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Geschichte der Kryptographie und ihre Entwicklung
Kurze, präzise Übersicht über die geschichtliche Entwicklung der Kryptographie.
1. Caesar-Verschlüsselung:
Erläutere das Funktionsprinzip der Caesar-Verschlüsselung. Verschlüssele die Nachricht 'KRYPTOGRAPHIE' unter Verwendung eines Verschiebungswerts von 4.
Hinweis: Nutze den vollständigen deutschen Zeichensatz (A-Z, ohne Umlaute).
Lösung:
Geschichte der Kryptographie und ihre Entwicklung
Kurze, präzise Übersicht über die geschichtliche Entwicklung der Kryptographie:
Subexercise:
1. Caesar-Verschlüsselung:
Erläutere das Funktionsprinzip der Caesar-Verschlüsselung. Verschlüssele die Nachricht 'KRYPTOGRAPHIE' unter Verwendung eines Verschiebungswerts von 4.
Hinweis: Nutze den vollständigen deutschen Zeichensatz (A-Z, ohne Umlaute).
Funktionsprinzip der Caesar-Verschlüsselung:
Die Caesar-Verschlüsselung ist eine einfache Substitutionsmethode, bei der jeder Buchstabe des Klartexts um eine feste Anzahl von Positionen im Alphabet verschoben wird. Zum Beispiel wird bei einer Verschiebung von 4 A zu E, B zu F, und so weiter. Dieses Prinzip kann durch die Formel:
Verschlüsselte Position = (Original Position + Verschiebungswert) % 26
dargestellt werden, wobei der Modulo-Operator sicherstellt, dass die Position innerhalb des 26-Buchstaben-Alphabets bleibt.
Beispiel:
2. Vigenère-Verschlüsselung:
Erkläre die Unterschiede zwischen der Caesar-Verschlüsselung und der Vigenère-Verschlüsselung. Verschlüssele den Text 'MODERNEKRYPTO' mit dem Schlüsselwort 'ABCD' unter Anwendung der Vigenère-Methode.
Lösung:
Geschichte der Kryptographie und ihre Entwicklung
Kurze, präzise Übersicht über die geschichtliche Entwicklung der Kryptographie:
Subexercise:
2. Vigenère-Verschlüsselung:
Erkläre die Unterschiede zwischen der Caesar-Verschlüsselung und der Vigenère-Verschlüsselung. Verschlüssele den Text 'MODERNEKRYPTO' mit dem Schlüsselwort 'ABCD' unter Anwendung der Vigenère-Methode.
Unterschiede zwischen der Caesar-Verschlüsselung und der Vigenère-Verschlüsselung:
Beispiel Verschlüsselung:
Schritte zur Verschlüsselung jedes Buchstabens:
Der verschlüsselte Text lautet: 'MPFHRONGRZRWO'
3. RSA-Verschlüsselung:
Beschreibe den RSA-Algorithmus und seine Bestandteile. Gegeben sei ein öffentliches Schlüsselpaar \((e, n) = (5, 14)\). Verschlüssele die Nachricht 7 und zeige die Schritte der Berechnung.
Hinweis: Zur Vereinfachung soll \((n = p \cdot q)\) und die genaue Berechnung des geheimen Schlüssels vernachlässigt werden.
Lösung:
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Kurze, präzise Übersicht über die geschichtliche Entwicklung der Kryptographie:
Subexercise:
3. RSA-Verschlüsselung:
Beschreibe den RSA-Algorithmus und seine Bestandteile. Gegeben sei ein öffentliches Schlüsselpaar \((e, n) = (5, 14)\). Verschlüssele die Nachricht 7 und zeige die Schritte der Berechnung.
Hinweis: Zur Vereinfachung soll \(n = p \cdot q\) und die genaue Berechnung des geheimen Schlüssels vernachlässigt werden.
Beschreibung des RSA-Algorithmus:
Schritt-für-Schritt-Berechnung:
Die verschlüsselte Nachricht ist: 7
4. Quantenkryptographie:
Gehe auf die Bedeutung der Quantenkryptographie ein und beschreibe ein bekanntes Verfahren, das zur Schlüsselverteilung verwendet wird.
