Nonlinear Control Systems - Cheatsheet

Direktmethode von Lyapunov

Definition:

Direktmethode zur Stabilitätsanalyse nichtlinearer dynamischer Systeme ohne Lösung der Differentialgleichungen. Verwendet eine Lyapunov-Funktion.

Details:

• Lyapunov-Funktion: Kandidat muss positiv definit (\textgreater 0) und ihre Ableitung entlang der Systemtrajektorien negativ definit (\textless 0) sein.
• Stabilität: Falls \(V(x) \textgreater 0\) und \(\dot{V}(x) \textless 0\), dann ist das System stabil.
• Asymptotische Stabilität: Falls \(V(x) \textgreater 0\) und \(\dot{V}(x) \le 0\) mit \(\dot{V}(x) = 0\) nur für \(x = 0\), dann ist das System asymptotisch stabil.
• Praktische Anwendung: Erfordert geschickte Wahl der Lyapunov-Funktion.

Linearisierung und Stabilitätsanalyse

Definition:

Linearisierung: Näherung eines nichtlinearen Systems durch ein lineares System in der Umgebung eines Arbeitspunktes. Stabilitätsanalyse: Untersuchung, ob ein System bei kleinen Störungen in einen stabilen Zustand zurückkehrt.

Details:

• Systemmodell: \dot{x} = f(x, u)
• Arbeitspunkt (\text{x_0}, \text{u_0}): f(x_0, u_0) = 0
• Linearisierung um (\text{x_0}, \text{u_0}): \dot{x} \approx A(x - x_0) + B(u - u_0)
• Jacobian-Matrizen: A = \frac{\partial f}{\partial x} \bigg|_{(x_0, u_0)}, B = \frac{\partial f}{\partial u} \bigg|_{(x_0, u_0)}
• Stabilität: Analyse durch Eigenwerte von A
• Asymptotische Stabilität: Alle Eigenwerte von A haben negative Realteile

Feedback-Linearisation

Definition:

Nichtlineares System durch Rückkopplung in ein lineares System transformieren.

Details:

• Ermöglicht Anwendung linearer Regelungsmethoden auf nichtlineare Systeme
• Transformationsgleichung: \(u = \frac{1}{b(x)}( -a(x) + v)\), wobei \(a(x)\) und \(b(x)\) Systemdynamiken sind
• Erfordert genaue Systemmodelle
• Anwendungsfall: Flugregelung, Robotersteuerung

Sliding Mode Control

Definition:

Regelungstechnik, die Systeme durch Umschaltung von Steuerungsfunktionen stabilisiert und robuste Leistung trotz Unsicherheiten und Störungen gewährleistet.

Details:

• Schaltung erfolgt durch ein diskretes, binäres Signal.
• Besitzt gute Robustheitseigenschaften gegen Modellunsicherheiten und äußere Störungen.
• Systemzustände werden auf definierten Schaltflächen ('Sliding Surfaces') gehalten: \(s(x) = 0\).
• Kontrollregel: \(u = u_{eq} + u_{n}\) mit \(u_{eq}\) dem äquivalenten Teil und \(u_{n}\) dem diskreten Schaltanteil.
• Vermeidung von Chattering durch Implementierung von Boundary-Layer-Techniken oder dynamischen Schiebeoberflächen.
• Anwendung in Bereichen wie Robotik, Fahrzeugdynamik, elektrische Antriebsregelung.

Model Reference Adaptive Control (MRAC)

Definition:

Model Reference Adaptive Control (MRAC) ist eine Technik zur Reglerauslegung, bei der das Verhalten eines Regelkreises an das eines vorgegebenen Referenzmodells angepasst wird, um optimale Regelungseigenschaften zu erzielen.

Details:

• System verfolgt kontinuierlich die Abweichung zwischen tatsächlichem Systemausgang und Referenzmodellausgang.
• Adaptive Gesetze passen Reglerparameter dynamisch an.
• Verwendet Lyapunov-Theorie für Stabilitätsnachweis.
• Typisches MRAC-Regler-Schema: \(u(t) = \theta^T(t) \textbf{x}(t)\)
• Zielfunktion: \(e(t) = y_m(t) - y(t)\)
• Typische Anpassungsgleichungen: \[ \frac{d\theta}{dt} = - \textbf{G} \textbf{x}(t)e(t) \]

LaSalle’s Invarianzsatz

Definition:

LaSalle's Invarianzsatz bietet eine Methode zur Bestimmung der Stabilität von Gleichgewichtspunkten dynamischer Systeme im Zustandsraum.

Details:

• Wendet Lyapunov-Funktionen an, um Stabilität zu analysieren.
• Kann für nichtlineare Systeme angewendet werden.
• Eine Menge M ist invariant, wenn für jedes \mathbf{x} \in \mathbf{M}, \mathbf{x(t)} bleibt in \mathbf{M}
• LaSalle’s Invarianzsatz: Sei V(x) eine Lyapunov-Funktion. Dann bewegt sich das System zu der größten invarianten Menge innerhalb von \{x | \dot{V(x)} = 0\}.
• Hilfreich zur Bestimmung der asymptotischen Stabilität.