Geometric Modeling - Cheatsheet

Mathematische Grundlagen der Geometrie

Definition:

Mathematische Konzepte und Theorien, die die Grundlagen der Geometrie bilden.

Details:

• Vektoren: Darstellung, Berechnung von Länge und Operationen (\textbf{Addition}, \textbf{Skalarprodukt}, \textbf{Kreuzprodukt})
• Matrizen: \textbf{Matrizenmultiplikation}, \textbf{Determinanten}, \textbf{Inverse Matrizen}
• Lineare Transformationen: \textbf{Translation}, \textbf{Rotation}, \textbf{Skalierung}; Transformationsmatrizen
• Koordinatensysteme und -transformationen: \textbf{Homogene Koordinaten}, \textbf{Affine und projektive Transformationen}
• Geometrische Primitive: \textbf{Punkte}, \textbf{Geraden}, \textbf{Ebenen}, \textbf{Körper}
• Kurven und Flächen: \textbf{Parameterdarstellungen}, \textbf{Spline- und Bézier-Geometrie}
• Topologische Begriffe: \textbf{Nachbarschaft}, \textbf{Zusammenhang}, \textbf{Orientierung}

De Casteljau Algorithmus

Definition:

Algorithmus zur Berechnung von Bezier-Kurven, rekursives Verfahren, nutzt lineare Interpolation, um Punkte auf der Kurve zu ermitteln

Details:

• Verwendet Kontrollpunkte der Form \((P_0, P_1, ..., P_n)\)
• Interpoliert zwischen Kontrollpunkten mit Parameter \(t\) zwischen 0 und 1
• Rekursive Formel: \[P_i^{(k)}(t) = (1-t) P_i^{(k-1)} + t P_{i+1}^{(k-1)}\]
• Basisfall: \[P_i^{(0)} = P_i\]
• Der Endpunkt der Kurve bei \(t=1\) ist \(P_n\)

NURBS (Nicht-Uniforme-Rationale-B-Splines)

Definition:

NURBS sind mathematische Darstellungen, die es erlauben, Kurven und Flächen genau zu modellieren. Unabhängig von der Form garantieren sie hohe Flexibilität und Genauigkeit.

Details:

• NURBS-Kurven und -Flächen werden durch Kontrollpunkte, Knotenzeilen und Gewichtungen definiert.
• Knotenvektor: \([u_0, u_1, ..., u_m]\)
• NURBS-Kurve (n+1 Kontrollpunkte, Knotenvektor mit m+1 Knoten): \( C(u) = \frac{\sum_{i=0}^{n} N_{i,p}(u) w_i P_i}{\sum_{i=0}^{n} N_{i,p}(u) w_i } \)
• NURBS-Fläche: \( S(u,v) = \frac{\sum_{i=0}^{n} \sum_{j=0}^{m} N_{i,p}(u) N_{j,q}(v) w_{ij} P_{ij}}{\sum_{i=0}^{n} \sum_{j=0}^{m} N_{i,p}(u) N_{j,q}(v) w_{ij}} \)
• NICHT-UNIFORM: Knotenzeile kann unregelmäßige Abstände haben.
• RATIONAL: Verwendung von Gewichtungen ermöglicht Darstellung konischer Schnitte (Kreise, Ellipsen, usw.).
• B-SPLINES: Basis wird durch B-Spline-Funktionen \ (N_{i,p}) \ beschrieben.

Rendering-Techniken

Definition:

Techniken zur Darstellung von 3D-Modellen auf 2D-Bildschirmen.

Details:

• Raytracing: Verfolgt Lichtstrahlen durch die Szene, um realistische Bilder zu erzeugen.
• Rasterization: Wandelt 3D-Modelle in Rasterbilder um, schnell aber weniger realistisch.
• Shading: Berechnung der Oberflächenfarbe unter Berücksichtigung von Lichtquelle, Kamera und Materialeigenschaften.
• Texturierung: Anbringen von Bildern (Texturen) auf 3D-Objekte zur detaillierten Darstellung.
• \textit{Phong Shading}: \textit{Interpolierte Beleuchtung} für glatte Übergänge auf Oberflächen.

