Grundlagen der Elektrotechnik II - Exam

Aufgabe 1)

Netzwerkanalyse mit Knoten- und MaschenknotengleichungenBetrachte das folgende elektrische Netzwerk, das aus zwei Maschen und drei Knoten besteht. Die Widerstände und Spannungsquellen sind wie folgt verteilt:

• Widerstand R1 = 5 Ohm und R2 = 10 Ohm befinden sich in der ersten Masche
• Widerstand R3 = 15 Ohm und R4 = 20 Ohm befinden sich in der zweiten Masche
• Spannungsquelle V1 = 10 V ist parallel zu R1 und R2 in der ersten Masche
• Spannungsquelle V2 = 20 V ist parallel zu R3 und R4 in der zweiten Masche

Verwende die Kirchhoff'schen Regeln, um die unbekannten Ströme und Spannungen in dem Netzwerk zu berechnen.

b)

Erstelle die Maschengleichungen (KVL) für die Maschen des Netzwerks. Definiere die Spannungen an den jeweiligen Widerständen und Spannungsquellen in jeder Masche. Verwende die KVL-Regel, um die Gleichungen zu formulieren, die die Summe der Spannungen in jeder geschlossenen Masche beschreiben.

Lösung:

Erstellen der Maschengleichungen (KVL) für das elektrische NetzwerkUm die Maschengleichungen gemäß der Kirchhoff'schen Spannungsgesetz (KVL) aufzustellen, identifizieren wir die beiden Maschen im Netzwerk und definieren die Spannungen an den jeweiligen Widerständen und Spannungsquellen.Das Netzwerk besteht aus zwei Maschen:

• Masche 1: Besteht aus den Widerständen R1 und R2 sowie der Spannungsquelle V1.
• Masche 2: Besteht aus den Widerständen R3 und R4 sowie der Spannungsquelle V2.

Definiere die Spannungen an den Widerständen:

• \(V_{R1}\): Spannung an R1
• \(V_{R2}\): Spannung an R2
• \(V_{R3}\): Spannung an R3
• \(V_{R4}\): Spannung an R4

Definiere die Spannungsquellen:

• \(V_1\): Spannungsquelle in Masche 1 (10 V)
• \(V_2\): Spannungsquelle in Masche 2 (20 V)

Die Kirchhoff'sche Maschenregel (KVL) besagt, dass die Summe der Spannungen in einer geschlossenen Masche gleich null ist.Stelle die KVL-Gleichungen auf:

• Masche 1: Die Spannungsquellen und Spannungen an den Widerständen entlang der Masche summieren sich zu null:\(\ - V_1 + V_{R1} + V_{R2} = 0\)oder umgeformt:\(\ V_{R1} + V_{R2} = V_1\)
• Masche 2: Die Spannungsquellen und Spannungen an den Widerständen entlang der Masche summieren sich zu null:\(\ - V_2 + V_{R3} + V_{R4} = 0\)oder umgeformt:\(\ V_{R3} + V_{R4} = V_2\)

Da die Spannungen \(V_{R1}\), \(V_{R2}\), \(V_{R3}\), und \(V_{R4}\) durch die entsprechenden Ströme und Widerstände gegeben sind (Ohm'sches Gesetz \(V = I \times R\)), können wir die Gleichungen weiter spezifizieren:

• \(V_{R1} = I_{R1} \times R1\)
• \(V_{R2} = I_{R2} \times R2\)
• \(V_{R3} = I_{R3} \times R3\)
• \(V_{R4} = I_{R4} \times R4\)

Daraus ergeben sich die erweiterten KVL-Gleichungen:

• Masche 1:\\(I_{R1} \times R1 + I_{R2} \times R2 = V_1\)oder\\(I_{R1} \times 5\ \Omega \ + I_{R2} \times 10\ \Omega \ = 10\ \text{V}\)
• Masche 2:\\(I_{R3} \times R3 + I_{R4} \times R4 = V_2\)oder\\(I_{R3} \times 15\ \Omega \ + I_{R4} \times 20\ \Omega \ = 20\ \text{V}\)

Diese Gleichungen beschreiben die Summe der Spannungen in jeder geschlossenen Masche des Netzwerks gemäß der Kirchhoff'schen Maschenregel (KVL).

