Grundlagen der optoelektronischen Bauelemente - Exam

Aufgabe 1)

Im Bereich der optoelektronischen Bauelemente werden Halbleitermaterialien genutzt, um Licht in elektrische Signale und umgekehrt zu wandeln. Dabei treten Phänomene wie die Erzeugung von Elektron-Loch-Paaren durch Photonen auf. Zu den wichtigsten Bauelementen zählen LEDs, Laserdioden, Photodioden und Solarzellen, die jeweils unterschiedliche Prinzipien und Anwendungen haben:

• LEDs: Diese nutzen Elektrolumineszenz, bei der Elektronen und Löcher rekombinieren und Licht emittieren.
• Laserdioden: Diese verstärken Licht durch stimulierte Emission, um ein kohärentes Lichtsignal zu erzeugen.
• Photodioden: Diese wandeln Licht in elektrischen Strom um.
• Solarzellen: Diese nutzen den photovoltaischen Effekt zur Energiegewinnung.

Verschiedene Materialien wie GaAs, InP, Si und Ge spielen eine wichtige Rolle in diesen Bauelementen. Einige grundlegende Formeln umfassen:

• Energiemission eines Photons: \(E_{photon} = h u\)
• Stromdichte: \(J = qn \mu E\)
• Quanteneffizienz: \(\eta = \frac{n_{e}}{n_{photon}}\)

a)

a) Berechne die Energie eines Photons, das von einer LED mit einer Wellenlänge von 650 nm emittiert wird. Nutze die Beziehung \(E_{photon} = h u\) und die Tatsache, dass \(u = \frac{c}{\lambda}\). Die Konstanten sind:

• Plancksches Wirkungsquantum: \(h = 6.626 \times 10^{-34} \text{ Js}\)
• Lichtgeschwindigkeit: \(c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}\)

Lösung:

Berechnung der Energie eines Photons einer LED

Um die Energie eines Photons zu berechnen, das von einer LED mit einer Wellenlänge von 650 nm emittiert wird, nutzen wir die gegebene Beziehung und die physikalischen Konstanten.

• Formel für die Energie eines Photons: \(E_{photon} = h u\)
• Beziehung zwischen Frequenz und Wellenlänge: \(u = \frac{c}{\text{λ}}\)
• Plancksches Wirkungsquantum: \(h = 6.626 \times 10^{-34} \text{ Js}\)
• Lichtgeschwindigkeit: \(c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}\)
• Umrechnung der Wellenlänge von nm in m: \(\text{λ} = 650 \times 10^{-9} \text{ m}\)

Berechnung

• Zunächst berechnen wir die Frequenz \(u\):\(u = \frac{c}{\text{λ}} = \frac{3 \times 10^8 \text{ m/s}}{650 \times 10^{-9} \text{ m}}\)\(u \text{ ≈ } 4.615 \times 10^{14} \text{ Hz}\)
• Nun berechnen wir die Energie \(E_{photon}\):\(E_{photon} = h u = (6.626 \times 10^{-34} \text{ Js}) \times (4.615 \times 10^{14} \text{ Hz})\)\(E_{photon} \text{ ≈ } 3.06 \times 10^{-19} \text{ J}\)

Damit beträgt die Energie eines Photons, das von der LED emittiert wird, etwa 3.06 × 10⁻¹⁹ Joule.

b)

b) Eine Photodiode aus GaAs (Galliumarsenid) erzeugt unter Beleuchtung mit einfallendem Licht eine Elektronen-Stromdichte von \(J = 10^{-3} \text{ A/cm}^2\). Angenommen, die Elektronenbeweglichkeit (\(\mu\)) beträgt \(8500 \text{ cm}^2/(\text{Vs})\) und die Ladung trägt eine Dichte (\(n\)) von \(10^{17} \text{ cm}^{-3}\). Berechne die notwendige elektrische Feldstärke (\(E\)), um die gegebene Stromdichte zu erreichen, indem Du die Beziehung \(J = qn \mu E\) verwendest.

