Globale Navigationssatellitensysteme - Exam

Aufgabe 1)

Du bist ein Ingenieur, der daran arbeitet, die Genauigkeit eines neuen GNSS-Empfängers zu verbessern. Um dies zu erreichen, musst Du ein tiefes Verständnis der Prinzipien und Fehlerquellen von GNSS-Systemen haben.

a)

a) Erkläre das Prinzip der Triangulation in GNSS und wie der Empfänger auf der Erde die Position mithilfe der Signallaufzeiten berechnet. Berücksichtige dabei die benötigte Anzahl von Satelliten und Skizziere die mathematischen Grundlagen der Berechnung.

Lösung:

a) Erkläre das Prinzip der Triangulation in GNSS und wie der Empfänger auf der Erde die Position mithilfe der Signallaufzeiten berechnet. Berücksichtige dabei die benötigte Anzahl von Satelliten und skizziere die mathematischen Grundlagen der Berechnung.

Um die Position mithilfe von GNSS (Global Navigation Satellite System) zu bestimmen, nutzen Empfänger das Prinzip der Triangulation. Hier ist eine schrittweise Erklärung des Prozesses:

• Triangulation: Bei der Triangulation wird die Position eines Punktes durch die geometrische Berechnung der Position relativ zu mehreren anderen Punkten (Satelliten) bestimmt. Im Fall von GNSS wird die Position eines Empfängers auf der Erde durch Signale von mindestens vier Satelliten errechnet.
• Signallaufzeiten: Jeder GNSS-Satellit sendet ein kontinuierlich ausgestrahltes Signal aus, das einen Zeitstempel trägt. Der Empfänger misst die Zeit, die vergangen ist, bis das Signal ihn erreicht hat. Diese Zeit wird als Laufzeit bezeichnet.
• Entfernungsmessung: Die Entfernung zu jedem Satelliten (die sogenannte Pseudorange) wird aus der Signallaufzeit und der Lichtgeschwindigkeit (c) berechnet:

\[ d = c \times t \]

• Hierbei ist \( d \) die Entfernung, \( c \) die Lichtgeschwindigkeit (ca. 299.792 km/s) und \( t \) die gemessene Signallaufzeit.
• Position auf der Erde berechnen: Der GNSS-Empfänger kennt die genauen Positionen der Satelliten im Raum, da diese in den Signaldaten enthalten sind. Mit diesen Informationen und den berechneten Entfernungen zu diesen Satelliten kann der Empfänger seine eigene Position berechnen, indem er die Schnittpunkte der Kugeln (Sphären) berechnet, die um jeden Satelliten mit einem Radius der berechneten Entfernung gezeichnet sind:

\[ (x - x_i)^2 + (y - y_i)^2 + (z - z_i)^2 = d_i^2 \]

• Hierbei sind \( (x_i, y_i, z_i) \) die Koordinaten des i-ten Satelliten und \( d_i \) die berechnete Entfernung zum i-ten Satelliten. Diese Gleichungen müssen für mindestens vier verschiedene Satelliten gelöst werden, um die drei unbekannten Koordinaten \( (x, y, z) \) des Empfängers sowie eine Zeitkorrektur für die Empfängeruhr zu bestimmen.
• Benötigte Anzahl von Satelliten: Mindestens vier Satelliten sind erforderlich, um die drei räumlichen Koordinaten (\( x, y, z \)) und die Zeitkorrektur zu bestimmen. Wenn nur drei Satelliten verfügbar sind, gibt es in der Regel zwei mögliche Positionen, und die richtige Position muss durch zusätzliche Informationen oder Annahmen ermittelt werden.

Zusammenfassend ermöglicht die Triangulation mithilfe von Satellitensignalen eine präzise Bestimmung der Position eines GNSS-Empfängers auf der Erde, indem die Laufzeiten der Signale und die Positionen der Satelliten verwendet werden, um die Position durch geometrische Berechnungen zu bestimmen.

b)

b) Berechne die Position eines GNSS-Empfängers, wenn die folgenden Signallaufzeiten von vier verschiedenen Satelliten gegeben sind:

• Satellit A: 75.01 ms
• Satellit B: 90.56 ms
• Satellit C: 73.77 ms
• Satellit D: 86.34 ms

Lösung:

b) Berechne die Position eines GNSS-Empfängers, wenn die folgenden Signallaufzeiten von vier verschiedenen Satelliten gegeben sind:

• Satellit A: 75.01 ms
• Satellit B: 90.56 ms
• Satellit C: 73.77 ms
• Satellit D: 86.34 ms

Gehe davon aus, dass die Satelliten auf identischen Höhen in 20.200 km über der Erdoberfläche kreisen und folge der Regel, dass die Lichtgeschwindigkeit 300.000 km/s beträgt.

Um die Position des GNSS-Empfängers zu berechnen, müssen wir zunächst die Entfernungen (Pseudorange) zwischen dem Empfänger und jedem Satelliten berechnen. Dazu nutzen wir die gegebene Lichtgeschwindigkeit und die Signallaufzeiten.

• Entfernungen berechnen:

Die Pseudorange kann mit der Formel \( d = c \times t \) berechnet werden, wobei \( d \) die Entfernung, \( c \) die Lichtgeschwindigkeit (300.000 km/s) und \( t \) die Signallaufzeit ist:

• Satellit A: \( d_A = 300.000 \times 75.01 \times 10^{-3} = 22.503 \, km \)
• Satellit B: \( d_B = 300.000 \times 90.56 \times 10^{-3} = 27.168 \, km \)
• Satellit C: \( d_C = 300.000 \times 73.77 \times 10^{-3} = 22.131 \, km \)
• Satellit D: \( d_D = 300.000 \times 86.34 \times 10^{-3} = 25.902 \, km \)

Die Entfernungen der Satelliten zum Empfänger sind nun bekannt: \( d_A = 22.503 km \), \( d_B = 27.168 km \), \( d_C = 22.131 km \), \( d_D = 25.902 km \).

