Quantenelektronik I - Quantentechnologien 1 - Exam

Aufgabe 1)

In der Quantenmechanik wird der Zustand eines Teilchens durch die Wellenfunktion \( \Psi(x,t) \) beschrieben. Die fundamentale Gleichung zur Bestimmung dieser Wellenfunktion ist die Schrödingers Gleichung. Diese gibt es in zwei Formen: der zeitabhängigen und der zeitunabhängigen. Die zeitabhängige Schrödingers Gleichung ist

• \[ i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi(x,t) = \hat{H} \Psi(x,t) \]

und die zeitunabhängige Schrödingers Gleichung ist

• \[ \hat{H} \Psi(x) = E \Psi(x) \]

Der Hamiltonoperator \( \hat{H} \) repräsentiert die Gesamtenergie des Systems. Die reduzierte Plancksche Konstante ist \( \hbar \), und \( i \) ist die imaginäre Einheit. E ist der Energieeigenwert.

a)

Aufgabe 1: Gegeben sei die zeitabhängige Schrödingers Gleichung

• \[ i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi(x,t) = \hat{H} \Psi(x,t) \]

(a) Leite die zeitunabhängige Schrödingers Gleichung her, indem Du eine Lösung der Form \( \Psi(x,t) = \psi(x)e^{-iEt/\hbar} \) annimmst. Zeige, dass diese Lösung zur zeitunabhängigen Schrödingers Gleichung führt.

(b) Erkläre die physikalische Bedeutung der Energieeigenwerte \( E \) und warum sie im quantenmechanischen Kontext wichtig sind.

Lösung:

In der Quantenmechanik wird der Zustand eines Teilchens durch die Wellenfunktion \( \Psi(x,t) \) beschrieben. Die fundamentale Gleichung zur Bestimmung dieser Wellenfunktion ist die Schrödingers Gleichung. Diese gibt es in zwei Formen: der zeitabhängigen und der zeitunabhängigen. Die zeitabhängige Schrödingers Gleichung ist:

• \[ i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi(x,t) = \hat{H} \Psi(x,t) \]

und die zeitunabhängige Schrödingers Gleichung ist:

• \[ \hat{H} \Psi(x) = E \Psi(x) \]

Der Hamiltonoperator \( \hat{H} \) repräsentiert die Gesamtenergie des Systems. Die reduzierte Plancksche Konstante ist \( \hbar \), und \( i \) ist die imaginäre Einheit. E ist der Energieeigenwert.

Aufgabe 1: Gegeben sei die zeitabhängige Schrödingers Gleichung:

• \[ i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi(x,t) = \hat{H} \Psi(x,t) \]

(a) Leite die zeitunabhängige Schrödingers Gleichung her, indem Du eine Lösung der Form \( \Psi(x,t) = \psi(x)e^{-iEt/\hbar} \) annimmst. Zeige, dass diese Lösung zur zeitunabhängigen Schrödingers Gleichung führt.

Schrittweise Herleitung:

1. Nimm an, dass die Lösung der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung die Form hat:

• \[ \Psi(x,t) = \psi(x) e^{-iEt/\hbar} \]

2. Setze diese Lösung in die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung ein:

• \[ i \hbar \frac{\partial}{\partial t} (\psi(x) e^{-iEt/\hbar}) = \hat{H} (\psi(x) e^{-iEt/\hbar}) \]

3. Berechne die zeitliche Ableitung:

• \[ \frac{\partial}{\partial t} (\psi(x) e^{-iEt/\hbar}) = \psi(x) \frac{\partial}{\partial t} (e^{-iEt/\hbar}) \]
• \[ \frac{\partial}{\partial t} (e^{-iEt/\hbar}) = \psi(x) \left(-i \frac{E}{\hbar} \right) e^{-iEt/\hbar} \]

4. Multipliziere mit \( i\hbar \) auf beiden Seiten:

• \[ i \hbar \left(\frac{\partial}{\partial t}(\psi(x) e^{-iEt/\hbar})\right) = i \hbar \psi(x) \left(-i \frac{E}{\hbar}\right) e^{-iEt/\hbar} = E \psi(x) e^{-iEt/\hbar} \]

5. Setze dies in die Schrödinger-Gleichung ein:

• \[ E \psi(x) e^{-iEt/\hbar} = \hat{H} \psi(x) e^{-iEt/\hbar} \]

6. Kürze \( e^{-iEt/\hbar} \) auf beiden Seiten und erhalte die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung:

• \[ \hat{H} \psi(x) = E \psi(x) \]

(b) Erkläre die physikalische Bedeutung der Energieeigenwerte \( E \) und warum sie im quantenmechanischen Kontext wichtig sind.

