Grundlagen der Elektrotechnik III - Exam

Aufgabe 1)

Die Fourier-Transformation wird zur Umwandlung einer zeitabhängigen Funktion in eine Frequenzdomain-Darstellung verwendet. Sie ist sowohl für periodische als auch für nicht periodische Signale anwendbar und wird in der Signalverarbeitung und -analyse verwendet. Die mathematischen Definitionen der Fourier-Transformation und ihrer Umkehrtransformation sind wie folgt gegeben:

• Definition: \[\hat{X}(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j 2 \pi f t} \, dt\]
• Umkehrtransformation: \[x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{X}(f) e^{j 2 \pi f t} \, df\]

a)

Für ein gegebenes Signal \(x(t) = e^{-t^2}\), berechne die Fourier-Transformation \( \hat{X}(f) \). Vereinfachungstipp: Nutze die Gauss-Integralformel für die Berechnung.

Lösung:

Um die Fourier-Transformation des gegebenen Signals \(x(t) = e^{-t^2}\) zu berechnen, können wir die Formel für die Fourier-Transformation verwenden:

• Definition: \[\hat{X}(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j 2 \pi f t} \, dt\]

Setze nun \(x(t) = e^{-t^2}\) in diese Formel ein:

• \(\hat{X}(f) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2} e^{-j 2 \pi f t} \, dt\)

Wir bemerken, dass dies ein komplexes Gauss-Integral ist. Nutze die Gauss-Integralformel:

• \(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-a t^2 + b t} \, dt = \sqrt{\frac{\pi}{a}} e^{\frac{b^2}{4a}}, \text{ für } a > 0\)

In unserer Situation ist \(a = 1\) und \(b = -j 2 \pi f\). Daher wird das Integral entsprechend zu:

• \(\hat{X}(f) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2 - j 2 \pi f t} \, dt\)
• Setze \(a = 1\) und \(b = -j 2 \pi f\) in die Gauss-Integralformel ein. Wir erhalten:
• \(\hat{X}(f) = \sqrt{\pi} \, e^{-\frac{(j 2 \pi f)^2}{4}} = \sqrt{\pi} \, e^{-\frac{-4 \pi^2 f^2}{4}}\)
• \(\hat{X}(f) = \sqrt{\pi} \, e^{-\pi^2 f^2}\)

Schließlich ergibt sich die Fourier-Transformation von \(x(t) = e^{-t^2}\) zu:

• \(\hat{X}(f) = \sqrt{\pi} \, e^{-\pi^2 f^2}\)

b)

Zeige, dass die Umkehrung der zuvor berechneten Fourier-Transformation wieder zum originalen Signal \(x(t)\) führt, indem Du die Umkehrtransformation anwendest. Stelle dabei sicher, dass Du alle Zwischenschritte aufzeichnest.

Lösung:

Um zu zeigen, dass die Umkehrung der zuvor berechneten Fourier-Transformation wieder zum originalen Signal \(x(t)\) führt, wenden wir die Umkehrtransformation an:

• Umkehrtransformation: \[x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{X}(f) e^{j 2 \pi f t} \, df\]

Die zuvor berechnete Fourier-Transformation des Signals \(x(t) = e^{-t^2}\) war:

• \(\hat{X}(f) = \sqrt{\pi} \, e^{-\pi^2 f^2}\)

Setze nun \(\hat{X}(f)\) in die Umkehrtransformation ein:

• \(x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} \sqrt{\pi} \, e^{-\pi^2 f^2} e^{j 2 \pi f t} \, df\)

Wir können \(\sqrt{\pi}\) als konstanten Faktor aus dem Integral herausziehen:

• \(x(t) = \sqrt{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\pi^2 f^2} e^{j 2 \pi f t} \, df\)

Betrachte nun das Integral:

• \(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\pi^2 f^2} e^{j 2 \pi f t} \, df\)

Dieses Integral hat die Form eines Standard-Gauss-integrals. Um es zu lösen, machen wir eine Vereinfachung. Betrachte \(f\) als Variable und beachte, dass es sich um ein Produkt-Integral eines exponentiellen Terms handelt:

• \(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\pi^2 f^2 + j 2 \pi f t} \, df\)