Koordinaten der Satelliten:

• Angenommen, die Satelliten befinden sich auf identischen Höhen von 20.200 km über der Erdoberfläche und wir wählen ein kartesisches Koordinatensystem zufällig (massstabgetreu):
• Satellit A: \( (x_A, y_A, z_A) = (0, 0, 20.200) km \)
• Satellit B: \( (x_B, y_B, z_B) = (20.200, 0, 0) km \)
• Satellit C: \( (x_C, y_C, z_C) = (0, 20.200, 0) km \)
• Satellit D: \( (x_D, y_D, z_D) = (0, 0, -20.200) km \)

Gleichungssystem:

Wir nutzen das folgende Gleichungssystem basierend auf den Entfernungen (d) und den Koordinaten der Satelliten:

• \( (x - x_A)^2 + (y - y_A)^2 + (z - z_A)^2 = d_A^2 \)
• \( (x - x_B)^2 + (y - y_B)^2 + (z - z_B)^2 = d_B^2 \)
• \( (x - x_C)^2 + (y - y_C)^2 + (z - z_C)^2 = d_C^2 \)
• \( (x - x_D)^2 + (y - y_D)^2 + (z - z_D)^2 = d_D^2 \)

• \( (x - 0)^2 + (y - 0)^2 + (z - 20200)^2 = 22503^2 \)
• \( (x - 20200)^2 + (y - 0)^2 + (z - 0)^2 = 27168^2 \)
• \( (x - 0)^2 + (y - 20200)^2 + (z - 0)^2 = 22131^2 \)
• \( (x - 0)^2 + (y - 0)^2 + (z + 20200)^2 = 25902^2 \)

Diese Gleichungen sind nicht linear und können am einfachsten mit numerischen Verfahren gelöst werden. Eine analytische Lösung ist komplex und nicht praktikabel, daher würden Ingenieure Software verwenden, um diese Gleichungen zu lösen. Der Empfänger nutzt interne Algorithmen, um diese Koordinaten präzise zu bestimmen.

Dies ist eine skizzierte Darstellung und zeigt die grundlegende Methode zur Positionsermittlung eines GNSS-Empfängers.

c)

c) Diskutiere die möglichen Fehlerquellen in GNSS-Systemen, wie sie die Positionsbestimmung beeinflussen können und welche Korrekturalgorithmen eingesetzt werden, um die Genauigkeit zu verbessern.

Lösung:

c) Diskutiere die möglichen Fehlerquellen in GNSS-Systemen, wie sie die Positionsbestimmung beeinflussen können und welche Korrekturalgorithmen eingesetzt werden, um die Genauigkeit zu verbessern.

GNSS-Systeme können von verschiedenen Fehlerquellen beeinflusst werden, die die Genauigkeit der Positionsbestimmung beeinträchtigen können. Diese Fehlerquellen lassen sich in mehrere Kategorien unterteilen:

• Satellitenuhrfehler: Die Atomuhren an Bord der Satelliten können eine geringe zeitliche Drift aufweisen. Ein falsch eingesetzter Zeitstempel führt zu fehlerhaften Entfernungsberechnungen.
• Orbitalfehler: Die tatsächliche Position eines Satelliten könnte leicht von der berechneten Position abweichen, was als Bahnbestimmungsfehler bekannt ist.
• Atmosphärische Effekte: Signale durchlaufen die Ionosphäre und die Troposphäre, wo sie durch Elektronen und Wasserdampf abgelenkt und verzögert werden. Diese Verzögerungen variieren und können zu Ungenauigkeiten führen.
• Mehrwegeffekte (Multipath-Effekte): GNSS-Signale werden von großen Objekten wie Gebäuden und Bergen reflektiert und können daher auf mehreren Wegen den Empfänger erreichen, was zu falschen Laufzeitmessungen führt.
• Empfängerrauschen: Rauschen im GNSS-Empfänger selbst kann die Qualität der Signalverarbeitung beeinträchtigen.
• Geometrie der Satellitenanordnung: Die Verteilung der sichtbaren Satelliten (Geometric Dilution of Precision, GDOP) beeinflusst die Genauigkeit der Positionsbestimmung. Eine schlechte Satellitengeometrie führt zu hohen Fehlern.

Korrekturalgorithmen zur Verbesserung der Genauigkeit:

• Differential GPS (DGPS): Durch die Nutzung von Referenzstationen, deren Position genau bekannt ist, können die Echtzeitkorrekturen an mobile GNSS-Empfänger gesendet werden, um Fehler auszugleichen.
• Satellite-Based Augmentation Systems (SBAS): Systeme wie WAAS (USA), EGNOS (Europa) und MSAS (Japan) verwenden zusätzliche Satelliten, um Korrekturdaten zu liefern, die die Genauigkeit und Integrität der GNSS-Daten verbessern.
• Kalman-Filter: Dieser Algorithmus wird eingesetzt, um die optimale Schätzung der Positionen und Geschwindigkeiten zu berechnen, indem verschiedene Messungen und Modellvorhersagen kombiniert werden.
• Korrektur der Mehrwegeffekte: Fortschrittliche Signalverarbeitungsmethoden und Antennendesigns können verwendet werden, um reflektierte Signale zu identifizieren und zu eliminieren.
• Atmosphärenmodelle: Modelle der Ionosphäre und Troposphäre können verwendet werden, um die Verzögerungen abzuschätzen und Korrekturen auf die Signale anzuwenden.
• Präzise Orbit- und Uhrkorrekturen: Echtzeit- oder Vorhersagedaten über die Positionen und Uhrfehler der Satelliten werden verwendet, um die Genauigkeit zu verbessern. Diese Daten werden entweder durch GNSS-Datendienste oder durch satellitengestützte Systeme bereitgestellt.
• Empfängerunabhängige Uhrenkorrekturen: Regelmäßige Synchronisation der Empfängeruhr mithilfe der GNSS-Signale und zusätzlicher Zeitstandards verbessert die internen Zeitmessungen gegenüber den Satelliten-Uhren.

