Felder und Wellen in optoelektronischen Bauelementen (V-Fel-Wel) - Exam

Aufgabe 1)

Elektromagnetische Wellen treffen in einem Winkel von 45 Grad auf die Grenzfläche zwischen zwei Medien. Das Medium, aus dem die Wellen kommen, hat einen Brechungsindex von 1,5 und das Medium, in das die Wellen eintreten, hat einen Brechungsindex von 2,0. Betrachte die Reflexion und Brechung der Wellen an dieser Grenzfläche. Zusätzlich gibt es ein Spalt in der zweiten Grenzfläche von 0,5 mm Breite. Die Wellenlänge der elektromagnetischen Welle beträgt 600 nm.

a)

Berechne den Reflexionswinkel der elektromagnetischen Wellen an der Grenzfläche zwischen den beiden Medien. Nutze dabei das Reflexionsgesetz.

Lösung:

Um den Reflexionswinkel der elektromagnetischen Wellen an der Grenzfläche zwischen den beiden Medien zu berechnen, verwenden wir das Reflexionsgesetz. Das Reflexionsgesetz besagt, dass der Einfallswinkel gleich dem Reflexionswinkel ist.

• Gegebene Werte:
• Einfallswinkel (\theta_i): 45 Grad

Nach dem Reflexionsgesetz:

• Reflexionswinkel (\theta_r): 45 Grad

Der Reflexionswinkel beträgt also 45 Grad.

b)

Bestimme den Brechungswinkel der Wellen im zweiten Medium. Verwende dazu das Snellius-Gesetz.

Lösung:

Um den Brechungswinkel der Wellen im zweiten Medium zu bestimmen, verwenden wir das Snellius-Gesetz (auch Snelliussches Brechungsgesetz genannt). Dieses Gesetz beschreibt die Beziehung zwischen den Einfalls- und Brechungswinkeln sowie den Brechungsindizes der beiden Medien.

Das Snellius-Gesetz lautet:

\( n_1 \cdot \sin(\theta_i) = n_2 \cdot \sin(\theta_t) \)

• Gegebene Werte:
• \( n_1 = 1.5 \) (Brechungsindex des ersten Mediums)
• \( n_2 = 2.0 \) (Brechungsindex des zweiten Mediums)
• \( \theta_i = 45^\text{°} \) (Einfallswinkel)

Wir müssen den Brechungswinkel \( \theta_t \) berechnen.

• Schritt für Schritt:
• Umstellen des Snellius-Gesetzes nach \( \theta_t \):

  \( \sin(\theta_t) = \frac{n_1}{n_2} \cdot \sin(\theta_i) \)

• Werte einsetzen:

• \( \sin(\theta_t) = \frac{1.5}{2.0} \cdot \sin(45^\text{°}) \)

Da \( \sin(45^\text{°}) = \frac{\text{√2}}{2} \), erhalten wir:

• \( \sin(\theta_t) = \frac{1.5}{2.0} \cdot \frac{\text{√2}}{2} \)

• \( \sin(\theta_t) = \frac{1.5 \cdot \text{√2}}{4} \)

Berechnen des Wertes:

• \( \sin(\theta_t) \text{ ≈ 0.5303} \)

Nun nehmen wir den Arkus-Sinus (Umkehrfunktion des Sinus), um den Brechungswinkel zu finden:

• \( \theta_t= \text{arcsin}(0.5303) \text{ ≈ 32.13°} \)

Der Brechungswinkel \( \theta_t \) im zweiten Medium beträgt also ungefähr 32,13 Grad.

c)

Beschreibe qualitativ, wie die Beugung der Wellen durch den Spalt in der zweiten Grenzfläche aussieht. Nutze das Huygens’sche Prinzip zur Erklärung.

Lösung:

Um die Beugung der Wellen durch den Spalt in der zweiten Grenzfläche qualitativ zu beschreiben, verwenden wir das Huygens’sche Prinzip. Dieses Prinzip besagt, dass jeder Punkt einer Wellenfront als Ausgangspunkt für eine neue Elementarwelle betrachtet werden kann. Diese Elementarwellen breiten sich kreisförmig (in 2D) oder kugelförmig (in 3D) aus und überlagern sich, um die neue Wellenfront zu bilden.

