Project Intraoperative Imaging and Machine Learning - Exam

Aufgabe 1)

Du arbeitest an einem Projekt, das die Röntgenbildgebung zur intraoperativen Bildgebung verbessert. Ziel ist es, die Bildqualität zu maximieren und gleichzeitig die Strahlendosis für den Patienten zu minimieren. Ein wichtiger Aspekt dabei ist das Verständnis und die mathematische Modellierung der Röntgenstrahlenabschirmung und Bildrekonstruktion.

a)

• Angenommen, du verwendest eine Röntgenquelle mit einer Anfangsintensität von 200 mW/cm² und einem Objekt mit einer Dicke von 5 cm und einem Absorptionskoeffizienten \( \mu \) von 0,15 cm^-1. Berechne die Intensität \( I \) der Röntgenstrahlen nach dem Durchtritt durch das Objekt. Verwende die Formel des Absorptionsgesetzes \( I = I_0 e^{-\mu x} \).

Lösung:

Lösung des Unterexerzitums:

Du arbeitest an einem Projekt, das die Röntgenbildgebung zur intraoperativen Bildgebung verbessert. Ziel ist es, die Bildqualität zu maximieren und gleichzeitig die Strahlendosis für den Patienten zu minimieren. Ein wichtiger Aspekt dabei ist das Verständnis und die mathematische Modellierung der Röntgenstrahlenabschirmung und Bildrekonstruktion.

Berechnung der Intensität der Röntgenstrahlen nach dem Durchtritt durch das Objekt:

• Anfangsintensität: 200 mW/cm²
• Dicke des Objekts: 5 cm
• Absorptionskoeffizient: \( \mu = 0,15\ \text{cm}^{-1} \)

Die Formel des Absorptionsgesetzes lautet:

\[ I = I_0 e^{-\mu x} \]

Hier sind:

• \( I_0 = 200 \ \text{mW/cm}^2 \)
• \( \mu = 0,15 \ \text{cm}^{-1} \)
• \( x = 5 \ \text{cm} \)

Einsetzen der Werte in die Formel:

\[ I = 200 e^{-0,15 \cdot 5} \]

Berechnung des Exponenten:

\[ -0,15 \cdot 5 = -0,75 \]

Nun berechnen wir \( e^{-0,75} \):

\[ e^{-0,75} \approx 0,4724 \]

Einsetzen dieses Wertes in die ursprüngliche Formel:

\[ I = 200 \cdot 0,4724 \]

Das ergibt:

\[ I \approx 94,48 \ \text{mW/cm}^2 \]

Somit beträgt die Intensität \( I \) der Röntgenstrahlen nach dem Durchtritt durch das Objekt ungefähr 94,48 \ \text{mW/cm}^2 \.

b)

• Erkläre, wie sich der Kontrast in einem Röntgenbild ändert, wenn das Objekt aus zwei unterschiedlichen Geweben besteht, eines mit einem Absorptionskoeffizienten von 0,1 cm^-1 und das andere mit 0,2 cm^-1. Nutze die Absorptionsgesetz-Formel und erkläre den Einfluss auf den Detektor.

Lösung:

Erklärung des Kontrasts in einem Röntgenbild bei unterschiedlichen Absorptionskoeffizienten:

Du arbeitest an einem Projekt, das die Röntgenbildgebung zur intraoperativen Bildgebung verbessert. Ziel ist es, die Bildqualität zu maximieren und gleichzeitig die Strahlendosis für den Patienten zu minimieren.

Ein wichtiger Aspekt ist das Verständnis und die mathematische Modellierung der Röntgenstrahlenabschirmung und Bildrekonstruktion. In diesem Unterexerzitum untersuchen wir den Kontrast im Röntgenbild, wenn das Objekt aus zwei unterschiedlichen Geweben besteht. Eines der Gewebe hat einen Absorptionskoeffizienten von 0,1 cm^-1 und das andere einen Absorptionskoeffizienten von 0,2 cm^-1. Wir verwenden die Formel des Absorptionsgesetzes, um diesen Effekt zu erklären.

Die Formel des Absorptionsgesetzes lautet:

\[ I = I_0 e^{-\mu x} \]

Hier sind:

• \( I \): die Intensität der Röntgenstrahlen nach dem Durchtritt durch das Gewebe
• \( I_0 \): die Anfangsintensität der Röntgenstrahlen
• \( \mu \): der Absorptionskoeffizient des Gewebes
• \( x \): die Dicke des Gewebes

Angenommen, die Dicke \( x \) jedes Gewebes beträgt 5 cm und die Anfangsintensität \( I_0 \) der Röntgenstrahlen sei konstant für beide Gewebe.