Durch den Einsatz dieser Korrekturalgorithmen können Ingenieure die Genauigkeit der GNSS-Positionierung erheblich verbessern und die Auswirkungen der beschriebenen Fehlerquellen minimieren. Diese fortschrittlichen Verfahren sind entscheidend für Anwendungen, die eine hohe Genauigkeit erfordern, wie etwa in der Vermessung, Luftfahrt und autonomen Navigation.

d)

d) Entwickle einen Algorithmus in Python, der die Position eines GNSS-Empfängers unter Berücksichtigung der gegebenen Signallaufzeiten und möglichen Fehlerquellen berechnet und die Korrekturen für bessere Genauigkeit einbezieht. Zeige den Code und erkläre jede Zeile.

Lösung:

d) Entwickle einen Algorithmus in Python, der die Position eines GNSS-Empfängers unter Berücksichtigung der gegebenen Signallaufzeiten und möglichen Fehlerquellen berechnet und die Korrekturen für bessere Genauigkeit einbezieht. Zeige den Code und erkläre jede Zeile.

Im Folgenden findest Du einen Python-Algorithmus, der die Position eines GNSS-Empfängers berechnet und einige grundlegende Korrekturen einbezieht. Der Algorithmus wird basierend auf der vorherigen Aufgabenstellung (Signallaufzeiten von vier Satelliten) implementiert. Wir nehmen idealisierte Annahmen und vereinfachte Korrekturen vor.

import numpy as np  from scipy.optimize import minimize  # Gegebene Parameter  c = 300000  # Lichtgeschwindigkeit km/s  heights = 20200  # Höhe der Satelliten in km  # Gegebene Signallaufzeiten in ms  signal_times = {'A': 75.01,                 'B': 90.56,                 'C': 73.77,                 'D': 86.34}  # Berechne Entfernungen  distances = {key: c * time * 1e-3 for key, time in signal_times.items()}  # Koordinaten der Satelliten (idealisierte Annahmen)  satellites = {'A': np.array([0, 0, heights]),                'B': np.array([heights, 0, 0]),                'C': np.array([0, heights, 0]),                'D': np.array([0, 0, -heights])}  # Fehlerkorrekturen (vereinfachte Annahmen)  def correct_distance(dist):     iono_delay = 0.1  # Ionosphärische Verzögerung in km     tropo_delay = 0.01  # Troposphärische Verzögerung in km  return dist - iono_delay - tropo_delay  distances = {key: correct_distance(dist) for key, dist in distances.items()}  # Fehlerfunktion (um die Residuen zu minimieren)  def error_function(receiver_pos):     total_error = 0     for key in satellites:         sat_pos = satellites[key]         dist_measured = distances[key]         dist_computed = np.linalg.norm(receiver_pos - sat_pos)         total_error += (dist_measured - dist_computed) ** 2  return total_error  # Startwert der Empfängerposition (Schätzung)  initial_guess = np.array([0, 0, 0])  # Minimierung der Fehlerfunktion um die beste Empfängerposition zu finden  result = minimize(error_function, initial_guess)  # Ergebnis anzeigen  receiver_position = result.x  print('Geschätzte Empfängerposition:', receiver_position) 

Erklärung des Codes:

• import numpy as np und from scipy.optimize import minimize: Diese Bibliotheken werden für numerische Berechnungen und die Optimierung der Fehlerfunktion verwendet.
• Konstanten und Parameter:
• c = 300000: Lichtgeschwindigkeit in km/s.
• heights = 20200: Höhe der Satelliten in km.
• signal_times: Gegebene Signallaufzeiten der Satelliten in Millisekunden.
• Entfernungen berechnen:
• distances: Berechnete Entfernungen zwischen Empfänger und Satelliten unter Berücksichtigung der Signallaufzeiten (in Kilometern).
• Koordinaten der Satelliten:
• satellites: Angenommene Positionen der Satelliten im Raum (in einem kartesischen Koordinatensystem).
• Fehlerkorrekturen:
• correct_distance: Funktion zur Korrektur der Entfernungen unter Berücksichtigung von ionosphärischen und troposphärischen Verzögerungen.
• Fehlerfunktion:
• error_function: Funktion, die die Summe der quadratischen Fehler zwischen gemessenen und berechneten Entfernungen für alle Satelliten berechnet.
• Startwert und Optimierung:
• initial_guess: Anfangsschätzung der Empfängerposition.
• result = minimize(error_function, initial_guess): Nutzung des minimize-Algorithmus zur Reduzierung der Fehlerfunktion und zur Bestimmung der besten Empfängerposition.
• Ergebnis anzeigen:
• receiver_position: Die berechnete Position des GNSS-Empfängers wird angezeigt.

Dieser Algorithmus stellt eine einfache Methode zur Berechnung der Empfängerposition dar, indem Signallaufzeiten und grundlegende Korrekturen berücksichtigt werden. In der Praxis würden zusätzliche und präzisere Korrekturmodelle angewendet werden, um die Genauigkeit weiter zu verbessern.