• Das Huygens’sche Prinzip:
• Stellen wir uns vor, dass die elektromagnetische Welle auf den Spalt trifft, der nur 0,5 mm breit ist.
• Da die Wellenlänge der elektromagnetischen Welle (600 nm oder 0.0006 mm) sich in der Größenordnung der Spaltbreite (0,5 mm) befindet, wird deutliche Beugung beobachtet.

Wie sieht die Beugung qualitativ aus?

• Nach dem Huygens’schen Prinzip wird jeder Punkt entlang der Wellenfront, der den Spalt passiert, als Quelle einer neuen Elementarwelle betrachtet.
• Diese Elementarwellen breiten sich in alle Richtungen hinter dem Spalt aus, wodurch eine Wellenfront entsteht, die sich über eine größere Fläche verteilt.
• Aufgrund der schmalen Breite des Spalts breiten sich die Wellen weit in den Raum hinter dem Spalt aus, sodass ein deutliches Beugungsmuster entsteht.
• Das Beugungsmuster besteht aus einer zentralen hellen Region (Hauptmaximum) direkt gegenüber dem Spalt und mehreren abwechselnden dunklen und hellen Bereichen (Nebenmaxima und Minima) an den Seiten.
• Je schmaler der Spalt relativ zur Wellenlänge ist, desto weiter wird die Beugung und desto prominenter wird das Beugungsmuster.

Zusammengefasst:

• Die Wellen werden durch den schmalen Spalt gebeugt und breiten sich in verschiedene Richtungen aus.
• Es entsteht ein Beugungsmuster mit einem zentralen Maximum und mehreren seitlichen Maxima und Minima.
• Dieses Verhalten kann durch das Huygens’sche Prinzip erklärt werden, welches besagt, dass jeder Punkt auf der Wellenfront als Ausgangspunkt für neue Wellen betrachtet werden kann.

Das Verständnis dieses Prinzips hilft uns zu erkennen, wie Wellen miteinander interagieren und neue Wellenfronten erzeugen, wenn sie auf Hindernisse oder Spalte treffen.

Aufgabe 2)

Dispersionsrelationen und Gruppen- vs. Phasengeschwindigkeit: Dispersionsrelationen beschreiben die Beziehung zwischen der Wellenzahl und der Frequenz einer Welle. Gruppen- und Phasengeschwindigkeit sind wichtige Konzepte bei der Ausbreitung von Wellen in einem Medium.

• Dispersionsrelation: \[ \beta (u) = \frac{2\text{π}}{\text{λ}} = \frac{2\text{πν}}{c}n(u) \]
• Phasengeschwindigkeit: \[ v_p = \frac{u}{ \beta (u)} \]
• Gruppengeschwindigkeit: \[ v_g = \frac{du}{d\beta} \]
• Dispersive Medien: Gruppen- und Phasengeschwindigkeit sind verschieden.
• Dispersionsrelationen sind für die Analyse und Gestaltung von optoelektronischen Bauelementen essentiell.

a)

Gegeben sei die Dispersionsrelation für ein spezifisches optoelektronisches Bauelement \[ \beta (u) = \frac{k_1 u^2 + k_2}{k_3 + u} \] mit den Konstanten \(k_1 = 1 \ \mathrm{m^{-1}Hz^{-2} }\), \(k_2 = 0.5 \ \mathrm{m^{-1} }\), und \(k_3 = 2 \ \mathrm{Hz }\).

• Berechne die Phasengeschwindigkeit \( v_p \) für eine Frequenz von \(u = 10 \ \mathrm{Hz } \).

Lösung:

Aufgabe: Berechnung der Phasengeschwindigkeit \( v_p \) für die gegebene Dispersionsrelation \( \beta (u) = \frac{{k_1 u^2 + k_2}}{{k_3 + u}} \) mit den Konstanten \(k_1 = 1 \ \mathrm{m^{-1}Hz^{-2} }\), \(k_2 = 0.5 \ \mathrm{m^{-1} }\), und \(k_3 = 2 \ \mathrm{Hz }\) für eine Frequenz von \(u = 10 \ \mathrm{Hz }\).

