Quantenelektronik I - Quantentechnologien 1 - Cheatsheet

Wellenfunktion und Schrödingers Gleichung

Definition:

Wellenfunktion: beschreibt den quantenmechanischen Zustand eines Teilchens. Schrödingers Gleichung: fundamentale Gleichung der Quantenmechanik zur Bestimmung der Wellenfunktion.

Details:

• Wellenfunktion: \( \Psi(x,t) \)
• Schrödingers Gleichung (zeitabhängig): \[ i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi(x,t) = \hat{H} \Psi(x,t) \]
• Schrödingers Gleichung (zeitunabhängig): \[ \hat{H} \Psi(x) = E \Psi(x) \]
• \( \hat{H} \): Hamiltonoperator (Gesamtenergie des Systems)
• \( \hbar \): reduzierte Plancksche Konstante
• \( i \): imaginäre Einheit
• \( E \): Energieeigenwert

Heisenbergsche Unschärferelation

Definition:

Heisenbergsche Unschärferelation besagt, dass der genaue Ort und Impuls eines Partikels nicht gleichzeitig bestimmt werden können.

Details:

• Grundlage der Quantenmechanik
• Mathematisch ausgedrückt durch: \[ \Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \]
• \(\Delta x\): Ortsunschärfe
• \(\Delta p\): Impulsunschärfe
• \(\hbar\): reduzierte Planck-Konstante
• Implikation: Einschränkungen bei der gleichzeitigen Messung von Ort und Geschwindigkeit von Teilchen

Eigenwerte und Eigenvektoren von Observablen

Definition:

Eigenwerte und Eigenvektoren beschreiben die speziellen Zustände eines quantenmechanischen Systems, in denen eine Observable einen bestimmten, festen Wert (Eigenwert) annimmt.

Details:

• Observable: Physikalische Größe, die gemessen werden kann, repräsentiert durch einen Operator \(\text{\hat{O}}\)
• Eigenwertgleichung: \[ \text{\hat{O}} | \text{\psi} \rangle = \text{o} | \text{\psi} \rangle \]
• Eigenwert \( \text{o} \): Messbarer Wert der Observable
• Eigenvektor \( | \text{\psi} \rangle \): Spezieller Zustand, bzgl. dessen die Observable den fixen Eigenwert annimmt
• Messung des Systems im Zustand \( | \text{\psi} \rangle \) führt immer zu \( \text{o} \)
• Für eine Observable \( \text{\hat{O}} \) sind die Eigenwerte meist reell (\text{hermitescher Operator})
• Wichtig für die Beschreibung quantenmechanischer Systeme und deren Dynamik
• Linearkombinationen von Eigenvektoren ermöglichen die Zusammensetzung verschiedener Zustände im Raum

BB84-Protokoll in der Quantenkryptografie

Definition:

BB84-Protokoll ist das erste und bekannteste Quantenkryptografie-Protokoll, das von Bennett und Brassard 1984 entwickelt wurde, um die sichere Übertragung von Schlüsselmaterial zu gewährleisten.

Details:

• Verwendet Quantenbits (Qubits) und die Polarisation von Photonen zur Übertragung von Informationen.
• Basenwahl: Rectilinear (0°, 90°) und Diagonal (45°, 135°) Basen.
• Sender wählt zufällig Basis und Bitwert für jedes Photon.
• Empfänger misst jedes Photon in zufällig gewählter Basis.
• Öffentlicher Abgleich: Sender und Empfänger teilen ihre Basenwahl öffentlich mit.
• Nur übereinstimmende Basen führen zu korrekten Bits im Schlüssel.
• Erlaubt Erkennung von Lauschangriffen (Eavesdropper) durch Quanteneigenschaften.
• Fehlerrate unter einem bestimmten Schwellenwert zeigt Abwesenheit von Eavesdropper an.