Aufgabe 2)

Signalstruktur und -modulationDie Signalstruktur und -modulation von GNSS-Signalen beinhaltet einen komplexen Aufbau und unterschiedliche Modulationstechniken. GNSS-Signale beinhalten typischerweise einen Code (wie z.B. den C_A-Code oder P-Code), ein Trägersignal und eine Navigationsnachricht. Die häufig verwendeten Modulationstechniken sind insbesondere Binary Phase Shift Keying (BPSK) und Quadrature Phase Shift Keying (QPSK). Während BPSK oft zur Modulation der C_A-Codes genutzt wird, wird QPSK für komplexere Signalstrukturen eingesetzt. Wichtige Frequenzen sind L1 bei 1575.42 MHz und L2 bei 1227.60 MHz. Die zusammengesetzten Signalkomponenten umfassen das Trägersignal, Kodierung wie PRN-Codes und Navigationsnachrichtsblöcke, die Almanach, Ephemeriden und Zeitkorrekturen beinhalten.

a)

• a) Erkläre, wie Binary Phase Shift Keying (BPSK) funktioniert und wie es zur Modulation der C_A-Codes in GNSS-Systemen verwendet wird. Veranschauliche Deine Erklärung mit einer Skizze, die das Prinzip von BPSK zeigt.

Lösung:

• a) Binary Phase Shift Keying (BPSK) ist eine Modulationstechnik, bei der die Phase des Trägersignals zwischen zwei Zuständen, 0° und 180°, verschoben wird, um binäre Daten zu übertragen. In einem BPSK-modulierten Signal entspricht ein Bitwert von 0 einer Phasenverschiebung von 0° und ein Bitwert von 1 einer Phasenverschiebung von 180°. Diese Technik verwendet also zwei Phasenzustände, um die binären Zustände zu codieren.Funktionsweise von BPSK:
  • Das zu modulierende binäre Signal wird in eine Folge von Bits (0 und 1) aufgeteilt.
  • Für jeden Bitwert wird die Phase des Trägersignals entsprechend angepasst:
  - Ein Bitwert von 0 moduliert das Trägersignal mit einer Phasenverschiebung von 0°.- Ein Bitwert von 1 moduliert das Trägersignal mit einer Phasenverschiebung von 180°.
  BPSK ist besonders robust gegenüber Rauschen und Signalverzerrungen, wodurch es sich gut für GNSS-Systeme eignet, in denen Zuverlässigkeit entscheidend ist. Hier wird BPSK zur Modulation der C_A-Codes (Coarse/Acquisition Codes) verwendet. Diese C_A-Codes sind Pseudozufallsfolgen (PRN-Codes), die den GNSS-Satelliten eindeutig identifizieren und eine präzise Synchronisation zwischen Satellitensignal und GNSS-Empfänger ermöglichen.Veranschaulichung der BPSK-Modulation:Die folgende Skizze zeigt das Prinzip von BPSK:In dieser Skizze sind die Phasenänderungen des Trägersignals in Abhängigkeit von den zu übertragenden Bits dargestellt. Die obere Kurve zeigt das Trägersignal und die untere Kurve die modulierte Ausgabe.

b)

• b) Berechne die Wellenlänge der Trägersignalfrequenzen L1 (1575.42 MHz) und L2 (1227.60 MHz) in Metern. Verwende dabei die Formel \(\lambda = \frac{c}{f}\) und setze die Lichtgeschwindigkeit c = 3 \( \times 10^8 \) m/s ein.

Lösung:

• b)Um die Wellenlänge der Trägersignalfrequenzen L1 (1575,42 MHz) und L2 (1227,60 MHz) zu berechnen, verwenden wir die Formel: \( \lambda = \frac{c}{f} \) Dabei steht \( \lambda \) für die Wellenlänge, \( c \) für die Lichtgeschwindigkeit (\( 3 \times 10^8 \) m/s) und \( f \) für die Frequenz.Berechnung der Wellenlänge für L1:Die Frequenz von L1 beträgt 1575,42 MHz (das ist \( 1575,42 \times 10^6 \) Hz). \( \lambda_{L1} = \frac{3 \times 10^8 \; \text{m/s}}{1575,42 \times 10^6 \; \text{Hz}} = \frac{3 \times 10^8}{1575,42 \times 10^6} \) \( \lambda_{L1} \approx 0,1903 \; \text{Meter}\) Berechnung der Wellenlänge für L2:Die Frequenz von L2 beträgt 1227,60 MHz (das ist \( 1227,60 \times 10^6 \) Hz). \( \lambda_{L2} = \frac{3 \times 10^8 \; \text{m/s}}{1227,60 \times 10^6 \; \text{Hz}} = \frac{3 \times 10^8}{1227,60 \times 10^6} \) \( \lambda_{L2} \approx 0,2443 \; \text{Meter}\) Ergebnisse:
  • Die Wellenlänge für die Trägersignalfrequenz L1 (1575,42 MHz) beträgt etwa 0,1903 Meter.
  • Die Wellenlänge für die Trägersignalfrequenz L2 (1227,60 MHz) beträgt etwa 0,2443 Meter.

c)

• c) Beschreibe die Hauptkomponenten einer GNSS-Navigationsnachricht und ihre jeweiligen Funktionen, einschließlich Almanach, Ephemeriden und Zeitkorrekturen.

Lösung:

• c)Die GNSS-Navigationsnachricht besteht aus verschiedenen Hauptkomponenten, die wichtige Informationen für die Positionsbestimmung und Navigation liefern. Diese Komponenten sind:1. Almanach:
  • Der Almanach enthält grobe Informationen über die Bahnparameter aller Satelliten in einem GNSS-System. Diese Daten werden regelmäßig aktualisiert und umfassen Informationen wie die Position und Gesundheit der Satelliten sowie grobe Bahndaten.
  • Die Funktion des Almanachs besteht darin, den GNSS-Empfängern eine schnelle Erfassung sämtlicher Satelliten zu ermöglichen. Mit Hilfe dieser Daten kann der Empfänger feststellen, welche Satelliten zu einem bestimmten Zeitpunkt sichtbar sind.
  2. Ephemeriden:
  • Die Ephemeriden liefern sehr präzise Informationen über die Bahnparameter eines einzelnen Satelliten. Diese Daten werden kontinuierlich von den Satelliten übertragen und jede Ephemeris-Nachricht ist für einen bestimmten Zeitraum gültig.
  • Die Hauptfunktion der Ephemeriden besteht darin, die genaue Position des jeweiligen Satelliten zu einem bestimmten Zeitpunkt bereitzustellen. Diese präzisen Positionsdaten sind entscheidend für die genaue Berechnung der eigenen Position des GNSS-Empfängers.
  3. Zeitkorrekturen:
  • Die Zeitkorrekturen kompensieren die Abweichungen der Satellitenuhren von der GNSS-Systemzeit (z.B. GPS-Zeit). Diese Korrekturen beinhalten Informationen über die Uhrfehler jedes Satelliten sowie Drift und andere Fehlerquellen.
  • Die Hauptfunktion der Zeitkorrekturen besteht darin, die durch die Abweichungen und Ungenauigkeiten in den Satellitenuhren verursachten Fehler zu minimieren. Dies ist besonders wichtig, da sehr präzise Zeitmessungen erforderlich sind, um genaue Positionsbestimmungen durchzuführen.
  Zusammengefasst bestehen die Hauptkomponenten einer GNSS-Navigationsnachricht aus dem Almanach zur Unterstützung der schnellen Satellitenerfassung, den Ephemeriden zur Bereitstellung präziser Satellitenpositionen und den Zeitkorrekturen zur Verbesserung der Zeitgenauigkeit der Naviationssignale.

d)

• d) Diskutiere die Vor- und Nachteile von QPSK im Vergleich zu BPSK in Bezug auf die Komplexität der Signalstruktur und die Effizienz der Datenausnutzung. Gib an, warum QPSK manchmal bevorzugt wird, obwohl es komplizierter ist als BPSK.

Lösung:

• d)Vor- und Nachteile von QPSK im Vergleich zu BPSK:Quadrature Phase Shift Keying (QPSK):
  • Vorteile:
  • Höhere Bitrate: QPSK kann zwei Bits pro Symbol übertragen, was die Datenrate verdoppelt im Vergleich zu BPSK, das nur ein Bit pro Symbol überträgt.
  • Bessere Spektraleffizienz: Durch die Verdopplung der Bitrate bei gleicher Bandbreite ist QPSK effizienter in der Nutzung des verfügbaren Spektrums.
  • Nachteile:
  • Komplexität: Die Implementierung von QPSK ist komplexer als die von BPSK, da sie eine genauere Synchronisation der Phasenlage erfordert.
  • Empfindlichkeit gegenüber Rauschen: Aufgrund der geringeren Verschiebung zwischen den Symbolen ist QPSK anfälliger für Rauschen und Interferenzen, was die Signalqualität beeinträchtigen kann.
  • Anwendungen:
  • QPSK wird oft für komplexere Signalstrukturen verwendet, bei denen hohe Datenraten erforderlich sind, z.B. in modernen Kommunikationssystemen und fortschrittlichen GNSS-Signalformaten.
  Binary Phase Shift Keying (BPSK):
  • Vorteile:
  • Einfache Implementierung: BPSK ist simpler zu realisieren, da es nur zwei Phasenzustände (0° und 180°) umfasst.
  • Robustheit: BPSK ist aufgrund der größeren Verschiebung zwischen den Symbolen weniger anfällig für Rauschen und Interferenzen, was zu einer besseren Signalqualität führt.
  • Nachteile:
  • Niedrigere Bitrate: BPSK überträgt nur ein Bit pro Symbol, was zu einer geringeren Datenrate führt im Vergleich zu QPSK.
  • Anwendungen:
  • BPSK wird häufig für die Modulation der C_A-Codes in GNSS-Systemen verwendet, wo Zuverlässigkeit und Einfachheit entscheidend sind.
  Warum QPSK manchmal bevorzugt wird:Obwohl QPSK komplizierter zu implementieren ist als BPSK, wird es in einigen Anwendungen bevorzugt aufgrund seiner höheren Effizienz bei der Nutzung des verfügbaren Spektrums. Insbesondere bei Anwendungen, die eine höhere Datendurchsatzrate erfordern, wie in fortschrittlichen GNSS-Signalstrukturen, bietet QPSK deutliche Vorteile. Die Fähigkeit von QPSK, zwei Bits pro Symbol zu übertragen, ermöglicht schnellere Datenübertragungen und eine effizientere Nutzung der Bandbreite. Daher ist es bei Situationen, in denen hohe Datenraten und spektrale Effizienz erforderlich sind, eine vorteilhafte Wahl, trotz der höheren Komplexität.

Aufgabe 3)

Galileo ist das europäische Satellitennavigationssystem, das eine höhere Präzision und eine Reihe von einzigartigen Funktionen bietet. Es nutzt eine Dualfrequenzbetrieb und ist interoperabel mit anderen GNSS-Systemen wie GPS und GLONASS. Die Signalstruktur basiert auf Code Division Multiple Access (CDMA), und die Satelliten sind mit Atomuhren ausgestattet, darunter Rubidium- und Wasserstoff-Maseruhren. Galileo bietet verschiedene Dienste wie Open Service (OS), Commercial Service (CS), Safety of Life Service (SoL) und Public Regulated Service (PRS). Außerdem verfügt es über eine Such- und Rettungsfunktion durch das globale COSPAS-SARSAT-Rettungsdienstsignal und ist als erstes ziviles GNSS unabhängig von militärischer Kontrolle.

a)

Beschreibe detailliert den Dualfrequenzbetrieb von Galileo und diskutiere seine Vorteile im Vergleich zu Einfrequenzbetrieben. Wie trägt der Dualfrequenzbetrieb zur Erhöhung der Genauigkeit und Zuverlässigkeit des Systems bei? Verwende mathematische Formeln, um die Signalverzögerung aufgrund der Ionosphäre zu erklären.