Für das erste Gewebe mit \( \, \mu = 0,1 \ \text{cm}^{−1} \):

\[ I_1 = I_0 e^{-0,1 \cdot 5} \]

Berechnung des Exponenten:

\[ -0,1 \cdot 5 = -0,5 \]

Nun berechnen wir \( e^{-0,5} \):

\[ e^{-0,5} \approx 0,6065 \]

Einsetzen dieses Wertes in die ursprüngliche Formel:

\[ I_1 = I_0 \cdot 0,6065 \]

Für das zweite Gewebe mit \( \, \mu = 0,2 \ \text{cm}^{−1} \):

\[ I_2 = I_0 e^{-0,2 \cdot 5} \]

Berechnung des Exponenten:

\[ -0,2 \cdot 5 = -1 \]

Nun berechnen wir \( e^{-1} \):

\[ e^{-1} \approx 0,3679 \]

Einsetzen dieses Wertes in die ursprüngliche Formel:

\[ I_2 = I_0 \cdot 0,3679 \]

Einfluss auf den Detektor:

Der Kontrast in einem Röntgenbild wird durch den Unterschied in den Intensitäten \( I_1 \) und \( I_2 \) beeinflusst. Je größer der Unterschied zwischen den Intensitäten der durch das Gewebe hindurchtretenden Röntgenstrahlen, desto höher ist der Kontrast.

Durch die Absorption ergibt sich der Unterschied in der Intensität:

• Für Gewebe 1 (mit \( \, \mu = 0,1 \ \text{cm}^{−1} \)) ist die Intensität etwa \( 0,6065I_0 \)
• Für Gewebe 2 (mit \( \, \mu = 0,2 \ \text{cm}^{−1} \)) ist die Intensität etwa \( 0,3679I_0 \ )

Die Differenz in der Intensität beträgt daher:

\[ 0,6065I_0 - 0,3679I_0 = 0,2386I_0 \]

Der Detektor registriert diesen Intensitätsunterschied als Kontrast im Röntgenbild. Höherer Kontrast bedeutet, dass die beiden unterschiedlichen Gewebe deutlicher voneinander abgegrenzt werden können. In diesem Beispiel führt der Unterschied in den Absorptionskoeffizienten der beiden Gewebe zu einem merklichen Kontrast, was die Unterscheidung der Gewebe im Röntgenbild erleichtert.

c)

• Beschreibe den Einsatz und die Bedeutung der Bildrekonstruktion in der Röntgenbildgebung. Welche mathematischen Verfahren können verwendet werden, um aus mehreren 2D-Projektionen ein vollständiges 2D-Bild zu rekonstruieren? Erläutere die Grundzüge eines dieser Verfahren.
• Implementiere pseudocode für ein einfaches Backprojection-Verfahren, welches die Basis für die Bildrekonstruktion bildet. Der Pseudocode sollte folgendermaßen strukturiert sein:

  initialisiere Bildmatrix B auf Null  für jede Projektion P:    bekomme die Winkelinformationen von P    für jeden Pixel in der Bildmatrix B:      berechne den entsprechenden Intensitätswert      addiere die Intensität zu B  normalisiere B  gebe B aus

Lösung:

Beschreibung des Einsatzes und der Bedeutung der Bildrekonstruktion in der Röntgenbildgebung:

In der Röntgenbildgebung wird die Bildrekonstruktion verwendet, um aus mehreren zweidimensionalen (2D) Projektionen ein vollständiges Bild zu erstellen. Dies ist besonders wichtig bei der Computertomographie (CT), bei der ein dreidimensionales (3D) Bild des Körperinneren erzeugt wird. Die Bildrekonstruktion verbessert die Darstellung von Strukturen, die auf einzelnen Projektionsbildern nicht klar zu erkennen sind, und ermöglicht eine genauere Diagnose.

