Randomisierte Algorithmen - Exam

Aufgabe 1)

Einführung in Monte-Carlo-Algorithmen:Monte-Carlo-Algorithmen verwenden zufällige Zahlen zur Lösung algorithmischer Probleme. Obwohl die Ergebnisse mit hoher Wahrscheinlichkeit korrekt sind, besteht die Möglichkeit, dass sie manchmal falsch sind. Diese Algorithmen sind insbesondere nützlich für Probleme, die schwierig oder unmöglich sind, exakt zu lösen. Zu den typischen Anwendungen zählen Integration, Optimierung und Spielsimulation. Es ist wichtig, die Fehlerwahrscheinlichkeit und Laufzeit der Algorithmen zu analysieren.

a)

Ein typisches Problem, das mit einem Monte-Carlo-Algorithmus gelöst werden kann, ist die \textit{Approximation des Integrals einer Funktion}. Angenommen, wir wollen das Integral der Funktion \(f(x) = x^2\) im Intervall [0, 1] berechnen. Ändere die Funktion in \(f(x) = x^2 + x\). Implementiere den Monte-Carlo-Algorithmus in

Python

für das neue Integral. Vergleiche das geschätzte Integral mit dem exakten Wert und berechne die Abweichung.

Lösung:

Einführung in Monte-Carlo-Algorithmen:Monte-Carlo-Algorithmen verwenden zufällige Zahlen zur Lösung algorithmischer Probleme. Obwohl die Ergebnisse mit hoher Wahrscheinlichkeit korrekt sind, besteht die Möglichkeit, dass sie manchmal falsch sind. Diese Algorithmen sind insbesondere nützlich für Probleme, die schwierig oder unmöglich sind, exakt zu lösen. Zu den typischen Anwendungen zählen Integration, Optimierung und Spielsimulation. Es ist wichtig, die Fehlerwahrscheinlichkeit und Laufzeit der Algorithmen zu analysieren.Aufgabe:Ein typisches Problem, das mit einem Monte-Carlo-Algorithmus gelöst werden kann, ist die Approximation des Integrals einer Funktion. Angenommen, wir wollen das Integral der Funktion f(x) = x^2 im Intervall [0, 1] berechnen. Ändere die Funktion in f(x) = x^2 + x. Implementiere den Monte-Carlo-Algorithmus in

Python

für das neue Integral. Vergleiche das geschätzte Integral mit dem exakten Wert und berechne die Abweichung.

Implementiere den Monte-Carlo-Algorithmus in Python:

import numpy as np# Define the functiondef f(x):    return x**2 + x# Monte-Carlo Integrationdef monte_carlo_integration(func, a, b, num_samples):    samples = np.random.uniform(a, b, num_samples)    sample_values = func(samples)    integral_estimate = (b - a) * np.mean(sample_values)    return integral_estimate# Parametersa = 0b = 1num_samples = 100000# Estimate the integralestimated_integral = monte_carlo_integration(f, a, b, num_samples)# Calculate the exact value of the integralexact_integral = (1/3) + (1/2)# Calculate the deviationdeviation = abs(exact_integral - estimated_integral)print(f'Estimierte Integrale: {estimated_integral}')print(f'Genaue Integrale: {exact_integral}')print(f'Abweichung: {deviation}')

Erklärung der Schritte:

• Erstellen der Funktion: Ändere die Funktion f(x) in x**2 + x.
• Monte-Carlo-Integration: Implementiere eine Methode zur Monte-Carlo-Integration, die zufällige Stichproben im Intervall [a, b] zieht und den Mittelwert der Funktionswerte dieser Stichproben berechnet. Multipliziere diesen Mittelwert mit der Breite des Intervalls (b - a), um das Integral zu schätzen.
• Parameter: Setze die Parameter des Intervalls und die Anzahl der Stichproben.
• Schätzung des Integrals: Rufe die Methode zur Monte-Carlo-Integration auf, um das Integral der Funktion zu schätzen.
• Exakter Wert des Integrals: Berechne den genauen Wert des Integrals analytisch.
• Abweichung berechnen: Berechne die Abweichung zwischen dem geschätzten und dem genauen Wert des Integrals.

b)

Angenommen, wir möchten die wahrscheinlichkeitsbasierte Fehleranalyse für den oben implementierten Algorithmus durchführen. Der Algorithmus hat eine Fehlerwahrscheinlichkeit von \( \theta \). Wenn der Algorithmus \(N\) unabhängige Läufe hat, zeige, dass die Wahrscheinlichkeit, dass keiner der Läufe einen Fehler hat, durch \( (1 - \theta)^N \) beschrieben wird. Diskutiere wie \(N\) gewählt werden sollte, um die Fehlerwahrscheinlichkeit in einem akzeptablen Bereich zu halten.

