Functional Analysis for Engineers - Exam

Aufgabe 2)

Betrachte den beschränkten selbstadjungierten Operator A in einem Hilbert-Raum. Der Spektralsatz besagt, dass A als Integral über seine Spektralwerte dargestellt werden kann, genauer:

1. Es existiert eine Projektion P_t so, dass A = \int_{-\infty}^{\infty} t \, dP_t.

2. Das Spektrum \sigma(A) von A liegt in der reellen Achse.

3. Für einen normalen Operator A: der Spektralsatz besagt, dass es eine unitäre Transformation gibt, die A diagonalisiert.

4. Spektralabbildung: f(A) = \int_{\sigma(A)} f(t) \, dP_t, wobei f eine beschränkte messbare Funktion ist.

b)

2. Spektrale Zerlegung und Funktionalität:

Sei A ein beschränkter selbstadjungierter Operator in einem Hilbert-Raum und f eine beschränkte messbare Funktion. Definiere die Spektralabbildung f(A) und zeige, dass für jede beschränkte messbare Funktion f die Abbildung f(A) = \int_{\sigma(A)} f(t) \, dP_t auch wieder ein beschränkter Operator ist.

Lösung:

2. Spektrale Zerlegung und Funktionalität:

Sei A ein beschränkter selbstadjungierter Operator in einem Hilbert-Raum und f eine beschränkte messbare Funktion. Definiere die Spektralabbildung f(A) und zeige, dass für jede beschränkte messbare Funktion f die Abbildung f(A) = \int_{\sigma(A)} f(t) \, dP_{t} auch wieder ein beschränkter Operator ist.

Lösung:

• Der Spektralsatz gibt an, dass ein beschränkter selbstadjungierter Operator A in einem Hilbert-Raum als Integral über sein Spektrum dargestellt werden kann, genauer:
• \(A = \int_{-\infty}^{\infty} t \, dP_{t}\)

• Hierbei ist P_{t} eine Spektralprojektion.

• Sei nun f eine beschränkte messbare Funktion. Die Spektralabbildung f(A) ist definiert durch:
• \(f(A) = \int_{\sigma(A)} f(t) \, dP_{t}\)

• Zu zeigen ist, dass f(A) auch wieder ein beschränkter Operator ist. Dazu nutzen wir einige Eigenschaften der Spektralprojektionen und der beschränkten Funktionen.

• Da P_{t} Projektionen sind, gilt für jede Projektion P_{t}:
• \(P_{t}^{2} = P_{t}\)
• \(P_{t}^* = P_{t}\) (sie sind selbstadjungiert)

• Betrachte nun die Norm des Operators f(A). Da f beschränkt ist, existiert eine Konstante M, so dass:
• \(\|f(t)\| \leq M\) für alle \(t \in \sigma(A)\)

• Die Norm des Operators f(A) kann wie folgt abgeschätzt werden:
• \(\|f(A)\| = \left\| \int_{\sigma(A)} f(t) \, dP_{t} \right\| \leq \int_{\sigma(A)} \|f(t)\| \, d\|P_{t}\| \leq M \int_{\sigma(A)} d\|P_{t}\| \leq M\)

• Da \(\int_{\sigma(A)} d\|P_{t}\| \leq 1\) aufgrund der Eigenschaft der Spektralprojektionen.

• Folglich ist \(\|f(A)\|\) durch M beschränkt.

• Somit ist f(A) ein beschränkter Operator.

Zusammenfassend ist für jede beschränkte messbare Funktion f die Spektralabbildung f(A) = \int_{\sigma(A)} f(t) \, dP_{t} auch wieder ein beschränkter Operator.

Aufgabe 3)

Sei \( X \) ein Banach-Raum und \( (T_n) \) eine Folge linearer Operatoren von \( X \) nach \( X \). Es sei bekannt, dass für alle \( x \in X \) gilt: \( \sup_n \|T_n x\| < \infty \).

a)

Zeige, dass die Folge \( (T_n) \) gleichmäßig beschränkt ist, das heißt, es existiert ein \( M > 0 \), so dass \( \sup_n \|T_n\| \leq M \). Verwende hierfür das Banach-Steinhaus-Theorem.