Der Integrand ist weiterhin eine exponentielle Funktion einer quadratischen Form. Um dieses Integral zu lösen, erinnern wir uns an die Formel für das Fourier-Integral einer Gaußfunktion:

• \(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-a f^2 + b f} \, df = \sqrt{\frac{\pi}{a}} e^{\frac{b^2}{4a}}\)

Setze \(a = \pi^2\) und \(b = j 2 \pi t\) ein:

• \(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\pi^2 f^2 + j 2 \pi f t} \, df = \sqrt{\frac{\pi}{\pi^2}} e^{\frac{(j 2 \pi t)^2}{4 \pi^2}}\)
• \(= \frac{1}{\sqrt{\pi}} e^{\frac{-4 \pi^2 t^2}{4 \pi^2}}\)
• \(= \frac{1}{\sqrt{\pi}} e^{-t^2}\)

Nun setzen wir dieses Ergebnis zurück in unsere Umkehrtransformation ein:

• \(x(t) = \sqrt{\pi} \times \frac{1}{\sqrt{\pi}} e^{-t^2}\)
• \(x(t) = e^{-t^2}\)

Dies zeigt, dass die Umkehrung der Fourier-Transformation tatsächlich wieder zum ursprünglichen Signal \(x(t) = e^{-t^2}\) führt.

c)

Angenommen, Du hast ein periodisches Signal mit der Form \(x(t) = \cos(2 \pi t)\). Berechne die Fourier-Transformation \( \hat{X}(f) \). Welche Frequenzkomponenten entdeckst Du im Frequenzspektrum?

Lösung:

Um die Fourier-Transformation des periodischen Signals \(x(t) = \cos(2 \pi t)\) zu berechnen, nutzen wir die Definition der Fourier-Transformation:

• Definition: \(\hat{X}(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j 2 \pi f t} \, dt\)

Das Signal \(x(t) = \cos(2 \pi t)\) kann in seine exponentielle Form zerlegt werden. Die Kosinusfunktion lässt sich als Summe zweier exponentieller Funktionen schreiben:

• \(\cos(2 \pi t) = \frac{1}{2} \left(e^{j 2 \pi t} + e^{-j 2 \pi t}\right)\)

Setzen wir diese Darstellung in die Fourier-Transformationsformel ein:

• \(\hat{X}(f) = \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} \left( e^{j 2 \pi t} + e^{-j 2 \pi t} \right) e^{-j 2 \pi f t} \, dt\)

Wir spalten das Integral in zwei separate Integrale auf:

• \(\hat{X}(f) = \frac{1}{2} \left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{j 2 \pi t} e^{-j 2 \pi f t} \, dt + \int_{-\infty}^{\infty} e^{-j 2 \pi t} e^{-j 2 \pi f t} \, dt \right)\)
• \(\hat{X}(f) = \frac{1}{2} \left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{j 2 \pi (1 - f) t} \, dt + \int_{-\infty}^{\infty} e^{-j 2 \pi (1 + f) t} \, dt \right)\)

Die Fourier-Transformation von exponentiellen Funktionen führt zu Delta-Distributionen. Betrachten wir die Integrale einzeln:

• \(\int_{-\infty}^{\infty} e^{j 2 \pi (1 - f) t} \, dt = \delta(f - 1)\)
• \(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-j 2 \pi (1 + f) t} \, dt = \delta(f + 1)\)

Setzen wir diese Resultate in die ursprüngliche Gleichung ein:

• \(\hat{X}(f) = \frac{1}{2} (\delta(f - 1) + \delta(f + 1))\)

Das Frequenzspektrum \(\hat{X}(f)\) besteht somit aus zwei Delta-Distributionen, die anzeigen, dass das ursprüngliche Signal \(\cos(2 \pi t)\) Frequenzkomponenten bei \(f = 1\) Hz und \(f = -1\) Hz besitzt. Daher lautet die Fourier-Transformation:

• \(\hat{X}(f) = \frac{1}{2} \delta(f - 1) + \frac{1}{2} \delta(f + 1)\)

Die Frequenzkomponenten im Frequenzspektrum sind also bei \(f = 1\) Hz und \(f = -1\) Hz und haben jeweils eine Amplitude von \(\frac{1}{2}\).