Lösung:

Berechnung der notwendigen elektrischen Feldstärke für eine Photodiode

Um die elektrische Feldstärke (E) zu berechnen, die notwendig ist, um eine gegebene Stromdichte (J) zu erreichen, nutzen wir die Beziehung \(J = qn \mu E\).

Gegebene Werte:

• Stromdichte: \(J = 10^{-3} \text{ A/cm}^2\)
• Elektronenbeweglichkeit: \(\mu = 8500 \text{ cm}^2/(\text{Vs})\)
• Ladungsträgerdichte: \(n = 10^{17} \text{ cm}^{-3}\)
• Elementarladung: \(q = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}\)

Auflösung der Formel:

Zunächst stellen wir die gegebene Beziehung nach der elektrischen Feldstärke (E) um:

• \(J = qn \mu E\)
• \(E = \frac{J}{qn \mu}\)

Einsetzen der Werte:

• \(E = \frac{10^{-3}}{(1.6 \times 10^{-19} \text{ C}) (10^{17} \text{ cm}^{-3}) (8500 \text{ cm}^2/(\text{Vs}))}\)
• \(E ≈ \frac{10^{-3}}{1.36 \times 10^{-14}} \text{ V/cm}\)
• \(E ≈ 7.35 \times 10^{10} \text{ V/cm}\)

Damit beträgt die notwendige elektrische Feldstärke etwa 7.35 × 10¹⁰ V/cm.

Aufgabe 2)

Elektronische Bandstruktur und Bandlücke in HalbleiternVerband freier und gebundener Elektronenzustände in einem Festkörper. Bandlücke (band gap) entspricht dem Energiebereich ohne Zustände zwischen Valenzband und Leitungsband.

• Elektronenbandstruktur bestimmt die elektrischen und optischen Eigenschaften von Halbleitern.
• Valenzband: Besetzte Zustände, in denen Elektronen Energie haben.
• Leitungsband: Unbesetzte Zustände, die Elektronen annehmen können.
• Bandlücke E_g bestimmt Halbleitercharakter: E_g klein (Leiter) vs. E_g groß (Isolator).
• Direkte Bandlücke: Elektronenübergang ohne Impulsänderung.
• Indirekte Bandlücke: Elektronenübergang erfordert Phononen zur Impulsänderung.

a)

Erkläre den Unterschied zwischen direkten und indirekten Bandlücken in Halbleitern. Welche Bedeutung hat dieser Unterschied für die optoelektronischen Eigenschaften eines Halbleiters?

Lösung:

Unterschied zwischen direkten und indirekten Bandlücken in Halbleitern:In Halbleitern gibt es zwei Hauptarten von Bandlücken: direkte und indirekte Bandlücken. Diese beiden Typen unterscheiden sich hauptsächlich durch den Impuls der Elektronen und dessen Änderung während des Übergangs zwischen dem Valenzband und dem Leitungsband.

• Direkte Bandlücke: Bei einem Halbleiter mit einer direkten Bandlücke können Elektronen direkt vom Valenzband in das Leitungsband übergehen, ohne dass eine Änderung des Kristallimpulses (quasi-Impuls) erforderlich ist. Dies bedeutet, dass der Wellenvektor der Elektronen im Valenzband und im Leitungsband gleich bleibt. Der Übergang erfolgt ohne die Notwendigkeit von Phononen (Gittervibrationen), die den Impuls ausgleichen.
• Indirekte Bandlücke: Bei einem Halbleiter mit einer indirekten Bandlücke erfordert der Übergang eines Elektrons vom Valenzband in das Leitungsband eine Änderung des Kristallimpulses. Dies bedeutet, dass Phononen beteiligt sein müssen, um den Impuls auszugleichen und den Übergang zu ermöglichen. Der Wellenvektor des Elektrons wird sich während des Übergangs ändern, was einen zusätzlichen Schritt erfordert.

