Grundlagen der Elektrotechnik II - Cheatsheet

Knoten- und Maschengleichungen

Definition:

Knoten- und Maschengleichungen sind fundamentale Methoden zur Analyse elektrischer Netzwerke in der Elektrotechnik.

Details:

• Knotenregel (KCL - Kirchhoff'sche Knotenregel): \[ \sum_{i=1}^{n} I_i = 0 \] - Summe der Ströme in einem Knoten ist null.
• Maschenregel (KVL - Kirchhoff'sche Maschenregel): \[ \sum_{i=1}^{n} V_i = 0 \] - Summe der Spannungen in einer geschlossenen Masche ist null.
• Anwendung:
• KCL: Bestimmen von Strömen in Knotengleichungen.
• KVL: Bestimmen von Spannungen in Maschengleichungen.

Ohmsches Gesetz und Kirchhoffsche Regeln

Definition:

Ohmsches Gesetz beschreibt den Zusammenhang zwischen Spannung, Strom und Widerstand in einem elektrischen Stromkreis. Kirchhoffsche Regeln (Knotenregel und Maschenregel) sind fundamentale Gesetze zur Analyse von elektrischen Netzwerken.

Details:

• Ohmsches Gesetz: \(U = R \cdot I\)
• Spannung (U) in Volt, Strom (I) in Ampere, Widerstand (R) in Ohm
• Kirchhoffsche Knotenregel: Summe der ein- und ausfließenden Ströme an einem Knoten ist Null: \(\sum I_k = 0\)
• Kirchhoffsche Maschenregel: Summe der Spannungen in einer geschlossenen Masche ist Null: \(\sum U_k = 0\)

Impedanzen und Admittanzen

Definition:

Impedanz (Z) beschreibt den Widerstand eines elektrischen Netzwerks gegen Wechselstrom, Admittanz (Y) ist der Kehrwert der Impedanz.

Details:

• Impedanz: Zusammengesetzt aus Realteil (Widerstand) und Imaginärteil (Reaktanz)
• Einheit der Impedanz: Ohm (\Omega)
• Formel: \[Z = R + jX\]
• Admittanz: Zusammengesetzt aus Realteil (Konduktanz) und Imaginärteil (Suszeptanz)
• Einheit der Admittanz: Siemens (S)
• Formel: \[Y = G + jB\]
• Zusammenhang: \[Y = \frac{1}{Z}\]

Sinusförmige Spannungen und Ströme

Definition:

Zeitlich veränderliche elektrische Größen, die als Sinusfunktion beschrieben werden.

Details:

• Allgemeine Form: \( U(t) = U_{max} \, \sin(\omega t + \varphi) \)
• Amplitude \( U_{max} \)
• Winkelgeschwindigkeit \( \omega = 2 \pi f \)
• Frequenz \( f \)
• Phasenwinkel \( \varphi \)
• Effektivwert: \( U_{eff} = \frac{U_{max}}{\sqrt{2}} \)
• Analog für Strom \( I(t) \)

Phasenverschiebung und Scheinleistung

Definition:

Phasenverschiebung beschreibt den Winkelunterschied zwischen Spannung und Strom in einem Wechselstromkreis; Scheinleistung ist die Gesamtleistung, die in einem Wechselstromkreis bezogen wird und setzt sich aus Wirkleistung und Blindleistung zusammen.

Details:

• Phasenverschiebungswinkel \(\theta\) ergibt sich aus dem Arkuskosinus des Leistungsfaktors (cos(\(\theta\))).
• Scheinleistung \(\text{S}\) in Voltampere (VA) berechnet sich als \(\text{S} = U \times I\).
• Wirkleistung \(\text{P}\) in Watt (W) und Blindleistung \(\text{Q}\) in Voltampere-reaktiv (VAR).
• Beziehungen: \(\text{P} = S \times \text{cos}(\theta)\) und \(\text{Q} = S \times \text{sin}(\theta)\).
• Komplexe Scheinleistung: \(\text{S} = P + jQ\).

Zeitkonstanten und Transientenverlauf

Definition:

Verhalten von Strom- und Spannungssignalen nach einer plötzlichen Änderung (z.B. Ein-/Ausschalten); Zeit, die ein System benötigt, um einen bestimmten Punkt seines neuen stationären Zustands zu erreichen.

Details:

• Zeitkonstante (\tau): Maß für die Geschwindigkeit der Annäherung an den Endzustand
• Formel für RC-Glied: \tau = R \times C
• Formel für RL-Glied: \tau = L / R
• Spannungsänderung in einem RC-Kreis: u(t) = U_0 \times (1 - e^{-t/\tau})
• Stromänderung in einem RL-Kreis: i(t) = I_0 \times (1 - e^{-t/\tau})
• 5 \tau-Regel: nach 5 \tau fast vollständige Anpassung an den Endzustand

Bode-Diagramme

Definition:

Grafische Darstellung des Frequenzgangs eines linearen zeitinvarianten Systems in Form von Amplituden- und Phasenverlauf über den Frequenzbereich.

Details:

• Amplitudendiagramm: Logarithmische Darstellung der Verstärkung (dB) vs. Frequenz (logarithmisch)
• Phasendiagramm: Darstellung der Phasenverschiebung (Grad) vs. Frequenz (logarithmisch)
• Gerade-Linien-Methode zur Vereinfachung der Analyse
• Wichtige Asymptoten: Tiefpass, Hochpass, Bandpass, Bandsperre
• Systemordnung beeinflusst die Steigung der Bode-Diagramme
• Typische Regeln: +20 dB/Dekade pro Pol (bei Frequenzen größer als Eigenfrequenz)

Übertragungsfaktoren und Streckenparameter

Definition:

Beschreibung von Übertragungsmechanismen und deren Einfluss auf die Signalverarbeitung.

Details:

• Übertragungsfaktoren beschreiben die Verstärkung oder Abschwächung eines Signals entlang einer Strecke.
• Streckenparameter charakterisieren die physikalischen Eigenschaften der Übertragungsstrecke, wie Widerstand, Induktivität, Kapazität und Leitfähigkeit.
• Übertragungsfunktion: \[ H(f) = \frac{U_{aus}(f)}{U_{ein}(f)} \] beschreibt das Verhältnis zwischen Ausgangs- und Eingangssignal im Frequenzbereich.
• Verlustbehaftete Leitung: \[ \frac{d^2V}{dz^2} - (\beta^2 + j \frac{\beta}{\beta_c})V = 0 \]
• Berücksichtigung von Streuverlusten und Dämpfung: \[ \beta = \frac{\beta_r}{\beta_c} \]
• Effekte wie Reflexionen und Signalverzögerungen sind ebenfalls wichtige Faktoren.
• Typische Anwendungen: Datenübertragung in Netzwerken, Antennentechnik, Telekommunikation.