Modellierung, Optimierung und Simulation von Energiesystemen - Exam

Aufgabe 1)

Mathematische Modellierung von EnergiesystemenEin Energieversorgungsunternehmen möchte seine Einsatzplanung für eine Woche optimieren. Das Unternehmen betreibt mehrere Kraftwerke, die Strom zu unterschiedlichen Kosten und Emissionswerten erzeugen. Zudem müssen die Marktanforderungen und Umweltauflagen berücksichtigt werden. Zur Lösung dieser Problemstellung sollen mathematische Modellierungstechniken angewandt werden.

a)

Erstelle ein mathematisches Modell, das die Einsatzplanung der Kraftwerke beschreibt. Verwende lineare Programmierung, um die Kosten der Stromerzeugung und die Emissionen zu minimieren. Formuliere die Zielfunktion und die Nebenbedingungen, die die Kapazitäten der einzelnen Kraftwerke und die Nachfrage am Markt berücksichtigen.

Lösung:

Mathematische Modellierung von Energiesystemen

Ein Energieversorgungsunternehmen möchte seine Einsatzplanung für eine Woche optimieren. Das Unternehmen betreibt mehrere Kraftwerke, die Strom zu unterschiedlichen Kosten und Emissionswerten erzeugen. Zudem müssen die Marktanforderungen und Umweltauflagen berücksichtigt werden. Zur Lösung dieser Problemstellung sollen mathematische Modellierungstechniken angewandt werden.

Teilaufgabe: Mathematisches Modell erstellen

Um die Einsatzplanung der Kraftwerke zu beschreiben und die Kosten und Emissionen zu minimieren, verwenden wir lineare Programmierung. Hierbei formulieren wir eine Zielfunktion und verschiedene Nebenbedingungen.

• Zielfunktion: Die Gesamtkosten der Stromerzeugung minimieren

Sei n die Anzahl der Kraftwerke. Wir definieren:

• c_i: Kosten pro erzeugter MWh des Kraftwerks i
• e_i: Emissionen pro erzeugter MWh des Kraftwerks i
• P_i: Stromproduktion in MWh des Kraftwerks i

Die Zielgröße ist die Minimierung der gesamten Produktionskosten:

Minimiere \[\sum_{{i=1}}^{{n}} c_i \cdot P_i\]

• Nebenbedingungen:

1. Die Stromnachfrage muss gedeckt werden:

\[\sum_{{i=1}}^{{n}} P_i \geq D\]

Hierbei ist D die gesamte Nachfrage in MWh.

2. Produktionskapazitäten der einzelnen Kraftwerke dürfen nicht überschritten werden:

\[0 \le P_i \le K_i\]

Hierbei ist K_i die maximale Produktionskapazität des Kraftwerks i in MWh.

3. Emissionsbeschränkungen müssen eingehalten werden:

\[\sum_{{i=1}}^{{n}} e_i \cdot P_i \leq E_{{\text{{max}}}}\]

Hierbei ist E_{{\text{{max}}}} die maximal erlaubten Gesamtemissionen.

Zusammenfassung:

Das mathematische Modell zur Einsatzplanung kann wie folgt zusammengestellt werden:

• Zielfunktion: Minimiere \[\sum_{{i=1}}^{{n}} c_i \cdot P_i\]
• Nebenbedingungen:
  • \[\sum_{{i=1}}^{{n}} P_i \geq D\] (Deckung der Stromnachfrage)
  • \[0 \leq P_i \leq K_i\](Produktionskapazitäten)
  • \[\sum_{{i=1}}^{{n}} e_i \cdot P_i \leq E_{{\text{{max}}}}\](Emissionsbeschränkungen)

b)

Simuliere das Verhalten des Energiesystems unter der Annahme, dass die Nachfrage am Markt um 10% erhöht wird. Diskutiere, wie sich dies auf die Einsatzplanung und die Gesamtkosten auswirkt. Nutze hierfür geeignete Softwarewerkzeuge und stelle die Ergebnisse graphisch dar.

Lösung:

Mathematische Modellierung von Energiesystemen

Ein Energieversorgungsunternehmen möchte seine Einsatzplanung für eine Woche optimieren. Das Unternehmen betreibt mehrere Kraftwerke, die Strom zu unterschiedlichen Kosten und Emissionswerten erzeugen. Zudem müssen die Marktanforderungen und Umweltauflagen berücksichtigt werden. Zur Lösung dieser Problemstellung sollen mathematische Modellierungstechniken angewandt werden.

Teilaufgabe: Nachfrageerhöhung um 10% simulieren und Auswirkungen analysieren

Unter der Annahme, dass die Nachfrage am Markt um 10% erhöht wird, wird das Verhalten des Energiesystems wie folgt simuliert:

Vorbereitung:

• Originale Nachfrage: D
• Erhöhte Nachfrage: 1.1 \times D

Die Simulation und Analyse wird mit Hilfe geeigneter Softwarewerkzeuge wie Python und Bibliotheken wie PuLP (für lineare Programmierung) sowie Matplotlib (für die graphische Darstellung) durchgeführt. Hier folgt die schrittweise Vorgehensweise.

