Passive Bauelemente und deren HF-Verhalten - Exam

Aufgabe 1)

Einige Widerstandstypen und ihre Eigenschaften für Hochfrequenzanwendungen sind unten beschrieben. Bitte beantworte die folgenden Fragen basierend auf diesen Informationen.

• Drahtwiderstände: Hohe Induktivität, ungeeignet für HF
• Schichtwiderstände: Bessere HF-Eigenschaften, niedrigere Induktivität
• Metallfilmwiderstände: Sehr geringe Induktivität, gut für HF
• Karbonfilmwiderstände: Günstig, mäßige HF-Eigenschaften
• SMD-Widerstände: Sehr geringe parasitäre Elemente, ideal für HF
• Hochfrequenzverhalten: Reaktanz durch Induktivität und Kapazität beachten
• Gesamtimpedanz \( Z(f) = R + j(\omega L - \frac{1}{\omega C}) \) mit \( \omega = 2\pi f \)
• Parallel- und Serienresonanzfrequenz berücksichtigen

a)

Berechne die Gesamtimpedanz eines 10 Ohm Drahtwiderstands mit einer parasitären Induktivität von 1 µH bei einer Frequenz von 100 MHz. \[ Z(f) = R + j(\omega L - \frac{1}{\omega C}) \]Hinweis: Vernachlässige die parasitäre Kapazität.

Lösung:

Um die Gesamtimpedanz eines 10 Ohm Drahtwiderstands mit einer parasitären Induktivität von 1 µH bei einer Frequenz von 100 MHz zu berechnen, folgen wir diesen Schritten:

• Der Widerstand R beträgt 10 Ohm.
• Die Induktivität L beträgt 1 µH (Mikrohenry), das entspricht 1 × 10^-6 Henry.
• Die Frequenz f beträgt 100 MHz (Megahertz), das entspricht 100 × 10⁶ Hz.

Berechne zuerst die Winkelgeschwindigkeit \( \omega \ \):

• \( \omega = 2 \pi \cdot f = 2 \pi \cdot 100 \cdot 10^6 \ \text{Hz} = 200 \pi \cdot 10^6 \ \text{rad/s} \)
• Das ergibt \( \omega \approx 6.2832 \cdot 10^8 \ \text{rad/s} \).

Die Impedanz Z(f) wird durch die Gleichung definiert:

• \( Z(f) = R + j(\omega L - \frac{1}{\omega C}) \)

Da die parasitäre Kapazität \( C \) vernachlässigt wird, vereinfacht sich die Gleichung zu:

• \( Z(f) = R + j\omega L \)

Setze die bekannten Werte ein:

• R = 10 Ohm
• L = 1 \cdot 10^{-6} \ \text{H}
• \omega = 6.2832 \cdot 10^8 \ \text{rad/s}

Das ergibt:

• \( Z(f) = 10 \ \Omega + j \cdot (6.2832 \cdot 10^8 \cdot 1 \cdot 10^{-6}) \ \Omega \)

• \( Z(f) = 10 + j \cdot 6.2832 \ \Omega \)

Die Gesamtimpedanz beträgt daher:

• \( Z(f) = 10 + j6.2832 \ \Omega \)

b)

Ein Metallfilmwiderstand von 100 Ohm und ein SMD-Widerstand von 100 Ohm werden in einem HF-Schaltkreis bei 1 GHz eingesetzt. Begründe, warum der SMD-Widerstand vorteilhafter ist. Beziehe dabei Hochfrequenzverhalten und parasitäre Elemente ein.

Lösung:

Für Hochfrequenzanwendungen, wie sie hier bei einer Frequenz von 1 GHz verwendet werden, spielen parasitäre Elemente und das allgemeine Hochfrequenzverhalten eine entscheidende Rolle. Schauen wir uns die relevanten Unterschiede zwischen Metallfilmwiderständen und SMD-Widerständen in diesem Kontext genauer an.

• Metallfilmwiderstände: Diese Widerstände bieten im Allgemeinen eine sehr geringe Induktivität, was sie zu einer guten Wahl für Hochfrequenzanwendungen macht. Sie sind jedoch nicht vollständig frei von parasitären Elementen.
• SMD-Widerstände: SMD (Surface Mount Device) Widerstände haben aufgrund ihrer Konstruktion und geringen Größe sehr geringe parasitäre Elemente, sowohl in Bezug auf Induktivität als auch Kapazität. Dies macht sie besonders gut geeignet für Hochfrequenzanwendungen.

