Functional Analysis for Engineers - Cheatsheet

Komplette normierte Vektorräume (Banach-Räume)

Definition:

Ein Banach-Raum ist ein Vektorraum mit einer Norm, in dem jede Cauchy-Folge konvergiert.

Details:

• Sei \( (X, \| \cdot \|) \) ein normierter Vektorraum.
• Eine Folge \( (x_n) \) in \( X \) heißt Cauchy-Folge, falls für alle \( \varepsilon > 0 \) ein \( N \in \mathbb{N} \) existiert, sodass für alle \( m,n \geq N \) gilt: \( \| x_n - x_m \| < \varepsilon \).
• Der Raum \( X \) ist vollständig, falls jede Cauchy-Folge in \( X \) konvergiert.
• Beispiel: Der Raum \( l^p \) mit \( 1 \leq p < \infty \) ist ein Banach-Raum.

Spektralsatz für beschränkte Operatoren (Hilbert-Räume)

Definition:

In der Funktionalanalysis, speziell in Hilbert-Räumen, besagt der Spektralsatz, dass jeder beschränkte selbstadjungierte Operator als Integral über seine Spektralwerte dargestellt werden kann.

Details:

• Für einen beschränkten selbstadjungierten Operator A existiert eine Projektion \(P_t \) so, dass \(A = \int_{-\infty}^{\infty} t \, dP_t \).
• Das Spektrum \(\sigma(A) \) von A liegt in der reellen Achse.
• Für einen normalen Operator A: Spektralsatz besagt, dass es eine unitäre Transformation gibt, die A diagonalisiert.
• Spektralabbildung: \(f(A) = \int_{\sigma(A)} f(t) \, dP_t\), wobei f eine beschränkte messbare Funktion ist.

Banach-Steinhaus-Theorem (Uniform Boundedness Principle) (Banach-Räume)

Definition:

Banach-Steinhaus-Theorem: Eine Familie beschränkter linearer Operatoren ist genau dann punktweise beschränkt, wenn sie gleichmäßig beschränkt ist.

Details:

• Sei \( X \) ein Banach-Raum und \( (T_n) \) eine Folge linearer Operatoren von \( X \) nach \( X \).
• Wenn \( \forall x \in X : \sup_n \|T_n x\| < \infty \), dann \( \sup_n \|T_n\| < \infty \).
• Gilt häufig für Konvergenz in Funktionsräumen und für schwache Konvergenz.
• Wichtiges Werkzeug für Bedingung punktweiser Beschränktheit.

Fourier-Transformation und ihre Anwendung in der Signalverarbeitung

Definition:

Fourier-Transformation wandelt ein zeitbegrenztes Signal in eine Summe von Sinus- und Kosinusfunktionen unterschiedlicher Frequenzen um.

Details:

• Formel für kontinuierliche Fourier-Transformation: \( \tilde{X}(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-2\pi i f t} dt \)
• Umkehrformel: \( x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} \tilde{X}(f) e^{2\pi i f t} df \)
• Diskrete Fourier-Transformation (DFT) für zeitdiskrete Signale: \( X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-2\pi i n k / N} \)
• Umkehrformel der DFT: \( x[n] = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] e^{2\pi i n k / N} \)
• Anwendung in der Signalverarbeitung: Filtern, Spektralanalyse, Modulation, Datenkompression

Riesz-Darstellungssatz (Hilbert-Räume)

Definition:

Riesz-Darstellungssatz: Jeder stetige lineare Funktional auf einem Hilbertraum lässt sich als inneres Produkt schreiben.

Details:

• Sei \(H\) ein Hilbertraum und \(f\) ein stetiges lineares Funktional auf \(H\).
• Es existiert eindeutig ein Element \(y \in H\), sodass \[ f(x) = \langle x, y \rangle \quad \text{für alle} \ x \in H.\]
• Das Element \(y\) wird durch den Riesz-Darstellungssatz eindeutig bestimmt.
• Formel: \[ \exists! y \in H \quad \text{sodass} \quad f(x) = \langle x, y \rangle \quad \text{für alle} \ x \in H.\]

Kompakte Operatoren auf Banach-Räumen

Definition:

Ein linearer Operator zwischen Banach-Räumen, der beschränkte Mengen auf relativ kompakte Mengen abbildet.

Details:

• Ein Operator \( T: X \to Y \) ist kompakt, wenn für jede beschränkte Folge \( \{x_n\} \subset X \) eine Teilfolge \( \{x_{n_k}\} \) existiert, sodass \( \{T(x_{n_k})\} \) in \( Y \) konvergiert.
• Jeder kompakte Operator auf einem Banach-Raum ist beschränkt.
• Beispiel: Integrieroperatoren in \( L^p \)-Räumen.
• Spektrum eines kompakten Operators: Spektrum ist diskret und akkumuliert nur bei 0.
• Fredholm-Operatoren: kompakte Störung des Identitätsoperators.

Distributionen und ihre Anwendung in PDEs

Definition:

Distributionen erweitern das Konzept von Funktionen, um schwach differenzierbare Funktionen und Differentialoperatoren zu behandeln. Sie sind nützlich für die Lösung von PDEs, insbesondere bei singulären Lösungen.

Details:

• Distribution: Funktional, operiert auf Testfunktionen \(\varphi(x)\)
• Schwache Ableitung: Distributionen erlauben Definition von Ableitungen, selbst wenn klassische Ableitungen nicht existieren
• Fourier-Transformation: Anwendbar auf Distributionen, nützlich in der PDE-Theorie
• Lösungsdarstellung: Viele Lösungen von PDEs lassen sich als Distributionen darstellen
• Beispiele: Delta-Distribution \(\delta(x)\), Heaviside-Funktion \(\theta(x)\)

Spektrum und Eigenwerte von Operatoren (Spektraltheorie)

Definition:

Betrifft das Studium der Eigenwerte und des Spektrums linearer Operatoren, wichtige Konzepte in der Funktionalanalyse.

Details:

• Eigenwert-Problem: Für einen Operator \(A\) und einen Vektor \(x\) suche \(\lambda\), sodass \[ A x = \lambda x \]
• Eigenwert: \(\lambda\)
• Eigenvektor: \(x\)
• Spektrum: Menge aller \(\lambda\), für die \(A - \lambda I\) nicht invertierbar ist
• Resolventenmenge: Komplement des Spektrums
• Spektralsatz: Beschreibt die Darstellung eines Operators durch seine Eigenwerte und Eigenvektoren