Grundlagen der Messtechnik - Exam

Aufgabe 1)

Du arbeitest in einem Forschungslabor und hast die Aufgabe, präzise Messungen durchzuführen und diese zu analysieren. Die Erfassung und Interpretation physikalischer Größen sind von zentraler Bedeutung, um die Eigenschaften und Zustände der untersuchten Objekte zu bestimmen. Beachte dabei immer den Einfluss von Umweltbedingungen, die Notwendigkeit der Kalibrierung von Messgeräten und die Auflösung der Messgeräte. Ferner ist es wichtig, zwischen systematischen und zufälligen Messfehlern zu unterscheiden und den Gesamteinfluss dieser Fehler auf die Messung zu berücksichtigen.

a)

• Theoretische Frage: Erläutere den Unterschied zwischen systematischen und zufälligen Messfehlern. Wie beeinflussen diese die Genauigkeit und Präzision einer Messung? Verwende dabei die relevante Gleichung \( \text{Messwert} = \text{Wahrer Wert} + \text{Fehler} \) zur Veranschaulichung.

Lösung:

• Theoretische Frage: Erläutere den Unterschied zwischen systematischen und zufälligen Messfehlern. Wie beeinflussen diese die Genauigkeit und Präzision einer Messung? Verwende dabei die relevante Gleichung \( \text{Messwert} = \text{Wahrer Wert} + \text{Fehler} \) zur Veranschaulichung.

1. Unterschied zwischen systematischen und zufälligen Messfehlern:

• Systematische Fehler: Diese Fehler treten auf, wenn das Messgerät oder die Messmethode konstant falsche Ergebnisse liefert. Diese Fehler führen dazu, dass alle Messwerte in eine bestimmte Richtung (entweder zu hoch oder zu niedrig) abweichen. Beispiele hierfür sind Kalibrierfehler oder temperaturempfindliche Messgeräte.Ein systematischer Fehler beeinflusst die Genauigkeit der Messung, d.h., wie nah der gemessene Wert am wahren Wert liegt. Wenn ein systematischer Fehler vorliegt, kann der Mittelwert der Messungen zwar sehr präzise sein, aber dennoch sind die Werte weniger genau.
• Zufällige Fehler: Diese Fehler sind unvorhersehbar und variieren ohne erkennbares Muster. Sie können durch Schwankungen in den Umweltbedingungen, unsaubere Messoberflächen oder zufällige Schwankungen im Messgerät verursacht werden. Zufällige Fehler betreffen die Präzision der Messung, d.h., wie reproduzierbar die Messwerte sind. Hohe Präzision bedeutet, dass die Messwerte eng beieinander liegen, selbst wenn sie möglicherweise nicht genau sind.

Die Formel zur Veranschaulichung lautet:

\( \text{Messwert} = \text{Wahrer Wert} + \text{Fehler} \)

2. Einfluss auf Genauigkeit und Präzision:

• Genauigkeit: Wird durch systematische Fehler vermindert. Ein systematischer Fehler verschiebt den Mittelwert der gemessenen Werte vom wahren Wert. Daher führt ein systematischer Fehler zu einer konstanten Abweichung. Man kann die Genauigkeit verbessern, indem man den systematischen Fehler identifiziert und korrigiert.
• Präzision: Wird durch zufällige Fehler beeinflusst. Diese führen dazu, dass die Messwerte um den Mittelwert streuen. Hohe Präzision bedeutet, dass diese Streuung gering ist. Präzision kann durch Wiederholung der Messung und Mittelung der Ergebnisse verbessert werden, was den Einfluss zufälliger Fehler vermindert.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass systematische Fehler die Genauigkeit der Messung beeinflussen und zufällige Fehler die Präzision. Beide Fehlerarten müssen minimiert werden, um zuverlässige und reproduzierbare Messungen zu erhalten.

b)

• Praktische Aufgabe: Angenommen, Du misst die Länge eines Objekts mehrfach und erhältst folgende Werte in Millimetern: 100.1, 100.3, 99.9, 100.4 und 100.2. Bestimme den durchschnittlichen Messwert und die Standardabweichung dieser Messreihe. Gehe dabei von einer Kalibrierung der Messgeräte aus und bespreche mögliche Einflussfaktoren, die zu systematischen oder zufälligen Fehlern geführt haben könnten.