• Schritt 1: Setze die gegebene Frequenz \(u = 10 \ \mathrm{Hz }\) in die Dispersionsrelation ein und berechne \(\beta(u)\).
\[\beta(10) = \frac{{1 \, 10^2 + 0.5}}{{2 + 10}} \] \[\beta(10) = \frac{{100 + 0.5}}{{12}} \] \[\beta(10) = \frac{{100.5}}{{12}} = 8.375 \ \mathrm{m^{-1}} \]
• Schritt 2: Verwende den berechneten Wert von \(\beta(10)\) und setze diesen in die Formel für die Phasengeschwindigkeit ein.
\[v_p = \frac{u}{\beta(u)} = \frac{10}{8.375}\]
• Schritt 3: Berechne den endgültigen Wert der Phasengeschwindigkeit.
\[v_p = 1.194 \ \mathrm{m/s}\]

Daher beträgt die Phasengeschwindigkeit \( v_p \), bei einer Frequenz von \(u = 10 \mathrm{Hz }\), etwa 1.194 m/s.

b)

Nutze die gleiche Dispersionsrelation \( \beta (u) = \frac{k_1 u^2 + k_2}{k_3 + u} \) und berechne die Gruppengeschwindigkeit \( v_g \) für eine Frequenz von \(u = 10 \ \mathrm{Hz } \).

• Hinweis: Benutze dabei die Ableitung \( \frac{d\beta}{du} \).

Lösung:

Aufgabe: Berechnung der Gruppengeschwindigkeit \( v_g \) für die gegebene Dispersionsrelation \( \beta (u) = \frac{{k_1 u^2 + k_2}}{{k_3 + u}} \) mit den Konstanten \(k_1 = 1 \ \mathrm{m^{-1}Hz^{-2}}\), \(k_2 = 0.5 \ \mathrm{m^{-1}}\), und \(k_3 = 2 \ \mathrm{Hz}\) für eine Frequenz von \(u = 10 \ \mathrm{Hz}\).

• Schritt 1: Berechne \( \frac{d\beta}{du} \) für die gegebene Dispersionsrelation.
Zunächst berechnen wir die Ableitung der Funktion \( \beta(u) \): \[ \beta(u) = \frac{k_1 u^2 + k_2}{k_3 + u} \] Verwende die Quotientenregel: \[ \frac{d}{du} \left( \frac{f(u)}{g(u)} \right) = \frac{f'(u)g(u) - f(u)g'(u)}{[g(u)]^2} \] In unserem Fall sind: \[ f(u) = k_1 u^2 + k_2 \] \[ g(u) = k_3 + u \] \[ f'(u) = 2k_1 u \] \[ g'(u) = 1 \] Setze diese Werte in die Quotientenregel ein: \[ \frac{d\beta}{du} = \frac{(2k_1 u)(k_3 + u) - (k_1 u^2 + k_2)}{(k_3 + u)^2} \]
• Schritt 2: Setze \( k_1, k_2, k_3 \) und \( u = 10 \ \mathrm{Hz} \) in die abgeleitete Dispersionsrelation ein, um \( \frac{d\beta}{du} \) zu berechnen.
Setze die Konstanten und \( u = 10 \) ein: \[ \frac{d\beta}{du} = \frac{(2 \cdot 1 \cdot 10)(2 + 10) - (1 \cdot 10^2 + 0.5)}{(2 + 10)^2} \] Berechne den Zähler und den Nenner: \[ Zähler = (2 \cdot 10)(12) - (100 + 0.5) = 240 - 100.5 = 139.5 \] \[ Nenner = (2 + 10)^2 = 12^2 = 144 \] Setze diese Werte in die Gleichung ein: \[ \frac{d\beta}{du} = \frac{139.5}{144} = 0.96875 \ \mathrm{m^{-1}Hz^{-1}} \]
• Schritt 3: Berechne die Gruppengeschwindigkeit \( v_g \) mit der ermittelten Ableitung \( \frac{d\beta}{du} \).
Die Formel für die Gruppengeschwindigkeit lautet: \[ v_g = \left( \frac{d\beta}{du} \right)^{-1} \] \[ v_g = \frac{1}{0.96875} \] \[ v_g = 1.032 \ \mathrm{m/s} \]

Daher beträgt die Gruppengeschwindigkeit \( v_g \), bei einer Frequenz von \(u = 10 \mathrm{Hz} \), etwa 1.032 m/s.

c)

Diskutiere die Bedeutung der Ergebnisse für die Phasen- und Gruppengeschwindigkeit in einem optoelektronischen Bauelement.