Lösung:

Einführung in Monte-Carlo-Algorithmen:Monte-Carlo-Algorithmen verwenden zufällige Zahlen zur Lösung algorithmischer Probleme. Obwohl die Ergebnisse mit hoher Wahrscheinlichkeit korrekt sind, besteht die Möglichkeit, dass sie manchmal falsch sind. Diese Algorithmen sind insbesondere nützlich für Probleme, die schwierig oder unmöglich sind, exakt zu lösen. Zu den typischen Anwendungen zählen Integration, Optimierung und Spielsimulation. Es ist wichtig, die Fehlerwahrscheinlichkeit und Laufzeit der Algorithmen zu analysieren.Aufgabe:Angenommen, wir möchten die wahrscheinlichkeitsbasierte Fehleranalyse für den oben implementierten Algorithmus durchführen. Der Algorithmus hat eine Fehlerwahrscheinlichkeit von \(\theta\). Wenn der Algorithmus \(N\) unabhängige Läufe hat, zeige, dass die Wahrscheinlichkeit, dass keiner der Läufe einen Fehler hat, durch \((1 - \theta)^N\) beschrieben wird. Diskutiere wie \(N\) gewählt werden sollte, um die Fehlerwahrscheinlichkeit in einem akzeptablen Bereich zu halten.

Formel zur Fehlerwahrscheinlichkeit:

• Die Wahrscheinlichkeit, dass ein einzelner Lauf korrekt ist, ist \(1 - \theta\).
• Für \(N\) unabhängige Läufe multipliziert sich die Wahrscheinlichkeit, dass keiner der Läufe einen Fehler hat, mit sich selbst.
• Daher ist die Wahrscheinlichkeit, dass keiner der Läufe Fehler hat, gegeben durch:\((1 - \theta)^N\).

Wahl von \(N\) zur Minimierung der Fehlerwahrscheinlichkeit:

• Um die Fehlerwahrscheinlichkeit in einem akzeptablen Bereich zu halten, sollten wir die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Lauf einen Fehler hat, minimieren.
• Diese Wahrscheinlichkeit ist gegeben durch:\(1 - (1 - \theta)^N\).
• Setze nun ein Ziel für die maximale akzeptable Fehlerwahrscheinlichkeit, sagen wir \(\theta_{acc}\).Wir möchten:\(1 - (1 - \theta)^N \leq \theta_{acc}\)Um \(N\) zu bestimmen, stellen wir die Ungleichung um:\((1 - \theta)^N \geq 1 - \theta_{acc}\)\(N \geq \frac{{\text{log}(1 - \theta_{acc})}}{{\text{log}(1 - \theta)}}\).

• Deshalb sollte \(N\) so gewählt werden, dass diese Bedingung erfüllt ist, um die Gesamtfehlerwahrscheinlichkeit innerhalb des akzeptablen Bereichs zu halten. Die Wahl von \(N\) hängt von der gewünschten Genauigkeit und der spezifischen Fehlerwahrscheinlichkeit \(\theta\) des Algorithmus ab.

Beispiel: Wenn \(\theta = 0.01\) (Fehlerwahrscheinlichkeit für einen einzelnen Lauf) und \(\theta_{acc} = 0.05\) (akzeptable Gesamtfehlerwahrscheinlichkeit), dann:\(N \geq \frac{{\text{log}(0.95)}}{{\text{log}(0.99)}} \approx 298\)Das bedeutet, wir müssen ungefähr 298 unabhängige Läufe des Monte-Carlo-Algorithmus durchführen, um die Gesamtfehlerwahrscheinlichkeit unter 5% zu halten.