Lösung:

• Praktische Aufgabe: Angenommen, Du misst die Länge eines Objekts mehrfach und erhältst folgende Werte in Millimetern: 100.1, 100.3, 99.9, 100.4 und 100.2. Bestimme den durchschnittlichen Messwert und die Standardabweichung dieser Messreihe. Gehe dabei von einer Kalibrierung der Messgeräte aus und bespreche mögliche Einflussfaktoren, die zu systematischen oder zufälligen Fehlern geführt haben könnten.

1. Bestimmung des durchschnittlichen Messwerts:

Um den durchschnittlichen (mittleren) Messwert zu ermitteln, berechnen wir das arithmetische Mittel der gegebenen Messwerte.

• Messwerte: 100.1, 100.3, 99.9, 100.4, 100.2 mm
• Durchschnittlicher Messwert \( \bar{x} \) = \( \frac{100.1 + 100.3 + 99.9 + 100.4 + 100.2}{5} \)
• \( \bar{x} = \frac{500.9}{5} = 100.18 \) mm

2. Bestimmung der Standardabweichung:

Die Standardabweichung \( \sigma \) zeigt die Streuung der Messwerte um den Mittelwert. Dafür verwenden wir die Formel:

\( \sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \bar{x})^2} \)

• \( N = 5 \)
• \( \bar{x} = 100.18 \) mm
• \( x_i \) sind die einzelnen Messwerte.
• Berechnung der Abweichungen und Quadrierungen:
• \( (100.1 - 100.18)^2 = 0.0064 \)
• \( (100.3 - 100.18)^2 = 0.0144 \)
• \( (99.9 - 100.18)^2 = 0.0784 \)
• \( (100.4 - 100.18)^2 = 0.0484 \)
• \( (100.2 - 100.18)^2 = 0.0004 \)
• Summe der quadrierten Abweichungen: 0.0064 + 0.0144 + 0.0784 + 0.0484 + 0.0004 = 0.148
• Varianz \( \sigma^2 = \frac{0.148}{5} = 0.0296 \)
• Standardabweichung \( \sigma = \sqrt{0.0296} \approx 0.172 \) mm

3. Diskussion der möglichen Einflussfaktoren:

• Systematische Fehler: Obgleich die Kalibrierung der Messgeräte durchgeführt wurde, können bestimmte systematische Fehler auftreten:- Temperaturänderungen im Raum, die das Messgerät oder das Objekt beeinflussen.- Verschleiß oder schlechter Zustand des Messgeräts.- Ungenauigkeiten bei der Kalibrierung selbst.
• Zufällige Fehler: Diese Fehler können durch variierende Umgebungsbedingungen oder Bedienungsfehler entstehen:- Schwankungen in der Raumtemperatur.- Unterschiede in der Handhabung des Messgeräts.- Störungen durch Vibrationen oder andere äußere Einflüsse.

Zusammenfassend zeigt die Berechnung des Durchschnitts und der Standardabweichung, dass die Messungen relativ präzise sind. Dennoch könnten sowohl systematische als auch zufällige Fehlerquellen vorhanden sein, die die Genauigkeit und Präzision der Messungen beeinflussen.

Aufgabe 2)

Kontext: Bei der Messung einer physikalischen Größe treten verschiedene Arten von Messfehlern und Messunsicherheiten auf. Du führst eine Serie von Messungen eines Widerstands durch und erhältst dabei die folgenden Werte in Ohm: 98,5, 99,0, 98,8, 99,2, 98,9. Der tatsächliche Wert des Widerstands beträgt 99,0 Ohm.

a)

• a) Bestimme den systematischen Fehler für die gegebenen Messungen und belege Deine Berechnung mit dem tatsächlichen Wert des Widerstands. Berechne dazu den Mittelwert der Messwerte und ziehe den tatsächlichen Wert des Widerstands ab.
• b) Berechne den zufälligen Fehler (Standardabweichung) für die gegebenen Messungen.
• c) Angenommen, der Konfidenzfaktor bei einer Vertrauenswahrscheinlichkeit von 95 % beträgt 2. Berechne die Messunsicherheit für die gemessenen Widerstandswerte.