Mathematische Verfahren zur Bildrekonstruktion:

• Artierte Rückprojektion (Filtered Back Projection, FBP): Dies ist eines der am häufigsten verwendeten Verfahren. Bei der Artieren Rückprojektion werden die Projektionen rückprojiziert und ein Filter angewendet, um die Bildqualität zu verbessern.
• Iterative Rekonstruktionsverfahren: Diese Methoden iterieren zwischen der Projektion des rekonstruierten Bildes und der Anpassung, um die Übereinstimmung mit den gemessenen Projektionen zu maximieren. Beispiele sind das Algebraic Reconstruction Technique (ART) und das Simultaneous Iterative Reconstruction Technique (SIRT).
• Fourier-Transformations-Verfahren: Dabei werden die Projektionen im Frequenzbereich verarbeitet, um das Bild zu rekonstruieren. Die bekannteste Methode ist die Verwendung der Radontransformation und der Fourier-Slice-Theorem.

Grundzüge der Artieren Rückprojektion:

Die Artierte Rückprojektion (Filtered Back Projection, FBP) besteht aus zwei Hauptschritten:

• Rückprojektion: Jede Projektion wird in das Bild zurückprojiziert, indem die Intensitätswerte entlang der Projektionsstrahlen verteilt werden.
• Filterung: Ein Filter wird angewendet, um das Bild zu schärfen und Überlappungseffekte zu reduzieren. Ein gängiger Filter ist der Ram-Lak-Filter.

Der Kern der ariteten Rückprojektion besteht darin, dass die Projektionen so kombiniert werden, dass die ursprünglichen Strukturen im Inneren des Objekts wiederhergestellt werden.

Pseudocode für ein einfaches Backprojection-Verfahren:

initialisiere Bildmatrix B auf Nullfür jede Projektion P:    bekomme die Winkelinformationen von P    für jeden Pixel in der Bildmatrix B:        berechne den entsprechenden Intensitätswert        addiere die Intensität zu Bnormalisiere Bgebe B aus

Implementierung:

Bildrekonstruktion:    initialisiere Bildmatrix B auf Null    für jede Projektion P:        bekommen die Winkelinformationen von P        für jeden Pixel in der Bildmatrix B:            berechne den entsprechenden Intensitätswert (Interpolate Intensitätswert entlang der Projektion)            addiere die Intensität zu B    normalisiere B    gebe B aus

Die Implementierung dieses Pseudocodes in eine Programmiersprache wie Python würde es ermöglichen, aus mehreren 2D-Projektionen ein vollständiges 2D-Bild zu rekonstruieren. Das Verfahren kann weiter optimiert und angepasst werden, um die Bildqualität zu verbessern und die Berechnungszeit zu reduzieren.

Aufgabe 2)

Automatisierte Segmentierung von Bilddaten wird in der intraoperativen Bildgebung zur genauen Identifikation und Abgrenzung von Strukturen verwendet. Zu den gängigen Algorithmen gehören U-Net und Mask R-CNN. Diese Methode verbessert die Präzision und Geschwindigkeit der Bildanalyse, wobei wichtige Metriken wie der Dice-Koeffizient und der Jaccard-Index verwendet werden. Herausforderungen umfassen die Variabilität der Bilddaten und das Vorhandensein von Rauschen. Das Training solcher Modelle erfordert große, annotierte Datensätze.

a)

Erkläre den Unterschied zwischen dem Dice-Koeffizient und dem Jaccard-Index als Metriken für die Bewertung der Segmentierungsgenauigkeit. Zeige die mathematischen Formeln für beide Metriken und diskutiere ein Beispiel, das den Unterschied in ihrer Berechnung verdeutlicht.

Lösung:

Unterschied zwischen dem Dice-Koeffizient und dem Jaccard-Index

• Dice-Koeffizient: Der Dice-Koeffizient, auch Dice-Similaritätskoeffizient (DSC) genannt, ist ein Maß für die Überlappung zwischen zwei Mengen. Er berechnet die Ähnlichkeit zwischen der vorhergesagten Segmentierung und der tatsächlichen Segmentierung. Der Dice-Koeffizient wird wie folgt definiert:

 \text {Dice-Koeffizient} = \frac{2 \times |A \bigcap B|}{|A| + |B|} 

• Hier steht A für die Menge der vorhergesagten Pixel und B für die Menge der tatsächlichen Pixel.
• Jaccard-Index: Der Jaccard-Index, auch Intersection over Union (IoU) genannt, misst ebenfalls die Ähnlichkeit zwischen zwei Mengen. Der Jaccard-Index wird wie folgt definiert:

 \text {Jaccard-Index} = \frac{|A \bigcap B|}{|A \bigcup B|} 

• Auch hier steht A für die Menge der vorhergesagten Pixel und B für die Menge der tatsächlichen Pixel.