Lösung:

Dualfrequenzbetrieb von Galileo:

Der Dualfrequenzbetrieb von Galileo bezieht sich auf die Verwendung von zwei unterschiedlichen Frequenzen zur Übertragung der Navigationssignale. Galileo nutzt hauptsächlich die Frequenzen E1 und E5a/E5b zur Signalübertragung. Dieser Betrieb ermöglicht eine präzisere Messung der Position, da Signale auf zwei unterschiedlichen Frequenzen gesendet und empfangen werden.

• Frequenzen: Als Beispiel der Dualfrequenzbetrieb beinhaltet E1 mit 1575.42 MHz und E5a mit 1176.45 MHz.

Vorteile im Vergleich zu Einfrequenzbetrieben:

• Minderung der Ionosphärenverzögerung: Ein Hauptvorteil des Dualfrequenzbetriebs ist die Fähigkeit, die Signalverzögerung, die durch die Ionosphäre verursacht wird, zu kompensieren. Die Ionosphäre bewirkt eine Frequenzabhängige Verzögerung von GNSS-Signalen, und durch die Verwendung von zwei Frequenzen kann diese Verzögerung nahezu vollständig herausgerechnet werden.
• Reduzierung von Mehrwege- und atmosphärischen Effekten: Dualfrequenzbetrieb hilft auch bei der Reduzierung von Mehrwege-Effekten (Multipath-Effekten) und anderen atmosphärischen Störungen, die die Signalqualität und somit die Positionsbestimmung beeinträchtigen können.
• Erhöhte Genauigkeit: Durch die Kombination von Signalen auf zwei verschiedenen Frequenzen kann die Position genauer bestimmt werden als bei Verwendung einer einzigen Frequenz. Dies führt zu besseren Navigationsdiensten für Benutzer.

Mathematische Erklärung der Signalverzögerung aufgrund der Ionosphäre:

Die Ionosphäre verursacht eine frequenzabhängige Verzögerung von GNSS-Signalen. Diese Verzögerung kann durch die Dispersionsgleichung beschrieben werden:

 \( \tau = \frac{k}{f^2} \) 

Dabei ist:

• \( \tau \) die Signalverzögerung
• \( k \) eine Konstante, die von der Elektronendichte in der Ionosphäre abhängt
• \( f \) die Frequenz des Signals

Beim Dualfrequenzbetrieb verwendet man zwei unterschiedliche Frequenzen \( f_1 \) und \( f_2 \). Die Verzögerungen bei diesen Frequenzen sind \( \tau_1 \) und \( \tau_2 \):

 \( \tau_1 = \frac{k}{f_1^2} \)  \( \tau_2 = \frac{k}{f_2^2} \) 

Die Gesamtverzögerung kann aus diesen beiden Verzögerungen ermittelt und dann kompensiert werden, um eine präzisere Positionsbestimmung zu ermöglichen.

Insgesamt trägt der Dualfrequenzbetrieb von Galileo zu einer erheblichen Erhöhung der Genauigkeit und Zuverlässigkeit des Systems bei, indem er die negativen Auswirkungen der Ionosphäre sowie anderer atmosphärischer Phänomene reduziert.

b)

Analysiere die Vorteile der Interoperabilität von Galileo mit GPS und GLONASS. Welche technischen Herausforderungen müssen überwunden werden, um eine nahtlose Interoperabilität sicherzustellen? Diskutiere die Rolle von CDMA bei dieser Interoperabilität und beschreibe mathematisch, wie CDMA eine Signaltrennung ermöglicht.

Lösung:

Vorteile der Interoperabilität von Galileo mit GPS und GLONASS:

• Erhöhte Genauigkeit: Die Kombination von Satellitensignalen aus verschiedenen GNSS-Systemen wie Galileo, GPS und GLONASS kann die Positionsgenauigkeit signifikant verbessern. Diese Systeme können miteinander arbeiten, um einen größeren Satz von Satellitensignalen zur Verfügung zu stellen, was die Standortbestimmung präziser macht.
• Verbesserte Verfügbarkeit: Durch die Nutzung von Satellitensignalen aus mehreren GNSS-Systemen wird die Verfügbarkeit der Positionsdaten erhöht. Dies ist besonders vorteilhaft in städtischen Gebieten oder Regionen mit einer eingeschränkten Sichtlinie zu den Satelliten.
• Bessere Zuverlässigkeit: Die Interoperabilität sorgt für eine höhere Fehlertoleranz und Redundanz. Falls ein System ausfällt oder abschaltet, können andere Systeme immer noch genutzt werden, um konsistente Navigationsdienste zu bieten.

Technische Herausforderungen für eine nahtlose Interoperabilität:

• Signal-Kompatibilität: Die GNSS-Systeme verwenden unterschiedliche Frequenzen und Signalstrukturen. Es ist eine Herausforderung sicherzustellen, dass Empfänger diese unterschiedlichen Signale korrekt verarbeiten und miteinander kombinieren können.
• Zeitsynchronisation: Jedes GNSS-System hat seine eigene Zeitskala. Es ist wichtig, die Uhren dieser Systeme zu synchronisieren, um konsistente und präzise Positionsdaten zu gewährleisten.
• Datenformat-Standards: Die verschiedenen Systeme nutzen unterschiedliche Datenformate und Protokolle. Ein standardisierter Ansatz zur Datenschnittstelle und -verarbeitung ist notwendig, um reibungslose Interoperabilität zu ermöglichen.

Rolle von CDMA bei der Interoperabilität:

Code Division Multiple Access (CDMA) ist ein Verfahren, das verwendet wird, um mehrere Signale zu trennen, die über einen einzigen Kommunikationskanal übertragen werden. Es ermöglicht die gleichzeitige Nutzung von Frequenzen durch unterschiedliche Signale, indem jedem Signal ein einzigartiger Code zugewiesen wird.