Lösung:
Geschichte der Kryptographie und ihre Entwicklung
Kurze, präzise Übersicht über die geschichtliche Entwicklung der Kryptographie:
Subexercise:
4. Quantenkryptographie:
Gehe auf die Bedeutung der Quantenkryptographie ein und beschreibe ein bekanntes Verfahren, das zur Schlüsselverteilung verwendet wird.
Bedeutung der Quantenkryptographie:
Die Quantenkryptographie nutzt die Prinzipien der Quantenmechanik, um sichere Kommunikationsmittel zu schaffen. Ein entscheidender Vorteil der Quantenkryptographie ist die Fähigkeit, sichere Schlüsselverteilung zu gewährleisten. Dies basiert auf den Gesetzen der Quantenmechanik, was bedeutet, dass jeglicher Abhörversuch aufgedeckt werden kann. Eines der bekanntesten und meist erforschten Verfahren der Quantenkryptographie ist die Quanten-Schlüsselverteilung (QKD) mit dem BB84-Protokoll.
BB84-Protokoll zur Schlüsselverteilung:
Schritte im BB84-Protokoll:
Vorteile der Quantenkryptographie:
Gegeben ist das Konzept der semantischen Sicherheit (\textit{semantic security}), welches ein fundamentales Prinzip in der modernen Kryptographie darstellt. Dieses Konzept beschreibt die Eigenschaft eines Verschlüsselungsschemas, dass ein Angreifer, der eine Chiffrat-Zeichenkette abfangen kann, keine signifikante Information über den Klartext erhält. Betrachte ein Verschlüsselungssystem, das in einem Kontext eines Kommunikationsprotokolls genutzt wird, welches vor verschiedenen Arten von Angriffen, wie passivem Abhören (\textit{eavesdropping}) und aktiven Angriffen (z.B. \textit{Man-in-the-Middle}), geschützt sein muss.
Zunächst, beschreibe das Prinzip der semantischen Sicherheit formell. Wie könnte man semantische Sicherheit unter Verwendung des Begriffs der Indistinguishbarkeit (\textit{indistinguishability}) zwischen zwei Chiffraten formal definieren?
Lösung:
Um das Prinzip der semantischen Sicherheit formell zu beschreiben, können wir den Begriff der Indistinguishbarkeit (\textit{indistinguishability}) von Chiffraten verwenden. Semantische Sicherheit bedeutet, dass ein Angreifer, der eine Chiffrat-Zeichenkette abfängt, keine signifikanten Informationen über den ursprünglichen Klartext gewinnen kann.
Definition der semantischen Sicherheit: Ein Verschlüsselungsschema ist semantisch sicher, wenn es für einen Angreifer nicht effizient möglich ist, zu unterscheiden, welcher von zwei möglichen Klartexten zu einem gegebenen Chiffrat gehört.
Formelle Definition: Um dies genauer zu formulieren, betrachten wir die folgenden Definitionen und Schritte:
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Für Unternehmen E und einen Dechiffrierungsalgorithmus D>. Der Verschlüsselungsalgorithmus nimmt einen Klartext m und einen Schlüssel k an und gibt ein Chiffrat c zurück: c = E(k, m). Der Dechiffrierungsalgorithmus nimmt ein Chiffrat c und einen Schlüssel k an und gibt den Klartext m zurück: m = D(k, c).A, die entsprechend einem bestimmten Verteilungsalgorithmus zwei Klartexte m_0 und m_1 auswählt, es keine signifikante Wahrscheinlichkeit gibt, zwischen den resultierenden Chiffraten c_0 = E(k, m_0) und c_1 = E(k, m_1) zu unterscheiden.m_0 und m_1 und für alle probabilistischen polynomialzeitbeschränkten Angreifer A:\(\big| \text{Pr}[A(E(k, m_0)) = 1] - \text{Pr}[A(E(k, m_1)) = 1] \big| < \text{vernachlässigbare Wahrscheinlichkeit} \).
Pr die Wahrscheinlichkeitsfunktion und eine vernachlässigbare Wahrscheinlichkeit ist eine Funktion, die schneller gegen null geht als jede inverse polynomiale Funktion.