Teleportation und Quanten-Repeater

Definition:

Teleportation ist der Prozess der Übertragung des Quantenzustands eines Teilchens auf ein anderes, ohne dass physische Übertragung stattfindet. Quanten-Repeater ermöglichen die Verlängerung der Reichweite der Quantenkommunikation durch das Wiederholen und Verstärken von Quantensignalen.

Details:

• Teleportation verwendet Verschränkung und klassische Übertragung.
• EPR-Paare (Einstein-Podolsky-Rosen) sind in der Verschränkung entscheidend.
• Mathematisch wird der Prozess durch die Bell-Zustände beschrieben.
• Formeln: \[ | \beta_{00} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|00\rangle + |11\rangle ) \] \[ | \beta_{01} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|00\rangle - |11\rangle ) \] \[ | \beta_{10} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|01\rangle + |10\rangle ) \] \[ | \beta_{11} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|01\rangle - |10\rangle ) \]
• Quanten-Repeater kompensieren die Dämpfung und Dekohärenz über lange Distanzen.
• Verwendung von Verschränkung, Fehlerkorrektur und Quanten-Speichern.
• Grundlegendes Schema: Quelle-Verschränkung, Speicherung, Wiederholung.
• Formel für die Erfolgswahrscheinlichkeit bei der Entanglement-Verteilung: \[ P_e = \frac{(1-\text{loss})^L}{L/(2*R)} \]

Grundprinzipien der Quantensensorik

Definition:

Grundlagen der Messung physikalischer Größen unter Nutzung quantenmechanischer Effekte wie Superposition und Verschränkung.

Details:

• Superposition: Ein Quantensystem kann gleichzeitig in mehreren Zuständen sein. Ermöglicht präzisere Messungen durch Interferenz effekte.
• Verschränkung: Korrelation zwischen Quantensystemen, die nach einer gemeinsamen Wechselwirkung bestehen bleibt. Ermöglicht überlichtschnelle Informationsübertragung und verbesserte Messgenauigkeit.
• Quantenrauschen: Schwankungen in der Messung durch Heisenberg'sche Unschärferelation begrenzt. Reduzierung durch Quantenfilterungstechniken.
• Quantum Cramer-Rao Bound: Theoretische Grenze für die Präzision von Quantensensoren. Ausdruck: \[\text{Var}(\theta) \geq \frac{1}{N F(\theta)}\], wobei \theta\ der zu messende Parameter, N die Anzahl der Messungen und F der Fisher-Informationswert ist.

Fehlerkorrektur in Quantenkommunikation

Definition:

Fehlerkorrektur in Quantenkommunikation bezieht sich auf Methoden, um die Integrität von Quanteninformationen während der Übertragung zu gewährleisten.

Details:

• Quantenbits (Qubits) sind anfällig für Fehler durch Dekohärenz und Quantenrauschen.
• Quantenfehlermodell: Bit-Flip, Phase-Flip, Bit-Phase-Flip.
• Quantenfehlerkorrekturcode (QECC): schützt Qubits vor Fehlern.
• Shor-Code: Beispiel für einen QECC, verwendet 9 Qubits für 1 logischen Qubit.
• Syndrom-Messung: erkennt Fehler ohne den Zustand des Qubit zu ändern.
• Beliebte Codes: Shor-Code, Steane-Code, Surface-Code.
• Korrekturschritte: Fehlererkennung, Syndromermittlung, Fehlerkorrektur.

Dirac-Notation in der Quantenmechanik

Definition:

Dirac-Notation (Bra-Ket Notation) ist eine standardisierte Schreibweise in der Quantenmechanik zur Beschreibung von Zuständen und Operatoren in einem Hilbertraum.

Details:

• Zustände: Kets \(|\psi\rangle\)
• Duale Zustände: Bras \(\langle\phi|\)
• Skalarprodukt: \(\langle\phi|\psi\rangle\)
• Operatoren: A \(\rightarrow A|\psi\rangle\)
• Eigenwertgleichungen: \(A|\psi\rangle = a|\psi\rangle\)