Mathematisch kann die CDMA-Signaltrennung wie folgt beschrieben werden:

 \( s_i(t) = d_i(t) \cdot c_i(t) \) 

Hierbei ist:

• \( s_i(t) \) das codierte Signal
• \( d_i(t) \) das ursprüngliche Datensignal
• \( c_i(t) \) der einzigartige Code, der dem Signal zugewiesen ist

Wenn die Gesamtsignale übertragen werden, werden alle codierten Signale addiert:

 \( S(t) = \sum_{i=1}^{N} s_i(t) \) 

Bei der Empfangsseite kann jedes Signal durch Korrelation mit dem jeweiligen Code extrahiert werden:

 \( R_i(t) = S(t) \cdot c_i(t) \) 

Nur das Signal, das mit dem korrekten Code codiert wurde, ergibt nach der Korrelation eine hohe Amplitude. Andere Signale, die mit unterschiedlichen Codes codiert wurden, ergeben nach der Korrelation mit einem falschen Code geringe oder null Durchgänge.

Dies zeigt, wie CDMA die Signaltrennung ermöglicht und bei der Interoperabilität verschiedener GNSS-Systeme wie Galileo, GPS und GLONASS eine entscheidende Rolle spielt.

c)

Galileo nutzt Atomuhren (Rubidium und Wasserstoff-Maser). Erläutere die Bedeutung dieser Uhren für die Präzision des Navigationssystems und beschreibe die physikalischen Prinzipien, die hinter diesen Technologien stehen. Führe mathematisch aus, wie die Zeitmessung mit Atomuhren den Positionsbestimmungsfehler beeinflusst.

Lösung:

Bedeutung der Atomuhren für die Präzision des Navigationssystems:

Atomuhren sind für die Präzision von Satellitennavigationssystemen wie Galileo von entscheidender Bedeutung. Die Genauigkeit der Zeitmessung beeinflusst direkt die Genauigkeit der Positionsbestimmung. Da Navigationssignale mit Lichtgeschwindigkeit übertragen werden, führt selbst ein kleiner Fehler in der Zeitmessung zu erheblichen Fehlern in der Positionsbestimmung. Dank Atomuhren kann Galileo sehr präzise Zeitmessungen durchführen, was zu einer hohen Genauigkeit in der Bestimmung der Position führt.

Physikalische Prinzipien hinter Rubidium- und Wasserstoff-Maseruhren:

Atomuhren nutzen die Schwingungen von Elektronen in Atomen, um eine extrem präzise Zeitmessung sicherzustellen.

• Rubidium-Atomuhren: Diese Uhren verwenden den Übergang zwischen zwei Energiezuständen des Rubidium-Atoms. Die Frequenz des Lichtes, das diese Übergänge verursacht, ist extrem stabil und wird als Zeitbasis verwendet. Die Frequenz dieses Übergangs ist etwa 6.834 GHz. Rubidiumuhren sind kleiner und leichter, aber weniger genau als Wasserstoff-Maseruhren.
• Wasserstoff-Maseruhren: Diese Uhren verwenden die Schwingungen von Elektronen in Wasserstoffatomen. Wasserstoff-Maser bieten außerordentlich stabile Frequenzstandards und sind deswegen extrem genau. Ein Wasserstoff-Maser basiert auf der Strahlung, die von Wasserstoffatomen bei der Übergangsfrequenz von etwa 1.420 GHz emittiert wird. Diese Uhren sind größer und schwerer, aber bieten eine höhere Genauigkeit.

Mathematischer Einfluss der Zeitmessung auf den Positionsbestimmungsfehler:

Die Präzision in der Zeitmessung durch Atomuhren kann mathematisch beschrieben werden, um ihre Auswirkung auf die Positionsbestimmung zu verstehen.

Der Positionsfehler \(\triangle x\) aufgrund eines Zeitfehlers \(\triangle t\) kann durch die Beziehung beschrieben werden:

 \( \triangle x = c \triangle t \) 

Hierbei ist:

• \( c \) die Lichtgeschwindigkeit (ungefähr 299.792.458 Meter pro Sekunde)
• \( \triangle t \) der Zeitfehler

Zum Beispiel, ein Zeitfehler von nur einer Nanosekunde (1 ns = 1 x 10^-9 Sekunden) kann zu einem Positionsfehler von etwa 0,299792458 Metern führen:

 \( \triangle x = 299.792.458 \times 1 \times 10^{-9} = 0.299792458 Meter \) 

Daher sind die extrem präzisen Atomuhren (mit Stabilität im Bereich von 10^-12 Sekunden oder besser) wesentlich, um die Positionsfehler auf ein Minimum zu reduzieren und die hohe Präzision des Galileo-Systems zu gewährleisten.

Aufgabe 4)

Angenommen, Du arbeitest an einem Projekt zur Optimierung der GPS-Positionsbestimmung. Dafür ist ein tiefes Verständnis des GPS-Satellitennetzwerks erforderlich. Das GPS-Netzwerk besteht aus insgesamt 31 Satelliten, wobei 24 Satelliten aktiv sind und eine vollständige Abdeckung gewährleisten. Diese Satelliten bewegen sich in 6 Umlaufbahnebenen, und ihre Umlaufzeit beträgt etwa 12 Stunden bei einer Höhe von ca. 20.200 km über der Erdoberfläche. Jeder dieser Satelliten sendet auf mehreren Frequenzen, wie z.B. L1 und L2.

a)

Berechne die Geschwindigkeit eines GPS-Satelliten auf seiner Umlaufbahn. Nutze dafür die gegebenen Informationen: die Höhe des Satelliten beträgt ca. 20.200 km über der Erdoberfläche und die Umlaufzeit beträgt ca. 12 Stunden. Nutze die Gravitationskonstante G = 6.67430 × 10^(-11) m³·kg^(-1)·s^(-2) und die Masse der Erde M = 5.972 × 10^24 kg. Zeige alle Berechnungsschritte.