Lösung:

Lösung

• a) Bestimme den systematischen Fehler für die gegebenen Messungen und belege Deine Berechnung mit dem tatsächlichen Wert des Widerstands. Berechne dazu den Mittelwert der Messwerte und ziehe den tatsächlichen Wert des Widerstands ab.

Gegeben sind die Messwerte: 98,5 Ohm, 99,0 Ohm, 98,8 Ohm, 99,2 Ohm und 98,9 Ohm.

• Schritt 1: Berechne den Mittelwert der Messwerte (\(\bar{x}\)).
• Der Mittelwert (\(\bar{x}\)) berechnet sich wie folgt:
• \(\bar{x} = \frac{1}{n} \times (x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5)\)
• \(\bar{x} = \frac{1}{5} \times (98,5 + 99,0 + 98,8 + 99,2 + 98,9) = \frac{1}{5} \times 494,4 = 98,88\)
• Schritt 2: Berechne den systematischen Fehler, indem Du den tatsächlichen Wert des Widerstands abziehst:
• (Systematischer Fehler) = (Mittelwert) - (Tatsächlicher Wert)
• (Systematischer Fehler) = 98,88 Ohm - 99,0 Ohm = -0,12 Ohm.

Der systematische Fehler beträgt -0,12 Ohm.

• b) Berechne den zufälligen Fehler (Standardabweichung) für die gegebenen Messungen.

  • Schritt 1: Bestimme die Abweichungen jedes Messwertes vom Mittelwert:
  • \(e_i = x_i - \bar{x}\)
  • z.B. \(e_1 = 98,5 - 98,88 = -0,38\)
  • Schritt 2: Quadriere diese Abweichungen:
  • z.B. \((e_1)^2 = (-0,38)^2 = 0,1444\)
  • Schritt 3: Addiere alle quadrierten Abweichungen:
  • \(\text{Summe der quadrierten Abweichungen} = 0,1444 + 0,0144 + 0,0064 + 0,1024 + 0,0001 = 0,2677\)
  • Schritt 4: Teile die Summe der quadrierten Abweichungen durch die Anzahl der Messungen (n):
  • \(\frac{0,2677}{5 - 1} = \frac{0,2677}{4} = 0,066925\)
  • Schritt 5: Ziehe aus diesem Ergebnis die Quadratwurzel:
  • Die Standardabweichung (\(\sigma\)) berechnet sich wie folgt:
  • \(\sigma = \sqrt{0,066925} \approx 0,2587\).

  Die Standardabweichung beträgt ca. 0,2587 Ohm.

• c) Angenommen, der Konfidenzfaktor bei einer Vertrauenswahrscheinlichkeit von 95% beträgt 2. Berechne die Messunsicherheit für die gemessenen Widerstandswerte.

  • Die Messunsicherheit (\(U\)) berechnet sich wie folgt:
  • \(U = k \times \sigma\)
  • wobei \(k\) der Konfidenzfaktor und \(\sigma\) die Standardabweichung ist.
  • \(U = 2 \times 0,2587 = 0,5174\)

  Die Messunsicherheit beträgt 0,5174 Ohm.

Aufgabe 3)

Angenommen, Du misst die Länge eines Objekts mehrfach mit einem Lineal und erhältst die folgenden Messwerte in cm: 20,1, 19,9, 20,0, 20,2, 19,8.

a)

Berechne den Mittelwert (Durchschnitt) der Messwerte. Zeige alle Zwischenschritte.