1. Lineares Programm erstellen

Das Modell wird wie folgt angepasst:

• Zielfunktion: Minimiere \[\sum_{{i=1}}^{{n}} c_i \cdot P_i\]
• Nebenbedingungen:
  • \[\sum_{{i=1}}^{{n}} P_i \geq 1.1D\](Erhöhte Stromnachfrage)
  • \[0 \le P_i \le K_i\](Produktionskapazitäten)
  • \[\sum_{{i=1}}^{{n}} e_i \cdot P_i \leq E_{{\text{{max}}}}\](Emissionsbeschränkungen)

2. Simulation mit Python und PuLP

Hier ist ein Beispielskript in Python:

import pulpimport matplotlib.pyplot as plt# Daten für das Modellc = [Kosten pro MWh für jedes Kraftwerk]e = [Emissionen pro MWh für jedes Kraftwerk]K = [Maximale Kapazität jedes Kraftwerks]D = [Gesamtnachfrage]E_max = [Maximal erlaubte Emissionen]# Erhöhte Nachfrageerhoehte_nachfrage = 1.1 * D# Lineares Problem setzenproblem = pulp.LpProblem('Energiesystem', pulp.LpMinimize)# Entscheidungsvariablen definierenP = pulp.LpVariable.dicts('P', range(len(c)), lowBound=0)# Zielfunktion formulierenproblem += pulp.lpSum([c[i] * P[i] for i in range(len(c))]), 'Gesamtkosten'# Nebenbedingungen hinzufügenproblem += pulp.lpSum([P[i] for i in range(len(c))]) >= erhoehte_nachfrage, 'Nachfrage'problem += pulp.lpSum([e[i] * P[i] for i in range(len(c))]) <= E_max, 'Emissionen'# Kapazitätsbeschränkungen hinzufügenfor i in range(len(c)):    problem += P[i] <= K[i], f'Kapazität_{i}'# Problem lösenproblem.solve()# Ergebnisse speichern und darstellenwerte = [P[i].varValue for i in range(len(c))]print('Gesamtkosten: ', pulp.value(problem.objective))# Graphische Darstellungplt.bar(range(len(c)), werte)plt.xlabel('Kraftwerke')plt.ylabel('Produzierte MWh')plt.title('Stromproduktion der Kraftwerke')plt.show()

3. Ergebnisse und Diskussion

Durch die erhöhte Nachfrage um 10% wird erwartet:

• Zunahme der Gesamtkosten: Die Zielfunktion sollte einen höheren Wert haben, da mehr Strom produziert werden muss.
• Änderung der Einsatzplanung: Mehrere Kraftwerke könnten ihre maximale Kapazität erreichen, um die gestiegene Nachfrage zu bewältigen.
• Emissionen: Die Emissionsgrenze könnte schneller erreicht werden, was möglicherweise zusätzliche Maßnahmen erfordert.

Die grafische Darstellung zeigt, wie die Produktionsmengen der einzelnen Kraftwerke angepasst werden, um die erhöhte Nachfrage zu erfüllen.

Aufgabe 2)

Kontext: In einem Energiesystem soll die optimale Konfiguration und Betriebsstrategie ermittelt werden. Es gibt zwei Optionen zur Optimierung: lineare Optimierung (\textbf{LP}) und nichtlineare Optimierung (\textbf{NLP}). Das Ziel ist es, die Gesamtkosten zu minimieren. Das Energiesystem besteht aus einem Stromnetz, einem Wärmenetz und einer Photovoltaikanlage. Die Gesamtkosten bestehen aus Investitionskosten, Betriebskosten und Wartungskosten, die alle optimiert werden sollen. Weiterhin müssen bestimmte technische Einschränkungen beachtet werden.

a)

Modellieren Sie das Energiesystem als lineares Optimierungsproblem (\textbf{LP}). Definieren Sie die Zielfunktion und alle Nebenbedingungen. Gehen Sie dabei insbesondere auf die Kostenkomponenten ein und erklären Sie, wie Sie technische Beschränkungen wie Kapazitätsgrenzen und Energiebedarf in das Modell integrieren.

Lösung:

Kontext: In einem Energiesystem soll die optimale Konfiguration und Betriebsstrategie ermittelt werden. Es gibt zwei Optionen zur Optimierung: lineare Optimierung (LP) und nichtlineare Optimierung (NLP). Das Ziel ist es, die Gesamtkosten zu minimieren. Das Energiesystem besteht aus einem Stromnetz, einem Wärmenetz und einer Photovoltaikanlage. Die Gesamtkosten bestehen aus Investitionskosten, Betriebskosten und Wartungskosten, die alle optimiert werden sollen. Weiterhin müssen bestimmte technische Einschränkungen beachtet werden.

Aufgabe: Modellieren Sie das Energiesystem als lineares Optimierungsproblem (LP). Definieren Sie die Zielfunktion und alle Nebenbedingungen. Gehen Sie dabei insbesondere auf die Kostenkomponenten ein und erklären Sie, wie Sie technische Beschränkungen wie Kapazitätsgrenzen und Energiebedarf in das Modell integrieren.

Lösung:

1. Zielfunktion definieren

Die Zielfunktion des linearen Optimierungsproblems ist es, die Gesamtkosten des Energiesystems zu minimieren. Die Gesamtkosten setzen sich aus Investitionskosten, Betriebskosten und Wartungskosten zusammen:

Minimiere Z = \text{Investitionskosten} + \text{Betriebskosten} + \text{Wartungskosten}

Wir definieren die einzelnen Komponenten:

• Investitionskosten (IK): Kosten für den Bau und die Installation der Komponenten des Energiesystems (z.B. Photovoltaikanlage, Wärmenetz, Stromnetz).
• Betriebskosten (BK): Kosten für den Betrieb des Energiesystems (z.B. Brennstoffkosten, Stromkosten).
• Wartungskosten (WK): Kosten für die Instandhaltung und Wartung des Energiesystems.

