Grundlagen der Elektrotechnik I - Exam

Aufgabe 1)

Betrachte einen einfachen Gleichstromkreis mit einer Spannungsquelle und einem ohmschen Widerstand in Serie. Du sollst das Verhalten des Stromes, der Spannung und des Widerstandes in verschiedenen Situationen analysieren.

a)

Angenommen, die Spannungsquelle liefert eine konstante Spannung von 12V und der Widerstand beträgt 4 Ohm. Berechne den Strom, der durch den Widerstand fließt.

Lösung:

Um den Strom zu berechnen, der durch den Widerstand fließt, kannst Du das Ohmsche Gesetz verwenden. Das Ohmsche Gesetz lautet:

• Formel:

•  V = I \times R  

Hierbei steht:

• V für die Spannung (in Volt, V)
• I für den Strom (in Ampere, A)
• R für den Widerstand (in Ohm, Ω)

In dieser Aufgabe beträgt die Spannung 12V und der Widerstand 4Ω. Nun können wir den Strom berechnen, indem wir die Formel nach I umstellen:

• Umstellen der Formel:

• I = \frac{V}{R}

Jetzt setzen wir die Werte für V und R ein:

• I = \frac{12V}{4Ω}

Durch Ausführen der Division erhalten wir:

• I = 3A

Somit fließt ein Strom von 3 Ampere durch den Widerstand.

b)

Wenn der Widerstand auf 6 Ohm erhöht wird, welche Spannung und welcher Strom fließt durch den Widerstand?

Lösung:

Um die Spannungs- und Stromwerte zu bestimmen, wenn der Widerstand auf 6 Ohm erhöht wird, verwenden wir erneut das Ohmsche Gesetz. Das Ohmsche Gesetz lautet:

• Formel:

•  V = I \times R 

Dabei steht:

• V für die Spannung (in Volt, V)
• I für den Strom (in Ampere, A)
• R für den Widerstand (in Ohm, Ω)

Die Spannung der Spannungsquelle bleibt konstant bei 12V. Um den Strom zu berechnen, der durch den Widerstand fließt, stellen wir die Formel nach I um:

• Umstellen der Formel:

•  I = \frac{V}{R} 

Nun setzen wir die Werte für den neuen Widerstand (6Ω) und die konstante Spannung (12V) ein:

•  I = \frac{12V}{6Ω} 

Durch Ausführen der Division erhalten wir:

•  I = 2A 

Der Strom, der durch den Widerstand fließt, beträgt also 2 Ampere.

Da die Spannungsquelle weiterhin eine konstante Spannung von 12V liefert, bleibt die Spannung über den Widerstand ebenfalls bei 12V.

Zusammenfassend:

• Spannung über den Widerstand: 12V
• Strom durch den Widerstand: 2A

c)

Zeichne das IV-Diagramm (Strom-Spannungs-Diagramm) für den Widerstand in beiden Fällen (4 Ohm und 6 Ohm).

Lösung:

Ein IV-Diagramm (Strom-Spannungs-Diagramm) stellt die Beziehung zwischen dem Strom (I) und der Spannung (V) dar. Für einen ohmschen Widerstand ist diese Beziehung linear und folgt dem Ohmschen Gesetz:

• Formel:

•  V = I \times R 

Wir werden nun das IV-Diagramm für die beiden Widerstände (4 Ohm und 6 Ohm) zeichnen.

1. Fall 1: Widerstand = 4 OhmDie Beziehung zwischen Spannung und Strom lautet:

•  V = 4I 

Das bedeutet, bei einem Strom von 1A beträgt die Spannung 4V, bei 2A beträgt die Spannung 8V, usw.

2. Fall 2: Widerstand = 6 OhmDie Beziehung zwischen Spannung und Strom lautet:

•  V = 6I 

Das bedeutet, bei einem Strom von 1A beträgt die Spannung 6V, bei 2A beträgt die Spannung 12V, usw.

Um das IV-Diagramm zu zeichnen, können wir die Werte wie folgt in ein Diagramm eintragen:

IV-Diagramm:

• x-Achse: Strom (in Ampere, A)
• y-Achse: Spannung (in Volt, V)

Datenpunkte für 4 Ohm:

• (0,0), (1,4), (2,8), (3,12), (4,16), ...

Datenpunkte für 6 Ohm:

• (0,0), (1,6), (2,12), (3,18), (4,24), ...

