Regelungstechnik A (Grundlagen) - Cheatsheet

Lineare und nichtlineare Systeme

Definition:

Linearität bedeutet Überlagerungsprinzip (Addition, Skalierung). Nichtlinearität: Keine einfache Beziehung zwischen Eingabe und Ausgabe.

Details:

• Lineare Systeme: y(t) = a_1 y(t-1) + a_2 y(t-2) + ... + b_1 u(t-1) + b_2 u(t-2) + ...
• Superposition: y(t) = y_1(t) + y_2(t) wenn u(t) = u_1(t) + u_2(t)
• Nichtlineare Systeme: y(t) = f(y(t-1), y(t-2), ..., u(t-1), u(t-2), ...)
• Beispiel: y(t) = (y(t-1))^2 + u(t)

Übertragungsfunktionen

Definition:

Mathematische Darstellung dynamischer Systeme im Frequenzbereich, beschreibt Verhältnis von Ausgangs- zu Eingangssignal als Funktion der komplexen Frequenz s.

Details:

• Übertragungsfunktion: \[G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)}\]
• s: Komplexe Frequenz, \[s = \sigma + j\omega\]
• Pole: Werte von s, die Nenner der Übertragungsfunktion null machen, System weich stabil, wenn alle Pole in linker Halbebene liegen.
• Nullstellen: Werte von s, die Zähler null machen.
• Verwendung: Analyse und Entwurf von Regelkreisen, Stabilitäts- und Frequenzanalyse.

PID-Regler und deren Parametereinstellung

Definition:

Regelalgorithmus bestehend aus proportionalem (P), integralem (I) und differentiellem (D) Anteil.

Details:

• P-Anteil: \(K_p \cdot e(t)\)
• I-Anteil: \((K_i \cdot \int e(\tau) d\tau)\)
• D-Anteil: \((K_d \cdot \frac{de(t)}{dt})\)
• Gesamtformel: \(u(t) = K_p e(t) + K_i \int e(\tau) d\tau + K_d \frac{de(t)}{dt}\)
• Ziel: Stabilität, gute Regelgüte und schnelle Reaktion
• Tuning-Methoden: Ziegler-Nichols, Regelvorgabe (Setpoint), Ansprechverhalten

Wurzelortskurven

Definition:

Grafische Methode zur Untersuchung des Stabilitätsverhaltens eines Regelungssystems.

Details:

• Wurzelortskurve zeigt die Pole des geschlossenen Kreises bei variierenden Regelkreiskoeffizienten.
• Helps in determining the influence of parameter changes on system stability.
• Pole migration analysis: From open-loop poles to closed-loop poles.
• Charakteristische Gleichung: \[ 1 + G(s)H(s) = 0 \]
• Skizze beginnt bei offenen Polstellen und läuft zu den Nullstellen, wenn Parameter von 0 bis unendlich variiert werden.
• Regeln zur Erstellung der Wurzelortskurve: Anzahl Zweige = Anzahl Pole, symmetrisch zur Realachse.

Bode-Diagramm

Definition:

Logarithmische Darstellung des Frequenzgangs eines Systems.

Details:

• Besteht aus zwei Diagrammen: Amplitudengang (Magnitude) und Phasengang (Phase).
• x-Achse: Frequenz (logarithmisch), y-Achse: Amplitude (dB) bzw. Phase (Grad).
• Wichtige Formeln: \[20 \log_{10} |G(j\omega)| \] für Amplitude und \[ \angle G(j\omega) \] für Phase.
• Nützlich für Stabilitätsanalyse und Entwurf von Regelkreisen.

Nyquist-Kriterium

Definition:

Kriterium zur Stabilitätsuntersuchung von Regelungssystemen im Frequenzbereich.

Details:

• Stabilität: Geschlossene Regelkreise stabil, wenn offene Ortskurve den kritischen Punkt \

  Frequenzganganalyse

  Definition:

  Analyse des Frequenzgangs eines Systems zur Bestimmung des Verhaltens bei unterschiedlichen Frequenzen.

  Details:

  • Übertragungsfunktion: \( H(j\omega) = \frac{Y(j\omega)}{X(j\omega)} \)
  • Frequenzgang: Betrag \( |H(j\omega)| \) und Phase \( \arg(H(j\omega)) \)
  • Bode-Diagramm: Logarithmische Darstellung von Betrag und Phase in Abhängigkeit von \( \omega \)
  • Stabilität: Nyquist-Kriterium, Wurzelortskurve

  Lyapunov-Stabilität

  Definition:

  Bezieht sich auf die Stabilität eines Systems basierend auf einer Lyapunov-Funktion.

  Details:

  • Stabilität: Ist der Ursprung ein Gleichgewichtspunkt und bleibt das System für kleine Störungen in der Nähe.
  • Asymptotische Stabilität: System kehrt nach Störung zum Ursprung zurück.
  • Globale Stabilität: Gültig für alle Anfangsbedingungen.
  • Lyapunov-Funktion: \(V(x)\)-Funktion, die positiv definit ist und deren Zeitableitung \(\dot{V}(x) \leq 0\) ist.