Elektromagnetische Felder II - Exam

Aufgabe 1)

Verschiebungsstrom und dessen Bedeutung

• Der Verschiebungsstrom ist ein Begriff aus der Elektrodynamik, der von James Clerk Maxwell eingeführt wurde, um die Kontinuität des Stroms in die Maxwell-Gleichungen einzubringen.
• Ergänzt die Amperesche Regel für Situationen, in denen kein leitender Strom vorhanden ist.
• Mathematisch beschrieben durch: \( \vec{J}_D = \epsilon \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \)
• Erklärt das Entstehen von Magnetfeldern durch zeitliche Änderungen des elektrischen Feldes.
• Essentiell für die Beschreibung von elektromagnetischen Wellen.
• Wichtig für das Verständnis von Phänomenen wie der Ausbreitung elektromagnetischer Wellen und in der Theorie der elektromagnetischen Felder.

b)

Berechne den Verschiebungsstrom \( \vec{J}_D \) in einem Vakuum, wenn das elektrische Feld durch \( \vec{E}(t) = E_0 \cos(\omega t) \) beschrieben wird. Gehe dabei von einer bekannten elektrischen Feldstärke \(E_0\) und einer Frequenz \(\omega\) aus.

Lösung:

Berechnung des Verschiebungsstroms \( \vec{J}_D \) in einem Vakuum

Um den Verschiebungsstrom \( \vec{J}_D \) in einem Vakuum zu berechnen, verwenden wir die mathematische Beschreibung des Verschiebungsstroms sowie das gegebene elektrische Feld.

Das elektrische Feld in Abhängigkeit von der Zeit ist gegeben durch:

\( \vec{E}(t) = E_0 \cos(\omega t) \)

Um den Verschiebungsstrom zu berechnen, müssen wir die zeitliche Ableitung des elektrischen Felds bestimmen und diese in die Gleichung für den Verschiebungsstrom einsetzen. Die Gleichung für den Verschiebungsstrom lautet:

\( \vec{J}_D = \epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \)

Hierbei ist \( \epsilon_0 \) die Permittivität des freien Raums.

• Schritt 1: Berechnung der zeitlichen Ableitung des elektrischen Felds

Wir bestimmen die Ableitung von \( \vec{E}(t) \) nach der Zeit \( t \):

\( \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} (E_0 \cos(\omega t)) \)

Die Ableitung von \( \cos(\omega t) \) ist \( -\omega \sin(\omega t) \). Daher ergibt sich:

\( \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} = -E_0 \omega \sin(\omega t) \)

• Schritt 2: Einsetzen in die Gleichung für den Verschiebungsstrom

Nun setzen wir diese Ableitung in die Gleichung für den Verschiebungsstrom ein:

\( \vec{J}_D = \epsilon_0 \left( -E_0 \omega \sin(\omega t) \right) \)

Dies vereinfacht sich zu:

\( \vec{J}_D = -\epsilon_0 E_0 \omega \sin(\omega t) \)

Ergebnis:

Der Verschiebungsstrom \( \vec{J}_D \) in einem Vakuum ist somit gegeben durch:

\( \vec{J}_D = -\epsilon_0 E_0 \omega \sin(\omega t) \)

Hierbei gilt:

• \( \epsilon_0 \) ist die Permittivität des freien Raums,
• \( E_0 \) ist die Amplitude des elektrischen Feldes,
• \( \omega \) ist die Kreisfrequenz,
• \( \sin(\omega t) \) beschreibt die zeitliche Abhängigkeit.

Aufgabe 2)

Der Poynting-Vektor beschreibt den Energiefluss pro Zeit- und Flächeneinheit im elektromagnetischen Feld. Dabei gilt:

• Poynting-Vektor: \(\vec{S} = \vec{E} \times \vec{H}\)
• Energieflussdichte: Betrag von \(\vec{S}\)
• Energiedichte: \(\frac{1}{2} (\epsilon \vec{E}^2 + \mu \vec{H}^2)\)
• Einheiten: \([\vec{S}] = W/m^2\), \([\text{Energiedichte}] = J/m^3\)

a)

(a) Berechne den Poynting-Vektor \(\vec{S}\), wenn das elektrische Feld durch \(\vec{E} = E_0 \hat{x}\) und das magnetische Feld durch \(\vec{H} = H_0 \hat{y}\) gegeben ist. Zeige deine Zwischenrechnungen.