• Warum ist es wichtig, sowohl die Phasen- als auch die Gruppengeschwindigkeit zu kennen?
• Welche Implikationen haben unterschiedliche Werte für \( v_p \) und \( v_g \) auf die Signalübertragung in einem dispersiven Medium?

Lösung:

Diskussion der Bedeutung der Ergebnisse für die Phasen- und Gruppengeschwindigkeit in einem optoelektronischen Bauelement:

• Warum ist es wichtig, sowohl die Phasen- als auch die Gruppengeschwindigkeit zu kennen?

Die Kenntnis sowohl der Phasengeschwindigkeit (\( v_p \)) als auch der Gruppengeschwindigkeit (\( v_g \)) ist entscheidend, weil sie unterschiedliche Aspekte der Wellenausbreitung in einem Medium beschreiben:

• Phasengeschwindigkeit (\( v_p \)): Dies ist die Geschwindigkeit, mit der die Phase einer bestimmten Frequenzkomponente der Welle sich fortbewegt. Sie ist wichtig für die Bestimmung der Frequenzverhältnisse und der Ausbreitung der Wellenfronten. Im Kontext von optoelektronischen Bauelementen ist die Phasengeschwindigkeit insbesondere für die Abstimmung und Synchronisation unterschiedlicher Wellenlängen von Bedeutung.
• Gruppengeschwindigkeit (\( v_g \)): Dies ist die Geschwindigkeit, mit der die gesamte Modulation oder das Signal, das viele Frequenzen umfasst, sich fortbewegt. Die Gruppengeschwindigkeit ist wichtig für die tatsächliche Informationsübertragung, da sie beschreibt, wie schnell Änderungen in der Wellenmodulation (und damit Informationen) durch das Medium übertragen werden.
• Welche Implikationen haben unterschiedliche Werte für \( v_p \) und \( v_g \) auf die Signalübertragung in einem dispersiven Medium?

Unterschiedliche Werte für Phasen- und Gruppengeschwindigkeit haben eine Reihe von Implikationen für die Signalübertragung in einem dispersiven Medium:

• Dispersion: In dispersiven Medien variiert die Phasengeschwindigkeit mit der Frequenz, was bedeutet, dass verschiedene Frequenzkomponenten einer Welle sich mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten ausbreiten. Dies führt dazu, dass sich ein Wellenpaket über die Zeit auseinanderzieht oder verzerrt. Diese Verzerrung kann zu Signalverschlechterungen führen und ist besonders kritisch bei der Übertragung hoher Datenraten.
• Signalverzerrung: Wenn die Phasengeschwindigkeiten der verschiedenen Frequenzkomponenten stark variieren, kann dies zu einer Dispersion des Signals führen. Dies bedeutet, dass das Signal gestreckt und seine Form verändert wird, was zu Informationsverlusten oder Fehlern bei der Datenübertragung führen kann.
• Beispiel in der optischen Kommunikation: In optischen Fasern variiert die Phasengeschwindigkeit in Abhängigkeit von der Wellenlänge, was zur sogenannten chromatischen Dispersion führt. Die Gruppengeschwindigkeit beschreibt, wie schnell sich Pulsgruppen durch die Faser bewegen. Eine große Diskrepanz zwischen Phasen- und Gruppengeschwindigkeit kann zu einem hohen Inter-Symbol-Interference (ISI) führen, was die Datenübertragungsrate und -qualität beeinträchtigt.

Daher ist es bei der Gestaltung und Analyse optoelektronischer Bauelemente und Kommunikationssysteme essenziell, beide Geschwindigkeiten zu berücksichtigen, um eine optimale Leistung und minimalen Datenverlust zu gewährleisten.

