Modeling of Control Systems - Exam

Aufgabe 1)

Betrachte ein kontinuierliches lineares zeitinvariantes System, das durch die Differentialgleichung \ \( \frac{dx(t)}{dt} = Ax(t) + Bu(t) \ \) beschrieben wird, wobei \(x(t)\) der Zustandsvektor, \(u(t)\) der Eingangsvektor, \(A\) die Systemmatrix und \(B\) die Eingangsmatrix sind.

b)

Berechne für das oben genannte System die Zustandsübergangsmatrix \( \Phi(t) \) unter der Annahme, dass \( x(0) = \begin{pmatrix} 1 \ 0 \end{pmatrix} \) ist.

Lösung:

Um die Zustandsübergangsmatrix \(\Phi(t)\) für das gegebene System zu berechnen, verwenden wir die Matrix-Exponentialfunktion. Die Zustandsübergangsmatrix \(\Phi(t)\) wird definiert als:

\Phi(t) = e^{At}

Die Systemmatrix \(A\) ist gegeben als:

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \ -2 & -3 \end{pmatrix}

Um \(\Phi(t)\) zu berechnen, führen wir folgende Schritte durch:

1. Bestimmung der Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix \(A\).
2. Bildung der Diagonalmatrix \(\Lambda\), die die Eigenwerte enthält, und die Matrix \(P\), die die Eigenvektoren enthält.
3. Berechnung der Matrix-Exponentialfunktion durch Diagonalisierung.

Wir haben bereits die Eigenwerte der Matrix \(A\) berechnet: -1 und -2.

Um die Eigenvektoren zu bestimmen, lösen wir das Gleichungssystem \( (A - \lambda I)x = 0 \) für jeden Eigenwert \(\lambda\).

Für \(\lambda = -1\):

(A + I)\begin{pmatrix} v_{1} \ v_{2} \end{pmatrix} = 0 \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 \ -2 & -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} v_{1} \ v_{2} \end{pmatrix} = 0

Aus \(v_{1} + v_{2} = 0\) folgt, dass der Eigenvektor \(v\) für \(\lambda = -1\) ist \(\begin{pmatrix} 1 \ -1 \).\).

Für \(\lambda = -2\):

(A + 2I)\begin{pmatrix} v_{1} \ v_{2} \end{pmatrix} = 0 \Rightarrow \begin{pmatrix} 2 & 1 \ -2 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} v_{1} \ v_{2} \end{pmatrix} = 0

Aus \(2v_{1} + v_{2} = 0\) folgt, dass der Eigenvektor \(v\) für \(\lambda = -2\) ist \(\begin{pmatrix} 1 \ -2 \end{pmatrix}\).

Damit ist \(P\) gegeben durch:

P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \ -1 & -2 \end{pmatrix}

Die Diagonalmatrix \(\Lambda\) lautet:

\Lambda = \begin{pmatrix} -1 & 0 \ 0 & -2 \end{pmatrix}

Nun berechnen wir die Matrix-Exponentialfunktion durch Diagonalisierung:

e^{At} = Pe^{\Lambda t}P^{-1}

Die Matrix-Exponentialfunktion der Diagonalmatrix \(\Lambda t\) lautet:

e^{\Lambda t} = \begin{pmatrix} e^{-t} & 0 \ 0 & e^{-2t} \end{pmatrix}

Zur Berechnung von \(P^{-1}\) nutzen wir:

P^{-1} = \frac{1}{\text{det}(P)} \text{adj}(P)

Für \(P\) ergibt sich:

\text{det}(P) = 1 \cdot (-2) - 1 \cdot (-1) = -2 + 1 = -1

Die adjungierte Matrix (adj(P)) ist:

\text{adj}(P) = \begin{pmatrix} -2 & -1 \ 1 & 1 \end{pmatrix}

Daraus ergibt sich:

P^{-1} = -\begin{pmatrix} -2 & -1 \ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \ -1 & -1 \end{pmatrix}

Damit lautet die Zustandsübergangsmatrix:

\Phi(t) = P e^{\Lambda t} P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \ -1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{-t} & 0 \ 0 & e^{-2t} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \ -1 & -1 \end{pmatrix}

Durch Multiplikationen ergibt sich:

\Phi(t) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \ -1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2e^{-t} & e^{-t} \ -e^{-2t} & -e^{-2t} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2e^{-t} - e^{-2t} & e^{-t} - e^{-2t} \ -2e^{-t} + 2e^{-2t} & -e^{-t} + 2e^{-2t} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2e^{-t} - e^{-2t} & e^{-t} - e^{-2t} \ -2e^{-t} + 2e^{-2t} & -e^{-t} + 2e^{-2t} \end{pmatrix}

Die Zustandsübergangsmatrix \(\Phi(t)\) ist daher:

\Phi(t) = \begin{pmatrix} 2e^{-t} - e^{-2t} & e^{-t} - e^{-2t} \ -2e^{-t} + 2e^{-2t} & -e^{-t} + 2e^{-2t} \end{pmatrix}

Aufgabe 2)

Gegeben sei ein mechanisches System, das durch eine Masse-Dämpfer-Feder-Kombination beschrieben wird. Die Bewegung der Masse wird durch die Differentialgleichung \[ m \frac{d^2 y(t)}{d t^2} + c \frac{d y(t)}{d t} + ky(t) = F(t) \]beschrieben, wobei:

• m die Masse darstellt,
• c der Dämpferkoeffizient ist,
• k die Federkonstante ist,
• F(t) die äußere Kraft ist, die auf die Masse wirkt.

a)

Stelle die Gleichung in Zustandsraumdarstellung um. Definiere die Zustandsvariablen und leite die entsprechenden Matrizen \(\textbf{A}\) und \(\textbf{B}\) her.

Lösung:

Um das gegebene mechanische System in die Zustandsraumdarstellung umzuformen, ist es notwendig, die Zustandsvariablen zu definieren und dann die entsprechenden Matrizen \(\textbf{A}\) und \(\textbf{B}\) herzuleiten. Die ursprüngliche Differentialgleichung ist:

\[ m \frac{d^2 y(t)}{d t^2} + c \frac{d y(t)}{d t} + ky(t) = F(t) \]

Nun definieren wir die Zustandsvariablen:

• \( x_1 = y(t) \)
• \( x_2 = \frac{dy(t)}{dt} \)

Damit ergeben sich die Zustandsraumdarstellungen der Ableitungen:

• \( \dot{x}_1 = \frac{dy(t)}{dt} = x_2 \)
• \( \dot{x}_2 = \frac{d^2 y(t)}{d t^2} \)

Um diese Gleichungen in die Zustandsraumdarstellung zu überführen, benutzen wir die Ursprungsdifferentialgleichung:

• \( m \dot{x}_2 + c x_2 + k x_1 = F(t) \)

Daraus können wir \( \dot{x}_2 \) ableiten:

• \( \dot{x}_2 = -\frac{k}{m} x_1 - \frac{c}{m} x_2 + \frac{F(t)}{m} \)

Nun haben wir zwei Differentialgleichungen erster Ordnung:

• \( \dot{x}_1 = x_2 \)
• \( \dot{x}_2 = -\frac{k}{m} x_1 - \frac{c}{m} x_2 + \frac{F(t)}{m} \)

Die allgemeine Form der Zustandsraumdarstellung ist:

• \( \dot{x} = A x + B F(t) \)

Hier ist:

• \( x = \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \end{bmatrix}^T \)

Die Matrizen \( \textbf{A} \) und \( \textbf{B} \) sind:

• \( \textbf{A} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \ -\frac{k}{m} & -\frac{c}{m} \end{bmatrix} \)
• \( \textbf{B} = \begin{bmatrix} 0 \ \frac{1}{m} \end{bmatrix} \)

Somit lautet die Zustandsraumdarstellung des mechanischen Systems:

• \( \dot{x}(t) = A x(t) + B F(t) \)
mit:
• \( \textbf{A} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \ -\frac{k}{m} & -\frac{c}{m} \end{bmatrix} \)
• \( \textbf{B} = \begin{bmatrix} 0 \ \frac{1}{m} \end{bmatrix} \)

b)

Wende das Euler-Verfahren an, um das System für \ m= 2 \, \ c= 0.5 \, \ k= 1 \ und \ F(t)=1 \ in einem Zeitintervall von \ t=[0, 10]\ mit einer Schrittweite von \ \Delta t= 0.1\ numerisch zu lösen. Berechne die ersten drei Iterationen.

Lösung:

Um das mechanische System numerisch mit dem Euler-Verfahren zu lösen, definieren wir zuerst die Parameter und die Anfangsbedingungen:

• Masse m = 2
• Dämpferkoeffizient c = 0.5
• Federkonstante k = 1
• Äußere Kraft F(t) = 1

Das System wird im Zeitintervall von t=[0, 10] mit einer Schrittweite von ∆t = 0.1 gelöst.

