^2 + \frac{1}{2} \times 2 \times (-5.885)^2 \)\( E_{\text{kin}}1 = \frac{1}{2} \times 3 \times 21.0681 + \frac{1}{2} \times 2 \times 34.6302 \)\( E_{\text{kin}}1 = 31.60215 + 34.6302 = 49 \text{ J} \)\( v_{A_{\text{neu}}2} = -4.02 \text{ m/s}, v_{B_{\text{neu}}2} = 7.03 \text{ m/s} \)\( E_{\text{kin}}2 = \frac{1}{2} \times 3 \times (-4.02)^2 + \frac{1}{2} \times 2 \times (7.03)^2 \)\( E_{\text{kin}}2 = \frac{1}{2} \times 3 \times 16.1604 + \frac{1}{2} \times 2 \times 49.4209 \)\( E_{\text{kin}}2 = 24.2406 + 24.71045 = 49 \text{ J} \)Auch die kinetische Energie bleibt in beiden Fällen erhalten.Fazit:Sowohl der Gesamtimpuls als auch die kinetische Energie des Systems bleiben nach der elastischen Kollision erhalten.

Aufgabe 4)

Ein Eistänzer dreht sich auf dem Eis. Zunächst dreht er sich mit ausgebreiteten Armen mit einer Winkelgeschwindigkeit von 2 rad/s. Der Gesamtträgheitsmoment des Eistänzers in dieser Position beträgt 5 kg·m². Er zieht dann seine Arme ein, wodurch sich sein Trägheitsmoment auf 3 kg·m² verringert.Angenommen, dass keine äußeren Drehmomente auf den Eistänzer wirken, analysiere die Erhaltung des Drehimpulses in diesem System.

a)

Berechne die neue Winkelgeschwindigkeit des Eistänzers, nachdem er seine Arme eingezogen hat. Stelle dabei sicher, dass Du die Erhaltung des Drehimpulses anwendest. Zeige alle notwendigen Schritte und Formeln.

Lösung:

Gegebene Daten:

• Ursprüngliche Winkelgeschwindigkeit ( \omega_1): 2 rad/s
• Ursprüngliches Trägheitsmoment ( \mathbf{I_1}): 5 kg·m²
• Neues Trägheitsmoment ( \mathbf{I_2}): 3 kg·m²

Lösungsweg:

• Der Drehimpuls ( \mathbf{L}) ist erhalten, da keine äußeren Drehmomente auf den Eistänzer wirken.
• Die Erhaltung des Drehimpulses lässt sich durch folgende Formel darstellen:

\[L = I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2\]

• Setzen wir die gegebenen Werte in die Gleichung ein, um die neue Winkelgeschwindigkeit ( \omega_2) zu berechnen:

\[5 \cdot 2 = 3 \cdot\omega_2\]

\[\boxed{10 = 3 \cdot\omega_2}\]

Um \omega_2 zu isolieren, teilen wir beide Seiten durch 3:

\[\omega_2 = \frac{10}{3}\]

\[\omega_2 = 3.33 \text{rad/s}\]

Fazit:

• Die neue Winkelgeschwindigkeit des Eistänzers, nachdem er seine Arme eingezogen hat, beträgt 3.33 rad/s.

b)

Wenn der Eistänzer seine Arme innerhalb von 2 Sekunden einzieht, berechne das mittlere Drehmoment, das er während dieses Vorgangs erfahren hat. Zeige die relevanten Berechnungen und erkläre, warum dies kein äußeres Drehmoment ist.

Lösung:

Gegebene Daten:

• Ursprüngliche Winkelgeschwindigkeit ( \omega_1 ): 2 rad/s
• Neues Trägheitsmoment ( \mathbf{I_2} ): 3 kg·m²
• Ursprüngliches Trägheitsmoment ( \mathbf{I_1} ): 5 kg·m²
• Zeit, in der die Arme eingezogen werden ( \Delta t ): 2 Sekunden

Erinnerung: Ein äußeres Drehmoment ist ein Drehmoment, das von einer äußeren Kraft verursacht wird. In diesem Fall betrachten wir das Drehmoment, das durch die Variation der Körpergeometrie entsteht, welche zu einer Änderung der Trägheitsmomente führt. Es handelt sich jedoch nicht um ein 'äußeres' Drehmoment, da die Aktion vom Eistänzer selbst ausgeführt wird.

Lösungsweg:

• Um das mittlere Drehmoment ( \tau ) zu berechnen, verwenden wir das Drehmomentgesetz:

\[ \tau = \frac{\Delta L}{\Delta t} \]

• Die Änderung des Drehimpulses ( \Delta L ) ergibt sich aus der Differenz der Anfangs- und Enddrehimpulse:

\[ \text{Drehimpuls} ( L ) = I \cdot \omega \]

\[ L_1 = I_1 \cdot \omega_1 = 5 \cdot 2 = 10 \text{ kg m}^2 /\text{s} \]

Benutze das neue Trägheitsmoment ( \mathbf{I_2} ) für die Berechnung der neuen Winkelgeschwindigkeit:

\[ I_1 \cdot \omega_1 = I_2 \cdot \omega_2 \]

\[ 5 \cdot 2 = 3 \cdot \omega_2 \]

\[ \omega_2 = \frac{10}{3} \approx 3.33 \text{ rad/s} \]

\[ L_2 = I_2 \cdot \omega_2 = 3 \cdot 3.33 \approx 9.99 \text{ kg m}^2 / \text{s} \]

• Die Änderung des Drehimpulses ( \Delta L ):

\[ \Delta L = L_2 - L_1 = 9.99 - 10 = -0.01 \text{ kg m}^2 /\text{s} \]

• Setze \Delta L und \Delta t in die Formel für das Drehmoment \tau ein:

\[ \tau = \frac{\Delta L}{\Delta t} = \frac{-0.01}{2} = -0.005 \text{ kg m}^2 / \text{s}^2 \]

Der negative Wert zeigt lediglich an, dass das Drehmoment entgegengesetzt zur ursprünglichen Drehrichtung wirkt.

Fazit:

• Das mittlere innere Drehmoment, das der Eistänzer während des Einziehens seiner Arme erfährt, beträgt -0.005 kg·m²/s².