Physically-based Simulation in Computer Graphics - Cheatsheet

Gesetze der klassischen Mechanik und deren Anwendung in der Computergrafik

Definition:

Gesetze der klassischen Mechanik beschreiben die Bewegung von Objekten unter Einfluss von Kräften. Anwendung in der Computergrafik zur realistischer Darstellung von Bewegung und Kollisionsdynamik.

Details:

• Newton'sche Gesetze:
  • Erstes Gesetz (Trägheitsgesetz)
  • Zweites Gesetz (F=ma)
  • Drittes Gesetz (Actio = Reactio)
• Energieerhaltungsprinzip
• Impulserhaltung
• Anwendung:
  • Rigid Body Simulation
  • Partikelsysteme
  • Kollisionserkennung und -behandlung
• Verwendung von Differentialgleichungen und Integrationsmethoden (Euler, Runge-Kutta)
• Physikalisch basierte Animation

Numerische Integrationstechniken und Fehleranalyse für Stabilität

Definition:

Numerische Integrationstechniken zur Annäherung von Lösungen differentieller Gleichungen in physikalisch-basierter Simulation. Fehleranalyse zentral für Stabilität und Genauigkeit.

Details:

• Explizite Verfahren: direkt, schnell, oft instabil bei großen Zeitsschritten
• Implizite Verfahren: indirekt, stabiler, erfordern iteratives Lösen
• Fehlerarten: Rundungsfehler, Diskretisierungsfehler
• Stabilitätsanalyse: Bedingungen für Stabilität, wie Courant-Friedrichs-Lewy (CFL)-Kriterium
• Beispiele: Euler-Verfahren, Runge-Kutta-Verfahren, Verlet-Integration
• Fehlerschätzung durch Taylorreihe, Konvergenzrate

Bounding Volumes und Hierarchien bei der Kollisionserkennung

Definition:

Verwendung von einfacheren geometrischen Formen zur effizienten Kollisionserkennung in 3D-Simulationen

Details:

• Einfachere Formen wie AABBs (Axis-Aligned Bounding Boxes), Sphere und OBBs (Oriented Bounding Boxes)
• Hierarchische Strukturen wie Bounding Volume Hierarchies (BVH) zur Reduktion der Kollisionstests
• Effizienz durch Vermeidung unnötiger und komplexer Kollisionstests
• Intersektionstests zwischen Bounding Volumes sind schneller und einfacher als detaillierte Geometrieprüfungen
• BVH z.B. durch rekursive Unterteilung der Szene unter Verwendung von Bounding Volumes aufgebaut
• Wichtigen Ansätze: Top-Down (rekursive Unterteilung) und Bottom-Up (Gruppierung kleinerer Volumen)

Sweep and Prune Algorithmus zur effizienten Kollisionserkennung

Definition:

Sweep and Prune ist ein Algorithmus zur effizienten Kollisionserkennung, der Achsenprojektionen der Objekte verwendet.

Details:

• Projektion der Objekte auf eine 1D-Achse
• Sortieren der Projektionsintervalle
• Überprüfen der potenziellen Überschneidungen
• Arbeitet gut mit sortierten Listen in jeder Zeitschritt

Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH) für Flüssigkeitssimulation

Definition:

SPH ist eine Methode zur Simulation von Flüssigkeiten in der Computergrafik basierend auf Partikelsystemen.

Details:

• Flüssigkeiten werden durch Partikel repräsentiert.
• Partikelbewegungen durch Navier-Stokes Gleichungen gesteuert.
• Kernfunktion glättet physikalische Größen, z.B. Dichte und Druck.
• Interaktion zwischen Partikeln lokal, reduziert Berechnungskomplexität.
• Beliebte Kernfunktionen: Poly6-Kern, Spiky-Kern.
• Beispiel für Dichteberechnung:

• \[ \rho_i = \sum_j m_j W(\mathbf{r}_i - \mathbf{r}_j, h) \]

• \( W \): Glättungskernfunktion; \( h \): Glättradius; \( m_j \): Masse des Partikels; \( \mathbf{r}_i - \mathbf{r}_j \): Abstand zwischen Partikeln.

Eigenschaften und Kinematik starrer Körper in Rigid Body Simulation

Definition:

Eigenschaften und Kinematik starrer Körper, relevant für die Rigid Body Simulation in der Physically-based Simulation.

Details:

• Ein starrer Körper hat eine feste innere Struktur (keine Verformung).
• Kinematik behandelt Bewegung ohne Berücksichtigung der verursachenden Kräfte.
• Translation: Beschreibung durch Ortsvektor \(\textbf{r}(t) \).
• Rotation: Beschreibung durch Rotationsmatrix \(\textbf{R}(t) \) und Winkelgeschwindigkeit \(\boldsymbol{\theta}(t) \).
• Gesamtbewegung durch Kombination von Translation und Rotation.
• Newton'sche Bewegungsgleichungen: \[ \frac{d}{dt} \textbf{v} = \frac{1}{m} \textbf{F}, \frac{d}{dt} \boldsymbol{\theta} = \textbf{I}^{-1} \textbf{T} \]

Partikel-Lebenszyklen und Animation in Partikelsystemen

Definition:

Verwaltung und Animation von Partikeln in einem Partikelsystem über deren Lebensdauer, von Erzeugung bis zum Verfall.

Details:

• Erzeugung: initiale Parameter wie Position, Geschwindigkeit, etc.
• Update: zeitliche Aktualisierung durch Kräfte wie Schwerkraft, Wind.
• Rendern: Darstellung der Partikel, oft durch Sprites.
• Verfall: Partikel werden nach einer bestimmten Lebensdauer entfernt.
• Formeln: Bewegungsgleichungen wie \( \mathbf{p}(t+\Delta t) = \mathbf{p}(t) + \mathbf{v}\Delta t \) und \( \mathbf{v}(t+\Delta t) = \mathbf{v}(t) + \mathbf{a}\Delta t \).