Lösung:

Berechnung der Geschwindigkeit eines GPS-Satelliten auf seiner Umlaufbahn

Um die Geschwindigkeit eines GPS-Satelliten zu berechnen, verwenden wir die gegebenen Informationen:

• Höhe des Satelliten: ca. 20.200 km über der Erdoberfläche
• Umlaufzeit: ca. 12 Stunden
• Gravitationskonstante (G): 6.67430 × 10^-11 m³·kg^-1·s^-2
• Masse der Erde (M): 5.972 × 10²⁴ kg

Schritt 1: Berechnung des Radius der Umlaufbahn

Der Radius der Umlaufbahn (\(r\)) ist die Summe des Erdradius und der Höhe des Satelliten über der Erdoberfläche. Der Erdradius beträgt etwa 6.371 km.

• Höhe der Satellitenbahn: 20.200 km
• Erdradius: 6.371 km

Der Radius der Umlaufbahn ist daher:

• \(r = 20.200 \text{ km} + 6.371 \text{ km} = 26.571 \text{ km} = 26.571.000 \text{ m}\)

Schritt 2: Prüfung der Gravitationsformel

Ein GPS-Satellit bewegt sich aufgrund der Gravitationskraft im Gleichgewicht. Daher gilt die Formel für die Zentripetalkraft und die Gravitationskraft:

• \(F_g = F_z\)
• \(\frac{{GMm}}{{r^2}} = \frac{{mv^2}}{{r}}\)

Hierbei kürzt sich die Masse des Satelliten (\(m\)) heraus, und wir lösen nach der Geschwindigkeit (\(v\)) auf:

• \(v^2 = \frac{{GM}}{{r}}\)
• \(v = \sqrt{\frac{{GM}}{{r}}}\)
• \(v = \sqrt{\frac{{6.67430 \times 10^{-11} \text{ m}^3\text{kg}^{-1}\text{s}^{-2} \times 5.972 \times 10^{24} \text{kg}}}{{26.571.000 \text{ m}}}}\)

Berechnen wir den Innenwert:

• \(v = \sqrt{\frac{{3.986004418 \times 10^{14} \text{ m}^3/\text{s}^2}}{{26.571.000 \text{ m}}}}\)
• \(v = \sqrt{\approx 1.50049110 \times 10^7 \text{ m}^2/\text{s}^2} = 3.872,58 \text{ m/s}\)

Die Endgeschwindigkeit eines GPS-Satelliten beträgt daher etwa 3.873 m/s.

b)

Erkläre, warum es notwendig ist, dass GPS-Satelliten auf mehreren Frequenzen senden (z.B. L1, L2). Gehe dabei auf die Auswirkung der Ionosphäre und die Verbesserung der Signalgenauigkeit ein.

Lösung:

Erklärung, warum GPS-Satelliten auf mehreren Frequenzen senden (z.B. L1, L2)

GPS-Satelliten senden Signale auf mehreren Frequenzen, insbesondere auf L1 (1575,42 MHz) und L2 (1227,60 MHz). Dies hat mehrere wichtige Gründe, die vor allem mit der Überwindung von Signalstörungen und der Steigerung der Genauigkeit zusammenhängen. Im Folgenden werden die Hauptgründe erläutert:

• Ionosphärische Verzerrungen: Die Ionosphäre, eine Schicht der Erdatmosphäre, die Elektronen und ionisierte Partikel enthält, kann GPS-Signale verzögern und deren Bahn verzerren. Diese Verzögerungen hängen von der Frequenz des Signals ab. Durch den Vergleich der Signallaufzeiten auf verschiedenen Frequenzen (z.B. L1 und L2) kann der Einfluss der Ionosphäre berechnet und kompensiert werden. Dies wird als duale Frequenzmessung bezeichnet.
• Erhöhung der Signalgenauigkeit: Die Verwendung mehrerer Frequenzen ermöglicht es, die Signalgenauigkeit zu verbessern. Doppelfrequenzempfänger können die Differenz zwischen den Ankunftszeiten der L1- und L2-Signale nutzen, um ionosphärische Effekte zu korrigieren und somit präzisere Positionsbestimmungen zu erzielen. Dies ist besonders wichtig für Anwendungen wie Geodäsie, Vermessung und präzises Timing.
• Redundanz und Robustheit: Wenn Signale auf mehreren Frequenzen gesendet werden, kann ein Empfänger mögliche Störungen oder Blockaden bei einer Frequenz durch alternative Frequenzen ausgleichen. Dies erhöht die Zuverlässigkeit und Verfügbarkeit des GPS-Systems, insbesondere in Umgebungen mit hohen Störungs- oder Abschirmungseffekten, wie z.B. in städtischen Gebieten oder dicht bewaldeten Regionen.
• Signalausbreitungsprüfung: Das Senden auf mehreren Frequenzen erlaubt es, verschiedene Ausbreitungsverhalten der Signale zu beobachten und zu analysieren. Diese Informationen sind nützlich, um bessere Modelle für die Korrektur von Signalfehlern zu erstellen und somit die Genauigkeit und Zuverlässigkeit der GPS-Positionsbestimmung weiter zu verbessern.

Zusammengefasst ermöglicht die Verwendung mehrerer Frequenzen durch GPS-Satelliten eine genauere, robustere und zuverlässigere Positionsbestimmung, indem ionosphärische Verzerrungen korrigiert und Redundanz gewährleistet werden. Dies ist entscheidend für Anwendungen, die eine hohe Präzision und Zuverlässigkeit erfordern.