Die physikalische Bedeutung der Energieeigenwerte:

• Die Energieeigenwerte \( E \) repräsentieren die diskreten Energiezustände in einem quantenmechanischen System.
• Diese Eigenwerte resultieren aus der Lösung der Schrödinger-Gleichung und sind charakteristisch für das betrachtete System.

Wichtigkeit im quantenmechanischen Kontext:

• Die Energieeigenwerte sind wichtig, weil sie die möglichen Zustände eines Systems definieren, in denen das System existieren kann.
• Sie helfen, Phänomene wie die Quantisierung der Energie, Übergänge zwischen Zuständen und die Stabilität von Atomen zu erklären.
• Praktische Anwendungen umfassen die Berechnung von Spektrallinien, das Verständnis chemischer Reaktionen und das Design von Quantencomputern.

b)

Aufgabe 2: Betrachte ein Teilchen in einem eindimensionalen Potentialtopf von unendlicher Tiefe mit Breite \( L \). Die Randbedingungen sind, dass \( \Psi(0) = 0 \) und \( \Psi(L) = 0 \) gelten müssen.

• (a) Bestimme die möglichen Eigenwerte der Energie \( E_n \) des Teilchens.
• (b) Finden Sie die Wellenfunktionen \( \Psi_n(x) \) für die ersten drei Energieeigenwerte.

Lösung:

In der Quantenmechanik wird der Zustand eines Teilchens durch die Wellenfunktion \( \Psi(x,t) \) beschrieben. Die fundamentale Gleichung zur Bestimmung dieser Wellenfunktion ist die Schrödingers Gleichung. Diese gibt es in zwei Formen: der zeitabhängigen und der zeitunabhängigen. Die zeitabhängige Schrödingers Gleichung ist:

• \[ i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi(x,t) = \hat{H} \Psi(x,t) \]

und die zeitunabhängige Schrödingers Gleichung ist:

• \[ \hat{H} \Psi(x) = E \Psi(x) \]

Der Hamiltonoperator \( \hat{H} \) repräsentiert die Gesamtenergie des Systems. Die reduzierte Plancksche Konstante ist \( \hbar \), und \( i \) ist die imaginäre Einheit. E ist der Energieeigenwert.

Aufgabe 2: Betrachte ein Teilchen in einem eindimensionalen Potentialtopf von unendlicher Tiefe mit Breite \( L \). Die Randbedingungen sind, dass \( \Psi(0) = 0 \) und \( \Psi(L) = 0 \) gelten müssen.

• (a) Bestimme die möglichen Eigenwerte der Energie \( E_n \) des Teilchens.
• (b) Finden Sie die Wellenfunktionen \( \Psi_n(x) \) für die ersten drei Energieeigenwerte.

Aufgabe 2:

(a) Bestimmung der möglichen Energieeigenwerte \( E_n \)

Für ein Teilchen in einem eindimensionalen Potentialtopf von unendlicher Tiefe gilt die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung:

• \[ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \Psi(x)}{dx^2} = E \Psi(x) \]

Mit den Randbedingungen:

• \[ \Psi(0) = 0 \]

• \[ \Psi(L) = 0 \]

Allgemeine Lösung der Differenzialgleichung:

• \[ \Psi(x) = A \sin(kx) + B \cos(kx) \]

Randbedingungen anwenden:

• \[ \Psi(0) = B = 0 \Rightarrow \Psi(x) = A \sin(kx) \]

• \[ \Psi(L) = A \sin(kL) = 0 \Rightarrow kL = n\pi \Rightarrow k = \frac{n\pi}{L}, \quad n = 1,2,3,... \]

Die Energieeigenwerte \( E_n \):

• \[ E_n = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} = \frac{\hbar^2}{2m} \left( \frac{n\pi}{L} \right)^2 \Rightarrow E_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2mL^2}, \quad n = 1,2,3,... \]