Aufgabe 2)

Ohmsches Gesetz und Kirchhoffsche RegelnEin elektrisches Netzwerk besteht aus drei Widerständen (R1, R2 und R3) in einem geschlossenen Stromkreis. Die Widerstände sind wie folgt verbunden: R1 und R2 sind parallel geschaltet und die Kombination ist in Reihe mit R3 geschaltet. Eine Spannungsquelle von 12V ist ebenfalls im Stromkreis. Bestimme die Ströme und Spannungen in allen Elementen des Kreises und überprüfe die Ergebnisse mit den Kirchhoffschen Regeln.

• Ohmsches Gesetz: U = R * I
• Spannung (U) in Volt, Strom (I) in Ampere, Widerstand (R) in Ohm
• Kirchhoffsche Knotenregel: Summe der ein- und ausfließenden Ströme an einem Knoten ist Null: \( \sum I_k = 0 \)
• Kirchhoffsche Maschenregel: Summe der Spannungen in einer geschlossenen Masche ist Null: \( \sum U_k = 0 \)

a)

Berechne den äquivalenten Widerstand der Parallelschaltung von R1 und R2. Angenommen, \( R1 = 6\Omega \) und \( R2 = 3\Omega \).

Lösung:

Um den äquivalenten Widerstand (R_eq) der Parallelschaltung von R₁ und R₂ zu berechnen, verwenden wir die folgende Formel:

• \(\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\)

Angenommen, R₁ = 6 \(\text{Ω}\) und R₂ = 3 \(\text{Ω}\), so ergibt sich:

• \(\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{3}\)

Jetzt berechnen wir die einzelnen Brüche:

• \(\frac{1}{6} \text{Ω} = 0.1667 \text{Ω}^{-1}\)

• \(\frac{1}{3} \text{Ω} = 0.3333 \text{Ω}^{-1}\)

Summieren wir diese Werte:

• \(\frac{1}{R_{eq}} = 0.1667 \text{Ω}^{-1} + 0.3333 \text{Ω}^{-1} = 0.5 \text{Ω}^{-1}\)

Um den R_eq zu erhalten, nehmen wir den Kehrwert:

• R_eq = \(\frac{1}{0.5} \text{Ω}^{-1} = 2 \text{Ω}\)

Der äquivalente Widerstand der Parallelschaltung von R₁ und R₂ beträgt somit 2 Ω.

b)

Bestimme den Gesamtwiderstand des Stromkreises, wenn der Widerstand \( R3 = 4\Omega \) beträgt.

Lösung:

Um den Gesamtwiderstand des Stromkreises zu bestimmen, müssen wir den zuvor berechneten äquivalenten Widerstand der Parallelschaltung von R1 und R2 mit dem Widerstand R3 in Reihe addieren.

• Der äquivalente Widerstand der Parallelschaltung von R1 = 6 Ω und R2 = 3 Ω beträgt R_eq = 2 Ω (wie zuvor berechnet).
• Der Widerstand R3 beträgt 4 Ω.

Da die Parallelschaltung von R1 und R2 in Reihe mit R3 verbunden ist, berechnen wir den Gesamtwiderstand (R_gesamt) folgendermaßen:

• R_gesamt = R_eq + R3

Einsetzen der Werte:

• R_gesamt = 2 Ω + 4 Ω

Das ergibt:

• R_gesamt = 6 Ω

Der Gesamtwiderstand des Stromkreises beträgt somit 6 Ω.

c)

Ermittle die Ströme durch die Widerstände R1, R2 und R3, sowie die Spannungsabfälle über jeden Widerstand. Überprüfe deine Ergebnisse mit der Kirchhoffschen Knotenregel und Maschenregel.

Lösung:

Um die Ströme und Spannungen in allen Elementen des Kreises zu bestimmen, folgen wir diesen Schritten:

1. Gesamtstrom im Stromkreis

Weil der Gesamtwiderstand des Stromkreises 6 Ω beträgt und wir eine Spannungsquelle von 12 V haben, können wir den Gesamtstrom (I_gesamt) mit Ohmschem Gesetz berechnen:

• \( U = R \cdot I \)

• \( I_{gesamt} = \frac{U}{R_{gesamt}} = \frac{12V}{6Ω} = 2A \)

2. Spannungsabfall über R3

Da der Strom durch R3 derselbe wie der Gesamtstrom ist (da R3 in Serie ist), ist der Spannungsabfall über R3 (U₃):

• \( U_3 = I_{gesamt} \cdot R_3 = 2A \cdot 4Ω = 8V \)

Somit verbleibt eine Spannung von:

• \( U_{\left(R_1 \parallel R_2 \right)} = 12V - 8V = 4V \)