Aufgabe 2)

Gegeben sei eine Folge von Zeitwerten, die durch die diskrete Fourier-Transformation (DFT) in eine Frequenzdarstellung umgewandelt werden soll. Die DFT eines endlichen Signals erfolgt nach der Formel:

• Mathematische Formulierung: \(X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n \cdot e^{-j \cdot \frac{2\pi}{N} \cdot k \cdot n} \)
• Inverse DFT: \( x_n = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X_k \cdot e^{j \cdot \frac{2\pi}{N} \cdot k \cdot n} \)
• Anwendung: Signalverarbeitung, Bildanalyse, digitale Kommunikation.

a)

Teilaufgabe 1: Berechne die DFT der gegebenen Zeitfolge \( x = [3, 2, 0, -1] \).

• Vergiss nicht die allgemeine Formel der DFT zu verwenden:
• \(X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n \cdot e^{-j \cdot \frac{2\pi}{N} \cdot k \cdot n} \)
• Überprüfe die Ergebnisse für jeden Wert von \(k\> ( \(0 \leq k \< N\)).

Lösung:

Teilaufgabe 1: Berechne die DFT der gegebenen Zeitfolge x = [3, 2, 0, -1].

Die allgemeine Formel für die DFT lautet:

• \( X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n \cdot e^{-j \cdot \frac{2\pi}{N} \cdot k \cdot n} \)

In unserem Fall haben wir N = 4 (da die Länge des Signals 4 ist). Wir berechnen X_k für jeden Wert von k (\(0 \leq k \lt N\)).

• 1. Für k = 0:

• \(X_0 = \sum_{n=0}^{3} x_n \cdot e^{-j \cdot \frac{2\pi}{4} \cdot 0 \cdot n} \)

Da \(e^{0} = 1\) für jeden \(n\), ist:

• \(X_0 = 3 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + 0 \cdot 1 - 1 \cdot 1 = 3 + 2 + 0 - 1 = 4 \)

\(X_0 = 4\)

• 2. Für k = 1:

• \(X_1 = \sum_{n=0}^{3} x_n \cdot e^{-j \cdot \frac{2\pi}{4} \cdot 1 \cdot n} \)

Dies ergibt:

• \(X_1 = 3 \cdot e^{0} + 2 \cdot e^{-j \cdot \frac{2\pi}{4} \cdot 1} + 0 \cdot e^{-j \cdot \frac{2\pi}{4} \cdot 2} - 1 \cdot e^{-j \cdot \frac{2\pi}{4} \cdot 3} \)
• \(X_1 = 3 + 2 \cdot \left(\cos(-\frac{\pi}{2}) + j\sin(-\frac{\pi}{2})\right) + 0 - 1 \cdot \left(\cos(-\frac{3\pi}{2}) + j\sin(-\frac{3\pi}{2})\right) \)
• \(X_1 = 3 + 2 \cdot (0 - j) - 1 \cdot (0 + j) \)
• \(X_1 = 3 - 2j + j \)

\(X_1 = 3 - j\)

• 3. Für k = 2:

• \(X_2 = \sum_{n=0}^{3} x_n \cdot e^{-j \cdot \frac{2\pi}{4} \cdot 2 \cdot n} \)

Dies ergibt:

• \(X_2 = 3 \cdot e^{0} + 2 \cdot e^{-j \cdot \frac{4\pi}{4} \cdot 1} + 0 \cdot e^{-j \cdot \frac{4\pi}{4} \cdot 2} - 1 \cdot e^{-j \cdot \frac{4\pi}{4} \cdot 3} \)
• \(X_2 = 3 + 2 \cdot e^{-j\pi} + 0 - 1 \cdot e^{-j\pi} \)
• \(X_2 = 3 + 2 \cdot (-1) - 1 \cdot (-1) \)

\(X_2 = 3 - 2 + 1 = 2\)

• 4. Für k = 3:

• \(X_3 = \sum_{n=0}^{3} x_n \cdot e^{-j \cdot \frac{2\pi}{4} \cdot 3 \cdot n} \)

Dies ergibt:

• \(X_3 = 3 \cdot e^{0} + 2 \cdot e^{-j \cdot \frac{6\pi}{4} \cdot 1} + 0 \cdot e^{-j \cdot \frac{6\pi}{4} \cdot 2} - 1 \cdot e^{-j \cdot \frac{6\pi}{4} \cdot 3} \)
• \(X_3 = 3 + 2 \cdot e^{-j\frac{3\pi}{2}} + 0 - 1 \cdot e^{-j\frac{9\pi}{2}} \)
• \(X_3 = 3 + 2(0 + j) - 1(0 - j) \)
• \(X_3 = 3 + 2j + j \)