Die allgemeine Form der Zustandsraumdarstellung ist:

• \( \dot{x} = A x + B F(t) \)

Die Matrizen \( \textbf{A} \) und \( \textbf{B} \) haben wir bereits hergeleitet:

• \( \textbf{A} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \ -\frac{k}{m} & -\frac{c}{m} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \ -0.5 & -0.25 \end{bmatrix} \)
• \( \textbf{B} = \begin{bmatrix} 0 \ \frac{1}{m} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \ 0.5 \end{bmatrix} \)

Die Zustandsvariablen sind:

• \( x = \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \end{bmatrix} \)

Das Euler-Verfahren wird angewendet, indem man die Zustandsvariablen zur nächsten Zeitstufe schrittweise aktualisiert. Die Gleichung des Euler-Verfahrens lautet:

• \( x(t + \Delta t) = x(t) + \dot{x}(t) \Delta t \)

Für das System ergibt sich:

• \( \dot{x}(t) = Ax(t) + BF(t) \)

Nun führen wir die ersten drei Iterationen des Euler-Verfahrens durch:

Anfangsbedingungen:

• \( x_1(0) = 0 \)
• \( x_2(0) = 0 \)

• \( x(0) = \begin{bmatrix} 0 \ 0 \end{bmatrix} \)
• \( \dot{x}(0) = Ax(0) + B = \begin{bmatrix} 0 & 1 \ -0.5 & -0.25 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \ 0.5 \end{bmatrix} \cdot 1 = \begin{bmatrix} 0 \ 0.5 \end{bmatrix} \)
• \( x(0.1) = x(0) + \dot{x}(0) \cdot 0.1 = \begin{bmatrix} 0 \ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \ 0.5 \end{bmatrix} \cdot 0.1 = \begin{bmatrix} 0 \ 0.05 \end{bmatrix} \)

2. Iteration:

• \( x(0.1) = \begin{bmatrix} 0 \ 0.05 \end{bmatrix} \)
• \( \dot{x}(0.1) = Ax(0.1) + B = \begin{bmatrix} 0 & 1 \ -0.5 & -0.25 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \ 0.05 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \ 0.5 \end{bmatrix} \cdot 1 = \begin{bmatrix} 0.05 \ 0.4875 \end{bmatrix} \)
• \( x(0.2) = x(0.1) + \dot{x}(0.1) \cdot 0.1 = \begin{bmatrix} 0 \ 0.05 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0.05 \ 0.4875 \end{bmatrix} \cdot 0.1 = \begin{bmatrix} 0.005 \ 0.09875 \end{bmatrix} \)

3. Iteration:

• \( x(0.2) = \begin{bmatrix} 0.005 \ 0.09875 \end{bmatrix} \)
• \( \dot{x}(0.2) = Ax(0.2) + B = \begin{bmatrix} 0 & 1 \ -0.5 & -0.25 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0.005 \ 0.09875 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \ 0.5 \end{bmatrix} \cdot 1 = \begin{bmatrix} 0.09875 \ 0.4753125 \end{bmatrix} \)
• \( x(0.3) = x(0.2) + \dot{x}(0.2) \cdot 0.1 = \begin{bmatrix} 0.005 \ 0.09875 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0.09875 \ 0.4753125 \end{bmatrix} \cdot 0.1 = \begin{bmatrix} 0.014875 \ 0.14628125 \end{bmatrix} \)

Aufgabe 4)

Betrachte ein lineares zeitinvariantes System (LTI-System), das durch die Differenzialgleichung \[ \frac{d^2y(t)}{dt^2} + 3 \frac{dy(t)}{dt} + 2y(t) = x(t) \] beschrieben wird, wobei \t

• \t\tx(t)
• \t\tInput-Signal
• \t\ty(t)
• \t\tOutput-Signal
\t\t

a)

Finde die Übertragungsfunktion H(s) des Systems unter der Annahme, dass die Anfangsbedingungen null sind. Verwende die Laplace-Transformation, um die Differenzialgleichung in den Frequenzbereich zu transformieren und löse sie nach Y(s) auf. Ergebnis: H(s) = Y(s) / X(s)

Lösung:

Übertragungsfunktion des LTI-Systems

Um die Übertragungsfunktion H(s) dieses Systems zu finden, gehen wir die folgenden Schritte durch:

• Laplace-Transformation der Differenzialgleichung unter der Annahme, dass die Anfangsbedingungen null sind.
• Auflösung der Gleichung im Frequenzbereich nach Y(s).
• Ermittlung von H(s) als Verhältnis von Y(s) zu X(s).