3. Strom durch R1 und R2

Da R1 und R2 parallel geschaltet sind, haben sie beide den gleichen Spannungsabfall von 4V. Die Ströme (I₁ und I₂) können dann durch das Ohmsche Gesetz berechnet werden:

• \( I_1 = \frac{U}{R_1} = \frac{4V}{6Ω} = 0.6667A \)

• \( I_2 = \frac{U}{R_2} = \frac{4V}{3Ω} = 1.3333A \)

4. Überprüfung der Kirchhoffschen Regeln

Kirchhoffsche Knotenregel

Die Summe der ein- und ausfließenden Ströme an einem Knoten ist Null:

• \( I_{gesamt} = I_1 + I_2 \)

• \( 2A = 0.6667A + 1.3333A \)

Ergebnis stimmt überein.

Kirchhoffsche Maschenregel

Die Summe der Spannungen in einer geschlossenen Masche ist Null:

• Summe der Spannungen: \( 12V - U_3 - U_{\left(R_1 \parallel R_2\right)} = 0 \)

• \( 12V - 8V - 4V = 0 \)

Ergebnis stimmt ebenfalls überein.

Zusammenfassung:

• Spannung über R1: 4V
• Spannung über R2: 4V
• Spannung über R3: 8V
• Strom durch R1: 0.6667A
• Strom durch R2: 1.3333A
• Strom durch R3: 2A

Die Ergebnisse stimmen mit den Kirchhoffschen Regeln überein.

Aufgabe 3)

Impedanz (Z) beschreibt den Widerstand eines elektrischen Netzwerks gegen Wechselstrom, Admittanz (Y) ist der Kehrwert der Impedanz. Die Impedanz setzt sich aus einem Realteil (Widerstand) und einem Imaginärteil (Reaktanz) zusammen. Mathematisch lässt sich die Impedanz folgendermaßen darstellen:

• Impedanz: Zusammengesetzt aus Realteil (Widerstand) und Imaginärteil (Reaktanz)
• Einheit der Impedanz: Ohm (\(\Omega\))
• Formel: \[Z = R + jX\]
• Admittanz: Zusammengesetzt aus Realteil (Konduktanz) und Imaginärteil (Suszeptanz)
• Einheit der Admittanz: Siemens (S)
• Formel: \[Y = G + jB\]
• Zusammenhang: \[Y = \frac{1}{Z}\]

a)

Gegeben sei eine Impedanz \(Z = 3 + j4 \Omega\). Bestimme die entsprechenden Werte für Konduktanz (G) und Suszeptanz (B) der Admittanz (Y).

Lösung:

Subaufgabe: Berechnung von Konduktanz (G) und Suszeptanz (B)

Gegeben ist eine Impedanz:

• Impedanz (Z): \[ Z = 3 + j4 \, \text{Ohm} \]

Um die Werte für die Konduktanz (G) und die Suszeptanz (B) der Admittanz (Y) zu bestimmen, nutzen wir die folgenden Beziehungen:

• Admittanz (Y): \[ Y = \frac{1}{Z} \]
• Form der Admittanz: \[ Y = G + jB \]

Schrittweise Berechnung

Zuerst berechnen wir den Kehrwert der Impedanz:

• Impedanz (Z): \[ Z = 3 + j4 \]

Der Kehrwert einer komplexen Zahl wird wie folgt berechnet:

\[ Z = R + jX \implies Y = \frac{1}{Z} = \frac{1}{R + jX} \]

Wir multiplizieren Zähler und Nenner mit dem konjugierten Wert des Nenners:

\[ Z = 3 + j4 \implies Y = \frac{1}{3 + j4} \times \frac{3 - j4}{3 - j4} = \frac{3 - j4}{(3 + j4)(3 - j4)} \]

Die Berechnung des Nenners:

\[ (3 + j4)(3 - j4) = 9 - (j4)(j4) = 9 - (-16) = 9 + 16 = 25 \]

Somit ergibt sich:

\[ Y = \frac{3 - j4}{25} = \frac{3}{25} - j\frac{4}{25} \]

Das bedeutet:

• Form der Admittanz: \[ Y = G + jB \implies Y = \frac{3}{25} - j\frac{4}{25} \]
• Konduktanz (G): \[ G = \frac{3}{25} = 0.12 \, \text{Siemens} \]
• Suszeptanz (B): \[ B = -\frac{4}{25} = -0.16 \, \text{Siemens} \]

Zusammenfassend ergibt sich:

• Konduktanz (G): 0.12 S
• Suszeptanz (B): -0.16 S

b)

Berechne die Resultierende Admittanz \(Y\) wenn zwei Impedanzen \(Z_1 = 2 + j3 \Omega\) und \(Z_2 = 4 - j2 \Omega\) parallel geschaltet sind.

