Multiphysics Systems and Components - Exam

Aufgabe 1)

Betrachte die gewöhnliche Differentialgleichung (ODE) erster Ordnung, die in vielen realen Anwendungen vorkommt:

\( \frac{dy}{dt} = ky \)

Dabei ist k eine Konstante.

• Hinweis: Beachte, dass die Lösungsmöglichkeiten für solche Gleichungen in Themen wie Trennung der Variablen, charakteristische Gleichungen und numerische Verfahren zu finden sind.
• Anwendung: Diese Gleichung findet sich in verschiedenen Bereichen wie Physik, Ingenieurwesen und Biologie wieder.

a)

1. Bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichung \( \frac{dy}{dt} = ky \).

Lösung:

Um die allgemeine Lösung der Differentialgleichung \( \frac{dy}{dt} = ky \) zu bestimmen, können wir das Verfahren der Trennung der Variablen anwenden.

• Schritt 1: Schreibe die Differentialgleichung in einer Form, die die Trennung der Variablen ermöglicht:

\[\frac{dy}{dt} = ky\]

• Bringe alle Terme, die y enthalten, auf eine Seite, und alle Terme, die t enthalten, auf die andere Seite:

\[\frac{1}{y} dy = k \, dt\]

• Schritt 2: Integriere beide Seiten der Gleichung:

\[\int \frac{1}{y} \, dy = \int k \, dt\]

• Die Integrale ergeben:

\[\ln |y| = kt + C\]

• Schritt 3: Löse nach y auf:

\[|y| = e^{kt+C}\]

• Da \(e^{kt+C} = e^{kt} \cdot e^C\) und \(e^C\) eine positive Konstante ist, können wir sie als eine neue Konstante \(A\) schreiben:

\[|y| = Ae^{kt}\]

• Da y sowohl positiv als auch negativ sein kann, schreiben wir:

\[y = Ae^{kt}\]

Hierbei ist A eine Konstante, die durch die Anfangsbedingungen bestimmt wird.

• Fazit: Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung \( \frac{dy}{dt} = ky \) lautet:

\[y = Ae^{kt}\]

b)

2. Nehmen wir an, dass die Anfangsbedingung \( y(0) = y_0 \) gilt. Finde die spezielle Lösung der Differentialgleichung für diese Anfangsbedingung.

Lösung:

Um die spezielle Lösung der Differentialgleichung \( \frac{dy}{dt} = ky \) unter der Anfangsbedingung \( y(0) = y_0 \) zu finden, müssen wir die Konstante \( A \) in der allgemeinen Lösung bestimmen.

• Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung lautet:

\[y = Ae^{kt}\]

• Wir setzen die Anfangsbedingung \( y(0) = y_0 \) ein:

\[y(0) = Ae^{k \cdot 0} = A = y_0\]

• Damit ist die Konstante \( A \) gleich \( y_0 \).
• Die spezielle Lösung lautet daher:

\[y = y_0 e^{kt}\]

Zusammenfassung: Die spezielle Lösung der Differentialgleichung \( \frac{dy}{dt} = ky \) unter der Anfangsbedingung \( y(0) = y_0 \) ist:

\[y = y_0 e^{kt}\]

c)

3. In einem bestimmten biologischen Modell beschreibt diese Differentialgleichung das Wachstum einer Population, wobei die Wachstumsrate k = 0.03 \(t^{-1} \) beträgt und die Anfangspopulation 100 Individuen umfasst. Bestimme die Anzahl der Individuen nach 50 Zeiteinheiten.

Lösung:

Um die Anzahl der Individuen nach 50 Zeiteinheiten in dem gegebenen biologischen Modell zu bestimmen, müssen wir die spezielle Lösung der Differentialgleichung \( \frac{dy}{dt} = 0.03y \) mit den gegebenen Anfangsbedingungen verwenden.

