Praktikum: Numerische Methoden der Halbleiterbauelemente - Exam

Aufgabe 1)

Kontext: Gegeben sei ein System aus linearen Gleichungen, das durch numerische Verfahren gelöst werden soll. Für die numerische Lösung eines linearen Gleichungssystems Ax = b gibt es verschiedene Methoden, wie z.B. das Gauss-Verfahren, LU-Zerlegung und iterative Verfahren wie das Jacobi-Verfahren oder das Gauss-Seidel-Verfahren. Ein weiterer wichtiger Aspekt ist die Fehleranalyse und die numerische Stabilität dieser Verfahren. Beachte, dass durch die Verwendung von Gleitkommazahlen Rundungsfehler entstehen können, die die Genauigkeit der Lösung beeinflussen.

a)

Verwende das Gauss-Verfahren, um das folgende lineare Gleichungssystem zu lösen:

Lösung:

Kontext: Gegeben sei ein System aus linearen Gleichungen, das durch numerische Verfahren gelöst werden soll. Für die numerische Lösung eines linearen Gleichungssystems Ax = b gibt es verschiedene Methoden, wie z.B. das Gauss-Verfahren, LU-Zerlegung und iterative Verfahren wie das Jacobi-Verfahren oder das Gauss-Seidel-Verfahren. Ein weiterer wichtiger Aspekt ist die Fehleranalyse und die numerische Stabilität dieser Verfahren. Beachte, dass durch die Verwendung von Gleitkommazahlen Rundungsfehler entstehen können, die die Genauigkeit der Lösung beeinflussen.Aufgabe: Verwende das Gauss-Verfahren, um das folgende lineare Gleichungssystem zu lösen:

• 3x + 2y - z = 1
• 2x - 2y + 4z = -2
• -x + \(\frac{1}{2}y\) - z = 0

• Schritt 1: Aufstellen der erweiterten Matrix:

\begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 & | & 1 \ 2 & -2 & 4 & | & -2 \ -1 & \frac{1}{2} & -1 & | & 0 \end{pmatrix}

• Durchführung der Zeilenoperationen, um eine obere Dreiecksform zu erreichen:
• 1. Subtrahiere \(\frac{2}{3}\) der ersten Zeile von der zweiten Zeile:

\begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 & | & 1 \ 0 & -\(\frac{10}{3}\) & \(\frac{10}{3}\) & | & -\(\frac{8}{3}\) \ -1 & \frac{1}{2} & -1 & | & 0 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 & | & 1 \ 0 & -\(\frac{10}{3}\) & \(\frac{10}{3}\) & | & -\(\frac{8}{3}\) \ 0 & \(\frac{5}{6}\) & -\(\frac{4}{3}\) & | & \(\frac{1}{3}\) \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 & | & 1 \ 0 & 1 & -1 & | & \(\frac{8}{10}\) \ 0 & \(\frac{5}{6}\) & -\(\frac{4}{3}\) & | & \(\frac{1}{3}\) \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 & | & 1 \ 0 & 1 & -1 & | & \(\frac{4}{5}\) \ 0 & 0 & -\(\frac{1}{2}\) & | & -\(\frac{1}{2}\) \end{pmatrix}

• Aus der dritten Zeile:

\(-\frac{1}{2}z = -\frac{1}{2} \Rightarrow z = 1\)

\(y - 1 = \frac{4}{5} \Rightarrow y = \frac{9}{5}\)

\(3x + 2\left( \frac{9}{5} \right) - 1 = 1 \Rightarrow 3x + \frac{18}{5} - 1 = 1 \Rightarrow 3x + \frac{13}{5} = 1 \Rightarrow 3x = 1 - \frac{13}{5} \Rightarrow 3x = -\frac{8}{5} \Rightarrow x = -\frac{8}{15}\)

• Numerische Stabilität: Ein System kann numerisch stabil sein, wenn kleine Änderungen in den Eingangsdaten nur zu kleinen Änderungen in der Lösung führen. Unser System zeigt keine Anzeichen von Instabilität in diesem Sinne.
• Rundungsfehler können bei der Darstellung von Gleitkommazahlen und den notwendigen arithmetischen Operationen auftreten, besonders bei der Handhabung sehr kleiner oder sehr großer Zahlen.
• Ein weiteres Risiko sind schlecht konditionierte Matrizen, die dazu führen können, dass kleine Fehler in den Daten zu großen Fehlern in der Lösung führen. Dieses Risiko kann durch sorgfältige Wahl der Pivotisierung minimiert werden.