Lösung:

Um zu zeigen, dass die Folge (T_n) gleichmäßig beschränkt ist, also dass ein M > 0 existiert, sodass \( \sup_n \|T_n\| \leq M \), verwenden wir das Banach-Steinhaus-Theorem (Uniformbeschränktheitssatz).

Das Banach-Steinhaus-Theorem besagt folgendes:

Banach-Steinhaus-Theorem (Uniformbeschränktheitssatz): Sei X ein Banachraum und (T_n) eine Folge stetiger linearer Operatoren von X nach einem normierten Raum Y. Wenn für alle x in X gilt, dass \sup_n \|T_n x\| < \infty , dann ist die Folge (T_n) gleichmäßig beschränkt, d.h. es existiert ein M > 0, so dass \sup_n \|T_n\| \leq M .

Anwendung des Theorems auf die gegebene Folge (T_n):

• Gegeben: X ist ein Banachraum, und für alle x \in X gilt: \sup_n \|T_n x\| < \infty .
• Für jedes feste x \in X ist die Funktion n \mapsto \|T_n x\| beschränkt.

Nach dem Banach-Steinhaus-Theorem folgt daraus direkt, dass die Folge (T_n) gleichmäßig beschränkt ist, d.h. es gibt ein M > 0, so dass:

\[\sup_n \|T_n\| \leq M\]

Damit haben wir gezeigt, dass die Folge (T_n) gleichmäßig beschränkt ist.

b)

Gegeben sei die Funktion \( f: X \to X \) definiert durch \( f(x) = \sup_n \|T_n x\| \). Untersuche, ob diese Funktion linear ist und begründe Deine Antwort.

Lösung:

Um zu untersuchen, ob die Funktion \( f: X \to X \), definiert durch \( f(x) = \sup_n \|T_n x\| \), linear ist, müssen wir überprüfen, ob die Funktion die beiden folgenden Eigenschaften der Linearität erfüllt:

• Additivität: \( f(x_1 + x_2) = f(x_1) + f(x_2) \) für alle \( x_1, x_2 \in X \).
• Homogenität: \( f(\alpha x) = \alpha f(x) \) für alle \( x \in X \) und \( \alpha \in \mathbb{R} \) (bzw. \( \alpha \in \mathbb{C} \), falls X ein komplexer Banach-Raum ist).

Wir überprüfen zunächst die Additivität:

Seien \( x_1 \) und \( x_2 \) zwei beliebige Elemente aus X. Dann gilt:

\[ f(x_1 + x_2) = \sup_n \|T_n (x_1 + x_2)\| \]

Da \( T_n \) linear ist, haben wir:

\[ \|T_n (x_1 + x_2)\| = \|T_n x_1 + T_n x_2\| \]

Wegen der Dreiecksungleichung der Norm gilt:

\[ \|T_n x_1 + T_n x_2\| \leq \|T_n x_1\| + \|T_n x_2\| \]

Daraus folgt:

\[ \sup_n \|T_n (x_1 + x_2)\| \leq \sup_n (\|T_n x_1\| + \|T_n x_2\|) \]

Da der Supremum-Operator für Summen separabel ist, gilt:

\[ \sup_n (\|T_n x_1\| + \|T_n x_2\|) = \sup_n \|T_n x_1\| + \sup_n \|T_n x_2\| \]

Also:

\[ \sup_n \|T_n (x_1 + x_2)\| \leq \sup_n \|T_n x_1\| + \sup_n \|T_n x_2\| \]

Das zeigt, dass \( f(x_1 + x_2) \leq f(x_1) + f(x_2) \), jedoch nicht notwendigerweise, dass \( f(x_1 + x_2) = f(x_1) + f(x_2) \).

Zweitens überprüfen wir die Homogenität:

Sei \( \alpha \in \mathbb{R} \) (bzw. \( \alpha \in \mathbb{C} \)) und \( x \in X \). Dann gilt:

\[ f(\alpha x) = \sup_n \|T_n (\alpha x)\| \]

Da \( T_n \) linear ist, haben wir:

\[ \|T_n (\alpha x)\| = \|\alpha T_n x\| = |\alpha| \cdot \|T_n x\| \]

Daraus folgt:

\[ \sup_n \|T_n (\alpha x)\| = \sup_n (|\alpha| \cdot \|T_n x\|) \]

Da der Supremum-Operator skalar herausziehen kann, gilt:

\[ \sup_n (|\alpha| \cdot \|T_n x\|) = |\alpha| \cdot \sup_n \|T_n x\| \]

Also:

\[ f(\alpha x) = |\alpha| \cdot f(x) \]

Das zeigt, dass die Homogenität nur im Falle, dass \( \alpha \) positiv ist, erfüllt wird; ansonsten fehlt es an der exakten Gleichheit aufgrund des Betrags von \( \alpha \).