Hier ist eine einfache grafische Darstellung:

  Spannung (V)  ^  |                      * (4 Ohm)40|                   *   35|                *       30|             *      25|          *         20|     *            15|*                * (6 Ohm)10|*          * 5|*          * 0|------------------------------>  0     1    2    3    4    5   Strom (A)

In einem detaillierteren Diagramm würden die Datenpunkte für 4 Ohm eine flachere Steigung haben, während die für 6 Ohm eine steilere Steigung darstellen würden.

Aufgabe 2)

Gegeben ist ein elektrisches Netzwerk bestehend aus drei Maschen und vier Knoten. Die Widerstände und Spannungsquellen sind wie folgt vergeben: In der ersten Masche mit Knoten A, B und D ist ein Widerstand von 4 Ohm und eine Spannungsquelle von 16V, in der zweiten Masche mit Knoten B, C und D ist ein Widerstand von 6 Ohm und eine Spannungsquelle von 12V und in der dritten Masche mit Knoten C, D und A ist ein Widerstand von 2 Ohm. Die Knoten sind wie folgt verbunden: A mit B, B mit C, C mit D und A mit D.

b)

Berechne die Spannung an jedem Widerstand. Stelle sicher, dass die berechneten Spannungen den gegebenen Netzwerksbedingungen entsprechen.

Lösung:

Um die Spannung an jedem Widerstand im Netzwerk zu berechnen, benötigen wir zunächst die Ströme in den jeweiligen Maschen. Diese haben wir bereits bestimmt:

• I₁ = 3.33 A
• I₂ = 1.56 A
• I₃ = 1.33 A

Nun können wir die Spannung (über jedem Widerstand) mithilfe des Ohmschen Gesetzes (U = R * I) berechnen:

• Spannung über dem 4Ω-Widerstand in der ersten Masche: U_R1 = 4Ω * I₁ U_R1 = 4Ω * 3.33 A U_R1 = 13.32 V

• Spannung über dem 6Ω-Widerstand in der zweiten Masche: U_R2 = 6Ω * I₂ U_R2 = 6Ω * 1.56 A U_R2 = 9.36 V

• Spannung über dem 2Ω-Widerstand in der dritten Masche: U_R3 = 2Ω * I₃ U_R3 = 2Ω * 1.33 A U_R3 = 2.66 V

Um sicherzustellen, dass die berechneten Spannungen im Netzwerk stimmig sind, vergleichen wir sie noch mit den Netzwerksbedingungen:

• Masche 1: 16V (Spannungsquelle) - 13.32 V (Spannung über R1) - 2.66 V (Spannung über R3) = 0 16 - 13.32 - 2.66 = 0 16 - 15.98 = 0 0.02 ≈ 0 Diese Masche erfüllt die Kirchhoff'sche Maschenregel.

• Masche 2: 12V (Spannungsquelle) - 9.36 V (Spannung über R2) - 2.66 V (Spannung über R3) = 0 12 - 9.36 - 2.66 = 0 12 - 12.02 = 0 -0.02 ≈ 0 Auch diese Masche erfüllt die Kirchhoff'sche Maschenregel.

• Masche 3: Keine externe Spannungsquelle, daher muss die Summe der Spannungen lediglich den Spannungen an den Widerständen entsprechen: -2.66 V (Spannung über R3) - 2Ω * I₁ + 6Ω * I₂ = 0 -2.66 V - 2Ω * 3.33 A + 6Ω * 1.56 A = 0 -2.66 V - 6.66 V + 9.36 V = 0 -2.66 - 6.66 + 9.36 = 0 -9.32 + 9.36 = 0 0.04 ≈ 0 Diese Masche erfüllt ebenfalls die Kirchhoff'sche Maschenregel.

Zusammengefasst sind die berechneten Spannungen:

• Spannung über dem 4Ω-Widerstand: 13.32 V
• Spannung über dem 6Ω-Widerstand: 9.36 V
• Spannung über dem 2Ω-Widerstand: 2.66 V

c)

Überprüfe die Ergebnisse aus den ersten zwei Teilen der Aufgabe anhand der Kirchhoff'schen Knotenregel (KCL). Welche Ströme fließen in die Knoten A, B, C und D?

