Modeling of Control Systems - Cheatsheet

Grundlagen dynamischer Systeme

Definition:

Die grundlegenden Prinzipien und Eigenschaften von dynamischen Systemen, die ihr Verhalten über die Zeit beschreiben.

Details:

• Ein dynamisches System wird oft durch Differentialgleichungen beschrieben.
• Übliche Formen: kontinuierlich (z.B. \( \frac{dx}{dt} = f(x, u) \)) und diskret (z.B. \( x[k+1] = f(x[k], u[k]) \)).
• Eigenverhalten kann durch Eigenwerte der Systemmatrix analysiert werden.
• Stabilität: Zustand eines Systems, bei dem es nach einer Störung zum Gleichgewicht zurückkehrt.
• Wichtige Konzepte: zeitliche Invarianz, Linearität, Zustandsraumdarstellung, Übertragungsfunktion.

Modellierung mit Differentialgleichungen

Definition:

Modellierung dynamischer Systeme mittels Differentialgleichungen; beschreibt Systemverhalten durch mathematische Gleichungen.

Details:

• Lineare Differentialgleichungen: \(\frac{d y(t)}{d t} + a y(t) = b u(t)\)
• Höhere Ordnung: \(\frac{d^n y(t)}{d t^n} + a_{n-1}\frac{d^{n-1} y(t)}{d t^{n-1}} + ... + a_0 y(t) = b u(t)\)
• Zustandsraumdarstellung: \(\frac{d \textbf{x}}{d t} = \textbf{A}\textbf{x}(t) + \textbf{B}u(t)\)
• Numerische Lösung: z.B. \textit{Euler-Verfahren}, \textit{Runge-Kutta-Methoden}

Zustandsraummodelle

Definition:

Mathematisches Modell zur Beschreibung dynamischer Systeme mittels Differentialgleichungen erster Ordnung.

Details:

• Zustandsvektor: \(\textbf{x}(t)\)
• Eingangsvektor: \(\textbf{u}(t)\)
• Ausgangsvektor: \(\textbf{y}(t)\)
• Zustandsgleichung: \(\frac{d\textbf{x}(t)}{dt} = \textbf{A}\textbf{x}(t) + \textbf{B}\textbf{u}(t)\)
• Ausgangsgleichung: \(\textbf{y}(t) = \textbf{C}\textbf{x}(t) + \textbf{D}\textbf{u}(t)\)
• Matrix \(\textbf{A}\): Systemmatrix
• Matrix \(\textbf{B}\): Eingabematrix
• Matrix \(\textbf{C}\): Ausgabematrix
• Matrix \(\textbf{D}\): Durchgangsmatrix

Laplace-Transformation

Definition:

Laplace-Transformation wandelt eine zeitabhängige Funktion in eine komplexe Frequenzfunktion um, um differenzialgleichungen in algebraische Gleichungen zu transformieren.

Details:

• Die Laplace-Transformation einer Funktion \( f(t) \) ist definiert als: \[ \mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_0^{\infty} f(t) e^{-st} dt \]
• Wichtig für lineare zeitinvariante Systeme (LTI-Systeme)
• Lösung von Differentialgleichungen wird vereinfacht
• Typische Anwendungen umfassen Systemanalyse und Regelungstechnik
• Inverse Laplace-Transformation zur Rückgewinnung der Zeitfunktion

Z-Transformation

Definition:

Mathematisches Werkzeug zur Analyse diskreter Systeme.

Details:

• Umwandlung eines zeitdiskreten Signals in den z-Bereich
• Übertragungsfunktion eines diskreten Systems: \ H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)}
• z-Transformation eines Signals: \ X(z) = \sum_{n=0}^{\infty} x[n] z^{-n}
• Eigenschaften analog zur Laplace-Transformation

Stabilität von Systemen

Definition:

Ein System ist stabil, wenn es nach einer Störung in seinen ursprünglichen Zustand zurückkehrt oder einem neuen, stabilen Zustand erreicht.

Details:

• Stabilität anhand der Eigenwerte der Systemmatrix bewerten: Stabilität: Alle Eigenwerte haben negative Realteile.
• Lyapunov-Kriterium: Eine Funktion \( V(x) \) existiert, sodass \( \dot{V}(x) < 0 \).
• BIBO-Stabilität: Ein System ist BIBO-stabil, wenn jeder beschränkte Eingang zu einem beschränkten Ausgang führt.
• Nyquist-Kriterium für Stabilität im Frequenzbereich.
• Routh-Hurwitz-Kriterium: Analysiert die Anordnung der Pole im charakteristischen Polynom.

Frequenzbereichsanalyse

Definition:

Untersuchung und Analyse von Systemantworten auf sinusförmige Anregungssignale innerhalb des Frequenzbereichs.

Details:

• SYSTEMEIMAGINÄRTEIL (jω) analysieren
• Fourier-Transformierte zur Überführung von Zeit- in Frequenzbereich
• Bode-Diagramme: Darstellen von Amplitude und Phase gegen Frequenz
• Nyquist-Diagramm: Darstellung der Frequenzgang-Übertragungsfunktion
• Übertragungsfunktion H(jω): Verhältnis von Ausgang zu Eingangssignal im Frequenzbereich
• Stabilitätskriterien: Nyquist-Kriterium, Bode-Stabilitätskriterium

Simulationsmethoden in MATLAB und Simulink

Definition:

Verwendung von MATLAB und Simulink zur Modellierung und Simulation dynamischer Systeme.

Details:

• MATLAB-Skript zur numerischen Lösung und Analyse von Differentialgleichungen
• Simulink: grafische Benutzeroberfläche für Blockdiagrammmodelle
• Simulationsmethoden umfassen z.B. Runge-Kutta, Euler-Verfahren, Zero-Order-Hold
• Zeitdiskrete und zeitkontinuierliche Modelle unterstützt
• Konfiguration der Solver-Optionen für Genauigkeit und Effizienz wichtig