Grundlagen der Elektrotechnik III - Cheatsheet

Mathematische Definition der Fourier-Transformation

Definition:

Mathematische Definition der Fourier-Transformation beschreibt die Umwandlung einer zeitabhängigen Funktion in eine Frequenzdomain-Darstellung.

Details:

• Definition: \[\hat{X}(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j 2 \pi f t} \, dt\]
• Umkehrtransformation: \[x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{X}(f) e^{j 2 \pi f t} \, df\]
• Anwendbar für periodische und nicht-periodische Signale
• Wichtig für Signalanalyse und -verarbeitung

Diskrete Fourier-Transformation (DFT)

Definition:

Methode zur Berechnung der Fourier-Koeffizienten einer endlichen Sequenz, transformiert eine Folge von Zeitwerten in eine Folge von Frequenzwerten.

Details:

• Mathematische Formulierung: \(X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n \cdot e^{-j \cdot \frac{2\pi}{N} \cdot k \cdot n}\)
• Inverse DFT: \(x_n = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X_k \cdot e^{j \cdot \frac{2\pi}{N} \cdot k \cdot n}\)
• Verwendung: Signalverarbeitung, Bildanalyse, digitale Kommunikation.
• DFT ist diskrete Entsprechung der kontinuierlichen Fourier-Transformation.

Definition und grundlegende Eigenschaften der Laplace-Transformation

Definition:

Laplace-Transformation: Mathem. Werkzeug zur Analyse und Lösung von linearen zeitinvarianten Systemen im Frequenzbereich.

Details:

• Definition: \(\begin{aligned} F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\}(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) \mathrm{d}t \end{aligned}\)
• Eindeutigkeit: Zuordnung von Zeitbereich zu Frequenzbereich eindeutig
• Linearität: \( \mathcal{L}\{a f(t) + b g(t)\} = a F(s) + b G(s) \)
• Verschiebung im Zeitbereich: \( \mathcal{L}\{f(t - t_0) u(t - t_0)\} = e^{-s t_0} F(s) \)
• Faltung: \( \mathcal{L}\{f(t) * g(t)\} = F(s) G(s) \)
• Transformation von Ableitungen: \( \mathcal{L}\{f'(t)\} = s F(s) - f(0) \)

Kirchhoffsche Gesetze

Definition:

Kirchhoffschen Gesetze beschreiben die Erhaltung von Ladung und Energie in elektrischen Netzwerken. Sie beinhalten das Knotenpunktgesetz (KCL) und das Maschengesetz (KVL).

Details:

• Knotenpunktgesetz (KCL): Summe der Ströme in einem Knoten ist Null: \( \sum{I_{ein}} = \sum{I_{aus}} \)
• Maschengesetz (KVL): Summe der Spannungen in einer geschlossenen Schleife ist Null: \( \sum{U_{Quelle}} - \sum{U_{Verbrauch}} = 0 \)
• Anwendung in der Analyse von elektrischen Schaltkreisen: Bestimmung von Strom- und Spannungsverteilung.

Maschen- und Knotenanalyse

Definition:

Methode zur Lösung von Netzwerken in der Elektrotechnik durch Anwendung der Kirchhoff'schen Regeln

Details:

• Knoten: Punkt im Netzwerk, an dem drei oder mehr Komponenten verbunden sind
• Knotenregel (KCL): \[ \text{Summe der Ströme in einem Knoten} = 0 \]
• Masche: Geschlossener Stromweg im Netzwerk
• Maschenregel (KVL): \[ \text{Summe der Spannungen in einer Masche} = 0 \]
• Matrixmethoden zur Vereinfachung

Typen von elektrischen Filtern (Tiefpass-, Hochpass-, Bandpass-, Bandsperrfilter)

Definition:

Unterscheidung und Charakteristik von elektrischen Filtern nach ihrer Frequenzabhängigkeit.

Details:

• Tiefpassfilter: Lässt Frequenzen unterhalb einer Grenzfrequenz passieren. Übertragungsfunktion: \[ H(s) = \frac{1}{1+sRC} \]
• Hochpassfilter: Lässt Frequenzen oberhalb einer Grenzfrequenz passieren. Übertragungsfunktion: \[ H(s) = \frac{sRC}{1+sRC} \]
• Bandpassfilter: Lässt Frequenzen innerhalb eines bestimmten Bereichs passieren. Übertragungsfunktion: \[ H(s) = \frac{sRC}{1+2zRC+(sRC)^2} \] Mit z als Dämpfungsfaktor.
• Bandsperrfilter: Blockiert Frequenzen innerhalb eines bestimmten Bereichs. Übertragungsfunktion: \[ H(s) = \frac{1+(sRC)^2}{1+2zRC+(sRC)^2} \] Mit z als Dämpfungsfaktor.

Abtasttheorem und Quantisierung

Definition:

Abtasttheorem beschreibt Voraussetzungen für die fehlerfreie Digitalisierung eines Signals durch Abtastung (Sampling), Quantisierung beschreibt die Diskretisierung der Amplitudenwerte.

Details:

• Gemäß dem Abtasttheorem muss die Abtastfrequenz mindestens doppelt so hoch sein wie die höchste Frequenz im Signal: \( f_s \geq 2f_{max} \).
• Alias-Effekte vermeiden durch richtige Wahl von \( f_s \).
• Quantisierung führt zu Quantisierungsrauschen; Quantisierungsstufen bestimmen Auflösung.
• Quantisierung kann uniform (gleichmäßig) oder nicht-uniform sein.

Modulationstechniken

Definition:

Techniken zur Anpassung des Informationssignals an den Übertragungskanal, um die Effizienz und Zuverlässigkeit der Übertragung zu verbessern.

Details:

• Arten der Modulation:

• Amplitudenmodulation (AM): \( s(t) = A_m \times (1 + m \times \text{cos}(\theta_m)) \times \text{cos}(\theta_c) \)
• Frequenzmodulation (FM): \( s(t) = A_m \times \text{cos}(\theta_c + m \times \text{cos}(\theta_m)) \)
• Phasenmodulation (PM): \( s(t) = A_m \times \text{cos}(\theta_c + k \times \theta_m) \)
• Zweck: Reduktion von Störungen, effiziente Nutzung von Bandbreite, Verbesserung der Signalqualität
• Anwendung: Rundfunk, Telekommunikation, Datenübertragung