Implementierung in Python:

import numpy as np# Define the functiondef f(x):    return x**2 + x# Monte-Carlo Integrationdef monte_carlo_integration(func, a, b, num_samples):    samples = np.random.uniform(a, b, num_samples)    sample_values = func(samples)    integral_estimate = (b - a) * np.mean(sample_values)    return integral_estimate# Parametersa = 0b = 1num_samples_per_run = 1000N = 298total_estimated_integrals = [monte_carlo_integration(f, a, b, num_samples_per_run) for _ in range(N)]average_estimated_integral = np.mean(total_estimated_integrals)# Calculate the exact value of the integralexact_integral = (1/3) + (1/2)# Calculate the deviationdeviation = abs(exact_integral - average_estimated_integral)print(f'Estimierte Mittelung Integrale: {average_estimated_integral}')print(f'Genaue Integrale: {exact_integral}')print(f'Mittlere Abweichung: {deviation}')print(f'Fehlerwahrscheinlichkeit pro Lauf (theta): {0.01}')print(f'Gesamtzahl der Läufe (N): {N}')print(f'Akzeptable Gesamt-Fehlerwahrscheinlichkeit: {0.05}')

• Diese Implementierung führt den Monte-Carlo-Algorithmus \(N\) Mal aus und berechnet das durchschnittlich geschätzte Integral. Durch die Wahl einer entsprechenden Anzahl von Läufen (\(N\)) kann die Fehlerwahrscheinlichkeit innerhalb akzeptabler Grenzen gehalten werden.

Fazit:Durch mehrfache Ausführung des Monte-Carlo-Algorithmus und geeignete Auswahl der Anzahl unabhängiger Läufe (\(N\)) kann die Wahrscheinlichkeit, dass das gesamte Ergebnis einen Fehler hat, minimiert werden. Die Formel \((1 - \theta)^N\) ermöglicht es uns, diese Wahrscheinlichkeit zu quantifizieren und zeigt, wie \(N\) gewählt werden kann, um die Gesamtfehlerwahrscheinlichkeit im akzeptablen Bereich zu halten.

Aufgabe 2)

Du bist der Data Scientist eines Logistikunternehmens und hast die Aufgabe, die bestmögliche Route für die täglichen Lieferungen zu finden. Aufgrund der komplexen Verkehrs- und Wetterbedingungen ist es sehr schwierig, eine analytische Lösung zu finden. Daher entscheidest Du Dich, Simulationsmethoden wie Monte-Carlo-Simulationen und Simulated Annealing zur Optimierung der Lieferroute zu nutzen.

Deine Aufgabe ist es, ein Modell für diese Herausforderung zu erstellen und verschiedene Simulationsmethoden zu testen, um herauszufinden, welche Methode die beste Lösung für das Problem liefert.

a)

Teilaufgabe 1: Implementiere eine Monte-Carlo-Simulation, die eine bestimmte Anzahl an möglichen Routen generiert und die durchschnittlichen Lieferzeiten berechnet. Beschreibe den Algorithmus und erläutere, wie Du die Zufälligkeit in Deinem Modell integrierst. Nutze die folgende Struktur:

'Monte-Carlo-Simulation for the Routing Problem# Initial parameters and configurationnumber_of_simulations = 10000possible_routes = []# Core simulation functiondef monte_carlo_simulation():  for _ in range(number_of_simulations):    route = generate_random_route()    delivery_time = calculate_delivery_time(route)    possible_routes.append(delivery_time)# Execute the simulationmonte_carlo_simulation()'

Erkläre außerdem, wie die Ergebnisse interpretiert und zur Optimierung der Route verwendet werden können.

Lösung:

Monte-Carlo-Simulation zur Routenoptimierung

• Initiale Parameter und Konfiguration:

'Monte-Carlo-Simulation for the Routing Problem# Initial parameters and configurationnumber_of_simulations = 10000possible_routes = []# Core simulation functiondef monte_carlo_simulation():  for _ in range(number_of_simulations):    route = generate_random_route()    delivery_time = calculate_delivery_time(route)    possible_routes.append(delivery_time)# Execute the simulationmonte_carlo_simulation()'