Lösung:

Subaufgabe: Berechnung der resultierenden Admittanz (Y) bei paralleler Schaltung zweier Impedanzen

Gegeben sind zwei Impedanzen:

• Impedanz (Z₁): \[ Z_1 = 2 + j3 \, \text{Ohm} \]
• Impedanz (Z₂): \[ Z_2 = 4 - j2 \, \text{Ohm} \]

Um die resultierende Admittanz (Y) bei paralleler Schaltung zu berechnen, benutzen wir die Tatsache, dass die Admittanzen sich addieren:

• Formel: \[ Y = Y_1 + Y_2 \]

Zuerst berechnen wir die Admittanzen Y₁ und Y₂:

Berechnung von Y₁

Zuerst den Kehrwert der Impedanz Z₁:

• Impedanz (Z₁): \[ Z_1 = 2 + j3 \]

Der Kehrwert von Z₁ wird wie folgt berechnet:

\[ Y_1 = \frac{1}{Z_1} = \frac{1}{2 + j3} \times \frac{2 - j3}{2 - j3} = \frac{2 - j3}{(2 + j3)(2 - j3)} \]

Die Berechnung des Nenners:

\[ (2 + j3)(2 - j3) = 4 - (j3)(j3) = 4 - (-9) = 4 + 9 = 13 \]

Somit ergibt sich:

\[ Y_1 = \frac{2 - j3}{13} = \frac{2}{13} - j\frac{3}{13} \]

Das bedeutet:

• Form der Admittanz: \[ Y_1 = \frac{2}{13} - j\frac{3}{13} \]

Berechnung von Y₂

Zuerst den Kehrwert der Impedanz Z₂:

• Impedanz (Z₂): \[ Z_2 = 4 - j2 \]

Der Kehrwert von Z₂ wird wie folgt berechnet:

\[ Y_2 = \frac{1}{Z_2} = \frac{1}{4 - j2} \times \frac{4 + j2}{4 + j2} = \frac{4 + j2}{(4 - j2)(4 + j2)} \]

Die Berechnung des Nenners:

\[ (4 - j2)(4 + j2) = 16 - (j2)(j2) = 16 - (-4) = 16 + 4 = 20 \]

Somit ergibt sich:

\[ Y_2 = \frac{4 + j2}{20} = \frac{4}{20} + j\frac{2}{20} = \frac{1}{5} + j\frac{1}{10} \]

Das bedeutet:

• Form der Admittanz: \[ Y_2 = \frac{1}{5} + j\frac{1}{10} \]

Berechnung der resultierenden Admittanz (Y)

Nun addieren wir die beiden Admittanzen Y₁ und Y₂:

\[ Y = Y_1 + Y_2 = \left( \frac{2}{13} - j\frac{3}{13} \right) + \left( \frac{1}{5} + j\frac{1}{10} \right) \]

Die Realteile und Imaginärteile werden separat addiert:

\[ \text{Re}(Y): \frac{2}{13} + \frac{1}{5} \]

\[ \text{Im}(Y): -\frac{3}{13} + \frac{1}{10} \]

\[ \text{Re}(Y): \frac{2}{13} + \frac{1}{5} = \frac{2}{13} + \frac{13}{65} = \frac{10}{65} + \frac{13}{65} = \frac{23}{65} \]

\[ \text{Im}(Y): -\frac{3}{13} + \frac{1}{10} = -\frac{3}{13} + \frac{13}{130} = -\frac{30}{130} + \frac{13}{130} = -\frac{17}{130} = -\frac{17}{130} \]

Resultierende Admittanz (Y)

Zusammenhängend:

• Resultierende Admittanz: \[ Y = \frac{23}{65} - j\frac{17}{130} \]

c)

Ein Wechselstromnetzwerk hat eine Admittanz \(Y = 0.1 - j0.2 \ S\). Bestimme daraus die Impedanz \(Z\) dieses Netzwerks, sowie die Werte für Widerstand (R) und Reaktanz (X).

