Praktikum: Numerische Methoden der Halbleiterbauelemente - Cheatsheet

Grundlagen der numerischen Mathematik

Definition:

Numerische Mathematik beschäftigt sich mit der Entwicklung und Analyse von Algorithmen zur Lösung mathematischer Probleme mittels numerischer Approximation.

Details:

• Typische Probleme: Lineare Gleichungssysteme, Eigenwertprobleme, Interpolation, Integration, Differenziation
• Fehleranalyse: Absoluter und relativer Fehler, numerische Stabilität
• Wichtige Konzepte: Konvergenz, Konsistenz, Effizienz
• Verwendung von Gleitkommazahlen: Rundungsfehler, Maschinengenauigkeit

Fehleranalyse und Stabilität numerischer Methoden

Definition:

Analyse der Genauigkeit und Stabilität numerischer Verfahren, um sicherzustellen, dass kleine Fehler nicht zu großen Abweichungen in den Ergebnissen führen.

Details:

• Fehlerarten: Rundungsfehler, Diskretisierungsfehler, Trunkierungsfehler
• Bedingungszahl: Bewertung der Sensitivität der Lösung gegenüber Störungen im Eingang
• Stabilitätsanalyse: Untersucht, ob Fehler wachsen oder abklingen
• Fehlerschranken: Begrenzen den maximalen Fehler

Lösungsmethoden für nichtlineare Gleichungssysteme

Definition:

Methoden zur Lösung von Gleichungssystemen, bei denen die Gleichungen nichtlinear sind; oft iterative Verfahren.

Details:

• Newton-Verfahren: Iterative Methode, benötigt die Ableitungen der Gleichungen
• Fixpunktiteration: Benötigt gute Startwerte, konvergiert nicht immer
• Quasi-Newton Methoden: Vermeiden die explizite Berechnung der Jacobimatrix
• Homotopiemethoden: Verfolgen Lösungsweg von einfacher zu komplizierter Gleichung
• Einsetzen von Startwerten und Anpassung dieser bis zur Konvergenz
• Konvergenzkriterium: Bestimmtes Fehlertoleranzniveau
• Mathematisch: \(F(x) = 0\) oder System von Gleichungen \(f_i(x_1, x_2,..., x_n) = 0\)

Numerische Lösung partieller Differentialgleichungen (PDEs)

Definition:

Numerische Methoden zur Lösung von partiellen Differentialgleichungen, um physikalische Phänomene wie Wärmeleitung, Wellenbewegung und elektrische Felder in Halbleitersimulationen zu modellieren.

Details:

• Diskretisierung: Zerlegung der PDEs in ein diskretes Gitter (Finite-Differenzen-Methode, Finite-Elemente-Methode)
• Finite-Differenzen-Methode (FDM): Ersetzt Ableitungen durch Näherungen mithilfe von Differenzenquotienten
• Finite-Elemente-Methode (FEM): Zerlegt den Lösungsraum in kleinere, einfach handhabbare Stücke (Elemente)
• Finite-Volumen-Methode (FVM): Erhaltungsgesetze direkt auf physikalischen Volumina angewendet
• Stabilität und Konvergenz: Beachtung der numerischen Stabilität und Konvergenz der gewählten Methode
• Randbedingungen: Implementierung geeigneter Randbedingungen für die Lösung von PDEs
• Lösung: Verwendung von iterativen oder direkten Lösungsverfahren für die resultierenden Gleichungssysteme

Simulation von MOSFETs

Definition:

Simulation von MOSFETs zur Analyse & Optimierung von Halbleiterbauelementen, Verständnis für elektrische Parameter, Funktionalitäten prüfen

Details:

• Kenntnis von Grundgleichungen: Poisson-Gleichung, Kontinuitätsgleichung für Elektronen & Löcher
• Drift-Diffusions-Modell: Stromtransport in MOSFETs beschreiben
• FEM (Finites-Elemente-Verfahren) zur Lösung der Differentialgleichungen
• Typische Software: Sentaurus, TCAD
• DC-Analysen, AC-Analysen, Transientenanalysen
• Physikalische Modelle: Mobilität, Lebensdauer der Ladungsträger, Rekombination
• Parameterauswahl & Vernetzung entscheidend für Genauigkeit

Verständnis und Anwendung von Halbleitergleichungen

Definition:

Verständnis und Anwendung von Halbleitergleichungen bedeutet, die grundlegenden mathematischen und physikalischen Modelle zu kennen, die das Verhalten von Halbleitern beschreiben, und diese Modelle in numerische Methoden zu implementieren.

Details:

• Grundgleichungen: Poisson-Gleichung, Drift-Diffusions-Gleichungen
• Poisson-Gleichung beschreibt das elektrostatische Potenzial innerhalb eines Halbleiters:
  • • Grundgleichung: Poisson-Gleichung beschreibt das elektrostatéostatische Potential innerhalb eines Halbleiters:
    • -chap c =l.d.c,

      Einführung und Anwendung von TCAD (Technology Computer-Aided Design)

      Definition:

      Einführung und Nutzung von TCAD-Tools zur Simulation und Analyse von Halbleiterbauelementen.

      Details:

      • TCAD-Tools: Ermöglichen die Simulation von physikalischem Verhalten von Halbleiterbauelementen.
      • Verwendung: Entwurf, Optimierung und Fehleranalyse von Halbleiterstrukturen.
      • Simulationen: Elektrische, thermische und optische Eigenschaften.
      • Beispiele: Synopsys Sentaurus, Silvaco Atlas.
      • Mathematische Modelle: Erfassung von Drift-Diffusions-Gleichungen, Poisson-Gleichung.

      Diskretisierungsmethoden in der Halbleiterphysik

      Definition:

      Methode zur numerischen Lösung von Differentialgleichungen, die physikalische Prozesse in Halbleitern beschreiben.

      Details:

      • Einführung von Gitterpunkten zur Erfassung kontinuierlicher Variablen
      • Typische Verfahren: Finite-Differenzen-Methode (FDM), Finite-Elemente-Methode (FEM), Finite-Volumen-Methode (FVM)
      • FDM: Approximiert Ableitungen durch Differenzenquotienten
      • FEM: Nutzt Testfunktionen und schwache Formulierung zur Lösung
      • FVM: Erhaltungseigenschaften durch Integration über Kontrollvolumen
      • Schritte: Diskretisierung des Raumbereichs, Approximieren der Diff.-Gl. und Lösen des resultierenden Gleichungssystems
      • Beispiel für FDM: \( \frac{{\text{d}u}}{{\text{d}x}} \bigg|_{x=x_i} \rightarrow \frac{{u_{i+1} - u_{i-1}}}{{2 \triangle x}} \)