Die Zielfunktion kann also folgendermaßen formuliert werden:

Minimiere Z = IK + BK + WK

2. Nebenbedingungen definieren

Bei der Modellierung des Energiesystems müssen verschiedene technische und betriebliche Nebenbedingungen berücksichtigt werden:

• Kapazitätsgrenzen: Jede Komponente des Energiesystems hat spezifische Kapazitätsgrenzen, die nicht überschritten werden dürfen.
• Energiebedarf: Der Energiebedarf (Strom und Wärme) muss zu jedem Zeitpunkt gedeckt werden.
• Leistungsbilanz: Die erzeugte Energie (z.B. durch die Photovoltaikanlage) muss mit dem Energieverbrauch im System übereinstimmen.
• Betriebszeiten: Bestimmte Anlagen können nur zu bestimmten Zeiten betrieben werden.

Diese Nebenbedingungen können durch Ungleichungen und Gleichungen modelliert werden:

• Kapazitätsgrenzen für das Stromnetz:

  0 \leq P_{Strm} \leq Kap_{Strm}

• Kapazitätsgrenzen für das Wärmenetz:

  0 \leq P_{Wrm} \leq Kap_{Wrm}

• Kapazitätsgrenzen für die Photovoltaikanlage:

  0 \leq P_{PV} \leq Kap_{PV}

• Deckung des Strombedarfs:

  P_{Strm} + P_{PV} \geq E_{Strm}

• Deckung des Wärmebedarfs:

  P_{Wrm} \geq E_{Wrm}

3. Formulierung des Gesamtmodells

Das lineare Optimierungsmodell für das Energiesystem kann nun wie folgt zusammengefasst werden:

\displaystyle \begin{align} & \min Z = IK + BK + WK \ & \text{unter den Nebenbedingungen:} \ & 0 \leq P_{Strm} \leq Kap_{Strm} \ & 0 \leq P_{Wrm} \leq Kap_{Wrm} \ & 0 \leq P_{PV} \leq Kap_{PV} \ & P_{Strm} + P_{PV} \geq E_{Strm} \ & P_{Wrm} \geq E_{Wrm} \end{align}

Mit dieser Modellierung kann nun die optimale Konfiguration und Betriebsstrategie des Energiesystems berechnet werden, um die Gesamtkosten zu minimieren und alle technischen Einschränkungen zu berücksichtigen.

b)

Gehen Sie von der Annahme aus, dass die Effizienz der Wärmeerzeugung von der Temperatur abhängt und somit nichtlinear ist. Modellieren Sie das gleiche Problem als nichtlineares Optimierungsproblem (\textbf{NLP}). Formulieren Sie hierzu die nichtlineare Zielfunktion und die angepassten Nebenbedingungen unter Berücksichtigung der nichtlinearen Effizienzen.

Lösung:

Kontext: In einem Energiesystem soll die optimale Konfiguration und Betriebsstrategie ermittelt werden. Es gibt zwei Optionen zur Optimierung: lineare Optimierung (LP) und nichtlineare Optimierung (NLP). Das Ziel ist es, die Gesamtkosten zu minimieren. Das Energiesystem besteht aus einem Stromnetz, einem Wärmenetz und einer Photovoltaikanlage. Die Gesamtkosten bestehen aus Investitionskosten, Betriebskosten und Wartungskosten, die alle optimiert werden sollen. Weiterhin müssen bestimmte technische Einschränkungen beachtet werden.

Aufgabe: Gehen Sie von der Annahme aus, dass die Effizienz der Wärmeerzeugung von der Temperatur abhängt und somit nichtlinear ist. Modellieren Sie das gleiche Problem als nichtlineares Optimierungsproblem (NLP). Formulieren Sie hierzu die nichtlineare Zielfunktion und die angepassten Nebenbedingungen unter Berücksichtigung der nichtlinearen Effizienzen.

Lösung: Um das Energiesystem als nichtlineares Optimierungsproblem (NLP) zu modellieren, gehen wir wie folgt vor:

1. Zielfunktion definieren

Die Zielfunktion des nichtlinearen Optimierungsproblems ist es, die Gesamtkosten des Energiesystems zu minimieren. Diese Kosten setzen sich aus Investitionskosten, Betriebskosten und Wartungskosten zusammen. Da die Effizienz der Wärmeerzeugung von der Temperatur abhängt, werden die Betriebskosten jetzt eine nichtlineare Funktion der Temperatur:

Minimiere Z = IK + BK(T) + WK

• IK: Investitionskosten
• BK(T): Nichtlineare Betriebskosten, abhängig von der Temperatur T
• WK: Wartungskosten

2. Nebenbedingungen definieren

Zur Modellierung der technischen und betrieblichen Einschränkungen müssen wir die nichtlinearen Abhängigkeiten der Effizienz berücksichtigen:

• Kapazitätsgrenzen: Jede Komponente des Energiesystems hat spezifische Kapazitätsgrenzen:
• Kapazitätsgrenzen für das Stromnetz:

  0 \leq P_{Strm} \leq Kap_{Strm}

• Kapazitätsgrenzen für das Wärmenetz:

  0 \leq P_{Wrm} \leq Kap_{Wrm}

• Kapazitätsgrenzen für die Photovoltaikanlage:

  0 \leq P_{PV} \leq Kap_{PV}

• Energiebedarf: Der Energiebedarf für Strom und Wärme muss gedeckt werden. Dabei ist die nichtlineare Effizienz der Wärmeerzeugung zu berücksichtigen:
• Deckung des Strombedarfs:

  P_{Strm} + P_{PV} \geq E_{Strm}

• Deckung des Wärmebedarfs:

  f(T) \cdot P_{Wrm} \geq E_{Wrm}

• Leistungsbilanz: Die erzeugte Energie muss mit dem Energieverbrauch im System übereinstimmen:
• Gesamtbilanz:

  P_{erzeugt} = P_{verbraucht}

3. Formulierung des Gesamtmodells

Das nichtlineare Optimierungsmodell für das Energiesystem kann nun wie folgt zusammengefasst werden:

\begin{align} & \min Z = IK + BK(T) + WK \ & \text{unter den Nebenbedingungen:} \ & 0 \leq P_{Strm} \leq Kap_{Strm} \ & 0 \leq P_{Wrm} \leq Kap_{Wrm} \ & 0 \leq P_{PV} \leq Kap_{PV} \ & P_{Strm} + P_{PV} \geq E_{Strm} \ & f(T) \cdot P_{Wrm} \geq E_{Wrm} \end{align}

Bei

f(T)

handelt es sich um die nichtlineare Effizienzfunktion der Wärmeerzeugung in Abhängigkeit der Temperatur.

Mit dieser nichtlinearen Modellierung kann die optimale Konfiguration und Betriebsstrategie des Energiesystems berechnet werden, um die Gesamtkosten zu minimieren, wobei die nichtlinearen Effizienzen in der Wärmeerzeugung berücksichtigt werden.

c)

Vergleichen Sie die Ergebnisse der beiden Modelle (\textbf{LP} und \textbf{NLP}). Diskutieren Sie die Vor- und Nachteile der Verwendung eines linearen oder nichtlinearen Modells in diesem Kontext. Unter welchen Umständen wäre die Wahl eines NLP-Modells gegenüber einem LP-Modell gerechtfertigt?

Lösung:

Kontext: In einem Energiesystem soll die optimale Konfiguration und Betriebsstrategie ermittelt werden. Es gibt zwei Optionen zur Optimierung: lineare Optimierung (LP) und nichtlineare Optimierung (NLP). Das Ziel ist es, die Gesamtkosten zu minimieren. Das Energiesystem besteht aus einem Stromnetz, einem Wärmenetz und einer Photovoltaikanlage. Die Gesamtkosten bestehen aus Investitionskosten, Betriebskosten und Wartungskosten, die alle optimiert werden sollen. Weiterhin müssen bestimmte technische Einschränkungen beachtet werden.

Aufgabe: Vergleichen Sie die Ergebnisse der beiden Modelle (LP und NLP). Diskutieren Sie die Vor- und Nachteile der Verwendung eines linearen oder nichtlinearen Modells in diesem Kontext. Unter welchen Umständen wäre die Wahl eines NLP-Modells gegenüber einem LP-Modell gerechtfertigt?

Lösung:

1. Vergleich der Ergebnisse der beiden Modelle

Die Ergebnisse der linearen Optimierung (LP) und der nichtlinearen Optimierung (NLP) können signifikant voneinander abweichen, insbesondere wenn nichtlineare Effekte eine große Rolle spielen.

• Lineares Modell (LP): Das lineare Modell liefert eine Lösung, die die energetischen und finanziellen Aspekte des Systems auf Basis linearer Beziehungen zwischen den Variablen optimiert. Dies führt in der Regel zu einfacheren und schnelleren Berechnungen.
• Nichtlineares Modell (NLP): Das nichtlineare Modell berücksichtigt komplexe Zusammenhänge, wie die temperaturabhängige Effizienz der Wärmeerzeugung. Diese Modelle sind oft genauer und realistischer, da sie physikalische Effekte und empirische Zusammenhänge besser abbilden.

2. Vor- und Nachteile der beiden Modelle

Vorteile der linearen Modelle (LP):

• Berechnungsgeschwindigkeit: Lineare Modelle sind weniger rechenintensiv und können schneller gelöst werden.
• Einfachheit: Die mathematische Struktur ist einfacher und besser zu verstehen.
• Robustheit: Lösungen von linearen Problemen sind oft stabiler und einfacher zu interpretieren.

Nachteile der linearen Modelle (LP):

• Mangel an Genauigkeit: Lineare Modelle können wichtige nichtlineare Zusammenhänge, wie die temperaturabhängige Effizienz, nicht berücksichtigen.
• Eingeschränkte Realitätsnähe: Sie können physikalische Effekte und komplexe Systemdynamiken nicht adäquat abbilden.

Vorteile der nichtlinearen Modelle (NLP):

• Genauigkeit: Nichtlineare Modelle können realistischere und genauere Lösungen liefern, indem sie komplexe Zusammenhänge berücksichtigen.
• Flexibilität: Sie bieten die Möglichkeit, umfangreichere und detailliertere Einschränkungen und Zielfunktionen zu modellieren.