Nehmen wir an, wir haben ein Verschlüsselungsschema, das semantische Sicherheit bei passiven Angriffen garantiert. Erkläre anhand eines Beispiels, wie ein passiver Angreifer vorgeht und warum semantische Sicherheit in diesem Fall von entscheidender Bedeutung ist.
Lösung:
Ein passiver Angreifer ist jemand, der Informationen während der Übertragung abhört, ohne aktiv in die Kommunikation einzugreifen oder zu verändern. Ein häufiges Beispiel für einen passiven Angriff ist das sogenannte Eavesdropping, bei dem der Angreifer Nachrichten abhört, die zwischen zwei Parteien ausgetauscht werden.
Um die Bedeutung der semantischen Sicherheit bei passiven Angriffen zu verdeutlichen, betrachten wir folgendes Beispiel:
M an Bob senden. Sie verwendet ein Verschlüsselungsschema, um die Nachricht in ein Chiffrat C zu verwandeln, bevor sie die Nachricht über einen unsicheren Kanal sendet.C ab.C hat und nicht den Schlüssel, kann sie ohne semantische Sicherheit möglicherweise nützliche Informationen über den ursprünglichen Klartext M ableiten. In einem semantisch sicheren Verschlüsselungsschema jedoch sollte Eve keine signifikanten Informationen über M gewinnen können, selbst wenn sie mehrere Chiffrate abfängt.Zusammenfassend: Ist semantische Sicherheit entscheidend, um die Vertraulichkeit der übertragenen Nachricht zu schützen und sicherzustellen, dass ein passiver Angreifer keine nützlichen Informationen aus abgehörten Chiffraten gewinnen kann. Ohne diese Sicherheit könnten selbst einfache passiv abgehörte Informationen für bösartige Zwecke genutzt werden.
Diskutiere, warum die semantische Sicherheit allein möglicherweise nicht gegen aktive Angriffe wie \textit{Man-in-the-Middle} ausreicht. Welche zusätzlichen Sicherheitsmaßnahmen könnten notwendig sein, um auch gegen solche Angriffe geschützt zu sein?
Lösung:
Semantische Sicherheit ist ein wichtiger Schutzmechanismus gegen passive Angriffe wie eavesdropping, bei denen ein Angreifer versucht, Informationen zu erhalten, indem er die Kommunikation abhört. Allerdings reicht semantische Sicherheit allein möglicherweise nicht aus, um aktive Angriffe wie Man-in-the-Middle (MITM) zu verhindern. Bei einem MITM-Angriff manipuliert ein Angreifer aktiv die Kommunikation zwischen zwei Parteien.
Zusammenfassend: Während semantische Sicherheit ein Muss für den Schutz vor passiven Angriffen darstellt, sind zusätzliche Sicherheitsmaßnahmen wie Authentifizierung, Integritätsschutz und sichere Schlüsselvereinbarungsprotokolle notwendig, um auch gegen aktive Angriffe wie Man-in-the-Middle geschützt zu sein.
Betrachte ein neues kryptographisches Protokoll, bei dem die Sicherheit durch Reduktionsbeweise gezeigt werden soll. Erkläre, was Reduktionsbeweise sind und führe einen hypothetischen Reduktionsbeweis für die semantische Sicherheit dieses Protokolls durch.
Lösung:
Reduktionsbeweise sind eine methodische Vorgehensweise in der Kryptographie, bei der die Sicherheit eines kryptographischen Protokolls durch die Reduktion auf ein anderes bekanntes und als sicher angesehenes Problem bewiesen wird. Das bedeutet, man zeigt, dass ein effizienter Angriff auf das betrachtete Protokoll verwendet werden könnte, um ein schwierigeres Problem zu lösen. Wenn das schwierigere Problem als sicher gilt, folgt daraus, dass auch das betrachtete Protokoll sicher ist.
Betrachten wir ein hypothetisches kryptographisches Protokoll für die Verschlüsselung, das auf dem Faktorisierungsproblem basiert. Wir wollen zeigen, dass dieses Protokoll semantisch sicher ist, indem wir einen Reduktionsbeweis führen.