Beispiele:

• Angenommen, wir haben eine Segmentierung, bei der A und B wie folgt definiert sind:

• |A| = 100 (die Anzahl der vom Modell vorhergesagten Pixel)
• |B| = 80 (die Anzahl der tatsächlichen Pixel in der Segmentierung)
• |A ∩ B| = 60 (die Anzahl der Pixel, die in beiden Segmentierungen übereinstimmen)

• Dice-Koeffizient:

   \text{Dice} = \frac{2 \times 60}{100 + 80} = \frac{120}{180} = 0.6667 

• Jaccard-Index:

   \text{Jaccard} = \frac{60}{100 + 80 - 60} = \frac{60}{120} = 0.5 

• Wie zu sehen ist, sind die Werte des Dice-Koeffizienten und des Jaccard-Index unterschiedlich, obwohl sie ähnliche Konzepte der Überlappung messen. Der Dice-Koeffizient tendiert dazu, höhere Werte als der Jaccard-Index zu liefern, da er die Überlappung doppelt zählt.

b)

Ein U-Net Modell wurde trainiert, um Tumorgewebe in intraoperativen Bildern zu segmentieren. Nach dem Training wurde das Modell auf einem Testdatensatz mit 100 Bildern angewendet. Für jedes Bild berechne der Dice-Koeffizient und der Jaccard-Index. Gemittelt über alle Bilder ergaben sich ein Dice-Koeffizient von 0,8 und ein Jaccard-Index von 0,67. Analysiere diese Ergebnisse und diskutiere, welche Herausforderungen bei der Segmentierung vorliegen könnten, insbesondere in Bezug auf Rauschen und die Variabilität der Bilddaten.

Lösung:

Analyse der Ergebnisse und Diskussion der Herausforderungen bei der Segmentierung

Angenommen, das U-Net Modell wurde trainiert, um Tumorgewebe in intraoperativen Bildern zu segmentieren, und die Ergebnisse zeigen einen durchschnittlichen Dice-Koeffizienten von 0,8 und einen durchschnittlichen Jaccard-Index von 0,67, bedeutet dies Folgendes:

• Hohe Segmentierungsgenauigkeit: Sowohl der Dice-Koeffizient als auch der Jaccard-Index sind recht hoch, was darauf hinweist, dass das Modell die Tumorgewebe in den meisten Bildern gut segmentieren kann. Da der Dice-Koeffizient tendenziell höhere Werte liefert als der Jaccard-Index, erklärt dies teilweise die Unterschiede zwischen diesen beiden Metriken. Ein Dice-Wert von 0,8 und ein Jaccard-Wert von 0,67 sind typischerweise akzeptable Ergebnisse in der medizinischen Bildanalyse.
• Einfluss des Bildrauschens: Intraoperative Bilder können erheblichem Rauschen ausgesetzt sein, z.B. durch Blut, Instrumente, Bewegungsartefakte oder Variationen in der Beleuchtung. Rauschen kann dazu führen, dass die Grenzen der Tumorgewebe schwer zu identifizieren sind, was die Genauigkeit der Segmentierung beeinträchtigen kann. Dies könnte zu Variationen in den Ergebnissen zwischen verschiedenen Bildern führen.
• Variabilität der Bilddaten: Die Variabilität in den intraoperativen Bilddaten kommt durch verschiedene Patienten, verschiedene Tumorgrößen und -formen sowie unterschiedliche Aufnahmebedingungen zustande. Solche Variabilitäten könnten ebenfalls die Konsistenz der Segmentierungsergebnisse beeinflussen. Ein Modell, das auf große Variabilitäten stoßen kann, benötigt eine sorgfältige Kalibrierung und möglicherweise spezialisierte Datenvorverarbeitung oder Datenaugmentationstechniken, um robustere Ergebnisse zu erzielen.