(b) Wellenfunktionen \( \Psi_n(x) \) für die ersten drei Energieeigenwerte

Für \( n = 1 \):

• \[ \Psi_1(x) = A \sin \left( \frac{\pi x}{L} \right) \]

Für \( n = 2 \):

• \[ \Psi_2(x) = A \sin \left( \frac{2\pi x}{L} \right) \]

Für \( n = 3 \):

• \[ \Psi_3(x) = A \sin \left( \frac{3\pi x}{L} \right) \]

Die Konstante \( A \) wird durch Normierung bestimmt, die sicherstellt, dass die Gesamtwahrscheinlichkeit des Aufenthalts des Teilchens im Potentialtopf 1 ist:

• \[ \int_0^L |\Psi_n(x)|^2 dx = 1 \]

Aufgabe 2)

In der Quantenmechanik beschreibt die Heisenbergsche Unschärferelation die Grenzen der gleichzeitigen Bestimmtheit von Ort und Impuls eines Teilchens. Die mathematische Darstellung dieser Beziehung ist: \[ \Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \] Dabei bezeichnet \(\Delta x\) die Ortsunschärfe und \(\Delta p\) die Impulsunschärfe. \(\hbar\) ist die reduzierte Planck-Konstante. Diese fundamentale Beziehung hat erhebliche Auswirkungen auf Messungen in der Quantenwelt.

a)

Teilaufgabe A: Ein Elektron bewegt sich in einer ein-dimensionalen Kiste, dessen Breite 2 nm beträgt. Bestimme die minimal mögliche Impulsunschärfe {\(\Delta p\)} des Elektrons. Gehe davon aus, dass die Ortsunschärfe der Breite der Kiste entspricht.

Lösung:

Heisenbergsche Unschärferelation

In der Quantenmechanik beschreibt die Heisenbergsche Unschärferelation die Grenzen der gleichzeitigen Bestimmtheit von Ort und Impuls eines Teilchens. Die mathematische Darstellung dieser Beziehung ist:

\[ \Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \]

Dabei bezeichnet \( \Delta x \) die Ortsunschärfe und \( \Delta p \) die Impulsunschärfe. \( \hbar \) ist die reduzierte Planck-Konstante. Diese fundamentale Beziehung hat erhebliche Auswirkungen auf Messungen in der Quantenwelt.

Teilaufgabe A:

Ein Elektron bewegt sich in einer ein-dimensionalen Kiste, dessen Breite 2 nm beträgt. Bestimme die minimal mögliche Impulsunschärfe \( \Delta p \) des Elektrons. Gehe davon aus, dass die Ortsunschärfe der Breite der Kiste entspricht.

Schritte zur Lösung:

1. Gib die Breite der Kiste als Ortsunschärfe \( \Delta x \) an:
2. Setze die Werte in die Heisenbergsche Unschärferelation ein:
3. Löse die Ungleichung nach \( \Delta p \) auf, um die minimal mögliche Impulsunschärfe zu erhalten.

1. Ortsunschärfe:

Die Breite der Kiste beträgt 2 nm, daher ist \( \Delta x = 2 \times 10^{-9} \) Meter.

2. Setze die Werte in die Heisenbergsche Unschärferelation ein:

\[ \Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \]

3. Werte und bekannte Konstanten:

• Ortsunschärfe: \( \Delta x = 2 \times 10^{-9} \) m
• Reduzierte Planckkonstante: \( \hbar \approx 1.0545718 \times 10^{-34} \) Js

4. Ersetze die Werte und löse die Gleichung nach \( \Delta p \) auf:

\[ 2 \times 10^{-9} \cdot \Delta p \geq \frac{1.0545718 \times 10^{-34}}{2} \]

\[ \Delta p \geq \frac{1.0545718 \times 10^{-34}}{2 \times 2 \times 10^{-9}} \]

\[ \Delta p \geq \frac{1.0545718 \times 10^{-34}}{4 \times 10^{-9}} \]

\[ \Delta p \geq 2.6364295 \times 10^{-26} \text{ kg m/s} \]

Die minimal mögliche Impulsunschärfe \( \Delta p \) des Elektrons beträgt daher \( 2.6364295 \times 10^{-26} \text{ kg m/s} \).

b)

Teilaufgabe B: Angenommen, die Geschwindigkeit des Elektrons in der oben genannten Kiste beträgt näherungsweise 2,0 x 10⁶ m/s. Berechne die kinetische Energie des Elektrons unter Berücksichtigung der Impulsunschärfe {\(\Delta p\)} aus Teilaufgabe A und diskutiere die Bedeutung des Ergebnisses im Kontext der Heisenbergschen Unschärferelation.