\(X_3 = 3 + 3j\)

Zusammenfassend erhalten wir:

• \(X_0 = 4\)
• \(X_1 = 3 - j\)
• \(X_2 = 2\)
• \(X_3 = 3 + 3j\)

Aufgabe 3)

Betrachte das folgende lineare zeitinvariante System, das durch eine Differentialgleichung 2. Ordnung beschrieben wird:

• \begin{aligned} y''(t) + 3y'(t) + 2y(t) = u(t) \text{, wobei } y(0) = 1 \text{ und } y'(0) = 0 \text{ sind.}

Hinweis: Nutze die Laplace-Transformation, um die Lösung im Frequenzbereich zu finden.

a)

Finde die Laplace-Transformation der gegebenen Differentialgleichung. Zeige dabei jeden Schritt der Anwendung der Transformationen. Nutze die Informationen aus der Vorlesung, wie die Transformation von Ableitungen und die Linearität der Laplace-Transformation. Die Laplace-Transformation von \textit{u(t)} ist \textit{U(s)}.

Lösung:

Betrachte das folgende lineare zeitinvariante System, das durch eine Differentialgleichung 2. Ordnung beschrieben wird:

• \[y''(t) + 3y'(t) + 2y(t) = u(t)\], wobei \(y(0) = 1\) und \(y'(0) = 0\) sind.

Hinweis: Nutze die Laplace-Transformation, um die Lösung im Frequenzbereich zu finden.Lösung des Unterexercises:Um die Laplace-Transformation der gegebenen Differentialgleichung zu finden, befolgen wir die Schritte:

• Nehmen wir die Laplace-Transformation der gesamten Differentialgleichung. Wir nutzen die folgende Regeln:
  • Die Laplace-Transformation der Ableitung: \(\mathcal{L}\{y'(t)\} = sY(s) - y(0)\)
  • Die Laplace-Transformation der zweiten Ableitung: \(\mathcal{L}\{y''(t)\} = s^2Y(s) - sy(0) - y'(0)\)
  • Die Linearität der Laplace-Transformation: \(\mathcal{L}\{a y_1(t) + b y_2(t)\} = a\mathcal{L}\{y_1(t)\} + b\mathcal{L}\{y_2(t)\}\)
• Anwendung der Laplace-Transformation auf beide Seiten der Gleichung:
  • \[\mathcal{L}\{y''(t)\} + 3\mathcal{L}\{y'(t)\} + 2\mathcal{L}\{y(t)\} = \mathcal{L}\{u(t)\}\]
• Verwenden der Laplace-Transformationsregeln für die Ableitungen:
  • \[\mathcal{L}\{y''(t)\} = s^2Y(s) - sy(0) - y'(0)\]
  • \[\mathcal{L}\{y'(t)\} = sY(s) - y(0)\]
• Einsetzen der Anfangswerte \(y(0) = 1\) und \(y'(0) = 0\) in die Gleichungen:
  • \[\mathcal{L}\{y''(t)\} = s^2Y(s) - s \cdot 1 - 0 = s^2Y(s) - s\]
  • \[\mathcal{L}\{y'(t)\} = sY(s) - 1\]
• Ersetzen der transformierten Terme in die ursprüngliche Gleichung:
  • \[s^2Y(s) - s + 3(sY(s) - 1) + 2Y(s) = U(s)\]
• Zusammenfassen der Gleichung:
  • \[s^2Y(s) - s + 3sY(s) - 3 + 2Y(s) = U(s)\]
  • \[s^2Y(s) + 3sY(s) + 2Y(s) - s - 3 = U(s)\]
  • \[(s^2 + 3s + 2)Y(s) = U(s) + s + 3\]

Die Laplace-Transformation der gegebenen Differentialgleichung ist:

• \[Y(s) = \frac{U(s) + s + 3}{s^2 + 3s + 2}\]

b)

Bestimme die Laplace-Transformation der Anfangsbedingungen \textit{y(0) = 1} und \textit{y'(0) = 0}. Integriere diese in die transformierte Differentialgleichung.

