Halbleitertechnologie I - Technologie integrierter Schaltungen (HLT I) - Exam

Aufgabe 2)

Durch die Bandstruktur und Energiebänder in Halbleitern wird das Verhalten von Elektronen im Kristallgitter beschrieben. Die elektronischen Eigenschaften und die Funktionalitäten integrierter Schaltungen basieren auf den Konzepten von Valenzband, Leitungsband und Bandlücke. Elektronen im Kristallgitter bilden Energiebänder durch die Überlappung von Atomorbitalen.

• Valenzband: Das Energieband, das bei 0 K vollständig mit Elektronen gefüllt ist.
• Leitungsband: Das nächsthöhere Energieband, das Elektronen aufnehmen kann.
• Bandlücke (\(E_g\)): Die Energiedifferenz zwischen Valenz- und Leitungsband.
• Halbleiter: Materie mit einer kleinen Bandlücke, in der Elektronen thermisch oder durch Doping ins Leitungsband angehoben werden können.
• Doping: Die gezielte Verunreinigung eines Halbleiters zur Erhöhung seiner Leitfähigkeit.
• \(k\)-Raum: Darstellung der Elektronenenergie in Abhängigkeit vom Wellenvektor.
• Fermi-Niveau (\(E_F\)): Das Energielevel, bis zu dem Zustände bei 0 K besetzt sind.

b)

Berechne die Anzahl der Elektronen, die bei Raumtemperatur thermisch ins Leitungsband angeregt werden, wenn die Bandlücke eines Halbleiters \(E_g = 1.1 \text{ eV}\) beträgt. Verwende die Boltzmann-Konstante von \(k_B = 8.617 \times 10^{-5} \text{ eV/K}\) und eine Raumtemperatur von \(300 \text{ K}\).

Lösung:

Um die Anzahl der Elektronen zu berechnen, die bei Raumtemperatur thermisch ins Leitungsband angeregt werden können, müssen wir die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass ein Elektron genug thermische Energie erhält, um die Bandlücke (\(E_g\)) zu überwinden. Diese Wahrscheinlichkeit wird durch die Boltzmann-Verteilung beschrieben.

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Elektron die Energie \(E\) erreicht, ist gegeben durch:

\[P = e^{-\frac{E}{k_B T}}\]

Für unsere Berechnungen ist:

• \(E_g = 1.1 \text{ eV}\), die Bandlücke
• \(k_B = 8.617 \times 10^{-5} \text{ eV/K}\), die Boltzmann-Konstante
• \(T = 300 \text{ K}\), die Temperatur

Wir setzen diese Werte in die Boltzmann-Gleichung ein:

\[P = e^{-\frac{1.1 \text{ eV}}{8.617 \times 10^{-5} \text{ eV/K} \times 300 \text{ K}}}\]

Zuerst berechnen wir den Nenner:

\[8.617 \times 10^{-5} \text{ eV/K} \times 300 \text{ K} = 0.025851 \text{ eV}\]

Setzen wir diesen Wert in die Exponentialgleichung ein:

\[P = e^{-\frac{1.1}{0.025851}}\]

Das ergibt:

\[P = e^{-42.548}\]

Wir berechnen den Wert des Exponentialausdrucks:

\[P \approx 3.56 \times 10^{-19}\]

Diese Wahrscheinlichkeit gibt an, dass die Anzahl der Elektronen, die bei Raumtemperatur ins Leitungsband angeregt werden, extrem gering ist. In einem realen Halbleiter wird die effektive Anzahl der Elektronen, die ins Leitungsband gehen, durch die effektive Dichte der Zustände im Leitungsband und die Temperatur abhängen.

Daher zeigt diese Rechnung, dass für eine Bandlücke von 1.1 \text{ eV} bei Raumtemperatur nur eine verschwindend geringe Anzahl an Elektronen thermisch genug Energie erhält, um ins Leitungsband überzugehen.

c)

Beschreibe den Einfluss von n- und p-Doping auf das Fermi-Niveau in einem Halbleiter. Zeichne das Energiebanddiagramm eines n-dotierten und eines p-dotierten Halbleiters und erkläre, wie sich das Fermi-Niveau relativ zur Bandlücke und den Bandkanten verschiebt.