Lösung:

Um den Poynting-Vektor \(\vec{S}\) zu berechnen, wenn das elektrische Feld durch \(\vec{E} = E_0 \hat{x}\) und das magnetische Feld durch \(\vec{H} = H_0 \hat{y}\) gegeben ist, verwenden wir die Definition des Poynting-Vektors:

• Poynting-Vektor: \(\vec{S} = \vec{E} \times \vec{H}\)

Zwischenrechnungen:

• Elektrisches Feld: \(\vec{E} = E_0 \hat{x}\)
• Magnetisches Feld: \(\vec{H} = H_0 \hat{y}\)

Berechne das Kreuzprodukt:

• Setze die Vektoren in das Kreuzprodukt ein: \(\vec{S} = \vec{E} \times \vec{H} = (E_0 \hat{x}) \times (H_0 \hat{y})\)
• Verwende die Definition des Kreuzprodukts für die Einheitsvektoren: \(\hat{x} \times \hat{y} = \hat{z}\)
• Kombiniere die Größenordnungen: \(\vec{S} = E_0 H_0 (\hat{x} \times \hat{y}) = E_0 H_0 \hat{z}\)

Damit ergibt sich der Poynting-Vektor als:

• \(\vec{S} = E_0 H_0 \hat{z}\)

b)

(b) Bestimme die Energieflussdichte des elektromagnetischen Feldes aus den in (a) gegebenen Feldern. Gib das Ergebnis in Einheiten von \([ \vec{S} ] = W/m^2\) an.

Lösung:

Um die Energieflussdichte des elektromagnetischen Feldes zu bestimmen, verwenden wir den Betrag des Poynting-Vektors \(\vec{S}\), der in (a) berechnet wurde.

• Aus (a) haben wir den Poynting-Vektor: \(\vec{S} = E_0 H_0 \hat{z}\)

Der Betrag des Poynting-Vektors \(\vec{S}\) gibt uns die Energieflussdichte:

Formel:

• \(|\vec{S}| = |E_0 H_0 \hat{z}| = E_0 H_0 |\hat{z}|\)

Da \(|\hat{z}| = 1\) für eine Einheitsrichtung:

• \(|\vec{S}| = E_0 H_0\)

Die Energieflussdichte des elektromagnetischen Feldes, basierend auf den gegebenen Feldern, ist daher:

• \( |\vec{S}| = E_0 H_0 \, \text{W/m}^2 \)

Damit ergibt sich die Energieflussdichte als:

• \( E_0 H_0 \, \text{W/m}^2 \)

c)

(c) Berechne die Energiedichte des elektromagnetischen Feldes, wenn \(\epsilon = 8.85 \times 10^{-12} \frac{F}{m}\) und \(\mu = 4\pi \times 10^{-7} \frac{H}{m}\) sind. Verwende in deiner Berechnung die Werte von \(\vec{E}\) und \(\vec{H}\), die in (a) angegeben sind.

Lösung:

Um die Energiedichte des elektromagnetischen Feldes zu berechnen, verwenden wir die folgende Formel:

• Energiedichte: \( u = \frac{1}{2} (\epsilon \vec{E}^2 + \mu \vec{H}^2) \)

Es sind folgende Werte gegeben:

• \( \epsilon = 8.85 \times 10^{-12} \frac{F}{m} \)
• \( \mu = 4\pi \times 10^{-7} \frac{H}{m} \)
• \( \vec{E} = E_0 \hat{x} \)
• \( \vec{H} = H_0 \hat{y} \)

Zwischenrechnungen:

• Quadrat des elektrischen Feldes: \( \vec{E}^2 = (E_0 \hat{x})^2 = E_0^2 \hat{x}^2 = E_0^2 \)
• Quadrat des magnetischen Feldes: \( \vec{H}^2 = (H_0 \hat{y})^2 = H_0^2 \hat{y}^2 = H_0^2 \)

Setze die Werte in die Formel zur Berechnung der Energiedichte ein:

u = \frac{1}{2} \left(\epsilon E_0^2 + \mu H_0^2\right)

Ersetze \( \epsilon \) und \( \mu \):

u = \frac{1}{2} \left( 8.85 \times 10^{-12} E_0^2 + 4\pi \times 10^{-7} H_0^2 \right)

Die Energiedichte des elektromagnetischen Feldes berechnet sich somit zu:

• \( u = \frac{1}{2} \left( 8.85 \times 10^{-12} E_0^2 + 4\pi \times 10^{-7} H_0^2 \right) \, \text{J/m}^3 \)

d)

(d) Angenommen, das elektrische und magnetische Feld sind zeitlich harmonisch, d.h. \(\vec{E}(t) = E_0 \hat{x} \cos(\omega t)\) und \(\vec{H}(t) = H_0 \hat{y} \cos(\omega t)\). Bestimme den mittleren Poynting-Vektor \(\langle\vec{S}\rangle\) über eine Periode \(T = \frac{2\pi}{\omega}\). Zeige deine Berechnungen und gib das Ergebnis in Einheiten von \([ \vec{S} ] = W/m^2\) an.

