Numerische Methoden elektromagnetischer Felder - Cheatsheet

Grundlagen der Diskretisierung

Definition:

Grundlagen der Diskretisierung betreffen die Umwandlung kontinuierlicher Modelle und Gleichungen in diskrete Gegenstücke, um sie numerisch zu lösen.

Details:

• Diskretisierungsverfahren: Finite-Differenzen-Methode, Finite-Elemente-Methode, Finite-Volumen-Methode
• Prinzip: Ersetzung von Ableitungen durch Differenzenquotienten
• Gittergenerierung: Wahl geeigneter Diskretisierungspunkte
• Trunkierungsfehler: Fehler durch Diskretisierung
• Stabilität und Konvergenz: Eigenschaften der Diskretisierung zur Sicherstellung korrekter Lösungen

Numerische Lösung der Maxwell-Gleichungen

Definition:

Berechnung elektromagnetischer Felder durch numerische Algorithmen basierend auf den Maxwell-Gleichungen

Details:

• Die Maxwell-Gleichungen beschreiben das Verhalten elektromagnetischer Felder durch vier partielle Differentialgleichungen.
• Numerische Methoden wie Finite-Elemente-Methode (FEM) und Finite-Differenzen-Methode (FDM) werden verwendet.
• Diskretisierung des Lösungsraumes notwendig.
• Eckpunkte der Maximierungs- und Minimierungsprobleme bei PDEs
• Erfordert umfangreiche Rechenressourcen und Speicherplatz.

Finite-Elemente-Methode (FEM): Mesh-Generierung und Verfeinerung

Definition:

Erstellung und Optimierung eines Netzes (Mesh) zur diskreten Lösung von Feldgleichungen

Details:

• Elementtypen: Dreiecke (2D), Tetraeder (3D)
• Netzqualität: Uniformität, Übergangsverhältnisse, Minimierung verzerrter Elemente
• Verfeinerung: Adaptive Verfeinerung auf Basis von Fehlerschätzungen; Global oder lokal
• Algorithmus: Delaunay-Triangulation, Advancing Front
• Vermeidung von Fluch der Dimensionen: Einsatz hierarchischer Basen

Fehleranalyse und Genauigkeit in Diskretisierungsmethoden

Definition:

Analyse der Fehler, die bei der numerischen Diskretisierung von kontinuierlichen Modellen entstehen, und Bewertung der Genauigkeit der Ergebnisse.

Details:

• Diskretisierungsmethoden: Finite-Difference, Finite-Element, Finite-Volumen
• Fehlerquellen: Rundungsfehler, Trunkierungsfehler
• Fehlerabschätzung: Bestimmung der Ordnung des Trunkierungsfehlers
• Genauigkeit: Verhältnis von numerischem Fehler zu exakter Lösung
• Konvergenz: Geschwindigkeit, mit der die numerische Lösung gegen die exakte Lösung konvergiert
• Gitterverfeinerung: Reduziert den Trunkierungsfehler
• Verhütung des Rundungsfehlers: Verwendung von höherer Genauigkeit in Berechnungen
• Abhängigkeit der Fehler von der Gitterweite: \textbf{h}-Abhängigkeit

Finite-Differenzen-Methode (FDM): Diskretisierung zeitabhängiger Probleme

Definition:

FDM: Numerische Methode zur Lösung partieller Differentialgleichungen (PDEs) durch Diskretisierung. Transformiert kontinuierliche Probleme in diskrete Probleme.

Details:

• Diskretisierung: Zeit- und Raumgitter
• Finite-Differenzen-Approximation für Ableitungen
• Stabilitätskriterien: Courant-Friedrichs-Lewy (CFL)-Bedingung
• Explizite vs. implizite Methoden
• Formel zur Ableitung: \( \frac{ \partial u }{ \partial t } \approx \frac{ u^{n+1} - u^n }{ \Delta t } \)
• Beispiel: Wärmegleichung, Wellengleichung

Vergleich von FDM und FEM

Definition:

Vergleich von Finite-Differenzen-Methode (FDM) und Finite-Element-Methode (FEM) für die Lösung elektromagnetischer Felder; verwendet in numerischen Methoden zur Lösung von Differentialgleichungen.

Details:

• FDM (Finite-Differenzen-Methode): Diskretisierung von Differentialgleichungen auf einem Gitter; Approximiert Ableitungen durch Differenzen.
• Vorteile: Einfachheit, direkte Anwendbarkeit auf regelmäßigen Gittern.
• Nachteile: Schwierigkeiten bei komplexen Geometrien, hohe Speicheranforderungen.
• FEM (Finite-Elemente-Methode): Zerlegung des Problembereichs in kleine Elemente; Verwendung von Testfunktionen zur Approximation der Lösungsfunktion.
• Vorteile: Flexibilität bei unregelmäßigen Geometrien, hohe Genauigkeit.
• Nachteile: Komplexere Implementierung, höherer Rechenaufwand.
• Mathematisch basiert FDM auf Taylor-Reihen; FEM auf Variationsprinzipien wie der Galerkin-Methode.

Numerische Stabilität bei der Lösung elektromagnetischer Feldprobleme

Definition:

Sicherstellung, dass numerische Methoden zur Lösung elektromagnetischer Feldprobleme bei iterativen Berechnungen keine Fehler anhäufen und Ergebnisse präzise und konvergent bleiben.

Details:

• Direkt vs. iterativ: iterative Methoden neigen zu instabilen Lösungen
• Stabilität beeinflusst durch Diskretisierungsverfahren und Zeitschrittwahl
• CFL-Bedingung (Courant-Friedrichs-Lewy): essentielle Stabilitätsvoraussetzung
• Rundungsfehler und Gleitkommadarstellung können Instabilitäten verstärken
• Numerische Dämpfung als Methode zur Stabilisierung
• Wichtige Methoden: Finite-Differenzen-Zeitbereich (FDTD), Finite-Elemente-Methode (FEM)

Spektralanalyse elektromagnetischer Felder

Definition:

Untersuchung der Frequenzkomponenten elektromagnetischer Felder.

Details:

• Analyse über Fourier-Transformation:
• Kontinuierliche Fourier-Transformation: \( F(\omega) = \int_{{-\infty}}^{{\infty}} f(t) e^{-i\omega t} dt \)
• Diskrete Fourier-Transformation (DFT): \( X(k) = \sum_{{n=0}}^{{N-1}} x[n] e^{-i 2\pi kn/N} \)
• Schnelle Fourier-Transformation (FFT) zur effizienten Berechnung der DFT.
• Spektralanalyse zur Ermittlung der Signatur und Resonanzen von Feldern.
• Nützlich in der Signalverarbeitung und der Lösung von Wellengleichungen.