Nachteile der nichtlinearen Modelle (NLP):

• Berechnungskomplexität: Die Lösung nichtlinearer Optimierungsprobleme ist oft komplexer und zeitaufwändiger.
• Konvergenzprobleme: Es gibt keine Garantie dafür, dass der Optimierungsalgorithmus eine globale Lösung findet; oft wird nur eine lokale Lösung gefunden.

3. Wann ist die Wahl eines NLP-Modells gerechtfertigt?

Die Wahl eines nichtlinearen Modells (NLP) ist gerechtfertigt, wenn:

• Die Beziehungen zwischen den Variablen komplex und nichtlinear sind, z.B. die temperaturabhängige Effizienz der Wärmeerzeugung.
• Exakte und realistische Ergebnisse erforderlich sind, die die physikalischen und empirischen Zusammenhänge präzise abbilden.
• Die zusätzliche Rechenzeit und Komplexität für die höhere Genauigkeit akzeptabel sind.
• Das Systemverhalten stark von nichtlinearen Effekten beeinflusst wird und lineare Modelle diese nicht adäquat erfassen können.

In solchen Fällen kann die Genauigkeit und Zuverlässigkeit der Ergebnisse die höheren Rechenkosten und die Komplexität des nichtlinearen Modells rechtfertigen.

Aufgabe 3)

Stell Dir vor, Du arbeitest an einem Projekt zur Optimierung eines Energiesystems mit Schwerpunkt auf die Vorhersage von Stromverbrauch und -erzeugung. Für dieses Projekt entscheidest Du dich, Monte-Carlo-Simulationen zu nutzen, um Unsicherheiten in deinen Prognosen zu bewerten. Du nutzt diese Methode, um probabilistische Vorhersagen für verschiedene Szenarien zu erstellen und deren Risiko zu analysieren.

a)

Beschreibe den grundlegenden Ablauf einer Monte-Carlo-Simulation zur Bewertung der Unsicherheiten in zukünftigen Energieprognosen. Achte darauf, die Schritte der Stichprobenziehung und der Analyse variabler Eingabedaten zu erläutern.

Lösung:

Grundlegender Ablauf einer Monte-Carlo-Simulation zur Bewertung der Unsicherheiten in zukünftigen Energieprognosen:Um Unsicherheiten in Energieprognosen zu bewerten, kann eine Monte-Carlo-Simulation helfen, verschiedene Szenarien probabilistisch zu modellieren und das Risiko zu analysieren.

• 1. Definition des Modells: Zu Beginn wird ein mathematisches Modell definiert, das die Beziehung zwischen den verschiedenen Einflussfaktoren und der Energieprognose beschreibt. Dies kann beispielsweise den Stromverbrauch und die -erzeugung über einen bestimmten Zeitraum umfassen.
• 2. Identifikation von Eingabevariablen: Identifiziere alle relevanten Eingabevariablen, die Unsicherheiten unterliegen, wie Wetterbedingungen, Energiepreise oder Verbraucheranforderungen.
• 3. Wahrscheinlichkeitsverteilungen festlegen: Weise jeder Eingabevariablen eine geeignete Wahrscheinlichkeitsverteilung zu. Dies kann z.B. eine Normalverteilung, eine lognormale Verteilung oder eine Gleichverteilung sein. Diese Verteilungen sollten auf historischen Daten oder Expertenwissen basieren.
• 4. Stichprobenziehung: Ziehe zufällige Stichproben für jede Eingabevariable basierend auf den festgelegten Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Dies geschieht in der Regel mit einer großen Anzahl von Iterationen (z.B. 10.000 oder mehr), um eine ausreichende Genauigkeit zu gewährleisten.
• 5. Bewertung des Modells: Für jede Iteration werden die zufällig gezogenen Werte in das Modell eingegeben, um die entsprechende Ausgabe (z.B. zukünftiger Stromverbrauch oder -erzeugung) zu berechnen.
• 6. Sammlung der Ergebnisse: Nach Durchführung aller Simulationen werden die Ergebnisse gesammelt und analysiert, um eine Wahrscheinlichkeitsverteilung der prognostizierten Ausgaben zu erstellen.
• 7. Analyse der Ergebnisse: Analysiere die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Ergebnisse, um Aussagen über Unsicherheiten und Risiken zu treffen. Dies könnte beispielsweise die Bestimmung von Konfidenzintervallen oder die Erstellung von Stress-Szenarien umfassen.
• 8. Interpretation und Anwendung: Interpretiere die analysierten Daten, um sie bei der Entscheidungsfindung zu verwenden. Dies könnte helfen, Risiken zu managen und Maßnahmen zur Optimierung des Energiesystems zu ergreifen.