Lösung:

Einfluss von n- und p-Doping auf das Fermi-Niveau in einem Halbleiter:

Das Doping eines Halbleiters mit Fremdatomen kann die Leitfähigkeit signifikant erhöhen, indem die Anzahl der verfügbaren freien Ladungsträger erhöht wird. Es gibt zwei Haupttypen des Doping:

• n-Doping: Hierbei werden Donor-Atome, die mehr Valenzelektronen haben als das Basismaterial, in den Halbleiter eingebracht. Diese zusätzlichen Elektronen werden leicht ins Leitungsband abgegeben und erhöhen somit die Anzahl der freien Elektronen. Dies führt zu einer Verschiebung des Fermi-Niveaus \(E_F\) näher an das Leitungsband.
• p-Doping: Hierbei werden Akzeptor-Atome, die weniger Valenzelektronen haben als das Basismaterial, in den Halbleiter eingebracht. Diese schaffen Löcher (fehlende Elektronen) im Valenzband, die als positive Ladungsträger fungieren. Dies führt zu einer Verschiebung des Fermi-Niveaus \(E_F\) näher an das Valenzband.

Darstellung des Energiebanddiagramms:

• n-dotierter Halbleiter: Durch die Zugabe von Donor-Atomen steigt die Anzahl der freien Elektronen im Leitungsband, und das Fermi-Niveau \(E_F\) verschiebt sich in Richtung des Leitungsbands.
• p-dotierter Halbleiter: Durch die Zugabe von Akzeptor-Atomen steigt die Anzahl der Löcher im Valenzband, und das Fermi-Niveau \(E_F\) verschiebt sich in Richtung des Valenzbands.

Energiebanddiagramme:

Hier sind die vereinfachten Energiebanddiagramme für n- und p-dotierte Halbleiter.

n-dotierter Halbleiter:

  |                Energie                   |  |               _______ - Leitungsband     |  |               |      |                  |  |               |      |                  |  |Fermi-Niveau --|----- |-------------------|  |               |______| - Verbotene Zone |  |               |      |                  |  |_______________|______| - Valenzband      |   

In einem n-dotierten Halbleiter liegt das Fermi-Niveau näher am Leitungsband, weil die Donor-Atome zusätzliche Elektronen bereitstellen.

p-dotierter Halbleiter:

  |                Energie                   |  |               _______ - Leitungsband     |  |               |      |                  |  |               |      |                  |  |               |      |                  |  |_______________|------| - Fermi-Niveau   |  |               |______| - Verbotene Zone |  |               |      |                  |  |______________________| - Valenzband     |   

In einem p-dotierten Halbleiter liegt das Fermi-Niveau näher am Valenzband, weil die Akzeptor-Atome Löcher schaffen, die als positive Ladungsträger fungieren.

Zusammengefasst beeinflusst das Doping die Position des Fermi-Niveaus \(E_F\) innerhalb der Bandlücke, was wiederum die elektrische Leitfähigkeit beeinflusst. Beim n-Doping verschiebt sich das Fermi-Niveau näher an das Leitungsband, während es sich beim p-Doping näher an das Valenzband verschiebt.

Aufgabe 4)

Ein Halbleiterbauelement besteht aus einem pn-Übergang, der sowohl in Durchlassrichtung als auch in Sperrrichtung betrieben werden kann. Der pn-Übergang ist zudem so dotiert, dass er als Zener-Diode verwendet werden kann. Nutze die gegebenen Informationen über die pn-Übergänge und Zener-Dioden, um folgende Fragen zu beantworten.

a)

Ein pn-Übergang ist mit einer Durchlassspannung von 0.7V angegeben. Beschreibe, wie sich der Stromfluss ändert, wenn die Diode von der Durchlassrichtung in die Sperrrichtung betrieben wird. Berücksichtige dabei auch das Verhalten bei niedrigen und hohen Rückwärtsspannungen.