Herausforderungen:

• Datenvariabilität: Um dieser Herausforderung entgegenzuwirken, muss sicher gestellt werden, dass der Trainingsdatensatz eine ausreichende Repräsentation der möglichen Variationen in der Realität abbildet. Dies kann durch Sammlung einer Vielzahl an Bildern unter verschiedenen Bedingungen erreicht werden.
• Rauschentfernung: Es könnten zusätzliche Bildvorverarbeitungsmethoden wie Rauschfilterung oder Kontrastanpassung eingeführt werden, um das Bildrauschen vor der Segmentierung zu reduzieren. Es sollten Methoden wie Medianfilter, Gauss-Filter oder fortgeschrittene Techniken wie Nicht-lokale Mittelwert-Algorithmen erwogen werden.
• Hyperparameter-Optimierung und Modellverbesserung: Die Optimierung von Hyperparametern des U-Net Modells, wie Lernrate, Anzahl der Schichten und Filter, kann die Leistung verbessern. Erweiterte Architekturen oder Kombinationen verschiedener Modelle wie Ensemble-Methoden könnten in Betracht gezogen werden, um die Robustheit gegen Rauschen und Datenvariabilität zu erhöhen.

Zusammenfassend zeigen die resultierenden Metriken, dass das U-Net Modell bereits gute Leistungen bei der Segmentierung der Tumorgewebe erbringt. Jedoch sollten Rauschen und Variabilität der Bilddaten weiterhin aktiv adressiert werden, um die Genauigkeit und Zuverlässigkeit der Segmentierungen weiter zu verbessern.

Aufgabe 3)

Kontext: In der intraoperativen Bildgebung spielen maschinelles Lernen und spezifische Algorithmen eine bedeutende Rolle bei der Erkennung und Segmentierung von Strukturen in medizinischen Bildern. Es werden sowohl überwachtes als auch unüberwachtes Lernen angewendet, um Muster zu erkennen und Vorhersagen zu treffen. Ein tiefes Verständnis dieser Lernmethoden ist entscheidend, um die Bildverarbeitung und die klinische Entscheidungsfindung zu verbessern.

a)

Erkläre den Unterschied zwischen überwachtem und unüberwachtem Lernen. Welche Arten von Problemen kann man mit überwachtem Lernen lösen und welche Algorithmen werden dafür typischerweise verwendet? Nenne mindestens zwei Algorithmen und beschreibe ihre Funktionsweise.

Lösung:

Kontext: In der intraoperativen Bildgebung spielen maschinelles Lernen und spezifische Algorithmen eine bedeutende Rolle bei der Erkennung und Segmentierung von Strukturen in medizinischen Bildern. Es werden sowohl überwachtes als auch unüberwachtes Lernen angewendet, um Muster zu erkennen und Vorhersagen zu treffen. Ein tiefes Verständnis dieser Lernmethoden ist entscheidend, um die Bildverarbeitung und die klinische Entscheidungsfindung zu verbessern. Übersicht: Unterschied zwischen überwachtem und unüberwachtem Lernen:

• Überwachtes Lernen: Bei dieser Methode werden dem Algorithmus Eingabedaten zusammen mit den zugehörigen Ausgabedaten bereitgestellt. Der Algorithmus wird trainiert, die Eingabedaten zu analysieren und die richtige Ausgabe vorherzusagen. Mit anderen Worten, er lernt aus „beschrifteten“ Daten.
• Unüberwachtes Lernen: Hierbei erhält der Algorithmus nur Eingabedaten ohne die zugehörigen Ausgaben. Der Algorithmus versucht, Muster oder Strukturen innerhalb der Daten zu erkennen. Er lernt aus „unbeschrifteten“ Daten.

Arten von Problemen, die mit überwachtem Lernen gelöst werden können:

• Klassifikation: Die Aufgabe besteht darin, Eingaben in vordefinierte Kategorien zu klassifizieren. Ein Beispiel ist die Erkennung von Krebs in medizinischen Bildern. Jedes Bild kann als „Krebs“ oder „Kein Krebs“ klassifiziert werden.
• Regression: Hier geht es darum, kontinuierliche Werte vorherzusagen. Ein Beispiel ist die Vorhersage des Blutzuckerspiegels basierend auf verschiedenen medizinischen Tests.