Daher ist die Funktion \( f \) weder strikt additiv noch homogen wie erforderlich für die Linearität. Folglich können wir abschließend festhalten, dass \( f \) keine lineare Funktion ist.

c)

Finde ein konkretes Beispiel einer Folge linearer Operatoren \( (T_n) \) auf einem Banach-Raum \( X \), bei der die Voraussetzungen des Banach-Steinhaus-Theorems erfüllt sind, und berechne \( \sup_n \|T_n\| \).

Lösung:

Um ein konkretes Beispiel für eine Folge linearer Operatoren \( (T_n) \) auf einem Banach-Raum \( X \) zu finden, bei dem die Voraussetzungen des Banach-Steinhaus-Theorems erfüllt sind, betrachten wir den klassischen Banach-Raum \( X = \ell^2 \), den Raum der quadratsummierbaren Folgen. Die Norm in \( \ell^2 \) ist definiert als:

\[ \|x\|_{\ell^2} = \left( \sum_{k=1}^{\infty} |x_k|^2 \right)^{1/2} \]

Wir definieren die Folge linearer Operatoren \( T_n \) auf \( X \). Sei:

\[ (T_n x)_k = \begin{cases} x_k & \text{für } k \leq n \ 0 & \text{für } k > n \end{cases} \]

Der Operator \( T_n \) schneidet jedes Element \( x \in \ell^2 \) bis zum \( n \)-ten Eintrag ab und setzt die restlichen Einträge auf 0.

Lass uns überprüfen, ob für alle \( x \in X \) gilt, dass \( \sup_n \|T_n x\|_{\ell^2} < \infty \):

Berechne \( \|T_n x\|_{\ell^2} \):

\[ \|T_n x\|_{\ell^2} = \left( \sum_{k=1}^n |x_k|^2 \right)^{1/2} \]

Da \( x \in \ell^2 \), ist \( \|x\|_{\ell^2} \) endlich, d.h.,

\[ \sum_{k=1}^{\infty} |x_k|^2 < \infty \]

Da die Teilreihe einer konvergenten Reihe ebenfalls konvergiert, folgt, dass:

\[ \|T_n x\|_{\ell^2} \leq \|x\|_{\ell^2} \]

Also ist:

\[ \sup_n \|T_n x\|_{\ell^2} \leq \|x\|_{\ell^2} < \infty \]

Das zeigt, dass \( \sup_n \|T_n x\|_{\ell^2} < \infty \) für alle \( x \in \ell^2 \).

Nun berechnen wir \( \sup_n \|T_n\| \). Für einen linearen Operator \( T_n \) gilt:

\[ \|T_n\| = \sup_{\|x\|_{\ell^2} \leq 1} \|T_n x\|_{\ell^2} \]

Betrachten wir eine Folge \( x \in \ell^2 \) mit \( \|x\|_{\ell^2} \leq 1 \). Dann gilt:

\[ \|T_n x\|_{\ell^2} = \left( \sum_{k=1}^n |x_k|^2 \right)^{1/2} \leq \left( \sum_{k=1}^{\infty} |x_k|^2 \right)^{1/2} = \|x\|_{\ell^2} \leq 1 \]

Also ist:

\[ \sup_{\|x\|_{\ell^2} \leq 1} \|T_n x\|_{\ell^2} \leq 1 \]

Da dies für alle \( n \) gilt, folgt:

\[ \sup_n \|T_n\| \leq 1 \]

Beachten wir, dass für jede Folge \( x \in \ell^2 \) existiert mit \( \|x\|_{\ell^2} = 1 \), die ersten \( n \) Terme in \( x \) dominieren können, daher:

\[ \|T_n x\|_{\ell^2} \approx \|x\|_{\ell^2} \]

Folglich gibt es für jede \( n \) eine Folge in \ell^2, sodass:

\[ \|T_n x\| = \|x\| \]

Deshalb halten wir:

\[ \|T_n\| = 1 \]

Schließlich ergibt sich:

\[ \sup_n \|T_n\| = 1 \]

In diesem Beispiel haben wir eine Folge linearer Operatoren \( (T_n) \) auf dem Banach-Raum \( \ell^2 \) gefunden, welche die Voraussetzungen des Banach-Steinhaus-Theorems erfüllt und für die \( \sup_n \|T_n\| = 1 \) ist.