Lösung:

Subaufgabe: Berechnung der Impedanz (Z) aus der Admittanz (Y)

Gegeben ist eine Admittanz:

• Admittanz (Y): \[ Y = 0.1 - j0.2 \, \text{Siemens} \]

Um die Werte für die Impedanz (Z) sowie den Widerstand (R) und die Reaktanz (X) zu bestimmen, nutzen wir die folgenden Beziehungen:

• Formel der Impedanz: \[ Z = \frac{1}{Y} \]

Schrittweise Berechnung

Zuerst berechnen wir den Kehrwert der Admittanz:

\[ Y = 0.1 - j0.2 \implies Z = \frac{1}{Y} = \frac{1}{0.1 - j0.2} \]

Wir multiplizieren Zähler und Nenner mit dem konjugierten Wert des Nenners:

\[ Z = \frac{1}{0.1 - j0.2} \times \frac{0.1 + j0.2}{0.1 + j0.2} = \frac{0.1 + j0.2}{(0.1 - j0.2)(0.1 + j0.2)} \]

Die Berechnung des Nenners:

\[ (0.1 - j0.2)(0.1 + j0.2) = 0.01 - (j0.2)(j0.2) = 0.01 - (-0.04) = 0.01 + 0.04 = 0.05 \]

Somit ergibt sich:

\[ Z = \frac{0.1 + j0.2}{0.05} = \frac{0.1}{0.05} + j\frac{0.2}{0.05} = 2 + j4 \]

Das bedeutet:

• Form der Impedanz: \[ Z = R + jX \implies Z = 2 + j4 \]
• Widerstand (R): \[ R = 2 \, \text{Ohm} \]
• Reaktanz (X): \[ X = 4 \, \text{Ohm} \]

Zusammenfassung

Die Impedanz (Z) des Netzwerks sowie die Werte für Widerstand (R) und Reaktanz (X) lauten:

• Impedanz (Z): 2 + j4 \, \text{Ohm}
• Widerstand (R): 2 \, \text{Ohm}
• Reaktanz (X): 4 \, \text{Ohm}

d)

In einem komplexen Netzwerk werden die Impedanzen \(Z_1 = 2 + j1 \Omega\), \(Z_2 = 5 - j2 \Omega\), und \(Z_3 = 3 + j3 \Omega\) in Serie geschaltet. Berechne die gesamte Serien-Impedanz \(Z_{gesamt}\) sowie die entsprechende Gesamt-Admittanz \(Y_{gesamt}\).

Lösung:

Subaufgabe: Berechnung der gesamten Serien-Impedanz und Admittanz in einem komplexen Netzwerk

Gegeben sind drei Impedanzen, die in Serie geschaltet sind:

• Impedanz (Z₁): \[ Z_1 = 2 + j1 \, \text{Ohm} \]
• Impedanz (Z₂): \[ Z_2 = 5 - j2 \, \text{Ohm} \]
• Impedanz (Z₃): \[ Z_3 = 3 + j3 \, \text{Ohm} \]

Gesamte Serien-Impedanz (Z_gesamt)

Bei serieller Schaltung addieren sich die Impedanzen einfach:

• Formel: \[ Z_{gesamt} = Z_1 + Z_2 + Z_3 \]

Einsetzen der gegebenen Werte:

\[ Z_{gesamt} = (2 + j1) + (5 - j2) + (3 + j3) \]

Die Realteile und Imaginärteile werden separat addiert:

\[ \text{Re}(Z_{gesamt}): 2 + 5 + 3 = 10 \]

\[ \text{Im}(Z_{gesamt}): 1 - 2 + 3 = 2 \]

Ergebnis für die gesamte Serien-Impedanz:

• Gesamte Serien-Impedanz (Z_gesamt): \[ Z_{gesamt} = 10 + j2 \, \text{Ohm} \]

Gesamt-Admittanz (Y_gesamt)

Die Admittanz ist der Kehrwert der Impedanz:

• Formel: \[ Y_{gesamt} = \frac{1}{Z_{gesamt}} \]

Einsetzen der berechneten Impedanz:

\[ Y_{gesamt} = \frac{1}{10 + j2} \]

Wir multiplizieren Zähler und Nenner mit dem konjugierten Wert des Nenners:

\[ Y_{gesamt} = \frac{1}{10 + j2} \times \frac{10 - j2}{10 - j2} = \frac{10 - j2}{(10 + j2)(10 - j2)} \]

Die Berechnung des Nenners:

\[ (10 + j2)(10 - j2) = 100 - (j2)(j2) = 100 - (-4) = 100 + 4 = 104 \]

Somit ergibt sich:

\[ Y_{gesamt} = \frac{10 - j2}{104} = \frac{10}{104} - j\frac{2}{104} = \frac{5}{52} - j\frac{1}{52} \]