Typische Algorithmen für überwachtes Lernen:

• Support Vector Machine (SVM): Die SVM ist ein Klassifikationsalgorithmus, der versucht, die beste Trennlinie (oder Hyperplane) zu finden, die die Datenpunkte in unterschiedliche Klassen aufteilt. Funktionsweise:
  • Der SVM-Algorithmus sucht nach dem Hyperplane, der die maximale Trennung (margin) zwischen den Klassen bietet.
  • Dies geschieht durch Auswahl von Datenpunkten (Support Vectors), die der Grenze am nächsten liegen.
  • Der Algorithmus kann auch für nicht-lineare Klassifikationen erweitert werden, indem er die Daten in einen höherdimensionalen Raum transformiert.
• Random Forest: Dies ist ein Ensemble-Lernalgorithmus, der aus vielen Entscheidungsbäumen besteht und der sowohl zur Klassifikation als auch zur Regression verwendet wird. Funktionsweise:
  • Es werden mehrere Entscheidungsbäume auf verschiedenen Subsets der Daten erstellt.
  • Jeder Baum gibt eine Vorhersage ab, und die endgültige Vorhersage wird durch Mehrheitsabstimmung (bei Klassifikationen) oder Mittelwertbildung (bei Regressionen) entschieden.
  • Durch die Verwendung vieler Bäume wird die Wahrscheinlichkeit verringert, dass das Modell überangepasst wird.

c)

In der intraoperativen Bildgebung möchtest Du ein unüberwachtes Lernverfahren anwenden, um verschiedene Gewebetypen in einem MRT-Bild zu segmentieren. Wähle einen spezifischen Algorithmus für unüberwachtes Lernen aus, z. B. K-Means Clustering oder PCA. Beschreibe, wie der Algorithmus funktioniert und wie Du ihn auf diesen Anwendungsfall anwendest. Berücksichtige dabei das Vorgehen zur Vorverarbeitung der Bilddaten und zur Interpretation der Ergebnisse.

Lösung:

Kontext: In der intraoperativen Bildgebung spielen maschinelles Lernen und spezifische Algorithmen eine bedeutende Rolle bei der Erkennung und Segmentierung von Strukturen in medizinischen Bildern. Es werden sowohl überwachtes als auch unüberwachtes Lernen angewendet, um Muster zu erkennen und Vorhersagen zu treffen. Ein tiefes Verständnis dieser Lernmethoden ist entscheidend, um die Bildverarbeitung und die klinische Entscheidungsfindung zu verbessern. Subexercise: In der intraoperativen Bildgebung möchtest Du ein unüberwachtes Lernverfahren anwenden, um verschiedene Gewebetypen in einem MRT-Bild zu segmentieren. Wähle einen spezifischen Algorithmus für unüberwachtes Lernen aus, z. B. K-Means Clustering oder PCA. Beschreibe, wie der Algorithmus funktioniert und wie Du ihn auf diesen Anwendungsfall anwendest. Berücksichtige dabei das Vorgehen zur Vorverarbeitung der Bilddaten und zur Interpretation der Ergebnisse. Lösung: Für die Segmentierung von Gewebetypen in MRT-Bildern wählen wir den K-Means Clustering Algorithmus. Dieser Algorithmus gruppiert Datenpunkte in k Cluster basierend auf deren Ähnlichkeiten. 1. Funktionsweise von K-Means Clustering:

• Initialisierung: Wähle k Anfangszentroiden zufällig aus den Datenpunkten.
• Zuweisung: Weise jeden Datenpunkt dem nächstgelegenen Zentroiden zu, wodurch k Cluster entstehen.
• Aktualisierung: Berechne die Position jedes Zentroiden, indem der Durchschnitt der zugehörigen Datenpunkte bestimmt wird.
• Wiederhole die Schritte Zuweisung und Aktualisierung, bis sich die Zentroiden nicht mehr signifikant ändern.

2. Anwendung auf MRT-Bilddaten:

• Vorverarbeitung:
  • Normalisierung: Stelle sicher, dass die Intensitätswerte der MRT-Bilder normalisiert sind, um die Vergleichbarkeit zu gewährleisten.
  • Rauschunterdrückung: Entferne Bildrauschen durch Filter wie den Median- oder Gauss-Filter.
  • Feature-Extraktion: Extrahiere relevante Features aus den Bilddaten, z. B. Graustufenintensitäten und Texturmuster.
• Implementierung von K-Means:
  • Wahl der Anzahl k: Bestimme die Anzahl der Cluster (k), z. B. durch Elbow Method oder Silhouette Analysis.
  • Initialisierung: Wähle k Anfangszentroiden zufällig aus den Pixelwerten der extrahierten Features.
  • Zuweisung: Weise jedem Pixel das nächstgelegene Zentroid zu, basierend auf den Feature-Werten.
  • Aktualisierung: Berechne neue Zentroiden durch Durchschnittsbildung der Pixelwerte in jedem Cluster.
  • Iteration: Wiederhole die Zuweisungs- und Aktualisierungsschritte, bis die Zentroiden stabil sind.
• Interpretation der Ergebnisse:
  • Visualisierung: Stellige die segmentierten Bilddaten dar, indem jedem Cluster verschiedene Farben zugewiesen werden.
  • Anwendung: Interpretiere die Ergebnisse und identifiziere verschiedene Gewebetypen wie Tumore, gesundes Gewebe oder entzündetes Gewebe.