Aufgabe 4)

Fourier-Transformation und ihre Anwendung in der SignalverarbeitungDie Fourier-Transformation wandelt ein zeitbegrenztes Signal in eine Summe von Sinus- und Kosinusfunktionen unterschiedlicher Frequenzen um. Die kontinuierliche Fourier-Transformation einer Funktion wird durch die Formel

• \(\tilde{X}(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-2\pi i f t} dt\)
• definiert. Die Umkehrung der Fourier-Transformation stellt das ursprüngliche Signal wie folgt wieder her: \( x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} \tilde{X}(f) e^{2\pi i f t} df\)
• Für zeitdiskrete Signale wird die Diskrete Fourier-Transformation (DFT) verwendet, die durch die Formel \( X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-2\pi i n k / N} \)
• gegeben ist. Die Umkehrung der DFT wird durch \( x[n] = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] e^{2\pi i n k / N}\)
• definiert. Zu den Anwendungen in der Signalverarbeitung gehören Filtern, Spektralanalyse, Modulation und Datenkompression.Aufgabe: Du wirst die Fourier-Transformation und ihre Anwendungen in der Signalverarbeitung erforschen und anwenden.

a)

Führe die kontinuierliche Fourier-Transformation des folgenden Signals \( x(t) = e^{-\|t\|}\) durch. Zeige detailliert jeden Schritt des Integrationsprozesses und bestimme das Transformierte Signal \(\tilde{X}(f)\).

Lösung:

• Gegeben: Berechne die kontinuierliche Fourier-Transformation für das Signal \( x(t) = e^{-\|t\|} \).

• Formel für die kontinuierliche Fourier-Transformation: \tilde{X}(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-2\pi i ft} dt
• Einsetzen des gegebenen Signals: \tilde{X}(f) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\|t\|} \, e^{-2\pi i ft} dt

• Schritte zur Durchführung der Integration:
• Schritt 1: Da das Signal \( x(t) = e^{-\|t\|} \) symmetrisch ist, kann das Integral in zwei Bereiche aufgeteilt werden:
• Für \( t \geq 0 \): \tilde{X}(f) = \int_{0}^{\infty} e^{-t} e^{-2\pi i ft} dt
• Für \( t < 0 \): \tilde{X}(f) = \int_{-\infty}^{0} e^{t} e^{-2\pi i ft} dt
• Schritt 2: Integration der beiden Teile:
• Teil 1 (\( t \geq 0 \)): \int_{0}^{\infty} e^{-(1 + 2\pi i f) t} dt Wir setzen: A = 1 + 2\pi i f Also wird das Integral zu: \int_{0}^{\infty} e^{-A t} dt = \left[ \frac{1}{-A}e^{-A t} \right]_{0}^{\infty} = \left. - \frac{1}{A} e^{-A t} \right|_{0}^{\infty} = \frac{1}{A} = \frac{1}{1 + 2\pi i f}
• Teil 2 (\( t < 0 \)): \int_{-\infty}^{0} e^{(1 - 2\pi i f) t} dt Wir setzen: B = 1 - 2\pi i f Also wird das Integral zu: \int_{-\infty}^{0} e^{B t} dt = \left[ \frac{1}{B}e^{B t} \right]_{-\infty}^{0} = \left. \frac{1}{B} e^{B t} \right|_{-\infty}^{0} = \frac{1}{B} = \frac{1}{1 - 2\pi i f}
• Schritt 3: Summation der beiden Ergebnisse:
• \tilde{X}(f) = \frac{1}{1 + 2\pi i f} + \frac{1}{1 - 2\pi i f} = \frac{(1 - 2\pi i f) + (1 + 2\pi i f)}{(1 + 2\pi i f)(1 - 2\pi i f)} = \frac{2}{1 + (2\pi f)^2}

• Endergebnis: Die Fourier-Transformierte des Signals \( x(t) = e^{-\|t\|} \) ist \tilde{X}(f) = \frac{2}{1 + (2\pi f)^2}

b)

Du hast eine zeitdiskrete Signalfolge \( x[n] = \{ 1, 1, 0, 0 \} \). Bestimme die Diskrete Fourier-Transformation (DFT) dieses Signals. Zeige die Schritte der Berechnung ausgehend von der Definition der DFT und beschreibe die Bedeutung der resultierenden Frequenzkomponenten.