Lösung:

Berechnung des Mittelwerts (Durchschnitts) der Messwerte:

• Gegebene Messwerte: 20,1 cm, 19,9 cm, 20,0 cm, 20,2 cm, 19,8 cm
• Zuerst addierst Du alle Messwerte:

20,1 + 19,9 + 20,0 + 20,2 + 19,8

Die Summe der Messwerte ist:

• 20,1 + 19,9 = 40,0
• 40,0 + 20,0 = 60,0
• 60,0 + 20,2 = 80,2
• 80,2 + 19,8 = 100,0

Also ist die Gesamtsumme der Messwerte:

100,0 cm

• Anzahl der Messwerte: 5
• Um den Mittelwert zu berechnen, teilst Du die Summe der Messwerte durch die Anzahl der Messwerte:

\(\frac{100,0}{5}\)

Nach der Division erhältst Du:

\(20,0\)

Der Mittelwert (Durchschnitt) der Messwerte ist also:

20,0 cm

b)

Ermittle die Standardabweichung der Messwerte. Zeige alle Zwischenschritte und erkläre, was die Standardabweichung in Bezug auf die Messwerte aussagt.

Lösung:

Berechnung der Standardabweichung der Messwerte:

• Gegebene Messwerte: 20,1 cm, 19,9 cm, 20,0 cm, 20,2 cm, 19,8 cm
• Berechne zunächst den Mittelwert (Durchschnitt) der Messwerte, wie in der vorherigen Übung gezeigt:

Der Mittelwert ist: \( \mu = 20,0 \) cm

• Jetzt berechnen wir die Abweichungen jedes Messwertes vom Mittelwert:

• \(20,1 - 20,0 = 0,1\)
• \(19,9 - 20,0 = -0,1\)
• \(20,0 - 20,0 = 0,0\)
• \(20,2 - 20,0 = 0,2\)
• \(19,8 - 20,0 = -0,2\)

Diese Abweichungen werden nun quadriert:

• \((0,1)^2 = 0,01\)
• \((-0,1)^2 = 0,01\)
• \((0,0)^2 = 0,0\)
• \((0,2)^2 = 0,04\)
• \((-0,2)^2 = 0,04\)

Als nächstes addieren wir diese quadrierten Abweichungen:

• \(0,01 + 0,01 + 0,0 + 0,04 + 0,04 = 0,10\)

Nun teilen wir diese Summe durch die Anzahl der Messwerte minus eins (n - 1), um die Varianz zu erhalten:

\(\frac{0,10}{5-1} = \frac{0,10}{4} = 0,025\)

Die Varianz der Messwerte ist also: 0,025 cm²

• Um die Standardabweichung zu erhalten, ziehen wir die Quadratwurzel der Varianz:

\(\sigma = \sqrt{0,025} = 0,158\)

Die Standardabweichung der Messwerte beträgt somit: \(0,158\) cm

• Erklärung der Standardabweichung:
• Die Standardabweichung ist ein Maß dafür, wie stark die einzelnen Messwerte um den Mittelwert streuen. Eine niedrige Standardabweichung bedeutet, dass die Werte nah am Mittelwert liegen, während eine hohe Standardabweichung anzeigt, dass die Werte stärker variieren.
• In diesem Beispiel zeigt eine Standardabweichung von 0,158 cm, dass die Messwerte relativ nah am Mittelwert von 20,0 cm liegen.

c)

Berechne die Varianz dieser Messwerte und erkläre den Unterschied zwischen Varianz und Standardabweichung.

Lösung:

Berechnung der Varianz der Messwerte:

• Gegebene Messwerte: 20,1 cm, 19,9 cm, 20,0 cm, 20,2 cm, 19,8 cm
• Berechne zunächst den Mittelwert (Durchschnitt) der Messwerte, wie in der vorherigen Übung gezeigt:

Der Mittelwert ist: \( \mu = 20,0 \) cm

• Berechne nun die Abweichungen jedes Messwertes vom Mittelwert:

• \(20,1 - 20,0 = 0,1\)
• \(19,9 - 20,0 = -0,1\)
• \(20,0 - 20,0 = 0,0\)
• \(20,2 - 20,0 = 0,2\)
• \(19,8 - 20,0 = -0,2\)

Quadriere diese Abweichungen:

• \((0,1)^2 = 0,01\)
• \((-0,1)^2 = 0,01\)
• \((0,0)^2 = 0,0\)
• \((0,2)^2 = 0,04\)
• \((-0,2)^2 = 0,04\)

Summe der quadrierten Abweichungen:

• \(0,01 + 0,01 + 0,0 + 0,04 + 0,04 = 0,10\)

Teile diese Summe durch die Anzahl der Messwerte minus eins (n - 1) um die Varianz zu berechnen:

\(\frac{0,10}{5-1} = \frac{0,10}{4} = 0,025\)

Die Varianz der Messwerte ist also: \(0,025\) cm²

• Die Varianz misst die durchschnittliche quadratische Abweichung der Werte vom Mittelwert. Sie gibt an, wie stark die einzelnen Messwerte um den Mittelwert streuen. Die Einheit der Varianz ist die Quadratseinheit der Messwerte (in diesem Fall cm²).
• Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz und hat dieselbe Einheit wie die ursprünglichen Messwerte (in diesem Fall cm). Sie gibt an, wie stark die Werte um den Mittelwert streuen.
• Während die Varianz eine abstraktere Maßeinheit ist, bietet die Standardabweichung eine leicht interpretierbare Einheit, die dasselbe Maß hat wie die ursprünglichen Daten. Dies macht die Standardabweichung in vielen Fällen praktischer für die Auswertung und das Verständnis von Daten.

d)

Nehmen wir zusätzlich an, dass das Lineal eine instrumentelle Unsicherheit von ±0,1 cm hat. Berechne die kombinierte Messunsicherheit für den Mittelwert und erkläre, wie sich die instrumentelle Unsicherheit auf die Gesamtergebnisse auswirkt.

Lösung:

Berechnung der kombinierten Messunsicherheit für den Mittelwert:

• Gegebene Messwerte: 20,1 cm, 19,9 cm, 20,0 cm, 20,2 cm, 19,8 cm
• Instrumentelle Unsicherheit des Lineals: ±0,1 cm
• Berechneter Mittelwert: \( \overline{x} = 20,0 \) cm
• Berechnete Standardabweichung: \( \sigma = 0,158 \) cm
• Anzahl der Messwerte: 5

Die Unsicherheit des Mittelwerts ( \(U_{Mittelwert} \)) wird durch die Standardabweichung des Mittelwerts \( (\sigma_{Mittelwert})\) und die instrumentelle Unsicherheit ( \(U_{instrumentell} \)) kombiniert.

• Die Standardabweichung des Mittelwerts ist definiert als die Standardabweichung geteilt durch die Quadratwurzel der Anzahl der Messungen:

\(\sigma_{Mittelwert} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \)

\(\sigma_{Mittelwert} = \frac{0,158}{\sqrt{5}} \)

\(\sigma_{Mittelwert} = \frac{0,158}{2,236} \approx 0,071 \) cm

Nun kombinieren wir die Standardabweichung des Mittelwerts und die instrumentelle Unsicherheit:

• Wir verwenden die Wurzel der Summe der Quadrate der beiden Unsicherheiten:

\(U_{Mittelwert} = \sqrt{(\sigma_{Mittelwert}^2) + (U_{instrumentell}^2)} \)

\(U_{Mittelwert} = \sqrt{(0,071^2) + (0,1^2)} \)

\(U_{Mittelwert} = \sqrt{(0,005041) + (0,01)} \)

\(U_{Mittelwert} = \sqrt{0,015041} \)

\(U_{Mittelwert} = 0,123 \) cm (gerundet)

Die kombinierte Messunsicherheit für den Mittelwert beträgt somit: \(0,123 \) cm

• Die instrumentelle Unsicherheit des Lineals von ±0,1 cm gibt an, wie genau das Messinstrument ist. Jede einzelne Messung kann daher um diesen Wert variieren.
• Diese Unsicherheit fließt in die Berechnung der kombinierten Messunsicherheit ein und erhöht die Gesamtauswertung der Unsicherheit. Die Standardabweichung des Mittelwerts berücksichtigt die Schwankungen der Messungen, während die instrumentelle Unsicherheit die Genauigkeit des Messinstruments berücksichtigt.
• Durch die Kombination beider Unsicherheiten erhalten wir ein vollständigeres Bild der Unsicherheit des Mittelwerts, was zu präziseren und realistischeren Ergebnissen führt.
• Die endgültige kombinierte Unsicherheit zeigt, dass der Mittelwert eine Unsicherheit von ±0,123 cm hat und dies sollte bei der Interpretation und Berichterstattung der Ergebnisse berücksichtigt werden.