Abschließend bietet der K-Means Clustering Algorithmus eine effiziente Methode zur Segmentierung von Gewebetypen in MRT-Bildern durch Gruppierung ähnlicher Pixelwerte. Durch sorgfältige Vorverarbeitung der Bilddaten und gründliche Analyse der Cluster-Ergebnisse kann eine genaue und nutzbare Segmentierung erreicht werden.

Aufgabe 4)

3D-Rekonstruktion: 3D-Rekonstruktion wandelt 2D-Bilder in ein 3D-Modell um, eine Technik, die weitreichende Anwendungen in der medizinischen Bildgebung hat, insbesondere zur präzisen Darstellung von Organen. Dazu werden Algorithmen wie SFM (Structure from Motion) und MVS (Multi-View Stereo) verwendet. Die Bildregistrierung beinhaltet die Anwendung von Transformationen wie Translation und Rotation. Für das Volume Rendering kommen Methoden wie Ray Tracing und voxel-basierte Ansätze zum Einsatz. Die mathematischen Grundlagen umfassen Matrixoperationen, Lineare Algebra und Optimierungsverfahren. Dies sind alles zentrale Bestandteile bei Anwendungen wie chirurgische Planung, Navigation und AR (Augmented Reality).

a)

Erkläre den Unterschied zwischen den Algorithmen Structure from Motion (SFM) und Multi-View Stereo (MVS), und beschreibe ein Szenario, in dem jede Methode besonders gut geeignet ist.

Lösung:

• Structure from Motion (SFM): SFM ist ein Algorithmus, der eine dreidimensionale Struktur aus einer Sequenz von zweidimensionalen Bildern ableitet, die aus unterschiedlichen Blickwinkeln aufgenommen wurden. Der Prozess umfasst die Erkennung von Merkmalen in den Bildern, die Verfolgung dieser Merkmale über aufeinanderfolgende Bilder und die Berechnung der Kamerapositionen und -orientierungen, um ein 3D-Modell zu erstellen. SFM ist besonders nützlich, wenn nur eine begrenzte Anzahl von Bildern oder Kameras zur Verfügung steht und die Bewegungen zwischen den Aufnahmen signifikant sind. Ein typisches Szenario für SFM könnte die Erstellung eines 3D-Modells eines Gebäudes aus Urlaubsfotos sein, die aus verschiedenen Blickwinkeln aufgenommen wurden.
• Multi-View Stereo (MVS): Im Gegensatz zu SFM nimmt MVS mehrere Bilder aus verschiedenen Blickwinkeln und errechnet die genaue 3D-Oberfläche eines Objekts. MVS verwendet dicht gepackte Punktwolken und Texturschätzungen, um Detailgenauigkeit und Oberflächenbeschaffenheit zu verbessern. Der Algorithmus ist besonders effektiv, wenn hochauflösende Bilder und präzise Kalibrierung der Kamerapositionen zur Verfügung stehen. Ein typisches Szenario für MVS wäre die Erstellung eines 3D-Modells eines archäologischen Artefaktes, bei dem hohe Detailgenauigkeit und Oberflächenpräzision erforderlich sind.

b)

Du hast eine Reihe von 2D-Bildern eines menschlichen Organs, die unter verschiedenen Winkeln aufgenommen wurden. Stelle die Transformationsmatrix dar, die eine Rotation um 45 Grad und eine Translation um (3, 4, 0) in einem 3D-Koordinatensystem vornimmt. Berechne das transformierte Koordinatensystem mathematisch.