Die gegebene Differenzialgleichung lautet:

\[ \frac{d^2y(t)}{dt^2} + 3 \frac{dy(t)}{dt} + 2y(t) = x(t) \]

Schritt 1: Laplace-Transformation

Wende die Laplace-Transformation auf jeden der Terme an. Wir erinnern uns daran, dass die Laplace-Transformation der Ableitungen wie folgt ist:

• \[ \frac{d^2y(t)}{dt^2} \rightarrow s^2 Y(s) - sy(0) - \frac{dy(0)}{dt} \]
• \[ \frac{dy(t)}{dt} \rightarrow s Y(s) - y(0) \]
• \[ y(t) \rightarrow Y(s) \]
• \[ x(t) \rightarrow X(s) \]

Da die Anfangsbedingungen null sind (d.h., \[ y(0) = 0 \] und \[ \frac{dy(0)}{dt} = 0 \]), vereinfacht sich die Laplace-Transformation zu:

• \[ \frac{d^2y(t)}{dt^2} \rightarrow s^2 Y(s) \]
• \[ \frac{dy(t)}{dt} \rightarrow s Y(s) \]

Schritt 2: Umformung zur Laplace-Domäne

Wende die Laplace-Transformation auf die gesamte Differenzialgleichung an:

\[ s^2 Y(s) + 3s Y(s) + 2Y(s) = X(s) \]

Schritt 3: Auflösung nach Y(s)

Fasse \[ Y(s) \] zusammen:

\[ Y(s) (s^2 + 3s + 2) = X(s) \]

Teile beide Seiten der Gleichung durch \[ s^2 + 3s + 2 \]:

\[ Y(s) = \frac{X(s)}{s^2 + 3s + 2} \]

Schritt 4: Ermittlung der Übertragungsfunktion H(s)

Da \[ H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} \], erhalten wir:

\[ H(s) = \frac{1}{s^2 + 3s + 2} \]

Somit ist die Übertragungsfunktion:

\[ H(s) = \frac{1}{s^2 + 3s + 2} \]

Dies ist die Übertragungsfunktion des gegebenen LTI-Systems.

b)

Bestimme die Ausgangsfunktion y(t), wenn das Eingangssignal ein Impuls ist, also x(t) = \delta(t). Übertrage zunächst die Eingangsfunktion und die Übertragungsfunktion in den Frequenzbereich, berechne dann die Systemantwort im Frequenzbereich und wende die inverse Laplace-Transformation an, um zur Zeitdomäne zurückzukehren.

Lösung:

Bestimmung der Ausgangsfunktion y(t) eines LTI-Systems mit einem Impulseingang

Um die Ausgangsfunktion y(t) zu bestimmen, wenn das Eingangssignal ein Impuls ist, also x(t) = \delta(t), gehen wir wie folgt vor:

• Übertrage die Eingangsfunktion in den Frequenzbereich.
• Berechne die Systemantwort im Frequenzbereich unter Verwendung der Übertragungsfunktion.
• Wende die inverse Laplace-Transformation an, um zur Zeitdomäne zurückzukehren.

Schritt 1: Laplace-Transformation des Eingangs

Die Laplace-Transformation des Einheitssprungsignals \delta(t) ist:

\[ X(s) = 1 \]

Schritt 2: Übertragungsfunktion

Wir haben bereits die Übertragungsfunktion H(s) des Systems bestimmt:

\[ H(s) = \frac{1}{s^2 + 3s + 2} \]

Schritt 3: Systemantwort im Frequenzbereich

Die Systemantwort im Frequenzbereich Y(s) ist das Produkt der Übertragungsfunktion H(s) und der Laplace-Transformierten des Eingangssignals X(s):

\[ Y(s) = H(s) \, X(s) = \frac{1}{s^2 + 3s + 2} \, (1) = \frac{1}{s^2 + 3s + 2} \]

Schritt 4: Inverse Laplace-Transformation

Um zu y(t) zurückzukehren, wenden wir die inverse Laplace-Transformation auf Y(s) an:

Wir müssen zuerst den Bruch aufteilen. Die Gleichung \( s^2 + 3s + 2 \) kann in Linearfaktoren zerlegt werden:

\[ s^2 + 3s + 2 = (s + 1)(s + 2) \]

Also können wir schreiben:

\[ \frac{1}{s^2 + 3s + 2} = \frac{1}{(s + 1)(s + 2)} \]

Dies kann in Partialbruchzerlegung aufgeteilt werden:

\[ \frac{1}{(s + 1)(s + 2)} = \frac{A}{s + 1} + \frac{B}{s + 2} \]

Um A und B zu finden, lösen wir das Gleichungssystem:

\[ 1 = A(s + 2) + B(s + 1) \]

Setze \( s = -1 \) ein:

\[ 1 = A(-1 + 2) \Rightarrow 1 = A \]

Setze \( s = -2 \) ein:

\[ 1 = B(-2 + 1) \Rightarrow B = -1 \]

Also haben wir:

\[ \frac{1}{(s + 1)(s + 2)} = \frac{1}{s + 1} - \frac{1}{s + 2} \]

Die inverse Laplace-Transformation von \( \frac{1}{s + 1} \) ist \( e^{-t} \) und die von \( \frac{1}{s + 2} \) ist \( e^{-2t} \):

\[ y(t) = e^{-t} - e^{-2t} \]

Somit ist die Ausgangsfunktion:

\[ y(t) = e^{-t} - e^{-2t} \]