Aufgabe 3)

Brechungsindexprofile definieren die Verteilung des Brechungsindex innerhalb eines optischen Wellenleiters, welche die Lichtführung und -ausbreitung beeinflusst. Zu den gängigen Profilen gehören das Gradientenprofil, bei dem sich der Brechungsindex kontinuierlich ändert (z.B. in Gradientenfasern), und das Stufenprofil, bei dem der Kern- und Mantelbrechungsindex konstant ist (z.B. in Stufenindexfasern). Diese Profile bestimmen die Modenverteilung und die Ausbreitungscharakteristik des Lichtes im Wellenleiter. Die Berechnung der effektiven Brechungsindizes (n_{eff}) erfolgt durch die Lösung der Helmholtz-Gleichung, was auch den Dispersionsparameter beeinflusst.

b)

Für einen Stufenindex-Wellenleiter mit einem Kerndurchmesser von 8 µm und einem Brechungsindex von \( n_{core} = 1.48 \) sowie einem Mantelbrechungsindex von \( n_{cladding} = 1.46 \),

• berechne den numerischen Apertur (NA) des Wellenleiters.
• Bestimme die maximalen Winkel, unter denen Licht in den Kern des Wellenleiters einfallen kann, um innerhalb des Kerns geführt zu werden.

Lösung:

Lasst uns die Aufgaben für den Stufenindex-Wellenleiter Schritt für Schritt angehen:

• Berechne die numerische Apertur (NA) des Wellenleiters.

Gegeben:

• Kerndurchmesser = 8 µm
• Brechungsindex des Kerns \(n_{core} = 1.48\)
• Brechungsindex des Mantels \(n_{cladding} = 1.46\)

Die numerische Apertur (NA) kann mit folgender Formel berechnet werden:

NA = \sqrt{n_{core}^2 - n_{cladding}^2}

Einsetzen der gegebenen Werte:

NA = \sqrt{1.48^2 - 1.46^2} = \sqrt{2.1904 - 2.1316} = \sqrt{0.0588} \approx 0.242

Die numerische Apertur (NA) des Wellenleiters beträgt also ungefähr 0,242.

• Bestimme die maximalen Winkel, unter denen Licht in den Kern des Wellenleiters einfallen kann, um innerhalb des Kerns geführt zu werden.

Die maximalen Winkel (Akzeptanzwinkel) \(\theta_{max}\), unter denen Licht in den Kern des Wellenleiters einfallen kann, um geführt zu werden, können mit der numerischen Apertur (NA) und der folgenden Formel berechnet werden:

\sin(\theta_{max}) = NA

Einsetzen der berechneten NA:

\sin(\theta_{max}) = 0.242

Um \(\theta_{max}\) zu berechnen, nehmen wir den Arkussinus (inverse Sinusfunktion):

\theta_{max} = \arcsin(0.242) \approx 14.0 ^\circ

Die maximalen Winkel (\(\theta_{max}\)), unter denen Licht in den Kern des Wellenleiters einfallen kann, betragen somit etwa 14,0 Grad.

Zusammenfassend haben wir also die numerische Apertur von ungefähr 0.242 und die maximalen Einfallswinkel von etwa 14.0 Grad berechnet, unter denen das Licht in den Kern des Stufenindex-Wellenleiters einfallen kann, um darin geführt zu werden.

Aufgabe 4)

Laserresonatoren und ModenstrukturenLaserresonatoren sorgen für die Verstärkung und Rückkopplung von Licht durch Spiegelanordnung. Modenstrukturen beschreiben die Intensitäts- und Phasenverteilung innerhalb des Resonators. Deine Aufgabe ist es, verschiedene Aspekte der Laserresonatoren und deren Modenstrukturen zu analysieren und zu berechnen.