Lösung:

Wenn die elektrischen und magnetischen Felder zeitlich harmonisch sind, d.h. \(\vec{E}(t) = E_0 \hat{x} \cos(\omega t)\) und \(\vec{H}(t) = H_0 \hat{y} \cos(\omega t)\), dann kann der mittlere Poynting-Vektor \(\langle \vec{S} \rangle\)\ über eine Periode \(T = \frac{2\pi}{\omega}\) bestimmt werden.

Die Formel für den Poynting-Vektor ist:

• \( \vec{S}(t) = \vec{E}(t) \times \vec{H}(t) \)

Also:

• \( \vec{S}(t) = \left[ E_0 \hat{x} \cos(\omega t) \right] \times \left[ H_0 \hat{y} \cos(\omega t) \right]\)

Berechnen wir das Kreuzprodukt:

• \( \vec{S}(t) = E_0 H_0 (\hat{x} \times \hat{y}) \cos^2(\omega t) = E_0 H_0 \hat{z} \cos^2(\omega t)\)

Der mittlere Wert von \(\cos^2(\omega t)\) über eine Periode \( T \) ist:

• \( \langle \cos^2(\omega t) \rangle = \frac{1}{2} \)

Daher ist der mittlere Poynting-Vektor \(\langle \vec{S} \rangle\) :

• \( \langle \vec{S} \rangle = E_0 H_0 \hat{z} \langle \cos^2(\omega t) \rangle = E_0 H_0 \hat{z} \frac{1}{2} \)

Damit ergibt sich der mittlere Poynting-Vektor als:

• \(\langle \vec{S} \rangle = \frac{1}{2} E_0 H_0 \hat{z} \)
• In Einheiten von \( [ \vec{S} ] = W/m^2 \) erhalten wir:
• \( \langle \vec{S} \rangle = \frac{1}{2} E_0 H_0 \, W/m^2 \)

Aufgabe 3)

Gegeben sei die Grenzfläche zwischen zwei Medien mit unterschiedlichen Brechungsindizes:

• Brechungsindex des ersten Mediums: n₁ = 1,5
• Brechungsindex des zweiten Mediums: n₂ = 1,2
• Einfallswinkel: θ_i = 30°

Bestimme die Reflexions- und Transmissionskoeffizienten für die Einfallswelle an der Grenzfläche. Die Fresnel-Gleichungen und das Snelliussche Brechungsgesetz sind gegeben.

a)

• Berechne zunächst den Transmissionswinkel θ_t unter Verwendung des Snelliusschen Brechungsgesetzes.

Lösung:

Lösung der Aufgabe:

• Um den Transmissionswinkel \(\theta_t\) zu berechnen, verwenden wir das Snelliussche Brechungsgesetz. Das Brechungsgesetz lautet:

• Snelliussches Brechungsgesetz:
\[n_1 \cdot \sin(\theta_i) = n_2 \cdot \sin(\theta_t)\]

• Hierbei stehen die Variablen für:
• \(n_1\) = 1,5 (Brechungsindex des ersten Mediums)
• \(n_2\) = 1,2 (Brechungsindex des zweiten Mediums)
• \(\theta_i\) = 30° (Einfallswinkel)

• Jetzt isolieren wir den Transmissionswinkel \(\theta_t\):

• \[\sin(\theta_t) = \frac{n_1 \cdot \sin(\theta_i)}{n_2}\]
• \[\sin(\theta_t) = \frac{1.5 \cdot \sin(30°)}{1.2}\]
• \sin(30°) = 0.5 demonstrieren:

• \[\sin(\theta_t) = \frac{1.5 \cdot 0.5}{1.2}\]
• \[\sin(\theta_t) = \frac{0.75}{1.2}\]

• \[\sin(\theta_t) = 0.625\]

• Um den Winkel \(\theta_t\) zu berechnen, nehmen wir den Arkussinus:
• \[\theta_t = \arcsin(0.625)\]

• Mit einem Taschenrechner erhalten wir:
• \[\theta_t \approx 38.68°\]

• Der Transmissionswinkel \(\theta_t\) beträgt also etwa 38.68°.

b)

• Bestimme anschließend den Reflexionskoeffizienten r und den Transmissionskoeffizienten t unter Verwendung der Fresnel-Gleichungen und des berechneten Transmissionswinkels aus Teil 1.