• Algorithmusbeschreibung:
• In der Monte-Carlo-Simulation zur Routenoptimierung generieren wir zufällig eine Vielzahl von möglichen Routen für die täglichen Lieferungen. Die Simulation wird eine vordefinierte Anzahl von Routen (in diesem Fall 10.000) erstellen und für jede Route die Lieferzeit berechnen.
• Einbindung der Zufälligkeit:In der Funktion generate_random_route() wird eine zufällige Route unter Berücksichtigung der Verkehrssituation und Wetterbedingungen generiert. Dies kann durch die Nutzung von Zufallszahlen oder probabilistischen Distributionen erfolgen, um die Route zu bestimmen. Beispielsweise könnte die Routenwahl auf einer Wahrscheinlichkeitsverteilung basieren, die die Verkehrsdichte und Wettervorhersagen in Echtzeit berücksichtigt.
• Die Funktion calculate_delivery_time(route) berechnet die Lieferzeit für eine gegebene Route. Dies könnte durch die Simulation von Verkehrszuständen und die Berücksichtigung von Verzögerungen aufgrund des Wetters erreicht werden.
• Simulation ausführen:Die Simulation wird durch den Aufruf der Funktion monte_carlo_simulation() ausgeführt, die die zufälligen Routen generiert und die resultierenden Lieferzeiten in der Liste possible_routes speichert.
• Interpretation und Optimierung:
• Nachdem die Simulation abgeschlossen ist, können die durchschnittliche und die Verteilung der Lieferzeiten analysiert werden. Häufige Metriken, die berechnet werden könnten, sind:
• Durchschnittliche Lieferzeit aller simulierten Routen.
• Verteilung der Lieferzeiten, um extrem lange Lieferzeiten zu identifizieren und zu minimieren.
• Ermittlung der besten und schlechtesten Routen basierend auf der berechneten Lieferzeit.
• Diese Ergebnisse können dann genutzt werden, um die beste Route auszuwählen und das Logistikmanagement über potenzielle Problemstellen und optimale Routenentscheidungen zu informieren.

c)

Teilaufgabe 3: Diskutiere die Vor- und Nachteile der beiden Simulationsmethoden Monte-Carlo und Simulated Annealing in Bezug auf die Optimierung von Lieferwegen. Betrachte hierbei Aspekte wie:

• Rechenzeit und Ressourcenverbrauch
• Robustheit und Zuverlässigkeit der Ergebnisse
• Anwendungsgebiete und Einsatzmöglichkeiten
• Möglichkeiten zur Parallelisierung

Schließlich schlage eine Kombination beider Methoden vor, um die Stärken beider Ansätze zu nutzen und bestmögliche Ergebnisse zu erzielen. Beschreibe, wie eine solche Kombination aussehen könnte.

Lösung:

Diskussion der Vor- und Nachteile von Monte-Carlo und Simulated Annealing in Bezug auf die Optimierung von Lieferwegen

