Multiphysics Systems and Components - Cheatsheet

Einführung in Differentialgleichungen

Definition:

Einführung in Differentialgleichungen behandelt die Grundlagen der Formulierung und Lösung von Gleichungen, die Veränderungsraten beschreiben.

Details:

• Differentialgleichung: Gleichung, die eine unbekannte Funktion und ihre Ableitungen enthält.
• Typen: gewöhnliche Differentialgleichungen (ODEs) und partielle Differentialgleichungen (PDEs).
• Beispiel einer ODE erster Ordnung: \( \frac{dy}{dt} = ky \)
• Gängige Lösungsmethoden: Trennung der Variablen, charakteristische Gleichung, numerische Verfahren.
• Anwendung: Physik, Ingenieurwesen, Biologie, Finanzmathematik.

Grundlagen der Finite-Elemente-Methode

Definition:

Grundlagen der Finite-Elemente-Methode (FEM): Numerisches Verfahren zur Lösung von Differentialgleichungen durch Diskretisierung eines Gebietes in kleine, einfacher zu modellierende Untereinheiten (Finite Elemente).

Details:

• Diskretisierung: Zerlegung des kontinuierlichen Problems in diskrete Teilgebiete (Finite Elemente).
• Variationsprinzip: Verwendung von Ansatzfunktionen zur Annäherung der genauen Lösung.
• Schwache Formulierung: Umwandlung der Differentialgleichungen in Integralform.
• Assemblierung: Zusammenfügen der einzelnen Elementgleichungen zu einem globalen Gleichungssystem.
• Randbedingungen: Einbindung von Dirichlet- oder Neumann-Randbedingungen.
• Lösen des Gleichungssystems: Verwendung numerischer Methoden (z.B. Gauß-Elimination, Iterationsverfahren) zur Lösung des resultierenden Systems.
• Post-Processing: Interpretation und Visualisierung der numerischen Lösungen.

Kopplung verschiedener physikalischer Felder

Definition:

Kopplung unterschiedlicher physikalischer Felder, wie elektromagnetische, mechanische und thermische, zur Modellierung und Analyse komplexer Systeme.

Details:

• Multiphysikalische Systeme: Kombination verschiedener physikalischer Felder in einem Modell.
• Gekoppelte Differentialgleichungen: Darstellung der Interaktion zwischen Feldern.
• Anwendungsbereiche: Robotertechnik, Medizintechnik, Elektronik.
• Simulationswerkzeuge: COMSOL Multiphysics, ANSYS.
• Beispiel: Wechselwirkung von Wärme und mechanischer Spannung in Materialien.

Diskretisierungsverfahren für die Navier-Stokes-Gleichungen

Definition:

Diskretisierungsverfahren zur numerischen Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen.

Details:

• Navier-Stokes-Gleichungen: Beschreiben das Strömungsverhalten von Flüssigkeiten und Gasen.
• Diskretisierungsmethoden: FDM (Finite-Differenzen-Methode), FEM (Finite-Elemente-Methode), FVM (Finite-Volumen-Methode).
• FDM: Approximiert Ableitungen durch Differenzenquotienten.
• FEM: Zerlegt das Gebiet in kleine Elemente und verwendet Testfunktionen.
• FVM: Integriert die Gleichungen über Kontrollvolumen.
• Zeitschrittverfahren: Explizit, implizit, und semi-implizit.
• Stabilität und Genauigkeit: CFL-Bedingung (Courant-Friedrichs-Lewy-Bedingung).

Turbulenzmodellierung

Definition:

Modellierung der Turbulenz in Fluidströmungen mit unterschiedlichen Methoden zur Beschreibung und Vorhersage turbulenten Verhaltens.

Details:

• Direkte Numerische Simulation (DNS): Löst die Navier-Stokes-Gleichungen vollständig. Hoher Rechenaufwand.
• Large Eddy Simulation (LES): Löst große Wirbel und modelliert kleinere. Weniger Rechenintensiv als DNS.
• Reynolds-gemittelte Navier-Stokes Gleichungen (RANS): Gemittelte Version der Navier-Stokes-Gleichungen. Häufig verwendet.
• Reynolds-Zahl: Maß für die Turbulenz. \( Re = \frac{\rho u L}{\mu} \).

Numerische Lösungsverfahren für Finite-Elemente-Systeme

Definition:

Numerische Methoden zur Lösung der Finite-Elemente-Gleichungssysteme in Multiphysik-Anwendungen. Wichtig für die Lösung von partiellen Differenzialgleichungen in diskreten Systemen.

Details:

• Diskretisierung von Rand- und Anfangsbedingungen mittels Finite-Elemente-Methode (FEM).
• Generierung von steifen und Massenmatrizen für FEM.
• Verwendung von Lösungsalgorithmen wie CG (Conjugate Gradient), GMRES (Generalized Minimal Residual) und direkter Löser.
• Iterative Verfahren zur Verbesserung der Lösungsgenauigkeit.
• Handhabung großer, dünnbesetzter Matrizen durch spezialisierte Datenstrukturen.
• Vektorisierung und Parallelisierung zur Effizienzsteigerung.
• Wahl geeigneter Solver je nach Problemart und Systemgröße.

Verwendung von Multiphysik-Simulationssoftware

Definition:

Einsatz von Softwaretools zur gleichzeitigen Simulation mehrerer physikalischer Phänomene (z.B. Strömung, Thermik, Struktur).

Details:

• Integration verschiedener physikalischer Modelle
• Simulationsumgebung zur Kopplung multiphysikalischer Prozesse
• Verwendung in Feldern wie Maschinenbau, Elektronik, Biomedizin
• Beispielsoftware: COMSOL Multiphysics, ANSYS, Abaqus
• Oft gekoppelte Differentialgleichungen zur Modellierung
• Erkenntnisse beeinflussen Designprozesse und Optimierungen