Wenn wir das Hochfrequenzverhalten in Betracht ziehen, entsteht die Reaktanz in einem Schaltkreis durch Induktivität und Kapazität. Die Gesamtimpedanz eines Widerstands in einem Hochfrequenzschaltkreis lässt sich durch die Formel beschreiben:

• \[ Z(f) = R + j(\omega L - \frac{1}{\omega C}) \]

mit \( \omega = 2 \pi f \).

Wenn parasitäre Kapazitäten und Induktivitäten (L für Induktivität und C für Kapazität) vernachlässigbar klein sind, hat dies Vorteile:

• Geringere parasitäre Induktivität bedeutet, dass die imaginäre Komponente der Impedanz, die durch die Induktivität verursacht wird, ebenfalls gering ist. Dies führt zu einer geringeren Abweichung von der idealen impedanzfreien Situation.
• Sehr geringe parasitäre Kapazität reduziert die negativen Auswirkungen, die durch kapazitive Einflüsse in der Schaltung entstehen könnten.

Zusammenfassend ist der SMD-Widerstand bei 1 GHz vorteilhafter, weil:

• Er aufgrund seiner geringen parasitären Elemente eine stabilere und konsistentere Leistung bei hohen Frequenzen bietet.
• Er die Auswirkungen von parasitären Induktivitäten und Kapazitäten minimiert, was zu einer genaueren Impedanz führt.
• Seine kompakte Bauweise die Leiterbahnen und Bauteilwerte für Hochfrequenzanwendungen optimiert.

Aus diesen Gründen ist der SMD-Widerstand bei so hohen Frequenzen wie 1 GHz gegenüber dem Metallfilmwiderstand klar im Vorteil.

Aufgabe 2)

Temperaturkoeffizienten und deren Auswirkungen auf Widerstände Der Temperaturkoeffizient (TK) beschreibt, wie sich der Widerstand eines elektrischen Bauteils mit der Temperatur ändert.

• Der TK wird in ppm/°C oder \frac{1}{°C} angegeben.
• Positive TK (\beta > 0): Der Widerstand steigt mit der Temperatur (z.B. Metalle).
• Negative TK (\beta < 0): Der Widerstand sinkt mit der Temperatur (z.B. Halbleiter, NTC-Widerstände).
• Formel: \( \Delta R = R_0 \cdot \beta \cdot \Delta T\), wobei \( \Delta R\) die Widerstandsänderung ist.
• Der TK spielt eine wichtige Rolle in Präzisionsanwendungen und bei der Temperaturkompensation.

a)

Ein Platin-Widerstand (Pt) hat einen Temperaturkoeffizienten von \(3.85 \times 10^{-3} \frac{1}{°C}\) und einen Widerstand von \(100\Omega\) bei \(0°C\). Berechne den Widerstand des Platin-Widerstands bei \(50°C\).

Lösung:

Um den Widerstand eines Platin-Widerstands bei einer Temperatur von 50°C zu berechnen, verwenden wir die folgende Formel:

\( \, \Delta R = R_0 \cdot \beta \cdot \Delta T \)

Hierbei stehen:

• \( R_0 \) für den anfänglichen Widerstand bei 0°C (in diesem Fall 100 Ω)
• \( \beta \) für den Temperaturkoeffizienten (in diesem Fall \( 3.85 \times 10^{-3} \frac{1}{°C} \))
• \( \Delta T \) für die Temperaturänderung (\( 50°C - 0°C = 50°C \))

Setzen wir die Werte in die Formel ein:

\( \, \Delta R = 100 \Omega \times 3.85 \times 10^{-3} \frac{1}{°C} \times 50°C = 100 \Omega \times 0.00385 \times 50 \)

Berechnen wir das Ergebnis:

• \( = 100 \Omega \times 0.1925 \)
• \( = 19.25 \Omega \)