• Rechenzeit und Ressourcenverbrauch
• Monte-Carlo Simulation:+ Generiert eine große Anzahl von zufälligen Lösungen in relativ kurzer Zeit.- Kann sehr ressourcenintensiv sein, wenn eine hohe Anzahl von Simulationen erforderlich ist.- Je nach Komplexität der Problemstellung kann der Ressourcenverbrauch erheblich sein.
• Simulated Annealing:+ Optimiert iterativ und kann eine gute Lösung in wesentlich weniger Iterationen als Monte-Carlo finden.- Der Ressourcenverbrauch kann variieren, abhängig von den Parametern wie Initialtemperatur und Abkühlungsrate.- Kann effizienter als Monte-Carlo sein, da es gezielt nach besseren Lösungen sucht.
• Robustheit und Zuverlässigkeit der Ergebnisse
• Monte-Carlo Simulation:+ Kann eine gute Übersicht über die möglichen Lösungen und deren Verteilung bieten.- Ergebnisse können stark variieren und sind oft nicht robust genug für eine präzise Optimierung.- Liefert eine Durchschnittslösung und nicht unbedingt die beste Lösung.
• Simulated Annealing:+ Kann robustere und zuverlässigere Lösungen liefern, da es gezielt nach Optimierung sucht.+ Überwindet lokale Minima durch Akzeptanz schlechterer Lösungen zu Beginn des Prozesses.- Die Qualität der Lösung kann von den Anfangsparametern abhängen.
• Anwendungsgebiete und Einsatzmöglichkeiten
• Monte-Carlo Simulation:+ Eignet sich für Probleme mit hoher Unsicherheit und Variabilität.+ Gut für die Analyse von Risikoverteilungen und für Szenarioanalysen.- Weniger geeignet für präzise Optimierungsaufgaben.
• Simulated Annealing:+ Hervorragend geeignet für Optimierungsprobleme, bei denen lokale Minima umgangen werden müssen.+ Anwendbar bei Problemen wie der Routen- und Zeitplanoptimierung.- Weniger nützlich für die reine Analyse von Unsicherheiten und Variabilitäten.
• Möglichkeiten zur Parallelisierung
• Monte-Carlo Simulation:+ Extrem gut parallelisierbar, da jede Simulation unabhängig durchgeführt werden kann.+ Kann auf mehreren Prozessoren oder in verteilten Systemen ausgeführt werden.- Bedingt durch die hohe Anzahl von Simulationen kann der Ressourcenverbrauch trotz Parallelisierung hoch sein.
• Simulated Annealing:+ Schwierig zu parallelisieren, da jeder Schritt auf dem vorherigen basiert.+ Partiell parallelisierbar durch parallele Starts von unterschiedlichen Anfangszuständen.- Weniger skalierbar im Vergleich zu Monte-Carlo Verfahren.
• Kombination beider Methoden zur Nutzung der Stärken beider AnsätzeUm die Stärken beider Ansätze zu kombinieren und bestmögliche Ergebnisse zu erzielen, könnte eine hybride Methodik angewendet werden:
• Schritt 1: Monte-Carlo SimulationZunächst wird eine Monte-Carlo Simulation durchgeführt, um eine Vielzahl von möglichen Routen zu generieren und eine gute Startlösung zu finden. Diese Simulation hilft, die Landschaft der möglichen Lösungen schnell zu erfassen und liefert eine breite Basis an potenziellen Lösungen.
• Schritt 2: Optimierung mit Simulated AnnealingDie beste Lösung aus den Monte-Carlo Simulationen wird als Ausgangspunkt für den Simulated Annealing Algorithmus verwendet, der dann gezielt nach einer optimaleren Lösung sucht. Durch die initiale Breitenanalyse der Monte-Carlo Simulation kann Simulated Annealing effizienter arbeiten und schneller zu einer optimalen Lösung gelangen.
• Diese Kombination ermöglicht es, die hohe Parallelisierbarkeit und Breitenabdeckung der Monte-Carlo Simulation zu nutzen, während gleichzeitig die gezielte Optimierungsfähigkeit des Simulated Annealing ausgenutzt wird. Dadurch können robuste und optimale Ergebnisse erzielt werden, die sowohl die Unsicherheiten und Variabilitäten der Verkehrs- und Wetterbedingungen berücksichtigen als auch eine präzise Routenoptimierung ermöglichen.

Aufgabe 3)

Die Klasse der Las-Vegas-Algorithmen sind Algorithmen, die immer eine korrekte Lösung liefern, wobei ihre Laufzeit zufällig ist. Ein klassisches Beispiel dafür ist Quicksort, ein Sortieralgorithmus, dessen erwartete Laufzeit bei zufälliger Wahl des Pivots \(O(n \log n)\). Ein weiteres Beispiel ist der Randomisierte Minimum-Cut-Algorithmus, bei dem Kanten zufällig umstrukturiert werden, was zu einer erwarteten Laufzeit von \(O(n^2)\) führt. Ebenso gibt es den Randomisierten Algorithmus zur Linearen Programmierung, der auf zufälliger Pivot-Auswahl basiert und in vielen praktischen Fällen wesentlich schneller als deterministische Methoden ist.

a)

Erkläre den Las-Vegas-Algorithmus Quicksort und lege dar, warum er als Las-Vegas-Algorithmus klassifiziert wird. Berechne die erwartete Laufzeit von Quicksort, wenn das Pivot-Element immer zufällig gewählt wird. Zeige deine Berechnungen explizit.

Lösung:

Erklärung des Las-Vegas-Algorithmus Quicksort:Quicksort ist ein rekursiver Sortieralgorithmus, der die Elemente einer Liste so sortiert, dass die Liste in zwei Teilmengen aufgeteilt wird. Ein Schlüsselmerkmal von Quicksort ist die Auswahl eines Pivot-Elements, anhand dessen die Liste partitioniert wird: kleinere Elemente kommen vor das Pivot und größere danach. Die Partitionierung wird rekursiv auf die beiden Teilmengen angewendet.Die Schritte von Quicksort lauten wie folgt:

• Wähle zufällig ein Pivot-Element aus der Liste.
• Teile die Liste in zwei Teile: eine Teilmenge, die alle Elemente kleiner als das Pivot enthält, und eine Teilmenge, die alle Elemente größer oder gleich dem Pivot enthält.
• Wende Quicksort rekursiv auf die beiden Teilmengen an.
• Fasse die beiden sortierten Teilmengen zusammen mit dem Pivot, um die endgültige sortierte Liste zu erhalten.