Lösung:

Betrachte das folgende lineare zeitinvariante System, das durch eine Differentialgleichung 2. Ordnung beschrieben wird:

• \(y''(t) + 3y'(t) + 2y(t) = u(t)\), wobei \(y(0) = 1\) und \(y'(0) = 0\) sind.

Hinweis: Nutze die Laplace-Transformation, um die Lösung im Frequenzbereich zu finden.Lösung des Unterexercises:Um die Laplace-Transformation der Anfangsbedingungen zu bestimmen und sie in die transformierte Differentialgleichung zu integrieren, gehen wir folgendermaßen vor:1. **Bestimmung der Laplace-Transformation der Anfangsbedingungen:**

• Für die Anfangsbedingung \(y(0) = 1\) und die Laplace-Transformation der ersten Ableitung gilt:\(\begin{aligned} \mathcal{L}\{y'(t)\} = sY(s) - y(0) \end{aligned}\):
  • Das ergibt: \(\mathcal{L}\{y'(t)\} = sY(s) - 1\).
• Für die Anfangsbedingung \(y'(0) = 0\) und die Laplace-Transformation der zweiten Ableitung gilt:\(\begin{aligned} \mathcal{L}\{y''(t)\} = s^2Y(s) - sy(0) - y'(0) \end{aligned}\):
  • Das ergibt: \(\mathcal{L}\{y''(t)\} = s^2Y(s) - s \cdot 1 - 0 = s^2Y(s) - s\).

2. **Integration der Laplace-Transformation in die transformierte Differentialgleichung:**

• Anwenden der Laplace-Transformation auf die gesamte Differentialgleichung:\(\begin{aligned} \mathcal{L}\{y''(t) + 3y'(t) + 2y(t) = u(t)\} \end{aligned}\):
  • Dies ergibt: \(\mathcal{L}\{y''(t)\} + 3\mathcal{L}\{y'(t)\} + 2\mathcal{L}\{y(t)\} = \mathcal{L}\{u(t)\}\).
• Ersetzen der transformierten Terme durch die zuvor bestimmten Ausdrücke:
  • \(s^2Y(s) - s + 3(sY(s) - 1) + 2Y(s) = U(s)\).
• Zusammenfassen und faktorisieren:
  • \(s^2Y(s) - s + 3sY(s) - 3 + 2Y(s) = U(s)\).
  • \((s^2 + 3s + 2)Y(s) = U(s) + s + 3\).

Die resultierende transformierte Differentialgleichung lautet:

• \((s^2 + 3s + 2)Y(s) = U(s) + s + 3\).

c)

Löse die resultierende algebraische Gleichung für \textit{Y(s)}, die Laplace-Transformierte der Funktion \textit{y(t)}.

Lösung:

Betrachte das folgende lineare zeitinvariante System, das durch eine Differentialgleichung 2. Ordnung beschrieben wird:

• \(y''(t) + 3y'(t) + 2y(t) = u(t)\), wobei \(y(0) = 1\) und \(y'(0) = 0\) sind.

Hinweis: Nutze die Laplace-Transformation, um die Lösung im Frequenzbereich zu finden.Lösung des Unterexercises:Um die resultierende algebraische Gleichung für \(Y(s)\), die Laplace-Transformierte der Funktion \(y(t)\), zu lösen, führen wir folgende Schritte durch:1. **Bestimmen der bereits erarbeiteten transformierten Gleichung:**

• Die vorherige task hat die resultierende transformierte Differentialgleichung geliefert:
  • \((s^2 + 3s + 2)Y(s) = U(s) + s + 3\).

2. **Umstellen nach \(Y(s)\):**

• Teilen der gesamten Gleichung durch \((s^2 + 3s + 2)\):
  • \(Y(s) = \frac{U(s) + s + 3}{s^2 + 3s + 2}\).

3. **Faktorisieren des Nenners, falls möglich:**

• Den Nenner \((s^2 + 3s + 2)\) kann man faktorisieren:
  • \(s^2 + 3s + 2 = (s + 1)(s + 2)\).

4. **Ersetzen der faktoriellen Form in die Gleichung:**

• Die revidierte Gleichung wird:
  • \(Y(s) = \frac{U(s) + s + 3}{(s + 1)(s + 2)}\).