Die Widerstandsänderung beträgt also 19.25 Ω. Der Gesamtwiderstand bei 50°C ergibt sich nun als Summe des Anfangswiderstands und der Widerstandsänderung:

• \( R_{50°C} = R_0 + \Delta R \)
• \( = 100 \Omega + 19.25 \Omega \)
• \( = 119.25 \Omega \)

Der Widerstand des Platin-Widerstands bei 50°C beträgt somit 119.25 Ω.

b)

Ein Halbleiterwiderstand hat einen negativen Temperaturkoeffizienten von \(-2.5 \times 10^{-3} \frac{1}{°C}\) und einen Widerstand von \(200 \Omega\) bei \(25°C\). Bestimme den Widerstand bei \(75°C\).

Lösung:

Um den Widerstand eines Halbleiterwiderstands bei einer Temperatur von 75°C zu berechnen, verwenden wir die folgende Formel:

\( \, \Delta R = R_0 \cdot \beta \cdot \Delta T \)

Hierbei stehen:

• \( R_0 \) für den anfänglichen Widerstand bei 25°C (in diesem Fall 200 Ω)
• \( \beta \) für den Temperaturkoeffizienten (in diesem Fall \( -2.5 \times 10^{-3} \frac{1}{°C} \))
• \( \Delta T \) für die Temperaturänderung (\( 75°C - 25°C = 50°C \))

Setzen wir die Werte in die Formel ein:

\( \, \Delta R = 200 \Omega \times -2.5 \times 10^{-3} \frac{1}{°C} \times 50°C = 200 \Omega \times -0.0025 \times 50 \)

Berechnen wir das Ergebnis:

• \( = 200 \Omega \times -0.125 \)
• \( = -25 \Omega \)

Die Widerstandsänderung beträgt also -25 Ω. Der Gesamtwiderstand bei 75°C ergibt sich nun als Summe des Anfangswiderstands und der Widerstandsänderung:

• \( R_{75°C} = R_0 + \Delta R \)
• \( = 200 \Omega - 25 \Omega \)
• \( = 175 \Omega \)

Der Widerstand des Halbleiterwiderstands bei 75°C beträgt somit 175 Ω.

c)

Du hast zwei Widerstände: einen Metallwiderstand und einen NTC-Widerstand. Erkläre, wie sich ihre Widerstände als Funktion der Temperatur unterscheiden, und gib an, welche Art von Anwendungen für jeden Typ geeignet ist. Unterstütze deine Erklärung mit der genauen Bedeutung des Temperaturkoeffizienten.

Lösung:

Um die Unterschiede zwischen einem Metallwiderstand und einem NTC-Widerstand (Negative Temperature Coefficient) als Funktion der Temperatur zu erklären, müssen wir die Bedeutung des Temperaturkoeffizienten (TK) verstehen:

• Temperaturkoeffizient (TK): Der TK gibt an, wie stark sich der Widerstand eines elektrischen Bauteils mit der Temperatur ändert. Er wird in ppm/°C oder \(\frac{1}{°C}\) angegeben.
• Positive TK (\(\beta > 0\)): Der Widerstand steigt mit der Temperatur. Dies ist typisch für Metalle.
• Negative TK (\(\beta < 0\)): Der Widerstand sinkt mit der Temperatur. Dies ist typisch für Halbleiter und NTC-Widerstände.

Die Formel zur Berechnung der Widerstandsänderung lautet:

\(\Delta R = R_0 \cdot \beta \cdot \Delta T \)

Hierbei stehen:

• \(R_0\): Der anfängliche Widerstand bei einer Referenztemperatur (z.B. 0°C oder 25°C)
• \(\beta\): Der Temperaturkoeffizient
• \(\Delta T\): Die Temperaturänderung

Metallwiderstand:

• Metalle haben in der Regel einen positiven Temperaturkoeffizienten (z.B. Kupfer, Platin).
• Wenn die Temperatur steigt, steigt der Widerstand des Metallwiderstands. Dies liegt daran, dass die Atomschwingungen bei höheren Temperaturen zunehmen und somit die Bewegung der Elektronen stören.
• Typische Anwendungen: Metallwiderstände sind in Präzisionsmessgeräten, Temperaturmessungen (z.B. Pt100) und in allgemeinen elektronischen Schaltungen zu finden.