Lösung:

Heisenbergsche Unschärferelation

In der Quantenmechanik beschreibt die Heisenbergsche Unschärferelation die Grenzen der gleichzeitigen Bestimmtheit von Ort und Impuls eines Teilchens. Die mathematische Darstellung dieser Beziehung ist:

\[ \Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \]

Dabei bezeichnet \( \Delta x \) die Ortsunschärfe und \( \Delta p \) die Impulsunschärfe. \( \hbar \) ist die reduzierte Planck-Konstante. Diese fundamentale Beziehung hat erhebliche Auswirkungen auf Messungen in der Quantenwelt.

Teilaufgabe B:

Angenommen, die Geschwindigkeit des Elektrons in der oben genannten Kiste beträgt näherungsweise 2,0 x 10⁶ m/s. Berechne die kinetische Energie des Elektrons unter Berücksichtigung der Impulsunschärfe \( \Delta p \) aus Teilaufgabe A und diskutiere die Bedeutung des Ergebnisses im Kontext der Heisenbergschen Unschärferelation.

Schritte zur Lösung:

1. Bestimme den Impuls des Elektrons unter Verwendung der gegebenen Geschwindigkeit.
2. Berechne die kinetische Energie des Elektrons.
3. Diskutiere die Bedeutung der Ergebnisse im Kontext der Heisenbergschen Unschärferelation.

1. Impuls des Elektrons:

• Die Masse des Elektrons \( m_e \) beträgt ungefähr 9.10938356 x 10^-31 kg.
• Die Geschwindigkeit \( v \) beträgt 2,0 x 10⁶ m/s.

Der Impuls \( p \) des Elektrons ist gegeben durch:

\[ p = m_e \cdot v \]

Ersetze die Werte:

\[ p = 9.10938356 \times 10^{-31} \; \text{kg} \cdot 2.0 \times 10^{6} \; \text{m/s} \]

\[ p \approx 1.821876712 \times 10^{-24} \; \text{kg m/s} \]

2. Berechne die kinetische Energie des Elektrons:

• Die kinetische Energie \( E_k \) ist gegeben durch:

\[ E_k = \frac{p^2}{2m_e} \]

Ersetze die Werte:

\[ E_k = \frac{(1.821876712 \times 10^{-24})^2}{2 \times 9.10938356 \times 10^{-31}} \]

\[ E_k \approx \frac{3.318266158 \times 10^{-48}}{1.821876712 \times 10^{-30}} \]

\[ E_k \approx 1.821 \times 10^{-18} \; \text{Joule} \]

3. Diskutiere die Bedeutung des Ergebnisses:

• Die kinetische Energie des Elektrons in der Kiste ist sehr klein, was darauf hinweist, dass das Elektron auf einem sehr kleinen Raum eine messbare Bewegungsenergie hat. Die Impulsunschärfe \( \Delta p \) aus Teilaufgabe A zeigt, dass es eine bestimmte Unbestimmtheit in der Messung des Impulses gibt. D. h., die gemessene kinetische Energie kann aufgrund der Heisenbergschen Unschärferelation nicht exakt bestimmt werden.
• Das Ergebnis veranschaulicht, wie die Heisenbergsche Unschärferelation Messungen auf einer so kleinen Skala beeinflusst und wie wichtig es ist, die Unschärferelation in der Quantenmechanik zu berücksichtigen.