Die Lösung für \(Y(s)\), die Laplace-Transformierte der Funktion \(y(t)\), ist:

• \(Y(s) = \frac{U(s) + s + 3}{(s + 1)(s + 2)}\).

d)

Führe die Inverse Laplace-Transformation durch, um die Zeitbereichslösung \textit{y(t)} zu finden. Nutze dabei Partialbruchzerlegung, falls nötig. Erläutere und zeige alle Schritte ausführlich.

Lösung:

Betrachte das folgende lineare zeitinvariante System, das durch eine Differentialgleichung 2. Ordnung beschrieben wird:

• \[y''(t) + 3y'(t) + 2y(t) = u(t)\], wobei \(y(0) = 1\) und \(y'(0) = 0\) sind.

Hinweis: Nutze die Laplace-Transformation, um die Lösung im Frequenzbereich zu finden.Lösung des Unterexercises:Um die Zeitbereichslösung \(y(t)\) mittels inverser Laplace-Transformation zu finden, befolgen wir die Schritte:1. **Resultierende transformierte Gleichung:** Die transformierte Gleichung lautet:

• \[Y(s) = \frac{U(s) + s + 3}{(s + 1)(s + 2)}\]

2. **Partialbruchzerlegung der Funktion:**Um die inverse Laplace-Transformation anzuwenden, zerlegen wir den Bruch in Partialbrüche:

• \[\frac{U(s) + s + 3}{(s + 1)(s + 2)} = \frac{A}{s + 1} + \frac{B}{s + 2}\]

Bestimmen wir die Werte der Konstanten \(A\) und \(B\):

• \[U(s) + s + 3 = A(s + 2) + B(s + 1)\]

Bei \(s = -1\):

• \[U(-1) - 1 + 3 = A(-1 + 2) + B(-1 + 1)\]
• \[U(-1) + 2 = A(1) + B(0)\]
• \[A = U(-1) + 2\]

Bei \(s = -2\):

• \[U(-2) - 2 + 3 = A(-2 + 2) + B(-2 + 1)\]
• \[U(-2) + 1 = B(-1)\]
• \[B = -(U(-2) + 1)\]

Die Partialbruchzerlegung lautet dann:

• \[\frac{U(s) + s + 3}{(s + 1)(s + 2)} = \frac{U(-1) + 2}{s + 1} + \frac{-(U(-2) + 1)}{s + 2}\]

3. **Anwendung der inversen Laplace-Transformation:**Jeder Bruch wird nun invers transformiert:

• \(\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{U(-1) + 2}{s + 1}\right\} = (U(-1) + 2) e^{-t}\)
• \(\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{-(U(-2) + 1)}{s + 2}\right\} = -(U(-2) + 1) e^{-2t}\)

Die Zeitbereichslösung lautet dann:

• \[y(t) = (U(-1) + 2) e^{-t} - (U(-2) + 1) e^{-2t}\]

Zusammenfassung:Durch die Anwendung von Partialbruchzerlegung und inverse Laplace-Transformation haben wir die Zeitbereichslösung \(y(t)\) bestimmt:

• \[y(t) = (U(-1) + 2) e^{-t} - (U(-2) + 1) e^{-2t}\]

Aufgabe 4)

In einem gegebenen elektrischen Netzwerk mit drei Knotenpunkten A, B und C sind mehrere Widerstände und Spannungsquellen verbunden. Das Netzwerk besteht aus den folgenden Komponenten und Verbindungen:

• Knoten A ist mit Knoten B durch einen Widerstand R1 und eine Spannungsquelle V1 verbunden.
• Knoten B ist mit Knoten C durch einen Widerstand R2 verbunden.
• Knoten C ist mit Knoten A durch einen Widerstand R3 und eine Spannungsquelle V2 verbunden.
• Mit diesen Informationen und dem Wissen über die Kirchhoffschen Gesetze (Knotenpunktgesetz KCL und Maschengesetz KVL), analysiere das Netzwerk, um die unbekannten Ströme und Spannungen zu bestimmen.

a)

• (a) Wende das Knotenpunktgesetz (KCL) auf die Knoten A, B und C an, um die Gleichungen für die Ströme I1, I2 und I3 zu erstellen. Gehe davon aus, dass der Strom I1 von Knoten A nach B fließt, I2 von Knoten B nach C und I3 von Knoten C nach A.
• Hinweis: Die Summe der einfließenden und ausfließenden Ströme an jedem Knoten muss Null sein.