NTC-Widerstand:

• NTC-Widerstände (Negative Temperature Coefficient) haben einen negativen Temperaturkoeffizienten.
• Wenn die Temperatur steigt, sinkt der Widerstand des NTC-Widerstands. Dies liegt daran, dass bei höheren Temperaturen mehr freie Ladungsträger zur Verfügung stehen, wodurch der Widerstand abnimmt.
• Typische Anwendungen: NTC-Widerstände werden häufig in Temperaturfühlern, Temperaturkompensationsschaltungen und Überstromschutzschaltungen verwendet.

Die genaue Bedeutung des Temperaturkoeffizienten spiegelt sich in der jeweiligen Anwendung wider:

• Ein positiver TK (Metallwiderstände) sorgt dafür, dass der Widerstand stabil bleibt und in präzisen Messungen zuverlässig ist.
• Ein negativer TK (NTC-Widerstände) erlaubt eine empfindliche Reaktion auf Temperaturänderungen und eignet sich daher für Temperaturmessungen und -regelungen.

Aufgabe 3)

Ein Elektroniksystem verwendet einen speziellen Kondensator in einer Schaltung, die im Hochfrequenzbereich arbeitet. Der Kondensator besteht aus zwei parallelen Platten, die eine Fläche von 2 cm² haben und durch ein Dielektrikum mit einer Permittivität von 4 \times 10^{-11} F/m getrennt sind. Der Abstand zwischen den Platten beträgt 1 mm. Du sollst die Kapazität des Kondensators berechnen und das Verhalten des Kondensators bei Hochfrequenzen analysieren.

a)

1. Berechne die Kapazität des Kondensators unter den gegebenen Bedingungen.

Lösung:

Um die Kapazität eines Plattenkondensators zu berechnen, verwenden wir die Formel:

Formel:

Die Kapazität C eines Plattenkondensators wird durch die folgende Gleichung bestimmt:

• C = \( \frac{{\epsilon \cdot A}}{{d}} \)

Hierbei stehen die Variablen für:

• \text{\(C\)}: Kapazität (in Farad, F)
• \(\epsilon\): Permittivität des Dielektrikums (in Farad pro Meter, F/m)
• \(A\): Fläche der Platten (in Quadratmeter, m²)
• \(d\): Abstand zwischen den Platten (in Meter, m)

Gegeben ist:

• \( \epsilon = 4 \times 10^{-11} \) F/m
• \( A = 2 \) cm² = \( 2 \times 10^{-4} \) m²
• \( d = 1 \) mm = \( 1 \times 10^{-3} \) m

Setzen wir diese Werte in die Formel ein:

• \(C = \frac{{4 \times 10^{-11} \ \text{F/m} \ \times 2 \times 10^{-4} \ \text{m}²}}{{1 \times 10^{-3} \ \text{m}}}\)

Berechnen wir den Ausdruck im Zähler:

• \(4 \times 10^{-11} \ \text{F/m} \ \times 2 \times 10^{-4} \ \text{m}² = 8 \times 10^{-15} \text{F}\)

Und nun die endgültige Kapazität:

• \(C = \frac{{8 \times 10^{-15} \ \text{F}}}{{1 \times 10^{-3} \ \text{m}}} = 8 \times 10^{-12} \ \text{F} \)

Also ist die Kapazität des Kondensators \( 8 \times 10^{-12} \ \text{F} \) oder 8 pF (Pikofarad).

b)

2. Erläutere, wie parasitäre Kapazitäten und Induktivitäten das Hochfrequenzverhalten des Kondensators beeinflussen können. Welche Maßnahmen können ergriffen werden, um diese Effekte zu minimieren?

Lösung:

Bei Hochfrequenzanwendungen werden Kondensatoren häufig durch parasitäre Effekte beeinflusst, die die Leistung und die Zuverlässigkeit der Schaltung beeinträchtigen können. Zu diesen parasitären Effekten gehören parasitäre Kapazitäten und Induktivitäten. Im Folgenden wird erläutert, wie diese Effekte das Verhalten des Kondensators beeinflussen und welche Maßnahmen ergriffen werden können, um diese Effekte zu minimieren.