Lösung:

Lösung der Aufgabe:

• Um den Reflexions- und den Transmissionskoeffizienten zu bestimmen, verwenden wir die Fresnel-Gleichungen. Aus Teil 1 wissen wir bereits den Transmissionswinkel \(\theta_t\).

• Grundlagen:
• Brechungsindex des ersten Mediums: \(n_1 = 1,5\)
• Brechungsindex des zweiten Mediums: \(n_2 = 1,2\)
• Einfallswinkel: \(\theta_i = 30^\text{°}\)
• Transmissionswinkel: \(\theta_t \approx 38,68^\text{°}\) (berechnet in Teil 1)
• Fresnel-Gleichungen:
• Für parallele Polarisation:
• Reflexionskoeffizient:
• \[r_{||} = \frac{n_2 \cos(\theta_i) - n_1 \cos(\theta_t)}{n_2 \cos(\theta_i) + n_1 \cos(\theta_t)}\]
• Transmissionskoeffizient:
• \[t_{||} = \frac{2 n_2 \cos(\theta_i)}{n_2 \cos(\theta_i) + n_1 \cos(\theta_t)}\]
• Für senkrechte Polarisation:
• Reflexionskoeffizient:
• \[r_{\perp} = \frac{n_1 \cos(\theta_i) - n_2 \cos(\theta_t)}{n_1 \cos(\theta_i) + n_2 \cos(\theta_t)}\]
• Transmissionskoeffizient:
• \[t_{\perp} = \frac{2 n_1 \cos(\theta_i)}{n_1 \cos(\theta_i) + n_2 \cos(\theta_t)}\]
• Berechnung von \(\cos(\theta_i)\) und \(\cos(\theta_t)\):
• \[\cos(30^\text{°}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866\]
• \[\cos(38,68^\text{°}) \approx 0,780\]
• Einsetzen in die Fresnel-Gleichungen:
• Für parallele Polarisation:
• Reflexionskoeffizient:
• \[r_{||} = \frac{1,2 \cdot 0,866 - 1,5 \cdot 0,780}{1,2 \cdot 0,866 + 1,5 \cdot 0,780}\]
• \[r_{||} = \frac{1,0392 - 1,170}{1,0392 + 1,170}\]
• \[r_{||} = \frac{-0,1308}{2,2092}\]
• \[r_{||} \approx -0,059\]
• Transmissionskoeffizient:
• \[t_{||} = \frac{2 \cdot 1,2 \cdot 0,866}{1,2 \cdot 0,866 + 1,5 \cdot 0,780}\]
• \[t_{||} = \frac{2 \cdot 1,0392}{2,2092}\]
• \[t_{||} \approx 0,941\]
• Für senkrechte Polarisation:
• Reflexionskoeffizient:
• \[r_{\perp} = \frac{1,5 \cdot 0,866 - 1,2 \cdot 0,780}{1,5 \cdot 0,866 + 1,2 \cdot 0,780}\]
• \[r_{\perp} = \frac{1,299 - 0,936}{1,299 + 0,936}\]
• \[r_{\perp} = \frac{0,363}{2,235}\]
• \[r_{\perp} \approx 0,162\]
• Transmissionskoeffizient:
• \[t_{\perp} = \frac{2 \cdot 1,5 \cdot 0,866}{1,5 \cdot 0,866 + 1,2 \cdot 0,780}\]
• \[t_{\perp} = \frac{2 \cdot 1,299}{2,235}\]
• \[t_{\perp} \approx 1,161\]
• Die Reflexions- und Transmissionskoeffizienten betragen somit:
• Reflexionskoeffizient für parallele Polarisation: \(r_{||} \approx -0,059\)
• Transmissionskoeffizient für parallele Polarisation: \(t_{||} \approx 0,941\)
• Reflexionskoeffizient für senkrechte Polarisation: \(r_{\perp} \approx 0,162\)
• Transmissionskoeffizient für senkrechte Polarisation: \(t_{\perp} \approx 1,161\)

Aufgabe 4)