• Typen von Resonatoren: Fabry-Pérot, Ringresonator
• Grundmode und höhere Moden: TEM₀₀, TEM_mn
• Frequenzabstand der Moden: \(u = \frac{c}{2L}\)
• Longitudinale und transversale Moden
• Q-Faktor: Maß der Resonatorgüte, \(\text{Q} = \frac{2\pi \times \text{Energie im Resonator}}{\text{Verlust pro Periode}}\)
• Gaussian-Strahlen: Beschreiben die Form von TEM₀₀

a)

1. Typen von Resonatoren und deren Anwendungen: Beschreibe die wesentlichen Unterschiede zwischen einem Fabry-Pérot-Resonator und einem Ringresonator. Gib zu jedem Resonatortyp ein Beispiel für eine typische Anwendung in der Optoelektronik an und erkläre, warum der jeweilige Resonator für diese Anwendung bevorzugt wird.

Lösung:

Laserresonatoren und Modenstrukturen

Aufgabe: Typen von Resonatoren und deren AnwendungenBeschreibe die wesentlichen Unterschiede zwischen einem Fabry-Pérot-Resonator und einem Ringresonator. Gib zu jedem Resonatortyp ein Beispiel für eine typische Anwendung in der Optoelektronik an und erkläre, warum der jeweilige Resonator für diese Anwendung bevorzugt wird.

• Fabry-Pérot-Resonator:

  Der Fabry-Pérot-Resonator besteht aus zwei gegenüberliegenden, teilweise reflektierenden Spiegeln, die parallel zueinander ausgerichtet sind. Dadurch wandert das Licht zwischen den Spiegeln hin und her und interferiert, wodurch stehende Wellen innerhalb des Resonators entstehen.

  • Typische Anwendung: Laser Dioden

    Warum bevorzugt: Der Fabry-Pérot-Resonator wird in Laser Dioden verwendet, weil er eine einfache und effektive Methode bietet, um zu gewährleisten, dass das Licht nur in bestimmten Frequenzen resoniert. Dies macht ihn ideal für Anwendungen, bei denen eine kohärente Lichtquelle benötigt wird.

• Ringresonator:

  Ein Ringresonator besteht aus einem geschlossenen Kreis oder Ring aus optischem Material, das Licht durch Totalreflexion leitet. Licht, das in den Ring eingeführt wird, breitet sich in einer kontinuierlichen Schleife aus, ohne auf reflektierende Oberflächen zu treffen.

  • Typische Anwendung: Optischer Filter

    Warum bevorzugt: Ringresonatoren sind aufgrund ihrer Fähigkeit, bestimmte Wellenlängen zu filtern und hohe Güten zu erzeugen, ideal für optische Filteranwendungen. Diese hohe Selektivität wird durch das kontinuierliche Resonieren des Lichts im Ring erreicht, wodurch sie besonders nützlich in Telekommunikationssystemen sind.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass der Fabry-Pérot-Resonator wegen seiner Effizienz und Einfachheit für Laserquellen bevorzugt wird, während der Ringresonator aufgrund seiner Wellenlängenselektivität ideal für Filteranwendungen in der Optoelektronik ist.

b)

2. Modenstrukturen im Laserresonator: Erkläre die Unterschiede zwischen longitudinalen und transversalen Moden in einem Laserresonator. Diskutiere die Bedeutung der Grundmode TEM₀₀ und wie sich höhere Moden (TEM_mn) auf die Strahlqualität und Anwendungen auswirken könnten. Verwende mathematische Ausdrücke zur Verdeutlichung Deiner Erklärungen.

Lösung:

Laserresonatoren und Modenstrukturen

Aufgabe: Modenstrukturen im LaserresonatorErkläre die Unterschiede zwischen longitudinalen und transversalen Moden in einem Laserresonator. Diskutiere die Bedeutung der Grundmode TEM₀₀ und wie sich höhere Moden (TEM_mn) auf die Strahlqualität und Anwendungen auswirken könnten. Verwende mathematische Ausdrücke zur Verdeutlichung Deiner Erklärungen.

• Longitudinale Moden:

  Longitudinale Moden entstehen durch die Resonanzbedingung zwischen den beiden Spiegeln des Resonators in der Längsrichtung (entlang der Ausbreitungsrichtung des Lichtes). Sie werden durch die folgende Bedingung beschrieben:

  \[L = q \frac{\beta}{2} \ \beta = \frac{2\text{π} n}{\text{λ}} \text{ mit } q \text{ als ganzzahliger Modenindex und } n \text{ als Brechungsindex}\]

  Hierbei können mehrere longitudinale Moden existieren, die sich durch ihre unterschiedlichen Frequenzen unterscheiden. Der Frequenzabstand der Moden ist gegeben durch:

  \[u = \frac{c}{2L} \]

• Transversale Moden:

  Transversale Moden beschreiben die Intensitäts- und Phasenverteilung des Lichtes quer zur Ausbreitungsrichtung im Resonator. Diese Moden werden durch die Transversale elektromagnetische Moden (TEM) bezeichnet.