Begründung, warum Quicksort ein Las-Vegas-Algorithmus ist:Quicksort wird als Las-Vegas-Algorithmus klassifiziert, weil er immer eine korrekte Lösung liefert (eine sortierte Liste). Die Laufzeit des Algorithmus hängt jedoch von der zufälligen Wahl des Pivot-Elements ab. Dies bedeutet, dass die Laufzeit in verschiedenen Durchläufen variieren kann, obwohl die Sortierung immer erfolgreich ist.Berechnung der erwarteten Laufzeit von Quicksort:Die erwartete Laufzeit von Quicksort kann unter der Annahme berechnet werden, dass das Pivot-Element immer zufällig gewählt wird. Dabei gehen wir davon aus, dass die Liste zuerst zufällig permutiert wird.Die Rekurrenzgleichung für die erwartete Laufzeit von Quicksort ist:

E(T(n)) = E(T(k)) + E(T(n-k-1)) + O(n)

Hierbei ist:

• \(n\) -> Größe der Liste
• \(T(n)\) -> Gesamtlaufzeit für eine Liste der Länge \(n\)
• \(k\) -> Index des Pivot-Elements
• \(O(n)\) -> Lineare Zeit für die Partitionierung der Liste

Da das Pivot-Element zufällig gewählt wird, können wir annehmen, dass der Index \(k\) gleichmäßig verteilt ist. Das führt dazu, dass der Erwartungswert der Teillisten etwa \(n/2\) ist. Daher lautet die Rekurrenzgleichung:

E(T(n)) ≤ 2E(T(n/2)) + O(n)

Mit dem Master-Theorem für Rekursionsbeziehungen können wir diese Rekurrenz lösen:

E(T(n)) = O(n \log n)

Daher ist die erwartete Laufzeit von Quicksort für eine zufällige Auswahl des Pivot-Elements \(O(n \log n)\). Obwohl der Algorithmus in ungünstigen Fällen eine Laufzeit von \(O(n^2)\) haben kann, liegt die durchschnittliche erwartete Laufzeit bei \(O(n \log n)\).

b)

Betrachte den Randomisierten Minimum-Cut-Algorithmus. Beschreibe, wie dieser Algorithmus arbeitet und warum seine erwartete Laufzeit \(O(n^2)\) ist. Erläutere außerdem, warum dieser Algorithmus als Las-Vegas-Algorithmus gilt. Stelle ergänzend anschaulich dar, wie die zufällige Kantenumstrukturierung im Algorithmus abläuft.

Lösung:

Beschreibung des Randomisierten Minimum-Cut-Algorithmus:Der Randomisierte Minimum-Cut-Algorithmus, auch bekannt als Karger's Algorithmus, ist ein Algorithmus zur Bestimmung eines Minimum-Cuts in einem ungerichteten Graphen. Ein Minimum-Cut ist eine Menge von Kanten, deren Entfernung den Graphen in zwei nicht verbundene Teilgraphen teilt und deren Gewichtssumme minimal ist.Der Algorithmus arbeitet wie folgt:

• Beginne mit einem Graphen \(G\) mit \(n\) Knoten und \(m\) Kanten.
• Solange der Graph mehr als zwei Knoten hat, wähle zufällig eine Kante \((u, v)\) und verschmelze die Knoten \(u\) und \(v\) zu einem neuen Knoten. Ersetze alle Kanten, die zu \(u\) oder \(v\) führten, durch Kanten zum neuen Knoten.
• Entferne alle Schleifen (Kanten, die vom neuen Knoten zurück zu sich selbst führen).
• Wiederhole diesen Prozess, bis nur noch zwei Knoten übrig sind. Die verbleibenden Kanten bilden den Schnitt.

Erwartete Laufzeit von \(O(n^2)\):Die erwartete Laufzeit des Algorithmus lässt sich folgendermaßen erklären:

• In jedem Schritt wird eine zufällige Kante ausgewählt und verschmolzen. Dies geschieht \(n-2\) Mal, da wir fortfahren, bis nur noch zwei Knoten übrig sind.
• Die Auswahl und Entfernung einer Kante sowie die Verschmelzung der Knoten kann in \(O(m)\) Zeit durchgeführt werden.
• Wenn der Algorithmus mehrmals ausgeführt wird und der kleinste Schnitt zufällig ausgewählt wird (mit einer Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{{n(n-1)/2}}\)), ergibt sich eine wiederholte Anwendung des Algorithmus in \(O(mn^2)\) Zeit.