Parasitische Kapazitäten:

• Parasitische Kapazitäten entstehen durch ungewollte Kapazitäten zwischen den Bauteilen, wie z.B. zwischen den Anschlussdrähten des Kondensators, den Leiterbahnen auf der Platine oder benachbarten Bauteilen. Diese Kapazitäten können zu unerwünschten Kopplungen und Signalstörungen führen.
• Bei hohen Frequenzen kann die parasitäre Kapazität die Resonanzfrequenz des Systems beeinflussen und zu unerwünschten Resonanzeffekten führen.

Parasitische Induktivitäten:

• Parasitische Induktivitäten entstehen durch die Induktivität der Anschlussdrähte des Kondensators, der Leiterbahnen auf der Platine und anderer Verdrahtung. Diese Induktivitäten können zu Signalverzögerungen und Dämpfung führen.
• Bei hohen Frequenzen kann die parasitäre Induktivität zu einer Erhöhung der Impedanz führen, was die Wirksamkeit des Kondensators verringert.

Maßnahmen zur Minimierung parasitärer Effekte:

• Kurz gehaltene Anschlussdrähte: Kurze Anschlussdrähte und Leiterbahnen reduzieren die parasitäre Induktivität und Kapazität.
• Optimiertes Platinenlayout: Ein sorgfältig entworfenes Platinenlayout mit optimalen Abständen zwischen den Bauteilen kann parasitäre Kapazitäten minimieren.
• Einsatz von SMD-Bauteilen: Oberflächenmontierte Bauteile (Surface Mount Devices, SMD) haben kürzere Anschlusslängen und somit geringere parasitäre Induktivitäten und Kapazitäten im Vergleich zu bedrahteten Bauteilen.
• Vermeidung paralleler Leiterbahnen: Parallele Leiterbahnen können zu unerwünschten kapazitiven Kopplungen führen. Daher sollten parallele Verläufe vermieden oder durch Abschirmung voneinander getrennt werden.
• Abschirmung und Erdung: Die Verwendung von Abschirmungen und geeigneter Erdung kann elektromagnetische Störungen reduzieren und parasitäre Effekte minimieren.

Durch die Beachtung dieser Maßnahmen kann das Hochfrequenzverhalten des Kondensators verbessert und die Auswirkungen parasitärer Kapazitäten und Induktivitäten minimiert werden.

Aufgabe 4)

Gegeben: Ein Kondensator mit einer Kapazität von 10 µF wird in einem hochfrequenten Schaltkreis eingesetzt. Die Impedanz eines idealen Kondensators ist durch die Gleichung

• \[Z_C = \frac{1}{j \omega C}\]

b)

2. Diskutiere den Einfluss der parasitischen ESL und ESR auf das frequenzabhängige Verhalten des Kondensators. Stelle die Unterschiede in der Impedanz bei den genannten Frequenzen graphisch dar.

• Erkläre den Einfluss der ESL und ESR auf die Gesamtimpedanz und wie sie sich bei verschiedenen Frequenzen auswirken.
• Erstelle ein Bode-Diagramm für die Impedanz des Kondensators mit den gegebenen parasitischen Effekten bei Frequenzen im Bereich von 1 kHz bis 100 MHz.

Lösung:

Gegeben: Ein Kondensator mit einer Kapazität von 10 µF wird in einem hochfrequenten Schaltkreis eingesetzt. Die Impedanz eines idealen Kondensators ist durch die folgende Gleichung gegeben:

• \[Z_C = \frac{1}{j \omega C}\]

Eine parasitische Serieninduktivität (ESL) von 1 nH und ein äquivalenter Serienwiderstand (ESR) von 0,1 Ω sollen ebenfalls berücksichtigt werden.

Aufgabe:

Diskutiere den Einfluss der parasitischen ESL und ESR auf das frequenzabhängige Verhalten des Kondensators. Stelle die Unterschiede in der Impedanz bei den genannten Frequenzen grafisch dar.

• Erkläre den Einfluss der ESL und ESR auf die Gesamtimpedanz und wie sie sich bei verschiedenen Frequenzen auswirken.
• Erstelle ein Bode-Diagramm für die Impedanz des Kondensators mit den gegebenen parasitischen Effekten bei Frequenzen im Bereich von 1 kHz bis 100 MHz.