• Gegebene Werte: - Wachstumsrate: \( k = 0.03 \; t^{-1} \) - Anfangspopulation: \( y(0) = 100 \)
• Die spezielle Lösung der Differentialgleichung lautet:

\[y = y_0 e^{kt}\]

• Setzen wir die Werte ein:

\[y = 100 e^{0.03 t}\]

• Nun berechnen wir die Anzahl der Individuen nach 50 Zeiteinheiten:

\[y(50) = 100 e^{0.03 \cdot 50}\]

• Führen wir die Berechnung aus:

\[y(50) = 100 e^{1.5}\]

• Verwenden wir den Näherungswert für \( e^{1.5} \), welcher ungefähr 4.4817 ist:

\[y(50) \approx 100 \cdot 4.4817 \approx 448.17\]

Zusammenfassung: Die Anzahl der Individuen nach 50 Zeiteinheiten beträgt ungefähr 448.

Aufgabe 2)

Gegeben sei ein einheitliches rechteckiges Blech, das auf einer Kante fest eingespannt ist (Dirichlet-Randbedingungen) und auf der gegenüberliegenden Kante durch eine gleichmäßig verteilte Last belastet wird (Neumann-Randbedingungen). Das Ziel ist es, die durch die Last induzierte Verformung des Blechs mithilfe der Finite-Elemente-Methode (FEM) zu bestimmen.

a)

Zerlege das Rechteck in eine geeignete Anzahl Finite Elemente. Begründe Deine Wahl der Anzahl und Form der Elemente. Zeichne das resultierende Netz, wenn das Blech eine Länge von 10 Einheiten und eine Breite von 2 Einheiten hat.

Lösung:

Um die Verformung des Blechs mithilfe der Finite-Elemente-Methode (FEM) zu bestimmen, musst Du das Rechteck in eine geeignete Anzahl von Finite-Elementen (FEs) zerlegen. Hierbei sollten einige Faktoren berücksichtigt werden, um eine präzise und effiziente Modellierung zu gewährleisten:

• Geometrie des Blechs: Das Blech hat eine Länge von 10 Einheiten und eine Breite von 2 Einheiten.
• Lastverteilung: Die Last ist gleichmäßig über eine der Kanten verteilt.
• Genauigkeit: Die Anzahl der Elemente muss ausreichend groß sein, um eine genaue Berechnung der Verformung zu ermöglichen.
• Rechenaufwand: Zu viele Elemente erhöhen den Rechenaufwand erheblich.

Empfohlene Zerlegung:

• Anzahl der Elemente: Ein Netz aus 20 Elementen in Längsrichtung und 4 Elementen in Querrichtung ist eine gute Balance zwischen Genauigkeit und Rechenaufwand.
• Form der Elemente: Rechteckige Elemente sind am besten geeignet, da sie direkt zur Geometrie des Blechs passen und einfach zu implementieren sind.

Durch diese Wahl haben wir insgesamt 80 Elemente (20 in Längsrichtung x 4 in Querrichtung), was eine feine und gleichmäßige Netzstruktur ergibt.

Zeichnung des resultierenden Netzes:

Hier ist eine schematische Darstellung des Netzes:

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b)

Formuliere das Variationsprinzip für das gegebene Problem und wähle geeignete Ansatzfunktionen für die Finite-Elemente-Methode aus. Begründe Deine Wahl der Ansatzfunktionen und ihre Eigenschaften.

Lösung:

Um das Problem der durch die Last induzierten Verformung des Blechs mithilfe der Finite-Elemente-Methode (FEM) zu lösen, müssen wir zunächst das Variationsprinzip formulieren und anschließend geeignete Ansatzfunktionen auswählen.

1. Formulierung des Variationsprinzips:

Das Variationsprinzip basiert auf der Minimierung der totalen potenziellen Energie des Systems. Für das gegebene Problem besteht die totale potenzielle Energie \(\Pi\) aus der inneren Energie des Blechs und der Arbeit der äußeren Lasten:

• Innere Energie \(U\):

U = \frac{1}{2} \int_V \sigma_{ij} \epsilon_{ij} \, dV

• Arbeit der äußeren Lasten \(W\):

W = \int_V f_i u_i \, dV + \int_S T_i u_i \, dS

Hierbei sind:

• \(V\): das Volumen des Blechs
• \(S\): die Oberfläche des Blechs
• \(\sigma_{ij}\): der Spannungstensor
• \(\epsilon_{ij}\): der Verzerrungstensor
• \(u_i\): die Verschiebungskomponenten
• \(f_i\): die Volumenkraftkomponenten
• \(T_i\): die Oberflächenkraftkomponenten