Bedeutung für die optoelektronischen Eigenschaften eines Halbleiters:Direkte und indirekte Bandlücken beeinflussen die optoelektronischen Eigenschaften von Halbleitern erheblich:

• Optische Übergänge: In Halbleitern mit direkter Bandlücke sind die optischen Übergänge effizienter, da sie ohne die Beteiligung von Phononen stattfinden können. Dies führt zu einer stärkeren Lichtemission und -absorption, was diese Materialien besonders geeignet für optoelektronische Anwendungen wie Leuchtdioden (LEDs) und Laserdioden macht.
• Effizienz der Lichtemission: In Halbleitern mit indirekter Bandlücke ist die Effizienz der Lichtemission geringer, da der Übergang zwischen Valenzband und Leitungsband weniger wahrscheinlich ist, wenn nicht auch Phononen beteiligt sind. Diese Halbleiter sind daher weniger geeignet für Anwendungen, die eine hohe Lichtemission erfordern, sie finden hingegen Anwendung in detektierenden oder photovoltaischen Systemen, bei denen die Lichtabsorption eine wichtigere Rolle spielt als die Emission.
• Materialienbeispiele: Ein bekanntes Beispiel für einen Halbleiter mit einer direkten Bandlücke ist Galliumarsenid (GaAs), während Silizium (Si) ein typischer Halbleiter mit einer indirekten Bandlücke ist.

b)

Berechne die Wellenlänge des Lichts, das von einem Halbleiter mit einer Bandlücke von 1,1 eV bei einem direkten Übergang emittiert wird. Verwende die Gleichung für die Energie eines Photons \( E = \frac{hc}{\lambda} \) mit \( h = 4,1357 \times 10^{-15} \) eVs und \( c = 3 \times 10^8 \) m/s.

Lösung:

Berechnung der Wellenlänge des Lichts bei einem direkten Übergang:Um die Wellenlänge des Lichts zu berechnen, das von einem Halbleiter mit einer Bandlücke von 1,1 eV bei einem direkten Übergang emittiert wird, verwenden wir die Gleichung für die Energie eines Photons:

• E = \frac{hc}{\lambda}

Gegebene Werte:

• E = 1,1 eV (Energie des Photons)
• h = 4,1357 \times 10^{-15} eV·s (Plancksches Wirkungsquantum)
• c = 3 \times 10^8 m/s (Lichtgeschwindigkeit)

Wir stellen die Gleichung nach der Wellenlänge \(\lambda\) um:

• \lambda = \frac{hc}{E}

Einsetzen der Werte:

• \(\lambda = \frac{4,1357 \times 10^{-15} \times 3 \times 10^8}{1,1}\)

Berechnung:

• \(\lambda = \frac{12,4071 \times 10^{-7} m}{1,1}\)

• \(\lambda = 11,2791 \times 10^{-7} m\)

Um die Wellenlänge in Nanometern (nm) zu erhalten, multiplizieren wir mit 10^9:

• \(\lambda = 11,2791 \times 10^{-7} m \times 10^9 nm/m \)

• \(\lambda = 1127,91 \) nm

Ergebnis:Die Wellenlänge des Lichts, das von einem Halbleiter mit einer Bandlücke von 1,1 eV emittiert wird, beträgt:\(\lambda ≈ 1127,91 nm\).

c)

Ein Halbleitermaterial hat eine indirekte Bandlücke von 1,5 eV. Diskutiere, welche Änderungen der Halbleiterstruktur oder der äußeren Bedingungen (z.B. Temperatur, Dotierung) die Wahrscheinlichkeit einer Elektronenanregung vom Valenzband in das Leitungsband erhöhen können.