Aufgabe 4)

Du hast das BB84-Protokoll studiert, das zur sicheren Übertragung von Schlüsselmaterial in der Quantenkryptografie verwendet wird. Dabei wird die Polarisation von Photonen genutzt, um Quantenbits (Qubits) zu übertragen. Der Sender wählt für jedes Photon zufällig zwischen der Rectilinear (0°, 90°) und der Diagonal (45°, 135°) Basis sowie einem Bitwert (0 oder 1) aus. Der Empfänger misst jedes Photon ebenfalls in einer zufällig gewählten Basis. Nachdem sie ihre Basenwahl öffentlich abgeglichen haben, bilden nur die Photonen, bei denen die Basen übereinstimmten, den Schlüssel. Ein öffentliches Abgleichen der Basenwahl und eine Fehlerratenanalyse ermöglichen die Erkennung von Lauschangriffen (Eavesdropping).

a)

Beschreibe den grundlegenden Ablauf des BB84-Protokolls, wobei Du insbesondere auf die Basenwahl, die Messung und den öffentlichen Abgleich der Basenwahl eingehen sollst.

Lösung:

Der grundlegende Ablauf des BB84-Protokolls

• 1. Vorbereitung und Senden der Photonen:Der Sender (Alice) wählt für jedes zu sendende Photon zufällig eine von zwei Basen: die Rectilinear-Basis (0°, 90°) oder die Diagonal-Basis (45°, 135°). Zusätzlich bestimmt Alice für jedes Photon zufällig einen Bitwert (0 oder 1) und polarisiert das Photon entsprechend dieser Basis und dem Bitwert. Anschließend sendet Alice die polarisierten Photonen an den Empfänger (Bob).
• 2. Messung der Photonen:Bob empfängt jedes Photon und misst dessen Polarisation. Dabei wählt auch er für jedes Photon zufällig eine der beiden Basen aus (entweder Rectilinear oder Diagonal). Da Bob jedoch nicht weiß, welche Basis Alice für ein bestimmtes Photon verwendet hat, werden seine Messergebnisse nicht immer korrekt sein.
• 3. Öffentlicher Abgleich der Basenwahl:Nach der Messung teilen Alice und Bob sich öffentlich (über einen nicht abhörsicheren, aber authentifizierten Kanal) mit, welche Basis sie jeweils für jedes Photon verwendet haben. Sie geben dabei jedoch nicht die gemessenen Werte oder die ursprünglich gesendeten Bitwerte preis.
• 4. Bildung des Schlüssels:Nur die Photonen, bei denen die Basenwahl von Alice und Bob übereinstimmt, werden zur Bildung des Schlüssels verwendet. Alice und Bob vergleichen also ihre Basenwahl. Falls die Basis für ein bestimmtes Photon übereinstimmt, kann Bob mit hoher Wahrscheinlichkeit den korrekten Bitwert von diesem Photon bestimmen.
• 5. Erkennung von Lauschangriffen:Um festzustellen, ob ein Eavesdropper (Abhörer) auf der Leitung war, führen Alice und Bob eine Fehlerratenanalyse durch. Dazu verwenden sie eine Teilmenge der übereinstimmenden Basen und vergleichen die Bitwerte über den öffentlichen Kanal. Weicht die Fehlerrate erheblich von der erwarteten Rate ab, deutet dies auf den Einfluss eines Abhörers hin, und die Übertragung wird abgebrochen.

b)

Angenommen, der Sender (Alice) wählt die folgenden Bitwerte und Basen (in der Reihenfolge):

• 1 in 0°
• 0 in 45°
• 1 in 135°
• 0 in 90°

• 45°
• 0°
• 135°
• 90°

Lösung:

Bitwerte vor und nach dem basenabgleich

1. Senden und Messen der Photonen:

• Photon 1: Alice sendet den Bitwert 1 in 0°. Bob misst in der Basis 45°. Da die Basen unterschiedlich sind, ist Bobs Messwert zufällig. Nehmen wir an, Bob misst 0.
• Photon 2: Alice sendet den Bitwert 0 in 45°. Bob misst in der Basis 0°. Da die Basen unterschiedlich sind, ist Bobs Messwert zufällig. Nehmen wir an, Bob misst 1.
• Photon 3: Alice sendet den Bitwert 1 in 135°. Bob misst in der Basis 135°. Da die Basen übereinstimmen, misst Bob korrekt den Bitwert 1.
• Photon 4: Alice sendet den Bitwert 0 in 90°. Bob misst in der Basis 90°. Da die Basen übereinstimmen, misst Bob korrekt den Bitwert 0.