Licht- und Schattensimulation

Definition:

Simulieren von Beleuchtung und Schatten zur realistischen Darstellung von 3D-Modellen in der Computergrafik.

Details:

• Ray-Tracing: Verfolgt Lichtstrahlen zur Simulation von Reflexion, Brechung, Schatten.
• Phong-Beleuchtungsmodell:
  • Ambient-Beleuchtung: I_a = k_a \times L_a
  • Diffuse-Beleuchtung: I_d = k_d \times (L_d \times (\textbf{N} \bullet \textbf{L}))
  • Spekulare-Beleuchtung: I_s = k_s \times (L_s \times (\textbf{R} \bullet \textbf{V})^{u})
• Shadows: Berechnung durch Schattenstrahlen oder Shadow Mapping.
• Radiosity: Methode basierend auf Energieverteilung für realistische Innenraumszenen.
• Shading:
  • Flat-Shading: Ein Farbwert pro Polygon.
  • Gouraud-Shading: Interpolation der Farbwerte zwischen Eckpunkten.
  • Phong-Shading: Interpolation der Normalenvektoren für pixelgenaue Beleuchtung.

Kontrollpunkte und Parameter

Definition:

Kontrollpunkte bestimmen die Form einer Kurve oder Fläche im geometrischen Modellierungsprozessen. Parameter definieren die Position auf der Kurve oder Fläche.

Details:

• Kontrollpunkte: definieren Form und Verlauf der Kurve/Fläche
• Parameter: bestimmen Position mit Parametern wie t bei Kurven und (u,v) bei Flächen
• Linearkombinationen der Kontrollpunkte bestimmen Kurvensegmente
• Parametrisierung: \[P(t) = \sum_{i=0}^{n} B_i(t) P_i\] für Kurven
• Parametrisierung von Flächen: \[S(u,v) = \sum_{i=0}^{n} \sum_{j=0}^{m} B_i(u) B_j(v) P_{ij}\]

Interaktive Anpassung und Optimierung

Definition:

Methode zur iterativen Verbesserung von geometrischen Modellen durch Benutzerinteraktion und Algorithmusanpassungen.

Details:

• Verwendung von Echtzeitfeedback
• Anpassung von Parametern, z.B. Kontrollpunkte, Tangenten
• Optimierungsalgorithmen: Gradient Descent, Newton-Verfahren
• Ziel: Minimierung von Fehlern oder Maximierung der Effizienz
• Beispiel: Formanpassung von Bezier-Kurven durch Verschieben von Kontrollpunkten
• Mathematische Formulierung: \[ \text{Minimiere } f(x) \text{ wobei } x \text{ Parameter sind} \]

Vergleich von Modellierungstechniken

Definition:

Vergleich von Modellierungstechniken in der Vorlesung Geometric Modeling: Bewertung unterschiedlicher Ansätze zur 3D-Darstellung und -Manipulation.

Details:

• Polygonale Modellierung: Häufige Methode, gut für interaktive Anwendungen wie Spiele, oft ineffizient für sehr komplexe Modelle.
• NURBS: Flexible und präzise, gut für industrielles Design und CAD, Rechenaufwand bei komplexen Geometrien höher.
• Subdivision Surfaces: Kombiniert Vorteile von Polygonen und NURBS, glatt und detailliert, schwer zu kontrollieren bei extremen Detailgrad.
• Voxel-basierte Modellierung: Volumetrische Darstellung, gut für medizinische Bildgebung und Simulationen, hoher Speicherverbrauch.
• Prozedurale Modellierung: Erzeugung von Geometrien durch Algorithmen, ideal für natürliche Umgebungen und große Szenen, weniger Kontrolle über spezifische Details.
• Hauptkriterien: Genauigkeit, Flexibilität, Rechenaufwand, Speichernutzung, Eignung für spezifische Anwendungen.