Typischerweise, wenn \(m = O(n^2)\) ist, liegt die erwartete Laufzeit des Algorithmus bei \(O(n^2)\).Klassifikation als Las-Vegas-Algorithmus:Der Randomisierte Minimum-Cut-Algorithmus wird als Las-Vegas-Algorithmus klassifiziert, weil er immer eine korrekte Lösung liefert. Die genaue Lösung (der Minimum-Cut) hängt jedoch von der zufälligen Auswahl der Kanten ab, was bedeutet, dass die Laufzeit und die genaue Position des Minimum-Cuts in verschiedenen Durchläufen variieren kann.Veranschaulichung der zufälligen Kantenumstrukturierung:Zum besseren Verständnis schauen wir uns das Verfahren der zufälligen Kantenumstrukturierung genauer an:

• Angenommen, wir haben einen Graphen \(G\) mit den Knoten \(A, B, C, D\) und den Kanten \((A, B), (A, C), (B, D), (C, D)\).
• Der Algorithmus wählt zufällig eine Kante, z.B. \((A, C)\). Die Knoten \(A\) und \(C\) werden verschmolzen zu einem neuen Knoten \(AC\).
• Die neuen Kanten sind \((AC, B), (AC, D), (AC, D)\). Die Kante \((AC, D)\) ist jetzt mehrfach vorhanden.
• Im nächsten Schritt wird eine weitere Kante zufällig ausgewählt, z.B. \((AC, D)\). Die Knoten \(AC\) und \(D\) werden verschmolzen zu einem neuen Knoten \(ACD\).
• Die verbleibenden Kanten sind \((ACD, B), (ACD, B)\). Nachdem alle Schleifen entfernt wurden, bleiben nur noch die Kanten des Minimum-Cuts übrig.

Diese zufällige Auswahl und Verschmelzung der Kanten führt dazu, dass die genaue Struktur des Graphen und somit der gefundene Minimum-Cut in verschiedenen Durchläufen variieren kann. Dennoch liefert der Algorithmus immer eine valide Schnittlösung, was ihn zu einem Las-Vegas-Algorithmus macht.

Aufgabe 4)

Betrachte den randomisierten Algorithmus 'QuickSort', der die erwartete Laufzeit von \(\text{O}(n \log n)\) hat. Dieser Algorithmus wählt zufällig ein Pivotelement aus und partitioniert das Array in zwei Teilarrays, so dass alle Elemente links vom Pivot kleiner oder gleich und alle rechts davon größer sind. Danach wird dieselbe Operation rekursiv auf die Teilarrays angewendet.

a)

(a) Zeige, dass die erwartete Laufzeit von QuickSort \(T(n)\) durch das folgende rekursive Gleichung beschrieben werden kann:\[T(n) = n + \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1}(T(k) + T(n-k-1))\]Berechne daraus die geschlossene Form der erwarteten Laufzeit.

Lösung:

Um die erwartete Laufzeit von QuickSort zu analysieren, starten wir mit der gegebenen rekursiven Gleichung:

• (a) Zeige, dass die erwartete Laufzeit von QuickSort:

   T(n) = n + \frac{1}{n} \, \sum_{k=0}^{n-1} (T(k) + T(n-k-1))

Nun ist das Ziel, die geschlossene Form der erwarteten Laufzeit zu bestimmen. Wir verfolgen folgende Schritte:

• Schritt 1: Definiere die Rekursionsgleichung für ein Array der Größe n:

   T(n) = n + \frac{1}{n} \, \sum_{k=0}^{n-1} (T(k) + T(n-k-1))

• Schritt 2: Vereinfache die Summe:

   \frac{1}{n} \, \sum_{k=0}^{n-1} (T(k) + T(n-k-1)) = \frac{2}{n} \, \sum_{k=0}^{n-1} T(k)

• Schritt 3: Setze diese Vereinfachung in die ursprüngliche Rekursionsgleichung ein:

   T(n) = n + \frac{2}{n} \sum_{k=0}^{n-1} T(k)

• Schritt 4: Betrachte die Summe \( \sum_{k=0}^{n-1} T(k) \). Um die Gleichung exakt zu lösen, nehmen wir eine Näherung an, dass bei großen n die Laufzeit proportional zu \( n \, \log n \) wächst. Wir nehmen an, dass