ZusammenfassungDurch die Monte-Carlo-Simulation können Unsicherheiten in Energieprognosen systematisch bewertet und probabilistische Vorhersagen für verschiedene Szenarien erstellt werden, was eine fundierte Entscheidungsfindung ermöglicht. Der Prozess umfasst die Modellierung, die Stichprobenziehung, die Simulation und die Analyse der Ergebnisse, um Risiken und Unsicherheiten zu quantifizieren.

b)

Angenommen, Du hast 1000 Stichproben der zukünftigen Stromerzeugung in kWh für einen bestimmten Zeitraum ermittelt. Erläutere, wie Du den Erwartungswert (Mittelwert) und die Varianz dieser Daten berechnen würdest. Verwende dabei die folgenden Formeln:

• \[ E(X) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} X_i \]
• \[Var(X) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (X_i - E(X))^2 \]

Lösung:

Berechnung des Erwartungswerts (Mittelwerts) und der Varianz der zukünftigen Stromerzeugung:Angenommen, Du hast 1000 Stichproben der zukünftigen Stromerzeugung in kWh vorliegen. Diese Stichproben können wir als \(X_1, X_2, ..., X_{1000}\) bezeichnen. Um den Erwartungswert (Mittelwert) und die Varianz dieser Daten zu berechnen, verwendest Du die genannten Formeln:

• \[ E(X) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} X_i \]
• \[Var(X) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (X_i - E(X))^2 \]

Schritte zur Berechnung:

• 1. Berechnung des Erwartungswerts (Mittelwerts):Verwende die Formel für den Erwartungswert:\[ E(X) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} X_i \]Hierbei ist \(N\) die Anzahl der Stichproben, also in diesem Fall 1000. \(N = 1000\)Beispiel:Angenommen, Du hast die Stichprobenwerte: \(X_1, X_2, ..., X_{1000}\). Du addierst alle Stichprobenwerte und dividierst die Summe durch 1000.\[ E(X) = \frac{1}{1000} (X_1 + X_2 + ... + X_{1000}) \]
• 2. Berechnung der Varianz:Verwende die Formel für die Varianz:\[Var(X) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (X_i - E(X))^2 \]Hierbei ist \(N\) wieder die Anzahl der Stichproben, also 1000. \(E(X)\) ist der zuvor berechnete Erwartungswert.Beispiel:Berechne den Unterschied zwischen jedem Stichprobenwert und dem Erwartungswert (Mittelwert), quadriere diesen Unterschied und summiere alle quadrierten Unterschiede. Danach dividierst Du die Summen der quadrierten Unterschiede durch die Anzahl der Stichproben, also 1000.\[Var(X) = \frac{1}{1000} ((X_1 - E(X))^2 + (X_2 - E(X))^2 + ... + (X_{1000} - E(X))^2) \]

Zusammengefasst:

• Der Erwartungswert gibt Dir den durchschnittlichen Wert der zukünftigen Stromerzeugung basierend auf Deinen Stichproben an.
• Die Varianz misst die Streuung der Stichprobenwerte um den Erwartungswert und gibt Aufschluss über die Unsicherheit in Deinen Prognosen.

c)

Schreibe einen Python-Code, der eine Monte-Carlo-Simulation für die Vorhersage des Stromverbrauchs durchführt. Dabei soll der Code 1000 zufällige Stichproben aus einem Normalverteilungspool ziehen und anschließend den Erwartungswert und die Varianz berechnen.

import numpy as np# Parameter der Normalverteilungmu = 5000  # Mittelwertsigma = 500  # StandardabweichungN = 1000  # Anzahl der Stichproben# Durchführung der Monte-Carlo-Simulationsamples = np.random.normal(mu, sigma, N)# Berechnung des Erwartungswertesexpected_value = np.mean(samples)# Berechnung der Varianzvariance = np.var(samples)# Ausgabe der Ergebnisseprint('Erwartungswert:', expected_value)print('Varianz:', variance)

Lösung:

• Beschreibung:

Der folgende Python-Code führt eine Monte-Carlo-Simulation für die Vorhersage des Stromverbrauchs durch. Er zieht 1000 zufällige Stichproben aus einem Normalverteilungspool mit einem Mittelwert von 5000 und einer Standardabweichung von 500. Anschließend berechnet der Code den Erwartungswert und die Varianz der gezogenen Stichproben.

import numpy as np# Parameter der Normalverteilungmu = 5000  # Mittelwertsigma = 500  # StandardabweichungN = 1000  # Anzahl der Stichproben# Durchführung der Monte-Carlo-Simulationsamples = np.random.normal(mu, sigma, N)# Berechnung des Erwartungswertesexpected_value = np.mean(samples)# Berechnung der Varianzvariance = np.var(samples)# Ausgabe der Ergebnisseprint('Erwartungswert:', expected_value)print('Varianz:', variance)

• Erklärung des Codes Schritt für Schritt:
• 1. Importieren der numpy-Bibliothek: Der Code beginnt mit dem Import der numpy-Bibliothek, die für numerische Berechnungen und die Arbeit mit Arrays in Python verwendet wird.
• 2. Festlegen der Parameter: Der Mittelwert and die Standardabweichung der Normalverteilung werden auf 5000 bzw. 500 gesetzt, und die Anzahl der Stichproben wird auf 1000 festgelegt.
• 3. Durchführung der Monte-Carlo-Simulation: Mithilfe der numpy-Funktion np.random.normal() werden 1000 zufällige Stichproben aus einer Normalverteilung gezogen, die durch den Mittelwert und die Standardabweichung definiert ist.
• 4. Berechnung des Erwartungswertes: Der Erwartungswert der Stichproben wird mit der numpy-Funktion np.mean() berechnet.
• 5. Berechnung der Varianz: Die Varianz der Stichproben wird mit der numpy-Funktion np.var() berechnet.
• 6. Ausgabe der Ergebnisse: Der berechnete Erwartungswert und die Varianz werden mit der print()-Funktion ausgegeben.