Lösung:

Um die unbekannten Ströme I1, I2 und I3 in einem gegebenen elektrischen Netzwerk zu bestimmen, wenden wir das Knotenpunktgesetz (KCL) an. Hier ist die detaillierte Schritt-für-Schritt-Anleitung zur Erstellung der Gleichungen:

• (i) Knotenpunkt A

  Betrachten wir Knotenpunkt A. Angenommen, der Strom I1 fließt von Knoten A nach B, und der Strom I3 fließt von Knoten C nach A. Nach dem Knotenpunktgesetz gilt:

  \[ I1 + I3 = 0 \]

  Dieses Gleichgewicht bedeutet, dass der Strom, der in Knoten A einfließt (I3), gleich dem Strom ist, der aus Knoten A ausfließt (I1).

• (ii) Knotenpunkt B

  Betrachten wir Knotenpunkt B. Angenommen, der Strom I1 kommt von Knoten A nach B und der Strom I2 fließt von Knoten B nach C. Nach dem Knotenpunktgesetz gilt:

  \[ I1 - I2 = 0 \]

  Dies impliziert, dass der Strom, der in Knoten B einfließt (I1), gleich dem Strom ist, der aus Knoten B ausfließt (I2).

• (iii) Knotenpunkt C

  Betrachten wir Knotenpunkt C. Angenommen, der Strom I2 kommt von Knoten B nach C und der Strom I3 fließt von Knoten C nach A. Nach dem Knotenpunktgesetz gilt:

  \[ I2 - I3 = 0 \]

  Dies bedeutet, dass der Strom, der in Knoten C einfließt (I2), gleich dem Strom ist, der aus Knoten C ausfließt (I3).

Zusammengefasst ergeben die KCL-Gleichungen an den Knotenpunkten A, B und C:

• Knoten A: \[ I1 + I3 = 0 \]
• Knoten B: \[ I1 - I2 = 0 \]
• Knoten C: \[ I2 - I3 = 0 \]

Diese Gleichungen können verwendet werden, um die unbekannten Ströme im Netzwerk zu berechnen. Da alle drei Ströme gleich sind (\[ I1 = I2 = I3 \]), können wir dies im weiteren Verlauf der Analyse nutzen. Im nächsten Schritt würden wir das Maschengesetz (KVL) anwenden, um die Spannungen zu bestimmen.

b)

• (b) Wende das Maschengesetz (KVL) auf die beiden geschlossenen Schleifen A-B-C-A und B-C-B an, um die Gleichungen für die Spannungen zu erstellen.
• Hinweis: Die Summe der Spannungen in jeder geschlossenen Schleife muss Null sein. Berücksichtige dabei die Orientierungen der Spannungen und die Vorzeichen.

Lösung:

Um die unbekannten Spannungen in einem gegebenen elektrischen Netzwerk zu bestimmen, wenden wir das Maschengesetz (KVL) auf die beiden geschlossenen Schleifen an. Hier sind die detaillierten Schritte zur Erstellung der Gleichungen:

• (i) Schleife A-B-C-A

  Betrachten wir die Schleife A-B-C-A. Gehe in der Richtung A → B → C → A und berücksichtige die Spannungen und Widerstände. Nach dem Maschengesetz gilt:

  \( -V1 + I1 \times R1 + I2 \times R2 + V2 + I3 \times R3 = 0 \)

  Da gemäß KCL alle Ströme gleich sind (\(I1 = I2 = I3 = I\)), vereinfacht sich dies zu:

  \[ -V1 + I \times R1 + I \times R2 + V2 + I \times R3 = 0 \]

  \[ -V1 + I(R1 + R2 + R3) + V2 = 0 \]

  Dies führt zu:

  \[ I(R1 + R2 + R3) = V1 - V2 \]

  \[ I = \frac{V1 - V2}{R1 + R2 + R3} \]

• (ii) Schleife B-C-B

  Betrachte die Schleife B → C → B. Diese Schleife ist nicht sinnvoll, da sie nur aus zwei Knoten besteht und die bereits betrachteten Elemente von A-B-C-A enthält. Wir betrachten stattdessen eine mögliche alternative Schleife, die jedoch gleichwertig ist:

  \( V2 + I3 \times R3 - V1 + I1 \times R1 = 0 \)

  Angenommen, dass \(I3=I1 =I\), vereinfacht sich dies zu:

  \[ V2 + I \times R3 - V1 + I \times R1 = 0 \]

  \[ V2 - V1 + I \times (R1 + R3) = 0 \]

  \[ I \times (R1 + R3) = V1 - V2 \]

  \[ I = \frac{V1 - V2}{R1 + R3} \]

Zusammengefasst ergeben die KVL-Gleichungen für die beiden geschlossenen Schleifen in dem Netzwerk die Gleichungen:

• Schleife A-B-C-A: \( I = \frac{V1 - V2}{R1 + R2 + R3} \)
• Alternative Schleife B-C-B: \( I = \frac{V1 - V2}{R1 + R3} \)

Diese Gleichungen können verwendet werden, um die unbekannten Spannungen im Netzwerk zu berechnen. Beachte, dass die zweite Schleife B-C-B aufgrund der Einfachheit und Wiederholbarkeit nicht bedeutungsvoll ist. Im nächsten Schritt können wir diese Analysen weiterführen, um spezifische Spannungen über die einzelnen Widerstände zu ermitteln.

c)

• (c) Löse die Gleichungssysteme aus den Teilen (a) und (b), um die unbekannten Ströme I1, I2 und I3 zu bestimmen. Bestimme auch die Spannungsabfälle über die Widerstände R1, R2 und R3.
• Hinweis: Setze für die Widerstände R1, R2 und R3 sowie die Spannungsquellen V1 und V2 spezifische Werte an, um numerische Berechnungen durchzuführen.

Lösung:

Um die Gleichungssysteme aus den Teilen (a) und (b) zu lösen und die unbekannten Ströme I1, I2 und I3 sowie die Spannungsabfälle über die Widerstände R1, R2 und R3 zu bestimmen, setzen wir konkrete Werte für R1, R2, R3, V1 und V2 an. Angenommen, wir haben die folgenden Werte:

• R1 = 2 Ω
• R2 = 3 Ω
• R3 = 4 Ω
• V1 = 10 V
• V2 = 5 V

Aus den KCL-Gleichungen in Teil (a) wissen wir:

• Knoten A: \(I1 + I3 = 0\)
• Knoten B: \(I1 - I2 = 0\)
• Knoten C: \(I2 - I3 = 0\)

Diese Gleichungen implizieren, dass:

\(I1 = I2 = I3\)

Aus dem KVL in Teil (b) haben wir für die Schleife A-B-C-A:

\[-V1 + I1 \, R1 + I2 \, R2 + V2 + I3 \, R3 = 0\]

Da \(I1 = I2 = I3 = I\), vereinfacht sich dies zu:

\[-V1 + I \, (R1 + R2 + R3) + V2 = 0\]

Setzen wir die konkreten Werte ein:

\[-10 + I \, (2 + 3 + 4) + 5 = 0\]

\[-10 + 9I + 5 = 0\]

\[9I - 5 = 0\]

\[9I = 5\]

\[I = \frac{5}{9} A\]

Da \(I1 = I2 = I3 = I\), haben wir:

\[I1 = I2 = I3 = \frac{5}{9} A\]

Nun berechnen wir die Spannungsabfälle über die Widerstände:

• Spannungsabfall über R1: \(V_{R1} = I1 \, R1 = \frac{5}{9} \, 2 = \frac{10}{9} V\)
• Spannungsabfall über R2: \(V_{R2} = I2 \, R2 = \frac{5}{9} \, 3 = \frac{15}{9} V = \frac{5}{3} V\)
• Spannungsabfall über R3: \(V_{R3} = I3 \, R3 = \frac{5}{9} \, 4 = \frac{20}{9} V\)

Zusammengefasst:

• Die Ströme I1, I2 und I3 sind alle gleich: \(I1 = I2 = I3 = \frac{5}{9} A\)
• Die Spannungsabfälle über die Widerstände sind:
• R1: \(\frac{10}{9} V\)
• R2: \(\frac{5}{3} V\)
• R3: \(\frac{20}{9} V\)

Diese numerischen Werte bieten eine klare Vorstellung der Ströme und Spannungsabfälle im Netzwerk.