2. Öffentlicher Abgleich der Basenwahl:

• Photon 1: Alice 0° | Bob 45° (unterschiedlich - daher nicht verwendet)
• Photon 2: Alice 45° | Bob 0° (unterschiedlich - daher nicht verwendet)
• Photon 3: Alice 135° | Bob 135° (gleich - daher verwendet)
• Photon 4: Alice 90° | Bob 90° (gleich - daher verwendet)

3. Finaler Schlüssel:

• Photon 3: Bitwert 1
• Photon 4: Bitwert 0

Die Bitwerte, die Bob erhielt, bevor sie ihre Basenwahl abgeglichen haben, sind:

• Photon 1: 0 (zufällig)
• Photon 2: 1 (zufällig)
• Photon 3: 1
• Photon 4: 0

Die Bitwerte, die in den finalen Schlüssel aufgenommen werden können, sind:

• Photon 3: 1
• Photon 4: 0

c)

Zeige mathematisch, wie die Wahrscheinlichkeit errechnet wird, dass ein Eavesdropper (Eve) erkannt wird, wenn sie versucht Photonen in einer zufällig gewählten Basis zu messen. Angenommen, Alice und Bob vergleichen 100 Photonenpaare. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Lauschangriff unbemerkt bleibt, wenn der Schwellenwert für die Fehlerrate bei 25% liegt?

Lösung:

Mathematische Berechnung der Erkennung von Eavesdropping im BB84-Protokoll

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass ein Lauschangriff (Evesdropping) unbemerkt bleibt, müssen wir einige grundlegende Wahrscheinlichkeiten verstehen und kombinieren:

1. Wahrscheinlichkeiten der Bitfehler bei Eavesdropping:

• Wenn Eve ein Photon in einer zufällig gewählten Basis misst, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass sie die richtige Basis wählt, \(\frac{1}{2}\).
• Wählt Eve die falsche Basis (ebenfalls \(\frac{1}{2}\)), ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie den richtigen Bitwert misst, \(\frac{1}{2}\).
• Die Wahrscheinlichkeit, dass Eve keinen Fehler macht, ist:

\[ P_{\text{kein Fehler}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{4} \]

• Dementsprechend ist die Wahrscheinlichkeit, dass Eve einen Fehler macht:

\[ P_{\text{Fehler}} = 1 - P_{\text{kein Fehler}} = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} \]

2. Gesamtverteilung der Fehler bei n Messungen:

Wir nehmen an, dass Alice und Bob 100 Photonenpaare betrachten.

• Eves Fehlerverteilung kann durch eine Binomialverteilung modelliert werden:

\[ P(X = k) = \binom{n}{k} \times p^k \times (1-p)^{n-k} \]

Wobei n=100, k die Anzahl der Fehler und p die Fehlerwahrscheinlichkeit pro Paar bei \(\frac{1}{4}\) ist.

3. Wahrscheinlichkeit, dass die Fehler unter der Schwelle liegen:

Der Schwellenwert für die Fehlerrate liegt bei 25%, also dürfen maximal 25 von 100 Photonenpaaren Fehler aufweisen.

• Die Wahrscheinlichkeit, dass die Fehlerrate unter 25% liegt, ist die kumulative Verteilung der Binomialverteilung bis k=25:

\[ P(\text{Fehlerrate} < 25\text{%}) = \text{binomCDF}(n, p, k) \]

Wobei binomCDF die kumulative Verteilungsfunktion der Binomialverteilung ist.

• Für n=100, p=\(\frac{1}{4}\) und k=25, ist die Wahrscheinlichkeit:

\[ P(\text{Fehlerrate} < 25\text{%}) = \text{binomCDF}(100, 0.25, 25) \]

Diese Wahrscheinlichkeit kann mit einem Standardwerkzeug (z.B. Tabellen, Software wie Python oder R) berechnet oder tabelliert werden.

Zum Beispiel in Python:

from scipy.stats import binomn = 100p = 0.25k = 25prob = binom.cdf(k, n, p)print(prob)

Dies ergibt den Bereich, in dem die Fehlerrate unter 25% bleibt.

4. Fazit:

Die genaue Wahrscheinlichkeit hängt von spezifischen Berechnungen ab, liegt aber typischerweise im niedrigen Bereich. Berechnen mit einem Software-Tool wie oben gezeigt's exakte Wahrscheinlichkeit.