Aufgabe 4)

In einem urbanen Energiesystemmodell sind verschiedene Entitäten wie Haushalte, Solaranlagen, Energieversorgungsunternehmen und Netzbetreiber als autonome Agenten definiert. Jeder Haushalt versucht, seine Energiekosten zu minimieren, während Energieversorgungsunternehmen versuchen, ihre Gewinne zu maximieren. Die Solaranlagenbetreiber zielen darauf ab, ihren erzeugten Strom vorrangig zu nutzen und überschüssigen Strom gewinnbringend zu verkaufen. Netzbetreiber müssen das Energiesystem stabil halten, indem sie die Nachfrage und das Angebot ausgleichen.

c)

3. Entwickle ein Simulationsszenario, in dem Solaranlagen einen signifikanten Anteil der Energieproduktion ausmachen. Wie beeinflusst dies das Verhalten der Solaranlagenbetreiber und der Netzbetreiber? Diskutiere die Interaktionen und beschreibe die Regeln, die die Agenten befolgen sollten.

Lösung:

3. Entwickle ein Simulationsszenario, in dem Solaranlagen einen signifikanten Anteil der Energieproduktion ausmachen. Wie beeinflusst dies das Verhalten der Solaranlagenbetreiber und der Netzbetreiber? Diskutiere die Interaktionen und beschreibe die Regeln, die die Agenten befolgen sollten.

Simulationsszenario

Angenommen, Solaranlagen machen einen signifikanten Anteil der Energieproduktion in einem urbanen Energiesystem aus. In diesem Szenario beeinflusst die erhöhte Solarstromproduktion das Verhalten der Solaranlagenbetreiber und der Netzbetreiber erheblich.

Verhalten der Solaranlagenbetreiber

Solaranlagenbetreiber haben zwei Hauptziele:
• Maximierung des Eigenverbrauchs: Sie versuchen, so viel wie möglich von ihrem erzeugten Solarstrom selbst zu verbrauchen, um ihre Abhängigkeit vom Netz zu minimieren.
• Verkauf von Überschussstrom: Sie verkaufen überschüssigen erzeugten Strom ans Netz, um daraus Einnahmen zu erzielen.

Mathematische Modelle und Regeln

• Gesamt erzeugte Solarenergie:

  E_{solar}

• Eigenverbrauchte Energie:

  E_{self}

• Verkaufte Energie:

  E_{sell}

E_{solar} = E_{self} + E_{sell}

• Maximiere den Eigenverbrauch

  E_{self}

  .
• Regel: Verkaufe überschüssige Energie (

  E_{sell}

  ), wenn

  E_{solar} > E_{self}

  .
• Ertragsgleichung:

  Revenue = E_{sell} \times p_{sell}

  .

Verhalten der Netzbetreiber

Netzbetreiber müssen die Netzstabilität aufrechterhalten, trotz der fluktuierenden Solarstromproduktion.

• Balance zwischen Angebot und Nachfrage: Sie gleicht das Angebot und die Nachfrage aus, um die Netzfrequenz stabil zu halten.
• Einsatz von Speichern: Sie nutzen Energiespeicher, um überschüssige Energie zu speichern und während Nachfragespitzen freizugeben.

Mathematische Modelle und Regeln

Gesamte Energiezufuhr ins Netz:

P_{supply}

Gesamte Energienachfrage vom Netz:

P_{demand}

Netzbilanz:

P_{balance} = P_{supply} - P_{demand}

Regel: Halte die Netzbilanz so nah wie möglich bei 0:

P_{balance} = 0

• Regel 1: Bei einem Überschuss (

  P_{supply} > P_{demand}

  ), speichere die überschüssige Energie oder reduziere die Einspeisung.
• Regel 2: Bei einer Unterversorgung (

  P_{demand} > P_{supply}

  ), gib gespeicherte Energie frei oder kaufe Energie vom Markt.

Interaktionen zwischen Solaranlagenbetreibern und Netzbetreibern

Die Interaktionen zwischen Solaranlagenbetreibern und Netzbetreibern sind entscheidend für die Stabilität und Effizienz des Energiesystems:

• Kooperation: Es muss eine kontinuierliche Kommunikation zwischen den beiden Akteuren geben, um Echtzeitdaten über Erzeugung und Nachfrage auszutauschen.
• Dynamische Preissignale: Netzbetreiber können Preissignale verwenden, um das Einspeiseverhalten der Solaranlagenbetreiber zu steuern.
• Speichermanagement: Beide müssen zusammenarbeiten, um Energiespeicher effektiv zu nutzen, Überschüsse zu puffern und Defizite auszugleichen.

Regeln zur Interaktion

• Regel 1: Netzbetreiber geben Preissignale, um die Einspeise-Anreize für Solaranlagenbetreiber zu setzen.
• Regel 2: Solaranlagenbetreiber passen ihre Einspeisung basierend auf den erhaltenen Preissignalen an.
• Regel 3: Beide koordinieren die Nutzung von Speichern, um das Netz auszugleichen.