Erklärung des Einflusses von ESL und ESR:

Die parasitische Serieninduktivität (ESL) und der äquivalente Serienwiderstand (ESR) haben einen erheblichen Einfluss auf das frequenzabhängige Verhalten des Kondensators. Ihre Auswirkungen können wie folgt erklärt werden:

• Äquivalenter Serienwiderstand (ESR): Der ESR fügt einen realen Widerstand zur Impedanz des Kondensators hinzu. Bei niedrigen Frequenzen hat dieser Widerstand einen signifikanten Einfluss auf die Gesamtimpedanz, da die Verluste durch den Widerstand zunehmen. Typischerweise führt dies zu einer Erhöhung des Realteils der Impedanz.
• Parasitische Serieninduktivität (ESL): Die ESL fügt eine induktive Komponente zur Impedanz des Kondensators hinzu. Bei hohen Frequenzen kann die induktive Reaktanz (\(j \omega L\)) dominanter werden, wodurch die gesamte Impedanz des Kondensators zunehmen kann und sich mehr wie ein idealer Induktor verhält. Dadurch wird die Impedanz bei hohen Frequenzen reaktiver.

Bode-Diagramm für die Impedanz:

Um die frequenzabhängigen Effekte der ESL und ESR darzustellen, erstellen wir ein Bode-Diagramm für die Impedanz im Frequenzbereich von 1 kHz bis 100 MHz. Das Bode-Diagramm zeigt den Betrag und die Phase der Impedanz in Abhängigkeit von der Frequenz.

Bode-Diagramm Schritte:

1. Berechnung der Gesamtimpedanz (\(Z\)) bei verschiedenen Frequenzen (\(f\)) zwischen 1 kHz und 100 MHz.
2. Darstellung des Betrags (\(|Z|\)) und des Phasenwinkels (\(\angle Z\)) in einem log-log-Diagramm (Betrag) und einem semilogarithmischen Diagramm (Phase).

Die Gesamtimpedanz wird durch folgende Gleichung gegeben:

• \(Z = Z_C + Z_L + R = \frac{1}{j \omega C} + j \omega L + R\)

Wo:

• \(Z_C = \frac{1}{j \omega C}\)
• \(Z_L = j \omega L\)
• \(R\) ist der Serienwiderstand

Python-Code zur Berechnung und Darstellung:

import numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt# DefinitionenC = 10e-6  # Kapazität in FaradL = 1e-9   # Induktivität in HenryR = 0.1    # Widerstand in Ohm# Frequenzbereichfrequencies = np.logspace(3, 8, 500)  # 1 kHz bis 100 MHzomega = 2 * np.pi * frequencies# ImpedanzenZ_C = 1 / (1j * omega * C)Z_L = 1j * omega * LZ = Z_C + Z_L + R# Betrag und Phasemagnitude = np.abs(Z)phase = np.angle(Z, deg=True)# Bode-Diagrammfig, (ax1, ax2) = plt.subplots(2, 1, figsize=(10, 8))ax1.semilogx(frequencies, 20 * np.log10(magnitude))ax1.set_title('Bode-Diagramm der Impedanz')ax1.set_ylabel('Betrag (dB)')ax1.grid(True, which='both')ax2.semilogx(frequencies, phase)ax2.set_xlabel('Frequenz (Hz)')ax2.set_ylabel('Phase (Grad)')ax2.grid(True, which='both')plt.show()

Interpretation:

• Bei niedrigen Frequenzen (1 kHz) dominiert der ESR die Impedanz, was zu einem nahezu konstanten Wert führt.
• Im mittleren Frequenzbereich beginnt die kapazitive Reaktanz (\(\frac{1}{j \omega C}\)) zu dominieren und die Impedanz zeigt einen kapazitiven Charakter.
• Bei hohen Frequenzen (in der Nähe von 100 MHz) dominiert die Wirkung der ESL, wodurch die Impedanz zunehmend induktiv wird.

Durch die Kombination von ESR und ESL zeigt das Bode-Diagramm die Übergänge und variiert über den gesamten Frequenzbereich, was das frequenzabhängige Verhalten des realen Kondensators beschreibt.