Das Variationsprinzip lautet nun: Finde die Verschiebungsfunktion \(u_i\), die die totale potenzielle Energie \(\Pi\) minimiert:

\Pi(u_i) = U - W = \frac{1}{2} \int_V \sigma_{ij} \epsilon_{ij} \, dV - \int_V f_i u_i \, dV - \int_S T_i u_i \, dS

2. Wahl der Ansatzfunktionen:

Die Auswahl der Ansatzfunktionen \(N_i\) ist entscheidend für die Genauigkeit und Konvergenz der Lösung. Geeignete Ansatzfunktionen sollten die folgenden Eigenschaften besitzen:

• Konsistenz: Die Ansatzfunktionen müssen die Verschiebungen \(u_i\) und die Verzerrungen \(\epsilon_{ij}\) des Blechs korrekt beschreiben.
• Stetigkeit: Die Ansatzfunktionen sollten stetig sein und keine Diskontinuitäten aufweisen.
• Randbedingungen: Die Ansatzfunktionen sollten die Dirichlet-Randbedingungen (fest eingespannt) und die Neumann-Randbedingungen (gleichmäßig verteilte Last) korrekt berücksichtigen.

Wahl der Ansatzfunktionen:

• Lineare Ansatzfunktionen: Diese sind einfach zu implementieren und genügen in vielen Fällen, um eine präzise Lösung zu erhalten.
• Bilineare Ansatzfunktionen: Diese Ansatzfunktionen sind eine Erweiterung der linearen Ansatzfunktionen und sind besonders geeignet für rechteckige Finite-Elemente.

u_i(x,y) \approx \sum_j N_j(x,y) u_{i,j}

Hierbei sind \(N_j(x,y)\) die Ansatzfunktionen und \(u_{i,j}\) die Knotenverschiebungen.

Ein Beispiel für bilineare Ansatzfunktionen in einem zweidimensionalen rechteckigen Element sind:

N_1(x,y) = (1 - \frac{x}{L_x})(1 - \frac{y}{L_y})N_2(x,y) = \frac{x}{L_x}(1 - \frac{y}{L_y})N_3(x,y) = \frac{x}{L_x} \frac{y}{L_y}N_4(x,y) = (1 - \frac{x}{L_x}) \frac{y}{L_y}

Diese bilinearen Ansatzfunktionen gewährleisten, dass die Verschiebungen innerhalb des Elements linear interpoliert werden und die Randbedingungen korrekt erfüllt werden.

Aufgabe 3)

Kopplung unterschiedlicher physikalischer Felder: Ein wichtiger Aspekt bei der Modellierung und Analyse komplexer Systeme besteht in der Kombination und Interaktion verschiedener physikalischer Felder wie elektromagnetischer, mechanischer und thermischer Felder. Diese Interaktionen werden oft durch gekoppelte Differentialgleichungen beschrieben und finden Anwendung in diversen Bereichen wie der Robotertechnik, Medizintechnik und Elektronik. Simulationswerkzeuge wie COMSOL Multiphysics und ANSYS werden häufig verwendet, um diese Interaktionen zu simulieren und zu analysieren. Betrachte als Beispiel die Wechselwirkung von Wärme und mechanischer Spannung in Materialien.

d)

Angenommen, du nutzt ANSYS zur Simulation der beschriebenen Wechselwirkung von Wärme und mechanischer Spannung in einem Material. Erkläre den Ablauf einer solchen Simulation, beginnend mit der Modellerstellung bis hin zur Ergebnisanalyse. Wie prüfst du die Validität der Simulationsergebnisse, und welche Maßnahmen ergreifst du, wenn die Ergebnisse unbefriedigend sind?