Zusammenfassung

In einem System mit einem hohen Anteil an Solarstromproduktion müssen Solaranlagenbetreiber und Netzbetreiber eng zusammenarbeiten und gut koordinierte Strategien verfolgen, um die Stabilität und Effizienz des Energiesystems zu gewährleisten. Dabei spielen dynamische Preissignale, die Nutzung von Energiespeichern und ein kontinuierlicher Informationsaustausch eine wesentliche Rolle, um das Gleichgewicht zwischen Energieerzeugung und -verbrauch aufrechtzuerhalten.

d)

4. Implementiere eine einfache agentenbasierte Simulation in Python, die das beschriebene Szenario ausführt. Die Simulation sollte Interaktionen zwischen Haushalten, Energieversorgungsunternehmen, Solaranlagenbetreibern und Netzbetreibern beinhalten. Nutze Pseudocode, um die Implementierung der Interaktionsregeln der Agenten darzustellen. Ein Beispiel für eine Interaktionsregel könnte in Python wie folgt aussehen:

class HouseholdAgent:    def __init__(self, energy_demand, solar_capacity, battery_capacity):        self.energy_demand = energy_demand        self.solar_capacity = solar_capacity        self.battery_capacity = battery_capacity        self.energy_cost = 0    def calculate_energy_cost(self, grid_price, solar_price):        if self.solar_capacity >= self.energy_demand:            self.energy_cost = 0  # Assume all demand is met by solar        else:            self.energy_cost = (self.energy_demand - self.solar_capacity) * grid_price        return self.energy_cost

Lösung:

4. Implementiere eine einfache agentenbasierte Simulation in Python, die das beschriebene Szenario ausführt. Die Simulation sollte Interaktionen zwischen Haushalten, Energieversorgungsunternehmen, Solaranlagenbetreibern und Netzbetreibern beinhalten. Nutze Pseudocode, um die Implementierung der Interaktionsregeln der Agenten darzustellen. Hier ist ein Pseudocode-Beispiel, das das beschriebene Szenario umsetzt:

Pseudocode für eine agentenbasierte Simulation

class HouseholdAgent:    def __init__(self, energy_demand, solar_capacity, battery_capacity):        self.energy_demand = energy_demand        self.solar_capacity = solar_capacity        self.battery_capacity = battery_capacity        self.energy_cost = 0    def calculate_energy_cost(self, grid_price, solar_price):        if self.solar_capacity >= self.energy_demand:            self.energy_cost = 0  # Assume all demand is met by solar        else:            self.energy_cost = (self.energy_demand - self.solar_capacity) * grid_price        return self.energy_cost

Agentenklassen und Interaktionsregeln

Klasse Solaranlagenbetreiber

class SolarAgent:    def __init__(self, production, consumption):        self.production = production        self.consumption = consumption        self.excess_energy = 0    def calculate_excess_energy(self):        if self.production > self.consumption:            self.excess_energy = self.production - self.consumption        else:            self.excess_energy = 0        return self.excess_energy

Klasse Energieversorgungsunternehmen

class EnergyProvider:    def __init__(self, grid_price, buy_price):        self.grid_price = grid_price        self.buy_price = buy_price        self.total_profit = 0    def buy_excess_energy(self, excess_energy, buy_price):        return excess_energy * buy_price    def sell_energy(self, energy_demand, grid_price):        return energy_demand * grid_price    def calculate_profit(self, energy_demand, excess_energy):        self.total_profit = self.sell_energy(energy_demand, self.grid_price) - self.buy_excess_energy(excess_energy, self.buy_price)        return self.total_profit

Klasse Netzbetreiber

class GridOperator:    def __init__(self):        self.total_supply = 0        self.total_demand = 0        self.net_balance = 0    def update_balance(self, supply, demand):        self.total_supply += supply        self.total_demand += demand        self.net_balance = self.total_supply - self.total_demand        return self.net_balance

Simulation der Interaktionen

def simulate():    # Initialisierung der Agenten    house = HouseholdAgent(energy_demand=10, solar_capacity=8, battery_capacity=5)    solar = SolarAgent(production=12, consumption=6)    provider = EnergyProvider(grid_price=0.2, buy_price=0.1)    grid = GridOperator()    # Berechnung der Energiekosten für den Haushalt    energy_cost = house.calculate_energy_cost(provider.grid_price, provider.buy_price)    print("Energiekosten für Haushalt: ", energy_cost)    # Berechnung der überschüssigen Energie des Solaranlagenbetreibers    excess_energy = solar.calculate_excess_energy()    print("Überschussenergie: ", excess_energy)    # Kauf und Verkauf von Energie durch das Energieversorgungsunternehmen    profit = provider.calculate_profit(house.energy_demand, excess_energy)    print("Gesamtgewinn des Energieversorgungsunternehmens: ", profit)    # Aktualisierung des Netzgleichgewichts    net_balance = grid.update_balance(solar.production, house.energy_demand)    print("Netzbilanz: ", net_balance)simulate()

In dieser Simulation:

• Der HouseholdAgent berechnet seine Energiekosten basierend auf der Nachfrage, dem Solarangebot und den Netzpreisen.
• Der SolarAgent berechnet die überschüssige Energie, die er produzieren und verkaufen kann.
• Das EnergyProvider-Unternehmen kauft überschüssige Energie und verkauft Energie an die Haushalte, um einen Gewinn zu erzielen.
• Der GridOperator aktualisiert das Gleichgewicht zwischen Angebot und Nachfrage im Netz.

Die Interaktion zwischen diesen Agenten wird in der Simulationsfunktion simulate durchgeführt.