Lösung:

Diskussion über Änderungen der Halbleiterstruktur oder äußerer Bedingungen zur Erhöhung der Anregungswahrscheinlichkeit bei indirekter Bandlücke:Ein Halbleitermaterial mit einer indirekten Bandlücke von 1,5 eV erfordert für die Anregung von Elektronen vom Valenzband in das Leitungsband nicht nur genügend Energie, sondern auch die Beteiligung von Phononen, um den notwendigen Impulswechsel zu ermöglichen. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Wahrscheinlichkeit einer Elektronenanregung zu erhöhen:

• Temperaturerhöhung: Eine Erhöhung der Temperatur führt zu einer Zunahme der thermischen Energie der Elektronen im Valenzband. Dies bedeutet, dass mehr Elektronen ausreichende Energie haben, um die Bandlücke zu überwinden. Zudem erhöht eine höhere Temperatur die Anzahl der Phononen im Material, was den Impulswechsel erleichtert.
• Dotierung: Durch das Einbringen von Fremdatomen (Dotierung) kann man die Anzahl der freien Ladungsträger im Halbleiter erhöhen. Zum Beispiel kann eine n-Dotierung Elektronen in das Leitungsband einführen, während eine p-Dotierung Löcher in das Valenzband einführt. Dies erhöht die Wahrscheinlichkeit von Elektronen-Loch-Paaren und somit den Übergängen zwischen den Bändern.
• Erhöhung der Lichtintensität: Eine höhere Lichtintensität kann mehr Photonen mit ausreichend Energie bereitstellen, um Elektronen aus dem Valenzband in das Leitungsband zu fördern.
• Starkes elektrisches Feld: Ein starkes elektrisches Feld kann die Energiezustände der Elektronen verzerren, was die Wahrscheinlichkeit von Übergängen aus dem Valenzband in das Leitungsband erhöhen kann. Dies passiert, indem das elektrische Feld den energetischen Unterschied überbrückt oder über Tunnelprozesse zusätzliche Kanäle zum Übergang öffnet.
• Verkleinern der physikalischen Größe des Halbleiters: Die Reduktion der Abmessungen des Halbleiterkristalls auf die Nanoskala kann Quantenkonfinierungseffekte induzieren, die die Energiebandstruktur verändern. Dadurch können sich die Eigenschaften der Bandlücke ändern, und es könnten vorteilhafte Übergänge begünstigt werden.

Diese Maßnahmen können die Wahrscheinlichkeit der Anregung von Elektronen vom Valenzband in das Leitungsband erhöhen und somit die Effizienz des Halbleitermaterials für optoelektronische Anwendungen verbessern.

Aufgabe 3)

Betrachte ein Halbleitermaterial, in dem Elektronen Energie durch Absorption und Emission von Photonen aufnehmen und abgeben. Angenommen, die Energiedifferenz zwischen dem Leitungsband und dem Valenzband dieses Materials beträgt 1,5 eV. Das Plancksche Wirkungsquantum ist gegeben als \(h = 6,626 \times 10^{-34}\) J·s. Beachte, dass in der optoelektronischen Analyse Prozesse wie spontane und stimulierte Emission sowie die Energie des Photons berücksichtigt werden müssen. Beantworte die folgenden Fragen.

a)

Teil 1: Berechne die Wellenlänge des Photons, das bei der Emission aufgrund des Übergangs eines Elektrons vom Leitungsband in das Valenzband abgegeben wird. Gegeben ist die Energiedifferenz von 1,5 eV.

Lösung:

Um die Wellenlänge des Photons zu berechnen, das bei der Emission aufgrund des Übergangs eines Elektrons vom Leitungsband in das Valenzband abgegeben wird, müssen wir die Beziehung zwischen der Energie \(E\) und der Wellenlänge \(\lambda\) eines Photons nutzen. Diese Beziehung wird durch die Formel beschrieben:

• \(E = h u\)
• Hierbei ist \(h\) das Plancksche Wirkungsquantum und \(u\) die Frequenz des Photons.

Da die Frequenz \(u\) in Bezug zur Wellenlänge \(\lambda\) durch die Lichtgeschwindigkeit \(c\) steht, ergibt sich die Energie eines Photons auch durch:

• \(E = h \cdot \frac{c}{\lambda}\)

Wir können diese Formel umstellen, um die Wellenlänge \(\lambda\) zu berechnen:

• \(\lambda = \frac{h \cdot c}{E}\)

Nun können wir die gegebenen Werte einsetzen:

• Die Energiedifferenz zwischen Leitungsband und Valenzband beträgt 1,5 eV.
• Das Plancksche Wirkungsquantum beträgt \(h = 6,626 \times 10^{-34}\) J·s.
• Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum beträgt \(c = 3,0 \times 10^{8}\) m/s.