Schritt 1: Definition des Problems Wir definieren zuerst das schwierige Problem, auf das wir reduzieren. In diesem Fall ist es das Faktorisierungsproblem:
Schritt 2: Annahme eines Angreifers Nehmen wir an, es gibt einen effizienten Angreifer A, der das Verschlüsselungsschema unseres Protokolls brechen kann. Das bedeutet, dass A bei Vorlage zweier Klartexte m0 und m1 und eines Chiffrats C unterscheiden kann, welcher Klartext zu C gehört (d.h. A kann entscheiden, ob C die Verschlüsselung von m0 oder m1 ist).
Schritt 3: Aufbau des Reduktionsbeweises Wir bauen eine Turingmaschine T, die das Faktorisierungsproblem löst, indem sie den Angreifer A aufruft.
Schritt 4: Schlussfolgerung Wenn A das Protokoll effizient brechen könnte, könnte auch T das Faktorisierungsproblem effizient lösen. Da das Faktorisierungsproblem als schwer gilt, folgt daraus, dass ein effizienter Angreifer A nicht existieren kann. Daher ist das Protokoll semantisch sicher.
Durch diesen Reduktionsbeweis haben wir gezeigt, dass die semantische Sicherheit des Verschlüsselungsschemas auf die Schwierigkeit eines bekannten harten Problems reduziert werden kann.
Blockchiffren (z.B., DES, AES)Symmetrische Verschlüsselungsverfahren, die Daten in Blöcken fester Länge verschlüsseln.
Erkläre den Unterschied zwischen einem Feistelnetzwerk und einem Substitutions-Permutations-Netzwerk im Kontext von Blockchiffren. Gib für jede Netzwerktopologie ein Beispiel eines bekannten Blockchiffren-Algorithmus an.
Lösung:
Unterschied zwischen einem Feistelnetzwerk und einem Substitutions-Permutations-Netzwerk im Kontext von Blockchiffren
Angenommen, ein Klartext der Länge 256 Bit wird mit einem DES-Algorithmus im ECB-Modus verschlüsselt. Zeige detailliert, wie der Verschlüsselungsprozess in Blöcken abläuft. Gehe dabei auf mögliche Sicherheitsprobleme bei der Verwendung des ECB-Modus ein.
Lösung:
Verschlüsselung eines Klartextes der Länge 256 Bit mit DES im ECB-ModusZur Erinnerung: DES (Data Encryption Standard) verwendet eine Blockgröße von 64 Bit und eine Schlüsselgröße von 56 Bit.Schritt-für-Schritt-Verschlüsselungsprozess:
DES(Block 1, Schlüssel)
DES(Block 2, Schlüssel)
DES(Block 3, Schlüssel)
DES(Block 4, Schlüssel)
Verschlüsselter Block 1 || Verschlüsselter Block 2 || Verschlüsselter Block 3 || Verschlüsselter Block 4
Berechne die Anzahl der möglichen Schlüssel für den AES-Algorithmus bei einer Schlüsselgröße von 256 Bit. Diskutiere die Sicherheitsvorteile einer größeren Schlüsselgröße gegenüber einer kleineren Schlüsselgröße im Kontext der Kryptoanalyse.
Lösung:
Anzahl der möglichen Schlüssel für den AES-Algorithmus bei einer Schlüsselgröße von 256 BitDie Anzahl der möglichen Schlüssel bei einer Schlüsselgröße von 256 Bit berechnet sich, indem man die Anzahl der möglichen Zustände jedes Bits multipliziert. Da jedes Bit zwei Zustände (0 oder 1) haben kann, ergibt sich für 256 Bits die folgende Berechnung:
2^{256} = 115,792,089,237,316,195,423,570,985,008,687,907,853,269,984,665,640,564,039,457,584,007,913,129,639,936Das ist eine unglaublich große Zahl, die in etwa 1,16 x 10^{77} entspricht.Sicherheitsvorteile einer größeren SchlüsselgrößeEine größere Schlüsselgröße bietet bedeutende Sicherheitsvorteile, insbesondere im Kontext der Kryptoanalyse:Der RSA-Algorithmus ist ein asymmetrisches Kryptosystem, das zur sicheren Datenübertragung verwendet wird. Es basiert auf der Konstruktion von zwei Schlüsseln: einem öffentlichen und einem privaten Schlüssel. Die Schlüsselerzeugung erfolgt durch die Wahl von zwei großen Primzahlen p und q, das Berechnen ihres Produkts n und \(\phi(n) = (p-1)(q-1)\). Ein Wert e wird gewählt, sodass 1 < e < \(\phi(n)\) und ggT(e, \phi(n)) = 1. Der Wert d wird so bestimmt, dass ed ≡ 1 (mod \(\phi(n)\)). Verschlüsselung und Entschlüsselung erfolgen mittels der Formeln: \(c = m^e \mod n\) und \(m = c^d \mod n\). Die Sicherheit des RSA-Algorithmus beruht auf dem Faktorisierungsproblem großer Zahlen sowie der Schlüssellänge (typischerweise 2048+ Bit) als Sicherheitsfaktoren. Dennoch existieren Angriffe, wie die Faktorisierung durch Quantencomputer mittels des Shor-Algorithmus.