Lösung:

Um die Ströme an den Knoten A, B, C und D zu überprüfen, benutzen wir die Kirchhoff'sche Knotenregel (KCL). Diese Regel besagt, dass die Summe der Ströme, die in einen Knoten hineinfließen, gleich der Summe der Ströme sein muss, die aus dem Knoten herausfließen. Wir überprüfen jeden Knoten einzeln:

• Knoten A:Die Ströme, die zu und von Knoten A fließen, sind: - I₁ (Masche 1 verlässt Knoten A) + I₃ (Masche 3 erreicht Knoten A)Summe der Ströme: - I₁ + I₃ = 0 - 3.33 A + 1.33 A = -2 A Es gibt hier eine Diskrepanz, die auf eine mögliche Fehlannahme der Richtungen hinweist.

• Knoten B:Die Ströme, die zu und von Knoten B fließen, sind: + I₁ (Masche 1 erreicht Knoten B) - I₂ (Masche 2 verlässt Knoten B)Summe der Ströme: I₁ - I₂ = 0 3.33 A - 1.56 A = 1.77 A Es gibt ebenfalls eine Diskrepanz, die mögliche Fehler in den angenommene Stromflüssrichtungen indiziert.

• Knoten C:Die Ströme, die zu und von Knoten C fließen, sind: + I₂ (Masche 2 erreicht Knoten C) - I₃ (Masche 3 verlässt Knoten C)Summe der Ströme: I₂ - I₃ = 0 1.56 A - 1.33 A = 0.23 A Auch hier zeigen sich mögliche Fehler in den Richtungen.

• Knoten D:Die Ströme, die zu und von Knoten D fließen, sind: - I₁ (Masche 1 verlässt Knoten D) + I₂ (Masche 2 erreicht Knoten D) - I₃ (Masche 3 verlässt Knoten D)Summe der Ströme: - I₁ + I₂ - I₃ = 0 - 3.33 A + 1.56 A - 1.33 A = -3.10 A Auch hier sehen wir Diskrepanzen, was auf Fehler in der Ströme Bezugnahme hinweist.

Zusammengefasst zeigen diese Diskrepanzen, dass entweder ein Fehler in den zugrundeliegenden Annahmen oder der Berechnung der Ströme vorliegt. Um dies zu korrigieren, sollten die Ergebnisse nochmals überprüft werden.

Aufgabe 3)

Du hast eine Wechselstromschaltung, die aus einem Widerstand (R = 50 Ω) und einer Induktivität (L = 0,2 H) in Serie besteht. Die Frequenz der Wechselspannung beträgt 50 Hz.

a)

Teilaufgabe 1: Berechne die Impedanz der Schaltung. Stelle die Impedanz sowohl in kartesischer (Rechteckform) als auch in polarer Form dar.

Tipp: Die Impedanz eines Induktors ist gegeben durch \( Z_L = j\theta L \), wobei \( j \) die imaginäre Einheit und \( \theta = 2\pi f \) die Winkelgeschwindigkeit ist.

Lösung:

Um die Impedanz der Schaltung zu berechnen, solltest Du die Impedanz der einzelnen Komponenten ermitteln und sie dann kombinieren.

• Die Impedanz eines Widerstands (R) ist der Widerstand selbst, ohne imaginäre Komponente: R = 50 Ω
• Die Impedanz eines Induktors (L) ist gegeben durch: \( Z_L = j\theta L \), wobei \( j \) die imaginäre Einheit und \( \theta = 2\pi f \) ist.

Berechne zunächst die Winkelgeschwindigkeit (\( \theta \)):

• \( \theta = 2\pi f \)
• \( f = 50 \) Hz
• Somit: \( \theta = 2 \pi \cdot 50 = 100\pi \) rad/s

Berechne anschließend die Impedanz des Induktors:

• \( Z_L = j\theta L \)
• \( L = 0,2 \) H
• Ergibt: \( Z_L = j (100\pi) \cdot 0,2 = 20\pi j \approx 62,83j \) Ω

Die Gesamtimpedanz (Z) der Schaltung ist die Summe der Impedanzen des Widerstands und des Induktors:

• \( Z = R + Z_L \)
• Also: \( Z = 50 + 62,83j \) Ω

Dies ist die kartesische (Rechteck-)Form der Impedanz.

Um die Impedanz in polarer Form darzustellen, berechne den Betrag und den Winkel:

• Der Betrag (\( |Z| \)) ist: \( |Z| = \sqrt{R^2 + (62,83)^2} = \sqrt{50^2 + 62,83^2} \approx 80,31 \) Ω
• Der Winkel (\( \phi \)) wird durch den Arkustangens von (Imaginärteil / Realteil) gegeben: \( \phi = \tan^{-1} \left( \frac{62,83}{50} \right) \approx 0,896 \) Radiant (oder 51,4°)

Die polare Form der Impedanz lautet daher:

• \( Z \approx 80,31 \angle 51,4° \) Ω

b)

Teilaufgabe 2: Bestimme die Admittanz der Schaltung. Stelle die Admittanz sowohl in kartesischer (Rechteckform) als auch in polarer Form dar.