Ergebnis für die gesamte Admittanz:

• Gesamt-Admittanz (Y_gesamt): \[ Y_{gesamt} = \frac{5}{52} - j\frac{1}{52} \, \text{Siemens} \]

Aufgabe 4)

Ein Wechselstromkreis besteht aus einem Widerstand R, einer Induktivität L und einem Kondensator C. Die Spannung über den Kreis wird durch ein sinusförmiges Signal beschrieben:

• Allgemeine Form der Spannung: U(t) = U_{max} \, \sin(\omega t + \varphi)
• Amplitude: U_{max}
• Winkelgeschwindigkeit: \omega = 2 \pi f
• Frequenz: f
• Phasenwinkel: \varphi
• Effektivwert: U_{eff} = \frac{U_{max}}{\sqrt{2}}
• Analoge Form für Strom: I(t)

Angenommen, die Effektivwerte der Spannungen sind gegeben. Bestimme die folgenden Parameter:

a)

Berechne den Effektivwert der Spannung, wenn die Amplitude der Spannung U_{max} = 100 V beträgt.

Lösung:

Berechnung des Effektivwerts der Spannung

Um den Effektivwert der Spannung zu berechnen, wenn die Amplitude der Spannung U_{max} = 100 V beträgt, können wir die gegebene Formel für den Effektivwert verwenden:

• Effektivwert der Spannung: U_{eff} = \frac{U_{max}}{\sqrt{2}}

Mit U_{max} = 100 V ergibt sich:

\[ U_{eff} = \frac{100}{\sqrt{2}} \]

Um diesen Ausdruck weiter zu vereinfachen, teilen wir 100 durch \sqrt{2}:

\[ U_{eff} = \frac{100}{\sqrt{2}} = \frac{100 \sqrt{2}}{2} = 50 \sqrt{2} \]

Schließlich erhalten wir als genäherten Wert:

\[ U_{eff} \approx 70.71 V \]

Der Effektivwert der Spannung beträgt also ungefähr 70.71 V.

b)

Gegeben sei eine Frequenz von 50 Hz. Berechne die Winkelgeschwindigkeit \omega.

Lösung:

Berechnung der Winkelgeschwindigkeit

Um die Winkelgeschwindigkeit \omega zu berechnen, wenn die Frequenz f = 50 Hz gegeben ist, können wir die gegebene Formel für die Winkelgeschwindigkeit verwenden:

• Winkelgeschwindigkeit: \omega = 2 \pi f

Mit f = 50 Hz ergibt sich:

\[ \omega = 2 \pi \times 50 \]

Dies führt zu:

\[ \omega = 100 \pi \]

Um den numerischen Wert zu erhalten, können wir \pi näherungsweise mit 3.14159 darstellen:

\[ \omega = 100 \times 3.14159 \approx 314.16 \text{ rad/s} \]

Die Winkelgeschwindigkeit beträgt also ungefähr 314.16 rad/s.

d)

Ein Stromkreis weist eine Induktivität von 50 mH und eine Kapazität von 100 µF auf. Berechne die Resonanzfrequenz des Kreises.

Lösung:

Berechnung der Resonanzfrequenz

Um die Resonanzfrequenz eines Wechselstromkreises mit einer Induktivität L = 50 \text{ mH} und einer Kapazität C = 100 \mu\text{F} zu berechnen, verwenden wir die folgende Formel:

• Resonanzfrequenz: f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}

Zuerst konvertieren wir die Einheiten in die Standard-SI-Einheiten:

• Induktivität: L = 50 \text{ mH} = 50 \times 10^{-3} \text{ H}
• Kapazität: C = 100 \mu\text{F} = 100 \times 10^{-6} \text{ F}

Nun setzen wir die Werte in die Formel ein:

\[ f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{50 \times 10^{-3} \text{ H} \; \times \; 100 \times 10^{-6} \text{ F}}} \]

Dies führt zu:

\[ f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{50 \times 100 \times 10^{-9}}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{5000 \times 10^{-9}}} \]

Weiter vereinfacht:

\[ f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{5 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{2\pi \times \sqrt{5} \times 10^{-3}} \]

Nun berechnen wir den Wert:

\[ f_0 = \frac{1}{2 \pi \times 2.236 \times 10^{-3}} \approx \frac{1}{0.014} \approx 71.4 \text{ Hz} \]

Die Resonanzfrequenz des Kreises beträgt also ungefähr 71.4 Hz.