Gegeben seien die Primzahlen p = 61 und q = 53. Berechne alle nötigen Werte zur Schlüsselerzeugung für das RSA-Kryptosystem und gib sowohl den öffentlichen als auch den privaten Schlüssel an.
Lösung:
Um die notwendigen Werte zur Schlüsselerzeugung für das RSA-Kryptosystem zu berechnen, müssen wir die folgenden Schritte durchführen:
Schlüssel:
Damit haben wir die notwendigen Werte zur Schlüsselerzeugung für das RSA-Kryptosystem berechnet.
Gegeben sei die Nachricht m = 42. Verschlüssele die Nachricht unter Verwendung des öffentlichen Schlüssels, der im ersten Teil berechnet wurde.
Lösung:
Um die Nachricht m = 42 zu verschlüsseln, verwenden wir den zuvor berechneten öffentlichen Schlüssel (e, n) = (17, 3233). Die Verschlüsselung erfolgt nach der Formel:
42^2 \mod 3233 = 1764 \mod 3233 = 1764 42^4 \mod 3233 = 1764^2 \mod 3233 = 2401 42^8 \mod 3233 = 2401^2 \mod 3233 = 3628801 \mod 3233 = 81 42^{16} \mod 3233 = 81^2 \mod 3233 = 6561 \mod 3233 = 1595 42^{17} \mod 3233 = 1595 * 42 \mod 3233 = 66990 \mod 3233 = 2696 Damit ist die verschlüsselte Nachricht c = 2696.
Entschlüssele die im zweiten Teil erhaltene chiffrierte Nachricht wieder, indem Du den privaten Schlüssel aus der ersten Teilaufgabe verwendest. Zeige alle Zwischenschritte der Berechnungen auf.
Lösung:
Um die im zweiten Teil erhaltene chiffrierte Nachricht c = 2696 zu entschlüsseln, verwenden wir den zuvor berechneten privaten Schlüssel (d, n) = (2753, 3233). Die Entschlüsselung erfolgt nach der Formel:
Nachfolgend zeigen wir die detaillierte Berechnung:
1 -> 2753 in binär: 10101100001 (binär) 2 -> Start mit 1 (wegen Basisfall) 3 -> Gehe von MSB zu LSB (höchstes bis niedrigstes Bit): Ergebnis = 2696 Ergebnis = (Ergebnis^2) % 3233 (- wenn Bit = 1, multipliziere mit der Basis „2696“ und nimm das Modulo) Schritte: Schritt 1: Ergebnis = 2696 Schritt 2: Ergebnis = (2696^2) % 3233 = 13 -> Bit ist 0 Schritt 3: Ergebnis = (13^2) % 3233 = 169 -> Bit ist 1, daher Ergebnis = (169 * 2696) % 3233 = 2032 Schritt 4: Ergebnis = (2032^2) % 3233 = 2704 -> Bit ist 0 Schritt 5: Ergebnis = (2704^2) % 3233 = 3173 -> Bit ist 0 Schritt 6: Ergebnis = (3173^2) % 3233 = 367 -> Bit ist 1, daher Ergebnis = (367 * 2696) % 3233 = 239 Schritt 7: Ergebnis = (239^2) % 3233 = 717 -> Bit ist 0 Schritt 8: Ergebnis = (717^2) % 3233 = 2696 -> Bit ist 1, daher Ergebnis = (2696 * 2696) % 3233 = 13
Nach Durchführung aller Schritte:
Die entschlüsselte Nachricht lautet: m = 42
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