Lösung:

• Gegeben: Bestimme die Diskrete Fourier-Transformation (DFT) der zeitdiskreten Signalfolge \( x[n] = \{ 1, 1, 0, 0 \} \).

• Formel für die Diskrete Fourier-Transformation (DFT): \( X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-2\pi i n k / N} \)

• Schritte zur Berechnung der DFT:
• Die Länge des Signals ist \( N = 4 \).
• Wir müssen die DFT für \( k = 0 \) bis \( k = 3 \) berechnen:
• Berechnung für \( k = 0 \):
• \( X[0] = \sum_{n=0}^{3} x[n] e^{-2\pi i n \cdot 0 / 4} = x[0] + x[1] + x[2] + x[3] \)
• \( X[0] = 1 + 1 + 0 + 0 = 2 \)
• Berechnung für \( k = 1 \):
• \( X[1] = \sum_{n=0}^{3} x[n] e^{-2\pi i n \cdot 1 / 4} = x[0] e^{0} + x[1] e^{-2\pi i \cdot 1 / 4} + x[2] e^{-2\pi i \cdot 2 / 4} + x[3] e^{-2\pi i \cdot 3 / 4} \)
• \( X[1] = 1 + 1 \cdot (e^{-2\pi i / 4}) + 0 + 0 \cdot (e^{-2\pi i \cdot 3/ 4}) \)
• Da \( e^{-2\pi i / 4} = \cos(-\pi / 2) + i\sin(-\pi / 2) = -i \):
• \( X[1] = 1 - i \)
• Berechnung für \( k = 2 \):
• \( X[2] = \sum_{n=0}^{3} x[n] e^{-2\pi i n \cdot 2 / 4} = x[0] e^{0} + x[1] e^{-2\pi i \cdot 2 / 4} + x[2] e^{-2\pi i \cdot 4 / 4} + x[3] e^{-2\pi i \cdot 6 / 4} \)
• \( X[2] = 1 + 1 \cdot (e^{-2\pi i / 2}) + 0 + 0 \cdot (e^{-2\pi i \cdot 3/ 2}) \)
• Da \( e^{-2\pi i / 2} = \cos(-\pi) + i\sin(-\pi) = -1 \):
• \( X[2] = 1 - 1 = 0\)
• Berechnung für \( k = 3 \):
• \( X[3] = \sum_{n=0}^{3} x[n] e^{-2\pi i n \cdot 3 / 4} = x[0] e^{0} + x[1] e^{-2\pi i \cdot 3 / 4} + x[2] e^{-2\pi i \cdot 6 / 4} + x[3] e^{-2\pi i \cdot 9 / 4} \)
• \( X[3] = 1 + 1 \cdot (e^{-2\pi i \cdot 3 / 4}) + 0 + 0 \cdot (e^{-2\pi i \cdot 9/ 4}) \)
• Da \( e^{-2\pi i \cdot 3 / 4} = \cos(-3\pi / 2) + i\sin(-3\pi / 2) = i \):
• \( X[3] = 1 + i\)
• Zusammenfassung:Die DFT der Signalfolge \( x[n] = \{ 1, 1, 0, 0 \} \) ergibt die Frequenzkomponenten:
• \( X[0] = 2 \)
• \( X[1] = 1 - i \)
• \( X[2] = 0 \)
• \( X[3] = 1 + i \)
• Bedeutung der Frequenzkomponenten:
• \( X[0] = 2 \) stellt die Gleichstromkomponente oder den Mittelwert der Sequenz dar.
• \( X[1] = 1 - i \) und \( X[3] = 1 + i \) repräsentieren die positiven und negativen Frequenzkomponenten, die eine symmetrische Eigenschaft haben.
• \( X[2] = 0 \) bedeutet, dass bei dieser Frequenzkomponente keine Schwingung vorhanden ist.