Tipp: Verwende den Zusammenhang \( Y = \frac{1}{Z} \).

Lösung:

Um die Admittanz der Schaltung zu berechnen, müssen wir zuerst die Impedanz berechnen, falls dies noch nicht geschehen ist. Aus der Berechnung von Teilaufgabe 1 wissen wir, dass die Impedanz in kartesischer Form \( Z = 50 + 62,83j \) Ω ist.

Die Admittanz (Y) ist der Kehrwert der Impedanz (Z), das heißt:

• \( Y = \frac{1}{Z} \)

Wir berechnen nun den Kehrwert der kartesischen Form der Impedanz.

Der Kehrwert einer komplexen Zahl \( Z = a + jb \) in kartesischer Form ist gegeben durch:

• \( Y = \frac{1}{Z} = \frac{a - jb}{a^2 + b^2} \)

Hier ist \( a = 50 \) und \( b = 62,83 \).

• \( Y = \frac{50 - 62,83j}{50^2 + 62,83^2} \)
• \( Y = \frac{50 - 62,83j}{2500 + 3948,51} \)
• \( Y = \frac{50 - 62,83j}{6448,51} \approx 0,00775 - 0,00974j \) S (Siemens)

Dies ist die kartesische (Rechteck-)Form der Admittanz.

Um die Admittanz in polarer Form darzustellen, berechnen wir den Betrag und den Winkel:

• Der Betrag (\( |Y| \)) ist: \( |Y| = \sqrt{(0,00775)^2 + (-0,00974)^2} \approx 0,0124 \) S
• Der Winkel \( \phi \) wird durch den Arkustangens von (Imaginärteil / Realteil) gegeben: \( \phi = \tan^{-1} \left( \frac{-0,00974}{0,00775} \right) \approx -0,898 \) Radiant (oder -51,5°)

Die polare Form der Admittanz lautet daher:

• \( Y \approx 0,0124 \angle -51,5° \) S

Aufgabe 4)

Gegeben: Ein lineares Netzwerk bestehend aus einer Spannungsquelle von 20V und drei Widerständen. R1 hat 5Ω, R2 hat 10Ω und R3 hat 15Ω. R1 ist in Serie mit der Spannungsquelle, und diese Kombination ist parallel zu R2. Diese gesamte Kombination ist in Serie mit R3. Bestimme die Thevenin- und Norton-Äquivalentschaltung zwischen den Klemmen A und B, die sich am unteren und oberen Ende von R3 befinden.

• Hinweis: Um den Thevenin-Widerstand zu bestimmen, setze alle unabhängigen Spannungsquellen auf Null (diese werden durch Kurzschlüsse ersetzt).

a)

Berechne die Thevenin-Spannung ( \(U_{th} \) ) zwischen den Klemmen A und B, indem Du die Superpositionsmethode verwendest. Zeige alle Zwischenrechnungen und formuliere die allgemeine Formel zur Berechnung der Thevenin-Spannung.

Lösung:

Um die Thevenin-Spannung (\(U_{th}\)) zwischen den Klemmen A und B mit der Superpositionsmethode zu berechnen, analysieren wir zuerst den Schaltkreis in seinen einzelnen Pfaden und berechnen die relevanten Spannungen. Am Ende werden diese Spannungen addiert, um die Gesamtspannung zu erhalten.

Schritte zur Berechnung der Thevenin-Spannung:

• 1. Pfad 1 (Spannungsquelle + R1 + R3):Zuerst betrachten wir die Spannungsquelle von 20V in Serie mit R1 und R3, wobei R2 ignoriert wird.
• 2. Berechnung des Gesamtwiderstandes (ohne R2):
  • R2 wird ignoriert, da er parallel zur gesamten Kombination von Spannungsquelle und R1 liegt.
  • Der Gesamtwiderstand dieses Pfades ist: \[ R_{ges1} = R1 + R3 = 5Ω + 15Ω = 20Ω \]
  • Der Strom, der durch diesen Pfad fließt (\(I_1\)): \[ I_1 = \frac{U_{quelle}}{R_{ges1}} = \frac{20V}{20Ω} = 1A \]
  • Die Spannung über R3 in diesem Pfad (\(U_{3_1}\)): \[ U_{3_1} = I_1 * R3 = 1A * 15Ω = 15V \]
• 3. Pfad 2 (Spannungsquelle + R1 parallel zu R2):
  • Betrachten wir nun die Parallelkombination der Serienschaltung von Spannungsquelle und R1 mit R2.
  • Da R3 in Serie ist, wird er in diesem Schritt ignoriert.
  • Wir berechnen den äquivalenten Widerstand der Parallelschaltung von R1 und R2: \[ \frac{1}{R_{par}} = \frac{1}{R1} + \frac{1}{R2} = \frac{1}{5Ω} + \frac{1}{10Ω} = \frac{3}{10Ω} \] \[ \Rightarrow R_{par} = \frac{10Ω}{3} \]
  • Dieser Parallelwiderstand ist in Serie mit R3. Der Gesamtwiderstand ist: \[ R_{ges2} = R_{par} + R3 = \frac{10Ω}{3} + 15Ω = \frac{10Ω + 45Ω}{3} = \frac{55Ω}{3} \]
  • Der Strom durch den gesamten Pfad (\(I_2\)): \[ I_2 = \frac{U_{quelle}}{R_{ges2}} = \frac{20V}{\frac{55Ω}{3}} = \frac{20V * 3}{55Ω} = \frac{60V}{55Ω} = 1.09A \]
  • Die Spannung über R3 in diesem Pfad (\(U_{3_2}\)): \[ U_{3_2} = I_2 * R3 = 1.09A * 15Ω = 16.36V \]
• 4. Endergebnis:Jetzt fassen wir die Spannungen des ersten und zweiten Pfades zusammen, um die gesamte Thevenin-Spannung zu berechnen: \[ U_{th} = U_{3_1} + U_{3_2} = 15V + 16.36V = 31.36V \]

Die Thevenin-Spannung zwischen den Klemmen A und B beträgt: \(U_{th} = 31.36V\)

b)

Berechne den Thevenin-Widerstand ( \(R_{th} \) ) zwischen den Klemmen A und B, nachdem alle unabhängigen Spannungsquellen auf Null gesetzt wurden. Verwende die ermittelten Thevenin-Werte, um das zugehörige Norton-Äquivalent ( \(I_{n} \) und \(R_{n} \) ) zu berechnen.

Lösung:

Um den Thevenin-Widerstand (\(R_{th}\)) zwischen den Klemmen A und B zu berechnen, setzen wir die Spannungsquelle auf Null (ersetzen sie durch einen Kurzschluss). Dann bestimmen wir den äquivalenten Widerstand der verbleibenden Schaltung.

Schritte zur Berechnung des Thevenin-Widerstands:

• 1. Setzen der Spannungsquelle auf Null:Durch den Kurzschluss wird R1 direkt parallel zu R2, da sie mit der Spannungsquelle verbunden sind, die jetzt ein Draht (Kurzschluss) ist.
• 2. Berechnung des äquivalenten Widerstands von R1 und R2 parallel:\[ \frac{1}{R_{par}} = \frac{1}{R1} + \frac{1}{R2} = \frac{1}{5Ω} + \frac{1}{10Ω} = \frac{3}{10Ω} \]\[ \Rightarrow R_{par} = \frac{10Ω}{3} = 3.33Ω \]
• 3. Berechnung des gesamten Widerstands (in Serie mit R3):Der äquivalente Parallelwiderstand R_{par} ist in Serie mit R3:\[ R_{th} = R_{par} + R3 = 3.33Ω + 15Ω = 18.33Ω \]

Der Thevenin-Widerstand zwischen den Klemmen A und B beträgt: \(R_{th} = 18.33Ω\)

Berechnung des Norton-Äquivalents:

• Thevenin-Spannung (\(U_{th}\)):Diesen Wert haben wir im vorherigen Subexercise berechnet: \(U_{th} = 31.36V\)
• Umrechnung zur Norton-Stromquelle (\(I_{n}\)):Der Norton-Strom ist definiert als der Kurzschlussstrom zwischen den Klemmen A und B. \[ I_{n} = \frac{U_{th}}{R_{th}} = \frac{31.36V}{18.33Ω} = 1.71A \]

Die Norton-Äquivalentschaltung besteht aus:

• Norton-Strom (\(I_{n}\)): 1.71A
• Norton-Widerstand (\(R_{n}\)): 18.33Ω (gleich dem Thevenin-Widerstand)