   T(k) \approx C \, k \, \log k

  für eine Konstante C.
  • Ersetze diese Näherung in die vereinfachte Gleichung:

     T(n) = n + \frac{2}{n} \sum_{k=0}^{n-1} (C \, k \, \log k) 

• Schritt 5: Übergang zur Integralnäherung. Da \( \sum_{k=0}^{n-1} k \, \log k \) für große n näherungsweise wie ein Integral behandelt werden kann:

   \sum_{k=0}^{n-1} k \, \log k \approx \int_{0}^{n} x \, \log x \, dx

  • Berechne das Integral:

     \int_{0}^{n} x \, \log x \, dx = \left. \left( \frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4} \right) \right|_{0}^{n} = \frac{n^2}{2} \log n - \frac{n^2}{4}

• Schritt 6: Setze das berechnete Integral zurück in die vereinfachte Rekursionsgleichung ein:

   T(n) = n + \frac{2}{n} (C (\frac{n^2}{2} \log n - \frac{n^2}{4})) = n + C n \log n - \frac{C}{2} n

  • Vernachlässige die weniger dominanten Terme für große n, ergibt sich:

     T(n) \approx C n \log n

• Schritt 7: Somit ergibt sich die geschlossene Form der erwarteten Laufzeit von QuickSort als:

   T(n) = O(n \, \log n)

Daraus folgt, dass die erwartete Laufzeit von QuickSort in der geschlossenen Form O(n \, \log n) ist.

c)

(c) Verwende die Chernoff-Grenzen, um eine Abschätzung für die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass die tatsächliche Laufzeit \(T(n)\) signifikant von ihrer Erwartung abweicht. Gehe dabei von einer instanziierten Zufallsvariable der QuickSort-Laufzeit aus und nutze die entsprechende anwendbare Chernoff-Grenze.

Lösung:

Um die Chernoff-Grenzen anzuwenden und eine Abschätzung für die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass die tatsächliche Laufzeit T(n) signifikant von ihrer Erwartung abweicht, benötigst Du einige grundlegende Konzepte der Wahrscheinlichkeitsanalyse. Chernoff-Grenzen geben eine genaue Abschätzung für die Wahrscheinlichkeit, dass eine Summe unabhängiger Zufallsvariablen von ihrem Erwartungswert abweicht. Die Schritte sind wie folgt:

Schritte zur Anwendung der Chernoff-Grenzen:

• Schritt 1: Definiere die erwartete Laufzeit von T(n): Da die erwartete Laufzeit von QuickSort ist \mathbb{E}[T(n)] = C \, n \, \log n für eine Konstante C.

   \mu = \mathbb{E}[T(n)] = C \, n \, \log n 

• Schritt 2: Formuliere die Chernoff-Grenze: Die Chernoff-Grenze für das Überschreiten des Erwartungswerts um einen Faktor (1 + \delta) lautet:

   \mathbb{P}(T(n) \ge (1 + \delta)\mu) \le \exp\left(-\frac{\delta^2 \mu}{2 + \delta}\right) 

  wobei \delta > 0.
• Schritt 3: Verwende die erwartete Laufzeit \mu = C \, n \, \log n in der Chernoff-Grenze:

   \mathbb{P}(T(n) \ge (1 + \delta) C \, n \, \log n) \le \exp\left(-\frac{\delta^2 \, C \, n \, \log n}{2 + \delta}\right) 

Ergebnis und Interpretation

Durch die Chernoff-Grenzen zeigt sich, dass die Wahrscheinlichkeit, dass die tatsächliche Laufzeit von QuickSort signifikant von der erwarteten Laufzeit abweicht, exponentiell abnimmt mit zunehmendem Wert von n. Insbesondere ergibt dies:

 \mathbb{P}(T(n) \ge (1 + \delta) \mathbb{E}[T(n)]) \le \exp\left(-\frac{\delta^2 \mathbb{E}[T(n)]}{2 + \delta}\right) = \exp\left(-\frac{\delta^2 \, C \, n \, \log n}{2 + \delta}\right) 

Die Wahrscheinlichkeit, dass die tatsächliche Laufzeit T(n) deutlich höher als der erwartete Wert ist, wird also sehr klein, wenn \delta und n zunehmen.