Lösung:

Ablauf der Simulation der Wechselwirkung von Wärme und mechanischer Spannung in ANSYS:ANSYS ist ein leistungsfähiges Finite-Elemente-Analyse (FEA) Werkzeug, das zur Simulation der Wechselwirkung von Wärme und mechanischer Spannung in Materialien verwendet werden kann. Hier ist der Ablauf der Simulation von der Modellerstellung bis zur Ergebnisanalyse:1. Modellerstellung:

• Geometrieerstellung: Beginne mit der Modellierung der Geometrie des zu untersuchenden Materials bzw. Bauteils. Dies kann über die Geometrieerstellungstools in ANSYS oder durch den Import von CAD-Designs geschehen.
• Materialeigenschaften: Definiere die Materialeigenschaften wie Wärmeleitfähigkeit, spezifische Wärmekapazität, Dichte, Elastizitätsmodul und thermischer Ausdehnungskoeffizient.
• Netzgenerierung (Meshing): Teile die Geometrie in ein Netz aus Finite-Elementen auf. Dabei sollte eine geeignete Netzfeinheit gewählt werden, insbesondere in Bereichen mit hohen Gradienten.

2. Physikalische Modelle:

• Thermisches Modell: Wähle die Wärmeübertragungsschnittstelle und definiere die Wärmeleitungsgleichung sowie eventuelle Wärmequellen.
• Mechanisches Modell: Wähle die Strukturmechanikschnittstelle und definiere die Spannungs-Dehnungs-Beziehungen einschließlich der thermisch induzierten Dehnungen.
• Kopplung der Modelle: Kopple die thermischen und mechanischen Gleichungen, um die Wechselwirkungen zwischen Temperaturänderungen und mechanischen Spannungen zu simulieren.

3. Randbedingungen und Anfangsbedingungen:

• Thermische Randbedingungen: Setze die Randbedingungen für Temperatur (Dirichlet) und Wärmefluss (Neumann) fest.
• Mechanische Randbedingungen: Setze die Randbedingungen für Verschiebungen (Dirichlet) und äußere Kräfte oder Spannungen (Neumann).
• Anfangsbedingungen: Definiere die Ausgangsbedingungen für Temperatur, Verschiebungen und Geschwindigkeiten.

4. Lösung und Simulation:

• Führe die gekoppelten Simulationen durch, wobei ANSYS die Finite-Elemente-Methode verwendet, um die resultierenden Gleichungen zu lösen. Überwache die Konvergenz der Lösung und passe gegebenenfalls die Netzfeinheit oder Lösungseinstellungen an.

5. Ergebnisanalyse:

• Analysiere die Verteilung der Temperatur und der mechanischen Spannungen innerhalb des Materials.
• Untersuche kritische Bereiche mit hohen Temperaturgradienten oder Spannungen, um das Verhalten des Materials bzw. Bauteils unter den gegebenen Bedingungen zu verstehen.
• Stelle die Ergebnisse in Form von Diagrammen, Grafiken oder Animationen dar.

6. Validität der Simulationsergebnisse:

• Vergleich mit experimentellen Daten: Vergleiche die Simulationsergebnisse mit experimentellen Messwerten, um die Genauigkeit und Validität des Modells zu bestätigen.
• Analytische Lösungen: Vergleiche die Simulationsergebnisse mit analytischen Lösungen einfacher Probleme, falls vorhanden.
• Netzkonvergenzstudie: Führe eine Netzkonvergenzstudie durch, um sicherzustellen, dass die Ergebnisse unabhängig von der Netzgröße sind.

7. Maßnahmen bei unbefriedigenden Ergebnissen:

• Anpassung der Netzfeinheit: Erhöhe die Feinheit des Netzes, besonders in kritischen Bereichen mit hohen Gradienten.
• Präzisierung der Materialeigenschaften: Überprüfe und präzisiere die Materialeigenschaften, um sicherzustellen, dass sie korrekt und temperaturabhängig sind.
• Überprüfung der Rand- und Anfangsbedingungen: Stelle sicher, dass die Rand- und Anfangsbedingungen realistisch und angemessen gesetzt sind.
• Erweiterung des Modells: Ergänze das Modell um zusätzliche physikalische Effekte oder detailliertere Geometrien, falls nötig.
• Iterative Lösung und Konvergenz: Verwende fortgeschrittene Iterationsmethoden oder verändere die Konvergenzeinstellungen, um die numerische Stabilität zu verbessern.
• Validierung durch Experimente: Führe zusätzliche experimentelle Tests durch, um Unsicherheiten in den Eingabedaten zu reduzieren und die Simulationsergebnisse weiter zu validieren.

Durch diesen umfassenden Ansatz kann die Wechselwirkung von Wärme und mechanischer Spannung in Materialien in ANSYS effektiv simuliert und analysiert werden.