  Die Grundmode TEM₀₀ hat die einfachste Intensitätsverteilung, welche einer Gaußschen Verteilung entspricht:

  \[I(x, y) = I_0 \text{exp} \bigg( -\frac{2(x^2 + y^2)}{w_0^2} \bigg) \]

  Diese Mode weist eine hohe Strahlqualität auf und hat eine gleichmäßige Intensitätsverteilung.

  Höhere Moden, wie TEM_mn, haben zusätzliche Knotenpunkte in ihrer Intensitätsverteilung und werden durch Hermite-Gauß-Funktionen beschrieben. Beispielsweise:

  \[ TEM_{10} : I(x, y) = I_0 \big( 2x^2/w_0^2 - 1 \big) \text{exp} \bigg( -\frac{2(x^2 + y^2)}{w_0^2} \bigg) \]

  Diese höheren Moden haben eine komplexere Struktur und können das Profil des Strahls negativ beeinflussen, indem sie die Strahlqualität reduzieren.

• Grundmode TEM₀₀:

  Die Grundmode TEM₀₀ ist besonders wichtig, da sie die beste Strahlqualität mit geringer Divergenz und gleichmäßiger Intensitätsverteilung bietet. Dadurch ist sie ideal für Anwendungen, die präzisen und fokussierten Lichtstrahl erfordern, wie z.B. in der Lasermikrobearbeitung oder in der optischen Kommunikation.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass longitudinale Moden hauptsächlich die spektralen Eigenschaften eines Laserresonators beeinflussen, während transversale Moden die Strahlqualität bestimmen. TEM₀₀ bietet die höchste Qualität und Effizienz, während höhere Moden durch ihre komplexeren Strukturen tendenziell die Leistungen des Lasers verschlechtern können.

c)

3. Berechnung des Frequenzabstands der Moden und des Q-Faktors: Ein Laseresonator hat eine Länge von 30 cm. Berechne den Frequenzabstand der Moden. Gegeben, dass die Energie im Resonator 5 mJ beträgt und der Verlust pro Periode 1 µJ ist, berechne den Q-Faktor des Resonators.

Lösung:

Laserresonatoren und Modenstrukturen

Aufgabe: Berechnung des Frequenzabstands der Moden und des Q-Faktors Ein Laseresonator hat eine Länge von 30 cm. Berechne den Frequenzabstand der Moden. Gegeben, dass die Energie im Resonator 5 mJ beträgt und der Verlust pro Periode 1 µJ ist, berechne den Q-Faktor des Resonators.

• Frequenzabstand der Moden:

  Die Frequenzabstand der Moden eines Laseresonators wird durch die folgende Formel gegeben:

  \[u = \frac{c}{2L} \]

  Hierbei ist \(c\) die Lichtgeschwindigkeit und \(L\) die Länge des Resonators. Gegeben ist \(L = 30\text{ cm} = 0.3\text{ m}\).

  Wir setzen die Werte ein:

  \[u = \frac{3 \times 10^8 \text{ m/s}}{2 \times 0.3\text{ m}} = \frac{3 \times 10^8}{0.6} = 5 \times 10^8\text{ Hz}\]

  Der Frequenzabstand der Moden ist somit \(500 \text{ MHz}\).

• Berechne den Q-Faktor:

  Der Q-Faktor ist ein Maß für die Güte eines Resonators und wird durch die folgende Formel berechnet:

  \[Q = \frac{2\text{π} \times \text{Energie im Resonator}}{\text{Verlust pro Periode}} \]

  Gegeben: Energie im Resonator = 5 mJ = 5 × 10^-3 J, Verlust pro Periode = 1 µJ = 1 × 10^-6 J.