Lösung:

Ein pn-Übergang, wie er in einer Diode verwendet wird, hat unterschiedliche Eigenschaften abhängig von der angelegten Spannung.

• Durchlassrichtung: Wenn der pn-Übergang in Durchlassrichtung (Forward Bias) betrieben wird, ist die Kathode (n-Seite) negativ und die Anode (p-Seite) positiv. Bei einer Spannung von 0.7V (typisch für Siliziumdioden) beginnt der Strom signifikant zu fließen. Dies bedeutet, dass die Diode leitend wird und der Strom bei weiter steigender Spannung stark ansteigt.
• Sperrrichtung: In der Sperrrichtung (Reverse Bias) sind die Anode negativ und die Kathode positiv. Der Stromfluss ist dabei sehr gering und nur durch den Sperrstrom (leakage current) begrenzt, welcher bei niedrigen Rückwärtsspannungen sehr klein ist.
• Niedrige Rückwärtsspannungen: Bei niedrigen Spannungen in Sperrrichtung fließt so gut wie kein Strom, da die Diode sperrt und nur der sehr geringe Sperrstrom fließt.
• Hohe Rückwärtsspannungen: Wenn die angelegte Rückwärtsspannung eine bestimmte Schwelle überschreitet (bekannt als Zener-Spannung bei Zener-Dioden), beginnt der Strom wieder signifikant anzusteigen, und es kommt zum sogenannten Durchbruch. Dieser kann durch den Zener-Effekt (bei niedrigen Spannungen) oder den Lawineneffekt (bei höheren Spannungen) zustande kommen. Bei Zener-Dioden wird genau dieser Effekt absichtlich genutzt, um eine konstante Spannung zu sichern.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass im Durchlassbereich bei Überschreiten der Durchlassspannung von 0.7V der Strom stark zunimmt, während in der Sperrrichtung der Strom zunächst sehr gering bleibt und erst bei sehr hohen Spannungen signifikant wird, vor allem wenn die Zener-Spannung überschritten wird.

b)

Gegeben ist eine Zener-Diode mit einer Zenerspannung von 5.6V. Beschreibe und berechne anhand einer angenommenen externen Schaltung mit einer Betriebsspannung von 12V und einem Vorwiderstand von 470 Ohm den Strom durch die Zener-Diode, sobald die Rückwärtsspannung die Zenerspannung erreicht und den Wert überschreitet. Nutze dabei die Diode als Spannungsregulator.

Lösung:

Um den Strom durch die Zener-Diode zu berechnen, wenn die angelegte Rückwärtsspannung die Zenerspannung erreicht und überschreitet, gehen wir schrittweise vor.

Gegeben:

• Zenerspannung (\(V_Z\)): 5.6V
• Betriebsspannung (\(V_{in}\)): 12V
• Vorwiderstand (\(R\)): 470 Ohm

Wenn die angelegte Spannung die Zenerspannung erreicht, bleibt die Spannung über der Zener-Diode konstant bei 5.6V. Der Rest der Spannung fällt über den Vorwiderstand ab.

Die Spannung, die über dem Vorwiderstand abfällt, ist:

\(V_R = V_{in} - V_Z\)

\(V_R = 12V - 5.6V = 6.4V\)

Um nun den Strom durch den Vorwiderstand (und damit auch durch die Zener-Diode) zu berechnen, verwenden wir das Ohmsche Gesetz:

\(I = \frac{V_R}{R}\)

\(I = \frac{6.4V}{470 \text{Ω}}\)

Der Strom durch die Zener-Diode ist somit:

\(I = 0.0136A\) oder etwa 13.6mA

Zusammengefasst fließt ein Strom von etwa 13.6mA durch die Zener-Diode, wenn die Rückwärtsspannung die Zenerspannung von 5.6V erreicht und überschreitet.