Aufgabe 4)

Diskretisierungsverfahren für die Navier-Stokes-Gleichungen: In diesem Zusammenhang betrachten wir die numerischen Methoden zur Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen. Diese Gleichungen beschreiben das Strömungsverhalten von Flüssigkeiten und Gasen und sind von zentraler Bedeutung in der Strömungsmechanik. Es gibt verschiedene Diskretisierungsmethoden wie die Finite-Differenzen-Methode (FDM), die Finite-Elemente-Methode (FEM) und die Finite-Volumen-Methode (FVM), die jeweils unterschiedliche Ansätze verwenden, um die kontinuierlichen Gleichungen in ein diskretes System zu überführen. Ein wichtiger Aspekt bei diesen Methoden ist die Wahl der Zeitschrittverfahren, die explizit, implizit oder semi-implizit sein können. Weiterhin müssen bei der numerischen Simulation Stabilität und Genauigkeit beachtet werden, wobei die CFL-Bedingung (Courant-Friedrichs-Lewy-Bedingung) eine wesentliche Rolle spielt. Basierend auf diesen Grundlagen sind folgende Aufgaben zu bearbeiten:

a)

• Wähle eine der Diskretisierungsmethoden (FDM, FEM oder FVM) und erkläre ausführlich, wie diese Methode zur Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen angewendet wird. Gehe dabei auf die grundlegende Idee der Methode, deren Vor- und Nachteile sowie auf die Implementierungsschritte ein.
• Berechne unter Verwendung der Finite-Differenzen-Methode (FDM) die Diskretisierung der zeitlichen und räumlichen Ableitungen für die Navier-Stokes-Gleichungen in zwei Raumdimensionen. Zeige dabei die vollständige Herleitung der Differenzenquotienten und erkläre die Stabilitätskriterien, insbesondere die CFL-Bedingung, die bei der Wahl der Zeitschritte zu beachten ist.

Lösung:

Diskretisierungsverfahren für die Navier-Stokes-Gleichungen:In diesem Zusammenhang betrachten wir die numerischen Methoden zur Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen. Diese Gleichungen beschreiben das Strömungsverhalten von Flüssigkeiten und Gasen und sind von zentraler Bedeutung in der Strömungsmechanik. Es gibt verschiedene Diskretisierungsmethoden wie die Finite-Differenzen-Methode (FDM), die Finite-Elemente-Methode (FEM) und die Finite-Volumen-Methode (FVM), die jeweils unterschiedliche Ansätze verwenden, um die kontinuierlichen Gleichungen in ein diskretes System zu überführen. Ein wichtiger Aspekt bei diesen Methoden ist die Wahl der Zeitschrittverfahren, die explizit, implizit oder semi-implizit sein können. Weiterhin müssen bei der numerischen Simulation Stabilität und Genauigkeit beachtet werden, wobei die CFL-Bedingung (Courant-Friedrichs-Lewy-Bedingung) eine wesentliche Rolle spielt.Basierend auf diesen Grundlagen sind folgende Aufgaben zu bearbeiten:

• Wähle eine der Diskretisierungsmethoden (FDM, FEM oder FVM) und erkläre ausführlich, wie diese Methode zur Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen angewendet wird. Gehe dabei auf die grundlegende Idee der Methode, deren Vor- und Nachteile sowie auf die Implementierungsschritte ein.
• Berechne unter Verwendung der Finite-Differenzen-Methode (FDM) die Diskretisierung der zeitlichen und räumlichen Ableitungen für die Navier-Stokes-Gleichungen in zwei Raumdimensionen. Zeige dabei die vollständige Herleitung der Differenzenquotienten und erkläre die Stabilitätskriterien, insbesondere die CFL-Bedingung, die bei der Wahl der Zeitschritte zu beachten ist.

