Introduction to Network Science - Exam

Aufgabe 1)

Betrachte ein Netzwerk mit Knoten und Kanten. Das Netzwerk hat 100 Knoten, die in einer Stern-Topologie angeordnet sind. Analysiere die Eigenschaften dieses Netzwerks und führe die untenstehenden Aufgaben durch.

a)

Berechne die Anzahl der Kanten in diesem Netzwerk. Erläutere Deinen Lösungsweg.

Lösung:

Um die Anzahl der Kanten in einem Netzwerk mit einer Stern-Topologie zu berechnen, müssen wir zunächst das Grundkonzept der Stern-Topologie verstehen:

• In einer Stern-Topologie gibt es einen zentralen Knoten (auch als Hub bezeichnet), der mit allen anderen Knoten des Netzwerks verbunden ist.

Da in dieser Netzwerkstruktur jede Kante vom zentralen Knoten zu einem anderen Knoten führt, müssen wir die Anzahl der Verbindungen vom zentralen Knoten zu den anderen Knoten ermitteln. Hier ist der Schritt-für-Schritt Lösungsweg:

• Das Netzwerk hat insgesamt 100 Knoten.
• Ein zentraler Knoten verbindet sich mit den anderen 99 Knoten.
• In einer Stern-Topologie gibt es genau eine Kante für jede Verbindung zwischen dem zentralen Knoten und einem der anderen Knoten.

Wir können daher direkt die Anzahl der Kanten als die Anzahl der anderen Knoten (also 100 - 1) betrachten.

Die Formel zur Berechnung der Anzahl der Kanten in einer Stern-Topologie lautet:

= Anzahl der Knotenumber of Nodes - 1 = 100 - 1 = 99das heißt, die Anzahl der Kanten in diesem Netzwerk beträgt 99.

b)

Das Netzwerk soll in ein vollständig verbundenes Netzwerk umgewandelt werden. Berechne die neue Anzahl der Kanten und vergleiche sie mit der ursprünglichen Anzahl der Kanten. Zeige die Berechnungen deutlich.

Lösung:

Um die Anzahl der Kanten in einem vollständig verbundenen Netzwerk zu berechnen und diese mit der ursprünglichen Anzahl der Kanten in einer Stern-Topologie zu vergleichen, folge diesen Schritten:

Schritt 1: Anzahl der Kanten im ursprünglichen Stern-Netzwerk

• Ein Stern-Netzwerk mit 100 Knoten hat einen zentralen Knoten, der mit den anderen 99 Knoten verbunden ist.
• Jede Verbindung ist eine Kante, daher gibt es insgesamt 99 Kanten.

Die Anzahl der Kanten im Stern-Netzwerk beträgt somit 99.

Schritt 2: Anzahl der Kanten im vollständig verbundenen Netzwerk

• In einem vollständig verbundenen Netzwerk (vollständiger Graph oder Clique) ist jeder Knoten mit jedem anderen Knoten verbunden.
• Die Anzahl der Kanten in einem vollständig verbundenen Netzwerk mit n Knoten kann mit der folgenden Formel berechnet werden:

\[ \frac{n \times (n - 1)}{2} \]

Für n = 100 Knoten ergibt sich:

\[ \frac{100 \times 99}{2} = \frac{9900}{2} = 4950 \]

Das vollständig verbundene Netzwerk hat also 4950 Kanten.

Schritt 3: Vergleich der Anzahl der Kanten

• Stern-Topologie: 99 Kanten
• Vollständig verbundenes Netzwerk: 4950 Kanten
• Unterschied: 4950 - 99 = 4851 Kanten

Der Vergleich zeigt, dass das vollständig verbundene Netzwerk 4851 Kanten mehr hat als das ursprüngliche Stern-Netzwerk.