Lösung:

• Transformationsmatrix: Eine Transformationsmatrix in einem 3D-Koordinatensystem kann sowohl Rotation als auch Translation berücksichtigen. Für eine Rotation um die z-Achse um 45 Grad und eine Translation um (3, 4, 0) ist die Transformationsmatrix wie folgt definiert:

 T = \begin{bmatrix} \cos(45^\circ) & -\sin(45^\circ) & 0 & 3 \ \sin(45^\circ) & \cos(45^\circ) & 0 & 4 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} 

• Rotation um die z-Achse: Die Rotationsmatrix für eine Rotation um die z-Achse um 45 Grad lautet:

 R_z = \begin{bmatrix} \cos(45^\circ) & -\sin(45^\circ) & 0 \ \sin(45^\circ) & \cos(45^\circ) & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} 

• Da \(\cos(45^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\), sieht die Rotationsmatrix so aus:

 R_z = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} 

• Translation: Die Translation um (3, 4, 0) kann in einer homogenen Transformationsmatrix dargestellt werden:

 T_{trans} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 3 \ 0 & 1 & 0 & 4 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} 

• Komplette Transformationsmatrix: Um die Rotation und Translation zu kombinieren, verwenden wir eine homogene Transformationsmatrix:

 M = T_{trans} \cdot R_z = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & 3 \ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & 4 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} 

• Mathematisches Beispiel für das transformierte Koordinatensystem: Angenommen, wir haben den Punkt P(1,1,1). Um den Punkt zu transformieren, multiplizieren wir ihn mit der Transformationsmatrix:

 P' = M \cdot P = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & 3 \ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & 4 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 \ 1 \ 1 \ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2}(1) - \frac{\sqrt{2}}{2}(1) + 3 \ \frac{\sqrt{2}}{2}(1) + \frac{\sqrt{2}}{2}(1) + 4 \ 1 \ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \ \sqrt{2} + 4 \ 1 \ 1 \end{bmatrix} 

• Also ist der transformierte Punkt P'(3, \sqrt{2} + 4, 1).

c)

Volume Rendering ist eine wichtige Technik in der 3D-Rekonstruktion. Beschreibe das Prinzip von Ray Tracing und wie es in der medizinischen Bildgebung genutzt wird. Implementiere ein einfaches Ray Tracing Skript in Python, das durch ein voxel-basiertes 3D-Array geht und die Intensität der Voxel summiert.

import numpy as np # Dimensions of the voxel grid voxel_grid = np.random.rand(10, 10, 10) # Simple ray tracing function def ray_tracing(grid):    intensity_sum = 0    for i in range(grid.shape[0]):        for j in range(grid.shape[1]):            for k in range(grid.shape[2]):                intensity_sum += grid[i, j, k]    return intensity_sum # Running the ray tracing on the voxel grid intensity = ray_tracing(voxel_grid) print('Summed Intensity:', intensity) 

Lösung:

• Prinzip von Ray Tracing: Ray Tracing ist eine Technik, die verwendet wird, um Bilder zu rendern, indem der Weg von Strahlen (Rays) simuliert wird, die durch ein 3D-Raumvolumen projiziert werden. In der medizinischen Bildgebung bedeutet dies, dass virtuelle Strahlen durch eine 3D-Datensatz, wie z.B. ein CT- oder MRT-Scan, verfolgt werden, um ein 2D-Bild zu erzeugen, das für die Diagnose analysiert werden kann. Jeder Strahl sammelt Informationen, wenn er durch Voxel des Volumens geht, und diese Informationen werden kombiniert, um ein detailliertes und genaues Bild zu erstellen.
• Nutzung in der medizinischen Bildgebung: In der medizinischen Bildgebung wird Ray Tracing verwendet, um Bilder zu erstellen, die die inneren Strukturen des Körpers detailliert darstellen. Es ermöglicht Ärzten und Radiologen, Schichtbilder zu interpretieren und Volumeninformationen zu extrahieren, was für Diagnose, Planung von chirurgischen Eingriffen und die Navigation bei minimal-invasiven Operationen sehr wichtig ist.

• Einfaches Ray Tracing Skript in Python: Das folgende Python-Skript implementiert ein einfaches Ray Tracing durch ein voxel-basiertes 3D-Array und summiert die Intensitäten der Voxel:

import numpy as np # Dimensions of the voxel grid voxel_grid = np.random.rand(10, 10, 10) # Simple ray tracing function def ray_tracing(grid):    intensity_sum = 0    for i in range(grid.shape[0]):        for j in range(grid.shape[1]):            for k in range(grid.shape[2]):                intensity_sum += grid[i, j, k]    return intensity_sum # Running the ray tracing on the voxel grid intensity = ray_tracing(voxel_grid) print('Summed Intensity:', intensity)