Lösung:

• Finite-Differenzen-Methode (FDM) zur Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen:Die Finite-Differenzen-Methode (FDM) ist eine numerische Methode zur Lösung von Differentialgleichungen, indem die Ableitungen durch Differenzenquotienten approximiert werden.Grundlegende Idee:Die grundlegende Idee besteht darin, die kontinuierlichen Ableitungen durch diskrete Differenzen zu ersetzen. Das gesamte Strömungsgebiet wird durch ein Gitter (Raster) diskretisiert. Die verschiedenen Größen wie Geschwindigkeit und Druck werden an den Gitterpunkten definiert.Vor- und Nachteile:
  • Vorteile:
    • Einfacher Ansatz und leicht zu implementieren.
    • Direkte Anwendung auf rechteckige Gebiete.
    • Geeignet für einfache Probleme.
  • Nachteile:
    • Nicht gut geeignet für komplexe Geometrien.
    • Kann zu Stabilitäts- und Genauigkeitsproblemen führen.
    • Benötigt feine Gitter für hohe Genauigkeit, was zu hohem Rechenaufwand führt.
  Implementierungsschritte:
  1. Diskretisierung des Gebietes in ein Gitter.
  2. Approximation der Ableitungen mittels Differenzenquotienten.
  3. Aufstellen der diskreten Gleichungen für alle Gitterpunkte.
  4. Lösung des resultierenden Gleichungssystems.
  5. Iterative Zeitschrittverfahren anwenden, falls zeitabhängige Probleme gelöst werden.
• Diskretisierung der Navier-Stokes-Gleichungen (2D) mit der FDM:Die Navier-Stokes-Gleichungen in zwei Dimensionen lauten vereinfacht:
Die x-Komponente:
\[ \frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x} + u \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \right) \]
Die y-Komponente:
\[ \frac{\partial v}{\partial t} + u \frac{\partial v}{\partial x} + v \frac{\partial v}{\partial y} = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial y} + u \left( \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} \right) \]
Kontinuitätsgleichung (Massenkonservierung):
\[ \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0 \]
Räumliche Diskretisierung:Für die räumlichen Ableitungen verwenden wir zentrale Differenzenquotienten. Zum Beispiel für die erste Ableitung nach x:
\[ \left( \frac{\partial u}{\partial x} \right)_{i,j} \approx \frac{u_{i+1,j} - u_{i-1,j}}{2 \Delta x} \]
\[ \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \right)_{i,j} \approx \frac{u_{i+1,j} - 2u_{i,j} + u_{i-1,j}}{(\Delta x)^2} \]
Diskretisierung der zeitlichen Ableitungen:Für die zeitliche Ableitung können wir explizite oder implizite Verfahren verwenden. Ein einfaches explizites Verfahren ist das Vorwärts-Differenzenverfahren:
\[ \left( \frac{\partial u}{\partial t} \right)_{i,j}^{n} \approx \frac{u_{i,j}^{n+1} - u_{i,j}^{n}}{\Delta t} \]
Herleitung der Differenzenquotienten:
Hinsichtlich der x-Komponente der Geschwindigkeit u:
\[ \rho \left( \frac{u_{i,j}^{n+1} - u_{i,j}^{n}}{\Delta t} \right) + u_{i,j}^{n} \left( \frac{u_{i+1,j}^{n} - u_{i-1,j}^{n}}{2 \Delta x} \right) + v_{i,j}^{n} \left( \frac{u_{i,j+1}^{n} - u_{i,j-1}^{n}}{2 \Delta y} \right) = -\left( \frac{p_{i+1,j}^{n} - p_{i-1,j}^{n}}{2 \Delta x} \right) + u \left( \frac{u_{i+1,j}^{n} - 2u_{i,j}^{n} + u_{i-1,j}^{n}}{(\Delta x)^2} + \frac{u_{i,j+1}^{n} - 2u_{i,j}^{n} + u_{i,j-1}^{n}}{(\Delta y)^2} \right) \]
Stabilitätskriterien und CFL-Bedingung:Die CFL-Bedingung (Courant-Friedrichs-Lewy-Bedingung) stellt sicher, dass die numerische Lösung stabil bleibt. Für die FDM kann die CFL-Bedingung wie folgt geschrieben werden:
\[ \Delta t \leq \frac{1}{\text{max} \bigg( \frac{|u|}{\text{dx}}, \frac{|v|}{\text{dy}} \bigg) } \]
dabei sind \( \Delta x \) und \( \Delta y \) die räumlichen Schrittweiten und \( \Delta t \) die Zeitschrittweite. Die Bedingung garantiert, dass die Information nicht schneller propagiert, als das Gitter es zulässt.