  Einsetzen der Werte:

  \[Q = \frac{2\text{π} \times 5 \times 10^{-3} \text{ J}}{1 \times 10^{-6} \text{ J}} \]

  \[Q = \frac{2\text{π} \times 5 \times 10^{-3}}{10^{-6}} \]

  \[Q = 2\text{π} \times 5000 \]

  \[Q = 31415.93 \]

  Der Q-Faktor des Resonators beträgt somit ca. 31416.

Zusammenfassend ergibt sich für den gegebenen Laseresonator ein Frequenzabstand der Moden von 500 MHz und ein Q-Faktor von etwa 31416, was auf eine hohe Güte dieses Resonators hinweist.

d)

4. Gaussian-Strahlen und TEM₀₀-Mode: Beschreibe die Eigenschaften eines Gaussian-Strahls und erkläre, warum der TEM₀₀ eine besondere Bedeutung für die Strahlqualität hat. Zeichne die Intensitätsverteilung eines TEM₀₀-Modus. Diskutiere, wie die Wahl eines TEM₀₀-Modus die Anwendungen in der optischen Kommunikation und Bildgebung beeinflussen kann.

Lösung:

Laserresonatoren und Modenstrukturen

Aufgabe: Gaussian-Strahlen und TEM₀₀-ModeBeschreibe die Eigenschaften eines Gaussian-Strahls und erkläre, warum der TEM₀₀ eine besondere Bedeutung für die Strahlqualität hat. Zeichne die Intensitätsverteilung eines TEM₀₀-Modus. Diskutiere, wie die Wahl eines TEM₀₀-Modus die Anwendungen in der optischen Kommunikation und Bildgebung beeinflussen kann.

• Eigenschaften eines Gaussian-Strahls:

  Ein Gaussian-Strahl, auch als TEM₀₀-Mode bezeichnet, hat folgende charakteristische Eigenschaften:

  • Symmetrische Intensitätsverteilung, die der Form einer gaußschen Glockenkurve folgt.
  • Höchstintensität im Zentrum des Strahls, die nach außen hin exponentiell abnimmt.
  • Niedrige Divergenz, das heißt, der Strahl bleibt über eine lange Distanz fokussiert.
  • Hohe Strahlqualität, was bedeutet, dass der Strahl gut gebündelt und weniger gestreut ist.
  • Die Intensitätsverteilung lässt sich durch die folgende Formel beschreiben:

  \[I(x,y) = I_0 \exp \left(-\frac{2(x^2 + y^2)}{w_0^2}\right)\]

  • Hierbei ist \(I_0\) die maximale Intensität und \(w_0\) die Strahlradius an der engsten Stelle des Strahls.
• Bedeutung des TEM₀₀-Modus für die Strahlqualität:

  Der TEM₀₀-Modus hat eine besondere Bedeutung für die Strahlqualität aus folgenden Gründen:

  • Höchste Strahlqualität unter den Moden (niedrigste Laserverluste).
  • Hervorragende Fokussierbarkeit, was für präzise Anwendungen wichtig ist.
  • Geringe Beugung und Homogenität des Strahls.
• Intensitätsverteilung eines TEM₀₀-Modus:

  Die Intensitätsverteilung eines TEM₀₀-Modus lässt sich wie folgt darstellen:

  

• Wahl eines TEM₀₀-Modus und deren Einfluss auf Anwendungen:

  • Optische Kommunikation: Die hohe Strahlqualität des TEM₀₀-Modus ermöglicht eine effiziente Kopplung in Glasfasern und minimiert Signalverluste. Dadurch sind höhere Datentransferraten und längere Übertragungsdistanzen möglich.

  • Bildgebung: In der optischen Bildgebung liefert der TEM₀₀-Modus scharfe und präzise Bilder aufgrund seiner geringen Beugung und gleichmäßigen Intensitätsverteilung. Dies ist besonders wichtig in der Mikroskopie und der medizinischen Bildgebung.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass Gaussian-Strahlen, insbesondere der TEM₀₀-Modus, aufgrund ihrer hervorragenden Strahlqualität und Fokussierbarkeit entscheidend für Anwendungen in den Bereichen optische Kommunikation und Bildgebung sind.