Zunächst müssen wir die Energiedifferenz von eV in Joule umrechnen:

• 1 eV = \(1,602 \times 10^{-19}\) Joule
• 1,5 eV = 1,5 \( \times 1,602 \times 10^{-19} \) Joule = \(2,403 \times 10^{-19}\) Joule

Jetzt setzen wir die Werte in die umgestellte Formel ein:

• \(\lambda = \frac{6,626 \times 10^{-34} \ \text{J·s} \times 3,0 \times 10^{8} \ \text{m/s}}{2,403 \times 10^{-19} \ \text{J}}\)
• \(\lambda = \frac{1,9878 \times 10^{-25}}{2,403 \times 10^{-19}}\)
• \(\lambda = 8,271 \times 10^{-7} \ \text{m}\)

Die Wellenlänge beträgt also etwa 827 nm.

Ergebnis: Die Wellenlänge des Photons beträgt ungefähr 827 Nanometer (nm).

b)

Teil 2: Erkläre den Unterschied zwischen spontaner und stimulierter Emission und in welchen Anwendungen stimulierte Emission bevorzugt wird. Gehe dabei auch auf die Rolle der Photonenenergie ein.

Lösung:

Teil 2: Unterschied zwischen spontaner und stimulierter Emission und Anwendungen der stimulierten Emission

Um den Unterschied zwischen spontaner und stimulierter Emission zu verstehen und die Anwendungen der stimulierten Emission zu beleuchten, müssen wir die grundlegenden Prinzipien der beiden Prozesse erklären:

Spontane Emission

• Definition: Spontane Emission tritt auf, wenn ein Elektron in einem angeregten Zustand ohne äußeres Eingreifen auf ein niedrigeres Energieniveau fällt und dabei ein Photon freisetzt.
• Eigenschaften:
  • Die Ausrichtung, Phase und Polarisation des emittierten Photons sind zufällig.
  • Es handelt sich um einen zufälligen Prozess, dessen Zeitpunkt nicht vorhergesagt werden kann.
  • Die Photonenenergie entspricht der Energiedifferenz zwischen den beteiligten Energieniveaus. Für unser Halbleitermaterial mit einer Energiedifferenz von 1,5 eV beträgt die Photonenenergie also ebenfalls 1,5 eV.
• Beispiel: Leuchtdioden (LEDs) arbeiten auf der Grundlage der spontanen Emission.

Stimulierte Emission

• Definition: Stimulierte Emission tritt auf, wenn ein Photon ein angeregtes Elektron dazu anregt, auf ein niedrigeres Energieniveau zu fallen und dabei ein weiteres Photon freizusetzen. Dieses neu erzeugte Photon hat die gleiche Phase, Frequenz, Polarisation und Richtung wie das auslösende Photon.
• Eigenschaften:
  • Die Photonen sind kohärent, d. h. sie haben dieselbe Phase, Frequenz und Polarisation.
  • Die Photonenenergie entspricht auch hier der Energiedifferenz zwischen den beteiligten Energieniveaus. Bei unserer Energiedifferenz von 1,5 eV beträgt die Photonenenergie ebenfalls 1,5 eV.
  • Der Prozess ist deterministisch und kann durch die Anwesenheit eines Photons mit passender Energie gezielt ausgelöst werden.
• Beispiel: Laser (Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation) basieren auf dem Prinzip der stimulierten Emission. In Lasern werden durch stimulierte Emission kohärente Lichtstrahlen erzeugt, die für Anwendungen präzises Licht benötigen, wie z. B. in der Telekommunikation, Medizintechnik und Materialbearbeitung.