In einem rechteckigen Wellenleiter mit den Abmessungen a und b (a > b) sollen die möglichen elektromagnetischen Moden berechnet werden. Es wird angenommen, dass der Wellenleiter homogen und verlustfrei ist und dass transversalelektrische (TE) und transversalmagnetische (TM) Moden auftreten können. Zudem wird die Grenzfrequenz (Cut-Off-Frequenz) der jeweiligen Moden bestimmt. Ferner wird die Modenstruktur und die Feldverteilung in einem zylindrischen Wellenleiter untersucht, wobei die Bessel-Funktion bei der Lösung der Gleichungen verwendet wird. Die Randbedingungen beeinflussen die Verteilung und die Eigenschaften der Moden.

a)

Analysiere die Auswirkungen der Randbedingungen auf die Modenstruktur in einem zylindrischen Wellenleiter. Erkläre, wie Randbedingungen die Verteilung und die Eigenschaften der Moden beeinflussen, und wie dies bei der Gestaltung von Wellenleitern berücksichtigt werden kann.

Lösung:

Analyse der Auswirkungen von Randbedingungen auf die Modenstruktur in einem zylindrischen Wellenleiter

Bei der Untersuchung von zylindrischen Wellenleitern ist es wichtig, die Auswirkungen der Randbedingungen auf die elektromagnetischen Moden zu verstehen. Diese Randbedingungen beeinflussen maßgeblich die Verteilung und die Eigenschaften der Moden. Im Folgenden gehen wir detailliert darauf ein, wie dies geschieht:

• Randbedingungen und Modenstruktur: Randbedingungen sind die physikalischen Anforderungen, die an den Rändern des Wellenleiters erfüllt sein müssen. Bei einem zylindrischen Wellenleiter müssen die elektromagnetischen Felder an den Wänden des Leiters bestimmten Bedingungen genügen. Beispielsweise müssen bei perfekt leitenden Wänden die elektrischen Feldkomponenten parallel zur Wand null sein. Diese Bedingungen bestimmen die möglichen Lösungen der Maxwell-Gleichungen und damit die Moden des Wellenleiters. Die wichtigsten Arten von Randbedingungen sind:
  • Dirichlet-Randbedingungen: Das elektrische Feld muss an der Wand null sein.
  • Neumann-Randbedingungen: Der Gradient des elektrischen Feldes muss an der Wand null sein.
  Durch die Anwendung dieser Randbedingungen auf die Maxwell-Gleichungen erhält man die Eigenwertgleichungen, deren Lösungen die zulässigen Moden bestimmen.
• Verteilung der Moden: Die Randbedingungen beeinflussen die räumliche Verteilung der elektromagnetischen Felder. In einem zylindrischen Wellenleiter führt dies dazu, dass die elektrischen und magnetischen Feldkomponenten als Bessel-Funktionen beschrieben werden müssen. Die Bessel-Funktionen hängen von den zylindrischen Koordinaten ab und erfüllen die notwendigen Randbedingungen. In einem zylindrischen Wellenleiter sind die Moden typischerweise durch die Nullstellen der Bessel-Funktion und ihrer Ableitungen definiert.
• Eigenschaften der Moden: Die Randbedingungen bestimmen auch die Grenzfrequenzen (Cut-Off-Frequenzen) der verschiedenen Moden. Für jede Mode gibt es eine minimale Frequenz, unterhalb derer die Welle nicht mehr durch den Wellenleiter propagieren kann. Diese Grenzfrequenzen hängen von den Abmessungen des Wellenleiters und von den spezifischen Nullstellen der Bessel-Funktionen ab. Durch die Wahl geeigneter Wellenleitergeometrien und Randbedingungen kann man gezielt die gewünschten Moden fördern und unerwünschte Moden unterdrücken.
• Berücksichtigung bei der Gestaltung: Bei der Gestaltung von Wellenleitern muss man die gewünschten Eigenschaften der Moden berücksichtigen. Dies umfasst die Wahl der richtigen Abmessungen, Materialien und Randbedingungen, um die gewünschten Moden zu fördern und bestimmte Frequenzbereich abzudecken. Insbesondere in Bereichen wie der Hochfrequenztechnik und der optischen Kommunikation ist es wichtig, die Modenstruktur gezielt zu steuern, um eine effiziente Signalübertragung zu gewährleisten.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die Randbedingungen eine entscheidende Rolle bei der Bestimmung der Modenstruktur eines zylindrischen Wellenleiters spielen. Durch die gezielte Auswahl und Anwendung dieser Bedingungen kann man die Eigenschaften und die Verteilung der Moden beeinflussen, was bei der Entwicklung und Optimierung von Wellenleitern von entscheidender Bedeutung ist.