Anwendungen der stimulierten Emission

• Telekommunikation: In der Telekommunikation werden Laserdioden verwendet, um Lichtsignale durch Glasfaserkabel zu senden. Dank der stimulierten Emission erzeugen diese Laser hochkohärente und fokussierte Lichtstrahlen, die über große Entfernungen übertragen werden können.
• Medizin: Laser finden in vielen medizinischen Anwendungen Verwendung, einschließlich der Augenchirurgie, Hautkrebstherapie und Zahnmedizin. Die Präzision und Kohärenz der Laserstrahlung ermöglichen genaue Schnitte und gezielte Therapien.
• Materialbearbeitung: Laser werden in der Industrie zum Schneiden, Gravieren und Schweißen von Materialien eingesetzt. Die stimulierte Emission erzeugt präzise und leistungsstarke Lichtstrahlen, die für diese Anwendungen ideal sind.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass der Hauptunterschied zwischen spontaner und stimulierter Emission in der Kohärenz und Steuerbarkeit der emittierten Photonen liegt. Während die spontane Emission häufig in allgemeinen Beleuchtungsanwendungen verwendet wird, ist die stimulierte Emission entscheidend für Anwendungen, die hohe Präzision und Kohärenz erfordern.

c)

Teil 3: In einem optoelektronischen Gerät wird ein Strom von 1 µA durch einen Halbleiter geleitet, wodurch pro Elektron ein Photon emittiert wird. Berechne, wie viele Photonen pro Sekunde durch die stimulierte Emission erzeugt werden. Wie ändert sich diese Anzahl, wenn der Strom auf 2 µA erhöht wird?

Lösung:

Teil 3: Berechnung der Anzahl der erzeugten Photonen pro Sekunde

Um die Anzahl der Photonen zu berechnen, die pro Sekunde durch die stimulierte Emission erzeugt werden, müssen wir den Strom, die Elementarladung eines Elektrons und die Beziehung zwischen diesen Größen berücksichtigen.

Gegebene Größen:

• Strom: 1 µA (Mikroampere)
• Jedes Elektron erzeugt ein Photon.
• Elementarladung eines Elektrons: \(e = 1,602 \times 10^{-19}\) C (Coulomb)

Der Strom (I) beschreibt die Menge der Ladung, die pro Sekunde fließt:

• \(I = \frac{Q}{t}\)
• \(Q = I \times t\)

Da uns der Strom in Mikroampere gegeben ist, konvertieren wir zunächst 1 µA in Ampere:

• 1 µA = \(1 \times 10^{-6}\) A

Nun berechnen wir die Ladung, die pro Sekunde fließt:

• \(Q = 1 \times 10^{-6}\) A \( \times 1\) s = \(1 \times 10^{-6}\) C

Um die Anzahl der Elektronen (und somit die Anzahl der erzeugten Photonen) zu finden, teilen wir die gesamte Ladung durch die Elementarladung eines Elektrons:

• Anzahl der Elektronen (n) = \( \frac{Q}{e} = \frac{1 \times 10^{-6} \ C}{1,602 \times 10^{-19} \ C} \)
• n = \(6,242 \times 10^{12}\) Elektronen
• Da jedes Elektron ein Photon emittiert, entspricht diese Anzahl der Anzahl der Photonen.

Ergebnis: Bei einem Strom von 1 µA werden pro Sekunde ungefähr \(6,242 \times 10^{12}\) Photonen erzeugt.

Änderung der Anzahl bei erhöhter Stromstärke

Erhöhen wir den Strom auf 2 µA, verdoppelt sich die Ladung, die pro Sekunde fließt:

• 2 µA = \(2 \times 10^{-6}\) A
• Q = \(2 \times 10^{-6}\) C
• Anzahl der Elektronen (und Photonen): \( \frac{2 \times 10^{-6}}{1,602 \times 10^{-19}} = \ 2 \times (6,242 \times 10^{12}) = 1,248 \times 10^{13}\) Photonen

Ergebnis für erhöhten Strom: Bei einem Strom von 2 µA werden pro Sekunde ungefähr \(1,248 \times 10^{13}\) Photonen erzeugt.